0820高二数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-张心刚

[基本知识] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界,特殊点定域”．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中,若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4,且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内,则m ＝________.答案：62．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域的面积为________．答案：363．观察如图所示的区域,它对应的不等式组是______________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0[典例感悟]1．(2019·贵阳期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y表示的平面区域为( )解析：选B 因为不等式组中两个不等式均未带等号,所以排除A,又不等式y <－3x ＋12表示的平面区域为直线y ＝－3x ＋12的左下方部分,不等式x <2y 表示的平面区域为直线x ＝2y 的左上方部分,所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y表示的平面区域为选项B 所表示的区域,故选B.2．(2019·河南豫北联考)关于x ,y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( )A ．3B ．52C ．2D ．32解析：选C 平面区域为一个直角三角形ABC ,其中A (3,1),B (2,0),C (1,3),所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2,故选C.3．(2019·清远质量检测)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，若满足条件的点P (x ,y )表示的平面区域为M ,则区域M 表示的几何图形的周长是( )A ．6 3B ．32＋10C ．2D ．9解析：选B 在坐标系中画出可行域△ABC ,A (2,0),B (1,1),C (3,3),用两点间距离公式可求得AB ＝2,AC ＝10,BC ＝22,则周长为32＋10,故选B.[方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状,并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等,若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒]求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．突破点二简单的线性规划问题[基本知识]1．线性规划中的基本概念问题在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[提醒] 求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值,将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值,应注意以下两点：(1)若b >0,则截距z b 取最大值时,z 也取最大值；截距zb 取最小值时,z 也取最小值． (2)若b <0,则截距z b 取最大值时,z 取最小值；截距zb 取最小值时,z 取最大值．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(2)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)√ (2)×二、填空题1．若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2x ＋y 的最小值为________．答案：－122．(2018·全国卷Ⅱ)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案：93．(2019·北京朝阳区模拟)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．答案：12[全析考法]考法一 线性目标函数的最值[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．(2)(2018·北京高考)若x ,y 满足x ＋1≤y ≤2x ,则2y －x 的最小值是________． [解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y ,得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0,当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时,z 取最大值,z max ＝3×2＋2×0＝6.(2)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ,即y ＝12x ＋12z ,作直线l 0：y ＝12x 并向上平移,显然当l 0过点A (1,2)时,z 取得最小值,z min ＝2×2－1＝3.[答案] (1)6 (2)3 [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,若可行域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．考法二 非线性目标函数的最值[例2] (1)(2019·江西五市联考)已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4，若点P (2a ＋b,3a －b )在该不等式组所表示的平面区域内,则b ＋2a －1的取值范围是( )A ．[－12,－7]B ．⎣⎡⎦⎤－7，－92 C.⎣⎡⎦⎤－12，－92 D ．[－12,－2](2)(2019·唐山模拟)设实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5≤0，x ＋y －4≤0，3x ＋y －10≥0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．[解析] (1)因为点P (2a ＋b,3a －b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4所表示的平面区域内,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，2a ＋b ＋3a －b ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，5a ≤4，其表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫45，－35,B ⎝⎛⎭⎫45，25,C ( 35,－15)为顶点的三角形区域(包括边界)．b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M (1,－2)连线的斜率, 所以k MB ≤b ＋2a －1≤k MC ,即－12≤b ＋2a －1≤－92.(2)作出不等式组表示的平面区域,如图所示． 