重庆市重庆八中2017届高三第四次月考(数学理)(含答案)word版

重庆八中高2010级高三第四次月考数学（理科）试题选择题一.选择题本题共10小题，（每小题5分,共50分） 1. 满足条件M 乂七,"的所有集合 M 的个数是（ ） A . 1 B . 2 2. 已知:■,-是不同的两个平面， 是q 的（） A .充分不必要条件 C.充要条件心6 3.已知向量 为（） A . 2 B. C. 3 D. 4 直线a 二：£，直线b - !'，命题p : a 与b 没有公共点；命题q: ：• /厂：，则p九，i =（1,0）和 j =（0,1），若 a JB .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件'…：Lj =r/5，且向量a 与"i 的夹角为日，则cos 日的值 C. -12D . 4.下列命题中正确的是（ A .若x 在（0,二）内，则 sin x cos x 2 B .函数 =2sin （x ）的图象的一条对称轴是 5 c.函数 —的最大值为二 1 ta n x D.函数 TT二sin2x 的图象可以由函数 y =sin （2x_—）的图象向右平移 一个单位而得 y* A Cb =5，贝U a 与b 的夹角为6.「ABC 中，CB = a,CA = b,aLb ■；： 0 , S ABC・4J — 5.已知O 为坐标原点，点A 与点B 关于x 轴对称，j =（0,1），则满足不等式OA - j|_AB 乞0的A 点集合用阴 影表示为（ ） =些，a =3, 4 150： D. 30 或 150； A . 30 B . -150' x 2 y 2 7.已知椭圆 - 2 =1（a b 0）的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线 a b 通径重合，则椭圆的离心率为（ B .返 2 A . - 2 -1 C. 2y = 2px( p 0)的c. -.3-1 D.- 2 8•将函数y =sin x^ 0）的图象按向量 平移后的图象所对应的函数解析式为（ 象如图所示，则- Ka =（-一,0）平移，平移后的图6 ）A. y =sin(x )B. y=sin(x )6 6”JT -TTC. y =s\n(2x )D. y =si n(2x )3 39. 三个平面两两垂直，它们的三条交线相交于一点0，点P到三个平面的距离之比为1:2:3 , P0 =2 14 ,则点P到三个平面的距离分别为( )A. 2,4,6B. 4,6,8C. 3,6,9D. 5,10,1510. 已知定义在R上的函数f(x)满足下列条件：① f (0) =2 ;②当x • R 时，f '(x) 0 ;③lim f (x) =1 且f (x) 1.x_.若f (x)的反函数是f丄(x)，则不等式f J(x) ::: 0的解集为()A. (0,2)B. (1,2)C. (一：：,2) D (2,；)第II卷主观题二.填空题(本小题共5个小题，每个小题5分，共25分)11. 已知2=3, b=5, ab=12，则a在b方向上的投影为____________________12. 定义一种运算a轻b = !a (a^b)，若m—1^m=m—1，则m的取值范围是_________________b (a Ab)< xx +2y 兰413. 已知实数x，y满足条件彳则r的最小值为_______y K -20+1)2 +(y-1)2 =r2(r >0)14. 在三棱锥O — ABC 中，OA、OB、OC 两两垂直，OC =1 , OA = x , OB = y, x + y =4，当三棱锥O — ABC 的体积最大时，异面直线AB与OC的距离等于 __________15. 已知三个实数a,b,c成等比数列，且a+b+c = m ( m是正常数)，则b的取值范围为____________三.解答题(前三大题各13分，后三大题各12分)16. 已知f⑺二asi n V bcos入〔三0,二I，且1与2cos2^的等差中项大于1与sin2》的等比中项的平方，2 2求当a =4，b =3时，f (力的最大值和相应的二值.17. 设不等式2x-1 >m(x2 -1)对满足条件m兰2的一切实数m都恒成立，求实数x的取值范围.C1 18.如图所示，在直三棱柱ABC 1A1B 1(中，已知•ABC =90；，AA^ = 2，D，E 分别为BB1、AC 的中点A E(I)证明：BE //平面 AC 1D ； (n)求二面角 A _ AD -C 1的大小.119.函数f(x)对任意R 都有f (x) • f (1-x)二一成立.21 1 n — 1 *(I)求 f (-)和 f(—)，f(——)(n ・ N )的值；2 n n(n)数列d f 满足条件；a n =f(0) •f(丄)• f(2) TH ■ f (-)f (1)，试证：数列：a n .11是等差数列n n n20. 已知抛物线x 2 =4y 上的点P (非原点)处的切线与 x 轴，(I)若 = ■ PR ，求■. ,(n)若抛物线上的点 A 满足条件- 'FA ，求 APR 的面此时的切线方程21. 设函数f(x)的定义域、值域均为R , f (x)的反函数为f 」(x),且对于任意的x R ,均有 f (x) f °(x) ：：'x ，定义数列"a *, a0 =8 , a^ 10 , a^ f (an 』(nN).25 *(I)求证：a n 「a n 「「a n (n ・ N ).2y 轴分别交于Q , R 两点，F 为焦点.积最小值，并写出(n)设0 p 1 -2a n(n N*)，求证:g ：： (-6)l_2"(n N*)；5(川)是否存在常数 A , B 同时满足条件:①当 n =0,1 时，a n ②当Aj4n - B戸；砒n +B,)an £— .如果存在，求出 2nA,B 的值，如果不存在，说明理由重庆八中高2010级高三第四次月考数学(理科)答案6.C 15 解s 鉀=尹W . C =150 , a 与b 的夹角为150故应选A. 节 耳 . 1 a —3, b — 5，…sinC ——2 ,Ob =|aib cosC <0 , C 为钝角，所以 7.A 2b 2 P由题意得 2P,c ，贝V b 2 =2ac,a 2 £2 =2a c , 1 —e 2 =2e , e 2 - 2e —1 =0，解之得 e= 2-1 . a 2 8.C 9.A JI JI y =si n 「x 的图象按向量a =( , 0平移后得y=si n ，X ) 6 6[7 1 13 J■L 7 32，所以平移后的图象表达式为 y 二sin(2x ) 12 6 2 3 解：将点P 到三个平面的距离看作一个长方体的长宽高， op 2 =k 2 (2k)2 (3k)Z =(2.14)2解之得 k=2，故应选 A. •/ x ：= R , 7( x> ：： f(0> 2 即 X :：：2 on Si"(W ，)由图可知， 而PO 为对角线，则有 10. B r f _f lim f (x) =1 , f °(x)中的 x 就是 x 厂 1 ：： x ： 2 .12 F 飞’11. 答案一提示a cos^ =f (x) 0 ,所以f (x)为增函数.对不等式f 」(x) • 0两边同时施以f 运算，得 且，又因为 f (X )二 y 中 f(x) 1y=-2的y ，所12. 由题意得： m_1兰m ，解之得m ^l2工y — x13. 作出满足条 件x ・2y 空4的区域，如图所 示，贝U r 的最小 值是点到直线y = x 的距离,y 一 -2GD=(0,-1,),设平面AGD 的一个法向量为n 二(x, y, z),则由 A^Ln =0 和 CDS =0n _x+竺 z=0 , —y_迈 z =0 ,L 2片 Z取 x =1 , y = -1 , z = J 2，所以法向量 n = (1, -1, J2), 又BE ^i,1,。