因为z ＝x 2＋y 2表示区域内的点到原点距离的平方,由图知,当区域内的点与原点的连线与直线3x ＋y －10＝0垂直时,z ＝x 2＋y 2取得最小值,所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋0－10|32＋122＝10,垂足为点(3,1),在平面区域内,所以z ＝x 2＋y 2的最小值为10.[答案] (1)C (2)10 [方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法 距离平方型目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时,可转化为可行域内的点(x ,y )与点(a ,b )之间的距离的平方求解斜率型对形如z ＝ay ＋bcx ＋d (ac ≠0)型的目标函数,可利用斜率的几何意义来求最值,即先变形为z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c 的形式,将问题化为求可行域内的点(x ,y )与点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线的斜率的ac 倍的取值范围、最值等点到直线距离型对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数,可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式,将问题化为求可行域内的点(x ,y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值考法三 线性规划中的参数问题[例3] (1)(2019·合肥质检)已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1，若z ＝ax ＋y 有最大值52,则a 的值为( )A ．2B ．52C ．－2D ．－52(2)(2019·淮北月考)若实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a 的取值范围是( )A ．[－6,2]B ．(－6,2)C ．[－3,1]D ．(－3,1)[解析] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1所表示的平面区域如图中阴影部分所示．z ＝ax ＋y 有最大值52,即直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距有最大值52,由图可知当直线y ＝－ax ＋z 经过点A 时,z 取得最大值52,由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝－3，x ＋y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝32，所以A ⎝⎛⎭⎫－12，32,代入ax ＋y ＝52,得a ＝－2.故选C. (2)作出约束条件所表示的平面区域,如图所示．将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z 2,当－1<－a 2<3时,直线y ＝－a 2x ＋z2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值,即目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取得最小值,解得－6<a <2,故选B.[答案] (1)C (2)B [方法技巧]求解线性规划中含参问题的2种基本方法(1)把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．(2)先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数．[集训冲关]1.[考法一]若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )A.132 B ．6 C ．11D ．10解析：选C 法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x ＋2y ＝0,平移该直线,当直线经过点B (3,4)时,x ＋2y 取得最大值,即(x ＋2y )max ＝3＋2×4＝11,故选C.法二：设z ＝x ＋2y ,由题易知,目标函数z ＝x ＋2y 的最大值只能在可行域的三个顶点处取得,由题知三条直线的交点分别为⎝⎛⎭⎫32，52,(3,4),(2,2),当x ＝32,y ＝52时,z ＝132；当x ＝3,y ＝4时,z ＝11；当x ＝2,y ＝2时,z ＝6,所以z max ＝11,故选C.2.[考法二]已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤95，6B ．⎝⎛⎭⎫－∞，95C ．(－∞,3]∪[6,＋∞)D ．(3,6]解析：选A 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． 易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3),(1,6),⎝⎛⎭⎫52，92,yx 表示可行域内的点(x ,y )与原点连线的斜率,观察图象可知,当(x ,y )＝(1,6)时,y x 取得最大值,最大值为6,当(x ,y )＝⎝⎛⎭⎫52，92时,y x 取得最小值,最小值为95,故yx的取值范围是⎣⎡⎦⎤95，6,故选A.3.[考法三]如图,目标函数z ＝kx ＋y 的可行域为四边形OABC (含边界),A (1,0),C (0,1),若B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数取得最大值的最优解,则k 的取值范围是________．解析：直线z ＝kx ＋y 的斜率为－k ,平移直线y ＝－kx ＋z ,因为B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的最优解,∴k AB ≤－k ≤k BC ,又∵k AB ＝－83,k BC ＝－49,∴－83≤－k ≤ －49⇒49≤k ≤83.答案：⎣⎡⎦⎤49，834.[考法三]若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤6，y ≥k ，且z ＝3x ＋y 的最小值为－8,则k ＝________.解析：目标函数z ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋z ,要使目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8,则平面区域位于直线y ＝－3x ＋z 的右上方,即3x ＋y ＝－8,作出不等式组对应的平面区域,如图,是一个封闭的三角形,则目标函数经过点A (k ,k )时,目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8,代入得－8＝4k ,解得k ＝－2.答案：－2突破点三 线性规划的实际应用[典例] (2019·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克,每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在要求每天消耗A ,B 原料都不超过12千克的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元[解析] 设分别生产甲、乙两种产品为x 桶,y 桶,利润为z 元, 则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出不等式组表示的平面区域,如图所示,作直线L ：300x ＋400y ＝0,然后把直线向可行域平移,可得当x ＝0,y ＝6时,z 最大,其值为2 400,故选C.[答案] C [方法技巧]解线性规划应用题的一般步骤[针对训练](2019·衡水中学模拟)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨,现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料,产生的利润为12 000元；生产1车皮乙种肥料,产生的利润为7 000元．那么可产生最大的利润是________元．解析：设x ,y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，工厂的总利润z ＝12 000x ＋7 000y .由约束条件得可行域如图所示,由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝10，18x ＋15y ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以最优解为A (2,2),则当直线12 000x ＋7 000y －z ＝0过点A (2,2)时,z 取得最大值38 000,即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润为38 000元．答案：38 000[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·宝鸡期中)在3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(3,0) B ．(1,3) C ．(0,3)D ．(0,0)解析：选D 分别把四个选项的坐标代入3x ＋2y <6,经验证坐标(0,0)符合要求,故选D. 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2019·陕西部分学校摸底检测)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．－12B ．0C ．1D ．32解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令z ＝2x ＋y ,作出直线y ＝－2x ,平移该直线,当直线经过点A ⎝⎛⎭⎫－12，12时,z ＝2x ＋y 取得最小值,最小值为－12,故选A.4．(2019·合肥一中等六校联考)设实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x |，x －2y ＋4≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.43 B ．－43C ．12D ．0解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,易得当该直线经过点A (4,4)时,2x ＋y 取得最大值,为12,故选C.5．(2019·西宁检测)设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为6,则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线z ＝x ＋y 经过点A 时,z 取得最大值,此时A (k ,k ),所以2k ＝6,即k ＝3,所以B (－6,3),当直线z ＝x ＋y 经过点B 时,z 取得最小值,所以z 的最小值为－6＋3＝－3.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2018·南昌调研)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4解析：选C 出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,作作出直线y ＝32x ,平移该直线,当直线经过C (1,0)时,在y 轴上的截距最小,z 最大,此时z＝3×1－0＝3,故选C.2．(2019·赤峰期末)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝2x ·4y 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：选C 由z ＝2x ·4y 得z ＝2x＋2y,设m ＝x ＋2y ,得y ＝－12x ＋12m ,平移直线y ＝－12x ＋12m ,由图象可知当直线y ＝－12x ＋12m 经过点A 时,直线y ＝－12x ＋12m 的截距最大,由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3,1),此时m 最大,为m ＝3＋2＝5,此时z 也最大,为z ＝2x ＋2y＝25＝32,故选C.3．(2019·西安模拟)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D ．2－47解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3),即kx －y ＋3k ＋2＝0,则有|3k ＋2|k 2＋1＝2,解得k ＝－125或k ＝0(舍去),所以z min ＝－125,故选C. 4．(2019·嘉兴期末)已知点A (2,－1),点P (x ,y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，y －1≤0，x －2y ≤4，O 为坐标原点,那么OA ―→·OP ―→的最小值是( )A ．11B ．0C ．－1D ．－5解析：选D 画出满足约束条件的平面区域,如图所示．又由OA ―→·OP ―→＝(2,－1)·(x ,y )＝2x －y .令目标函数z ＝2x －y .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，解得B (－2,1),z ＝2x －y 在点B 处取得最小值z min ＝2×(－2)－1＝－5,故选D.5．(2019·嘉兴第一中学模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a 表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界),则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,要使可行域为三角形区域(不包括边界),则需点A 在直线x ＋y ＝a 的右上方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3可得A ⎝⎛⎭⎫34，34,所以34＋34>a ,即a <32.故选C. 6．(2019·郑州模拟)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点,则k 的取值范围为( )A ．[0,＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线y ＝0),直线y ＝k (x＋1)过定点(－1,0),由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是32,根据题意可知0<k ≤32,故选C.7．(2019·太原模拟)已知点M ,N 是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0内的两个动点,a ＝(1,2),则MN ―→·a 的最大值为( )A ．2 5B ．10C ．12D ．14解析：选B ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则MN ―→·a ＝(ON ―→－OM ―→)·a ＝ON ―→·a －OM ―→·a ＝x 2＋2y 2－(x 1＋2y 1),设z ＝x ＋2y ,平移直线x ＋2y ＝0,易知当直线经过点A (4,4)时,z 取得最大值,最大值是12,当直线经过点B (2,0)时,z 取得最小值,最小值为2,所以MN ―→·a 的最大值为10,故选B.8．(2019·石家庄模拟)实数x ,y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时,目标函数z ＝mx ＋y 的最大值等于5,则实数m 的值为( )A ．－1B ．－12C ．2D ．5解析：选B 实数x ,y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时,表示的平面区域如图中阴影部分所示,易得A (－1,0),B (0,1),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝－12x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3， ∴C (－4,3)．目标函数z ＝mx ＋y ,∴y ＝－mx ＋z ,当m >12时,直线过点B 时,z 取得最大值5,不成立,舍去；当0<m <12时,直线过点C 时,z 取得最大值5,∴－4m ＋3＝5,∴m ＝－12不成立,舍去；当m ＝0或12时,易验证z 的最大值不可能等于5；当m <0时,直线过点C 时,z 取得最大值5,∴－4m ＋3＝5,∴m ＝－12成立．故选B.9．(2018·浙江高考)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________,最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4,－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)． 将函数y ＝－13x 的图象平移可知,当目标函数的图象经过A (4,－2)时,z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时,z max ＝2＋3×2＝8. 答案：－2 810．(2019·林州一中调研)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2，则z ＝⎝⎛⎭⎫122x －y的最小值为________．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝x ＋2得点B (1,3)．作出直线2x －y ＝0,对该直线进行平移,可以发现当该直线经过点B 时,(2x －y )max ＝2×1－3＝－1,此时z min ＝2.答案：211．(2019·淮北十校联考)设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x ＋2y －14≤0，2x ＋y －10≤0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示可行域内的点P (x ,y )到原点的距离的平方,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,过点O 作OA 垂直直线x ＋y －6＝0,垂足为A ,易知点A 在可行域内,所以原点到直线x ＋y －6＝0的距离d ,就是点P (x ,y )到原点距离的最小值,由点到直线的距离公式可得d ＝612＋12＝32,所以x2＋y 2的最小值为d 2＝18. 答案：1812．(2019·湖南五市联考)某工厂制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工来完成两道工序,已知木工平均4个小时做一把椅子,8个小时做一张书桌,该工厂每星期木工最多有8 000 个工作时；漆工平均2个小时漆一把椅子,1个小时漆一张书桌,该工厂每星期漆工最多有1 300个工作时．若做一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,根据以上条件,生产一个星期该工厂能获得的最大利润为________元．解析：设一个星期能生产椅子x 把,书桌y 张,利润为z 元,可得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，x ∈N ，y ∈N ，利润z ＝15x ＋20y ,画出不等式组所表示的平面区域(图略),可知在点(200,900)处z 取得最大值,此时z max ＝21 000元．答案：21 00013．制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问：投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大？最大盈利额是多少？解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x 万元、y 万元,盈利为z 万元,由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，z ＝x ＋0.5y .x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线y ＝－2x ＋2z 过点M 时,在y 轴上的截距最大,这时z 也取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10，3x ＋y ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即M (4,6), z max ＝1×4＋0.5×6＝7.故投资人投资甲项目4万元,投资乙项目6万元,才能使可能的盈利最大,最大盈利额为7万元．14．某人有一套房子,室内面积共计180 m 2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18 m 2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1 000元,装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天才能获得最大的房租收益？解：设隔出大房间x 间,小房间y 间,获得的收益为z 元, 则⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝200x ＋150y ,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示．由图可知,当直线z ＝200x ＋150y 过点A ⎝⎛⎭⎫207，607时,z 取得最大值, ∵A 点的坐标不是整数,而x ,y ∈N,∴点A 不是最优解．由图可知,使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧,这些整数点有(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),分别代入z ＝200x ＋150y ,逐一验证,可得取整数点(0,12)和(3,8)时,z max ＝1 800,∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,才能获得最大收益．。

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点串串讲 1•二元一次不等式表示平面区域 (1) 一般地，二元一次不等式 Ax + By + C > 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax + By + C= 0某 一侧所有点组成的平面区域•我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界直线•当我们在 坐标系中画不等式 Ax + By + C >0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界 直线画成实线. (2) 用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性， 所示)• (3) 关于二元一次不等式表示平面区域的几点说 明： ① 用集合的观点和语言分析直线和二元一次不 等式所表示的平面区域。

② A x+ By+ C> 0表示的是直线 Ax+ By+ C= 0 的某一侧的平面区域，不包括边界； Ax+ By+ C>0 表示的是直线 Ax+ By+ C= 0及直线某一侧的平面 区域，包括边界. ③ 画二兀一次不等式表示的平面区域常米用 "直线定界，特殊点定域”的方法；特别地，当 CM0时，常把原点作为此特殊点. ④ 二元一次不等式组所表示的平面区域为各个 不等式所表示的平面点集的交集，即公共部分. ⑤ 在直线I : Ax+ By+ C= 0外任取两点 P(x1 , y1) , Q(x2, y2).若P 、Q 在直线I 的同一侧，贝U Ax1+ By1 + C 与 Ax2 + By2 + C 同号；若 P 、Q 在直线 I C 异号•这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”. 2 •线性规划 (1)线性规划的有关概念 ① 约束条件：由x 、y 的不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是 x, y 的约束 条件. ② 线性约束条件：关于 x 、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是 x, y 的线性约束条件.③ 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x 、y 的解读式. ④ 线性目标函数：目标函数为 x 、y 的一次解读式. ⑤ 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. ⑥ 可行解：满足线性约束条件的解 (x , y) • ⑦ 可行域：所有可行解组成的集合. ⑧ 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解. (2) 求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤：① 作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一 条直线I. ② 平移：将直线I 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置. ③ 求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值. ⑶关于线性规划的几点说明： ① 最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多. ② 对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函数达到最大或最小的 点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界上达到. a z⑷ 求目标函数z = ax+ by 的最值，要把z 与直线y = — ~x+ £的截距联系起来去理解.O1y o兀*(A>O t S>0) Ar+Z?v+C^O (A>0T 5<0) ④异侧，贝U Ax1 + By1+ C 与 Ax2 + By2 +(5)线性规划的图解法及其应用图解法的步骤：①求可行解一一即可行域.将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解(可行域)•②作出目标函数的等值线.目标函数z= ax + by(a、b€R且a、b为常数)，当z是一个指定的常数时，就表示一条直线•位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z，因此称之为等值线•当z为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z的变化状态.③求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.3.线性规划的实际应用(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务•②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.(2)线性规划中的常见问题：①物资调运问题；②产品安排问题；③合理下料问题；④配方问题.(3)利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：①模型建立；②模型求解；③模型应用.⑷ 关于线性规划的实际应用的几点说明：①解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范.②因作图有误差，若图上的最优点并不明显易辨，求不出可能是最优点的坐标典例对对碰题型一二兀一次不等式组表示平面区域例1如图，在△ ABC中，A(3 , - 1) , B( — 1,1) , C(1,3)，写出△ ABC区域所表示的二元一次不等式组.分析首先写出厶ABC三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组.解读解法一：由两点式得 AB BC CA直线方程并化简为：AB: x+ 2y — 1 = 0, BC: x— y + 2 = 0,AC: 2x+ y — 5 = 0.•••原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x + 2y— 1> 0,x — y + 2> 0,2x + y— 5< 0.解法二：由AB的方程及三角形区域在 AB 上方，根据“同号在上”原则，得不等式x+ 2y —1> 0.由BC的方程及三角形区域在 BC下方，根据“异号在下”原则，得不等式x— y+ 2> 0.同理得2x + y — 5<0,从而得不等式组.点评判断二元一次不等式组表示的平面区域可直接利用上述“同号在上，异号在下”的结论直接判断变式迁移1x — 2y + 1 > 0,画出不等式组‘X + 2y + 1 >0, 表示的平面区域.〔1 V |x — 2| <3解读 不等式x — 2y + 1>0表示直线x — 2y+ 1 = 0右下方的点的集合； 不等式x + 2y+ 1 >0表示直线 x + 2y + 1 = 0上及其右上方的点的集合； 不等式 1 < |x — 2| w 3,可化为一1Wxv 1 或3<xw 5,它表示夹在两平行线 x=— 1和x =1之间或在两平行线 x = 3和x= 5之间的带 状区域，但不包括直线 x=1和x= 3上的点.所以，原不等式组表示的区域如图所示. 题型二线性目标函数的最值问题 例 2 已知 x , y 满足 3x+ 8y + 15> 0, 5x+ 3y — 6W 0, 2x — 5y + 10> 0,解读 先画出约束条件的可行域，如图所示， 8y + 15= 0,3y — 6= 0,则z= x — y 的取值范围是由 得 B(3 , — 3), 3x+ 8y + 15= 0,由q2x — 5y + 10= 0,当z 为常数时，一z 轴上的截距，如图所示； 得 A( — 5,0). 表示直线 z = x — y 在y5.r+3> —6=0 2.r-5v+10=0 当点(x , y)位于A 点时，一z 取最大值， /• zmi n=— 5 — 0=— 5; 当点(x , y)位于B 点时，一z 取最小值； zmax= 3 — ( — 3) =6. 综上所述，目标函数 z 的取值范围是[—5,6]. 答案 [—5,6] 点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得，具体方法是：将表 示目标函数的直线平行移动，最先 (或最后)通过的区域内的点便是最优解.特别地，当表 示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时， 变式迁移2 其最优解可能有无数个 设 z = 2y — 2x + 4，式中 x 、y 满足条件 r0< x< 1, SOW y< 2, 〔2y — x> 1.求z 的最大值和最小值. 解读作出满足不等式组 ]0W x< 1, $0W y< 2, 2y — x> 1. 可行域(如图所示). 作直线 I : 2y — 2x = t , 当I 经过点A(0,2)时，4= 8; 当I 经过点B(1,1)时， 4= 4. 题型三平面区域的面积问题 例3在平面直角坐标系 zmin = 2X 1— 2X 1+zmax= 2X 2 — 2X 0+2 aX / 2y —x=]/Ml f l) ” -O1 ；的 xOy 中，已知平面区域A= {(x y>0}，则平面区域 B={(x + y, x — y)|(x , y) € A}的面积为( A. 2 B. 1,y)|x + yw 1,且 x>0, )1 1 C.2 D.4解读 u= x+ y, UW 1, 域的面积令v=x —y, u + v>0, u — v>0, 通过画图不难得知不等式组对应的平面区 1 S= 2^ 2X 1= 1.故选 B. B 求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应般是划分为几个三 答案 点评的顶点坐标，根据图形的特点解决问题.若图形是不规则的多边形, 角形分别求面积再相加. 尽量多构造直角三角形， 变式迁移3 求不等式|x| + |y| 解读 |x| + |y| x > 0, y > 0, x + yw 2. 在划分时 这样可以降低运算难度 W2表示的平面区域的面积. W2可化为： x> 0, 或 yw0, x — y<2. x w 0,或 yw 0, —x — yw 2.xW 0, 或y 》0, —x+ yw 2. 其平面区域如图所示. 1 .•面积 S= X 4X 4= 8. 题型四利用可行域求非线性函数的最值 4x + 2y — 7> 0, y 满足条件x — 2y + 2》0,3x — y — 4W 0,2■例4 .已知x, 试求 z = x2 + y2 + 2x + 4y 的取值范 围. 解读如图所示作出约束条件所表示的平面区域△ 3 3 1易求 A(2,2)、B(1, 2)、C(2, 2), ABC 因为x2 + y2 + 2x + 4y = ~》+ ]~2+ 『+ 2~2 — 5, 又因为方程 Z= (x + 1)2 + (y + 2)2表示的曲线为以点 的圆， 所以观察图，知当圆过 A 点时，•. Z 取得最大值5. 1 过D 作DEL BC 于E,易知kDE= ?,从而知直线 DE 的方程为x — 2y — 3= 0,x = 2, D( — 1 , - 2)为圆心，半径为 Z 3x-y-4=0x — 2y — 3 = 0, 由 4x + 2y — 7= 0,1 y = —2, 即点E 的坐标为(2 , — 1)，显然E 在线段BCD(-b-2)E4x+2y —7=0B 1x> 0,已知x 、y 满足Jy>x,4x + 3y< 12,y — 2 则xn 的取值故z = x2 + y2+ 2x + 4y 的取值范围为[―2 , 2 5].点评 利用线性规划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思 想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，是从一个新的角 度对求最值问题的理解，对于同学们最优化思想的形成是非常有益的变式迁移42x + y — 5>0已知 x, y 满足条件 3x — y — 5<0且 z = (x + 1)2 + (y + 1)2x — 2y+ 5>0在什么时候z 取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？ 解读 作出可行域如图当点(x , y)由B 在区域内向左移动时x 越来越大，故-的取值范围是[2 , ).答案 D变式迁移5的延长线上，从而知当圆过点C 时，•. Z 取得最小值5.2 2 ，2x + y — 5= 0解方程组3x — y — 5= 03x — y — 5= 0 得 A(2,1)得 B(3,4)的几何意义为可行域内的点 (x , y)为点(一1,— 1)的距离的平方 显然当圆过A 点时半径最小，最小值为 点时半径最大，最大值为 41. 题型五可行域与斜率的最值问题x — y + K 0,例5若实数x 、y 满足丿x >0,yw 2,A. (0,2) B . (0,2] C. (2 ,+s) D . [2 ,+s)x — y+ 1w 0,解读不等式组x> 0, 表示y< 2,的平面区域为如图所示的△ ABC 及其内部(不包 括边AC),-表示点(x , y)与原点 0连线的斜x 率，y 2当点(x , y)在B 处时，-有最小值-=2.13,圆过B 则丫的取值范围是( )范围是 _________ .答案 [—2,2]解读 作出可行域如图所示，设点 M （x, y ）在可行域内，定点 P 的坐标为（一1,2），则y — 2 y — 2目标函数 的值为直线 PM 的斜率，因为 PO PA 的斜率分别为一2、2，由图可得 的x+ 1 x + 1取值范围是[—2,2].题型六线性规划的实际应用例6某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于 15吨，已知生产甲产品 1 吨，需煤9吨，电力4千瓦，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦，劳力 10个；甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元；但每天用煤不超过 300 吨，电力不超过 200千瓦，劳力只有 300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利 润总额达到最大？XT甲产品W- C t )4^<M)'L L< k W * h)斗梅2<M)力力｛个）IO利 mC 7T JC )712解读 ，那么9x + 4yW 300,r4x + 5yW 200,3x + 10yw 300, x> 15, y> 15. 作出以上不等式的可行域，如图. 目标函数为z = 7x + 12y.作出在一组平行直线 7x+ 12y = t 中（t 为 参数）经过可行域内的点且和原点距离最远的直 线.此直线经过直线 4x + 5y = 200和直线3x + 10y = 300 的交点 A （20,24）.即生产甲、乙两种产品分别为20t,24t 时，利润总额最大.zmax= 7X 20+ 12X 24= 428（万元）. 变式迁移6某工厂家具车间生产木工做一张A B 型桌子分别需要 知木工、漆工每天工作分别不得超过 200元和300元，试问工厂每天应生产解读 「x+ 2yw 8,』3x + yw9,x> 0, y> 0,目标函数为：z= 2x + 3y,作出可行域如图中阴影部分所示,A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知 1h 和2h,漆工油一张 A 、B 型桌子分别需要 3h 和1h;又 8h 和9h,而工厂造一张 A B 型桌子分别获得利润A B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？ 设每天生产 A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则把直线I : 2x+ 3y = 0向右上方平移到I '的位置时，直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大，此时 z = 2x+ 3y 取得大值.x + 2y = 8,解方程组* 得M的坐标为(2,3).3x + y = 9,•••每天应生产 A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.【教师备课资源】题型七线性规划中的整数解问题例7某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有 9名驾驶员，在建造某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土方的任务，已知每辆卡车每天往返的次数是：A型卡车为8次而B型卡车为6次•每辆卡车每天往返的成本费用情况是：A型卡车160元，B型卡车252元，试问：A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低.分析本题考查学生的数学建模能力及数形结合能力•解题时一定注意最优解是整数解.解读设每天出动的 A型卡车数为x，则Owxw乙每天出动的B型卡车数为y,则 0< yw 4, 因为每天出车的驾驶员最多9名，则x + yw9,每天要完成搬运任务，则48x + 60y> 360,每天公司所花成本费用为z = 160x+ 252y.0W xw 7,OW y w 4,本题即求满足不等式组x + yw 9,.48x + 60y> 360.且使z = 160x+ 252y取得最小值的非负整数x与y的值.不等式组表示的平面区域，即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD区域(含边界5 2线段)，它的顶点是 A(2, 4) , B(7, 5) , C(7,2) , D(5,4).结合图象可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P1(3,4)、P2(4,3)、P3(4,4)、P4(5,2)、P5(5,3)、D(5,4)、P6(6,2)、P7(6,3)、P8(7,1) , C(7,2)共 10 个点.作直线 l : 160x+ 252y = 0.将I向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以在点P4(5,2)处，得到的z的值最小.zmin = 160X 5+ 252X 2= 1304.答：当公司每天出动 A型卡车5辆，B型卡车2辆时，工司的成本费用最低.变式迁移7x+ 2yw8已知x、y满足约束条件 2x+ yw8 目标函数为z = 3x + y，求得x = 4, y = 0.x€ N*, y € N*时，zmax= 12.但题中要求x、y € N*,请调整一下最优解与目标函数的最大值.解读•••0?N*,•-x= 4, y = 0不在可行域内，不是最优解.T在可行域内z= 12时仅有x = 4, y= 0,• z最大取不到12,■/x 、y€ N*, z= 3x + y€ N*,•••考虑z = 3x + y = 11时取最大，而此时可行域内有 x= 3, y = 2使z = 11, •••最优解为 x= 3, y = 2, zmax= 11. 题型八线性规划与其它知识的综合x > 0,例8设不等式组>0,yw — nx+ 3n,an(n € N*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点(1)求数列｛an ｝的通项公式；Tnw m,求实数 m 的取值范围.解读 (1)由 x> 0,— nx+ 3n>y> 0,得 0 vx v 3,「. x= 1 或 x= 2. • Dn 内的整点在直线 x= 1或x= 2 上.记直线y =— nx+ 3n 为I , I 与直线x= 1、x= 2的交点的纵坐标分别为 y1、y2,则 y1 = — n + 3n= 2n , y2=— 2n+ 3n= n, • an = 3n(n € N*).⑵•/Sn= 3(1 + 2+ 3 + …+ n) ="「11 + 1• Tn」*,2n ' + 1 n+2 •-Tn+1—Tn=2n+— =n+i 2-n = 2n+1，•••当 n 》3 时，Tn>Tn + 1,且 T1 =所表示的平面区域为 Dn,设Dn 内的整点个数为⑵记数列｛an ｝的前n 项和为 Sn,且Tn= |•S —i ，若对于一切正整数n，总有[11+12n~1v T2= T3= I,3 • T2, T3是数列｛Tn ｝的最大项，故T2= J.点评本题把二元一次不等式组所表示的平面区域和数列综合在一起，所考查的线性 规划知识很浅显，也很简单，核心部分则是考查数列的有关知识 变式迁移8 已知实系数一元二次方程 x2+ (1 + a)x + a + b+ 1 = 0的两个实根为 x1, x2，且0v x1 v 1, x2 > 1,则-的取值范围是( ) a1 1 1 A. ( — 1 , — 2)B . ( — 1,— . ( — 2, — ?] D . ( — 2, 答案 D 解读本题看似与线性规划无关，但利用二次函数讨论一 元二次方程的根的取值情况后，即可得到关于 件，目标函数b即为过原点的直线的斜率.记aa)x + a + b+ 1, f 0 = a + b + 1 > 0,依题意得> ,[]=2a + b+ 3 v 0, 如图所示，可行域是以P( — 2,1)为顶点的角的内部.记原点为 b 一 1OM(M 为可行域内的点)的斜率-的取值范围是(一2,—;)，故选D.a 2a 、b 的约束条 f(x) = x2 + (1 + 0(0,0)，则动直线正误题题辨'x + 2y - 19>0例。

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题【课前回顾】1．一元二次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界，特殊点定域”. 3．简单的线性规划中的基本概念1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示阴影部分．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4可得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.5．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 解析：∵点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，∴2m ＋3－5>0，即m >1.答案：(1，＋∞)4．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －6≤0，则x －2y 的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，可知z ＝x －2y 在点A (1,1)处取得最大值－1.答案：－1考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域(一)直接考——求平面区域的面积 解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥2，0≤x ≤2所表示的平面区域的面积为________．解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A (0,2)，B (2,2)，C (2,7)，D (0，5)，所以AD ＝3，AB ＝2，BC ＝5.故所求区域的面积为S ＝12×(3＋5)×2＝8.答案：8(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数 根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示， 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k >0，则必有BC ⊥AB ， 因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，故选A. 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.考点二 求目标函数的最值角度(一) 求线性目标函数的最值及范围 求目标函数最值的一般步骤1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x－z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.即A (－1,1)．所以z min ＝－5. 答案：－5角度(二) 求非线性目标函数的最值 常见的2种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.角度(三) 线性规划中的参数问题 求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．4．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，32. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32 【针对训练】1．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．2．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A ⎝⎛⎭⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝k PA ＝－12－11－0＝－32. 答案：－323．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 答案：5考点三 线性规划的实际应用1．解线性规划应用题3步骤(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【典型例题】(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件， 由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000【针对训练】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)， 故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．【课后演练】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.4．(2018·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12所表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.5．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.6．(2018·郑州第二次质量预测)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x 轴)部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点M (－1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点M (－1，0)与A (1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32.7．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 8．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3.答案：310．(2018·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点A (1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点B (－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]11．(2018·安庆二模)若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12C.22D.22－1 解析：选B 作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为点(－1,0)到直线y ＝－x 的距离的平方，即为⎝⎛⎭⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.12．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D.2－47解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.13．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．14．(2018·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，且b ＝－2x －y ，当b 取得最大值时，直线2x ＋y ＋b ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线y ＝－2x －b 经过点A (－2，－2)时，b 取得最大值，即b max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，此时直线方程为2x ＋y ＋6＝0.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋6＝0的距离d ＝|2＋2＋6|22＋12＝25，所以直线被圆截得的弦长L ＝252－(25)2＝2 5.答案：2 515．(2018·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .若目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.答案：516.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求实数a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.故实数a 的取值范围是(－18,14)．17．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A⎝⎛⎭⎫1，225，B (1,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得C (5,2)，(1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移直线y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝yx 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小，故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2<OA 2<OC 2＝29，故z 3∈[2,29]．。