重庆市第八中^2017届高考适应性月考卷（三）理科数学第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项 是符合题目要求的.x 1 I1. 集合 P x ----------- > 0 , Q lx y v 4 x 2，则 P Q （）x 3A. 1, B . 1,2 C . 1,2 D . , 3 1,2. 下面四个条件中，使 x >y 成立的充分不必要的条件是（ ）A. 1 >1 > 0 B . x > y 1 C . x 2>y 2 D . x 3>y 3y x3.已知 f 1 log 0 x 2x 1 a > 0且 a 1 .若 f 4 3，则 a ()1 A. 1 B .2 C . 2 D . 22 24.已知直线 h :a1 x y 4 0与直线丨2 :2x ay 8 0平行.贝U a ()2 3 A. B .C. D .33446. 已知圆M :x 2 y 2 2ax 0 a v O 截直线x y 0所得线段的长度是 2 2，则圆M 与圆2 2N: x 2 y 1 9的位置关系是（ ）A.内切 B .相交 C.外切 D .相离7. 已知点P 0,3，抛物线C:y 2 4x 的焦点为F ,射线FP 与抛物线c 相交于点A ，与其准线相交于点 B , 则 AF : AB （）A. 3: 10 B . 1: 10 C.1:2 D . 1:31B8. ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,已知b , bsi nA a si n,则S ABC 的最大值为（ ）22A. 1 或 2 5.若向量'a2 B . C.13 4Jr aa ,'b 的夹角为（JrbA.3B .3C. 3 D . 816 243 ,3 ，则2 23 489.设f x 为R 上的奇函数，且当 x > 0 时，f1，则f 1 x >0的解集为（A.,0 1,2 B . 1,01, C.0,12,0,110.若一个几何体的三视图如图 所示，则这个几何体的外接球的表面积为（A. 34 B . 80 C. 913 3D . 11411.甲、乙、丙、丁、戊 5名学生各自在3门数学选修课：数学史、数学建模和几何画板中任选一门学习,则这三门课程都有同学选修且甲不选修几何画板的概率为（96C. 32 D . 100 125 81 243xe x sin x ，则方程xf x f x 在区间 2014,2016上的所有实根之和为（第H 卷（共90分）y21 a >0,b >0的左、右焦点分别为 R ，F 2，A ，B 是C 左支上两点且AF 1 bABF 2 90，则双曲线 C 的离心率为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分)已知S n 为数列a n 的前n 项和，且满足a 1 , S n 1 4S .1 .(1)求数列a n 的通项公式； (2)求证：a 1 a 2 1川.a n 1< 2n 1 .18. (本小题满分12分)如图2，正三棱柱 ABC ABQ 中，D , E , M 分别是线段BC , C 。

2017-2018学年重庆八中高二（下）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4} C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx3．若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件4．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p5．函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．已知命题p：∃x0＞0，2x0=3，则￢p是∀x≤0，2x≠3B．“p∧q为假命题”是“p∨q为假命题”的充分不必要条件C．命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题D．命题“∀x∈R，sinx＜x”是真命题7．函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．08．已知不等式＞0的解集为（﹣1，2），则二项式（ax﹣）6展开式的常数项是（）A．5 B．﹣5 C．15 D．259．5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（）A．18种B．36种C．48种D．54种10．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，函数f（x﹣2）是奇函数，且f（4）=1，则f A．2016 B．﹣2016 C．1 D．﹣111．已知函数，且f（x）存在最大值M和最小值N，则M、N一定满足（）A．M+N=8 B．M﹣N=8 C．M+N=6 D．M﹣N=612．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=的定义域为．14．已知f（x）=，（i为虚数单位），则f（f（1﹣i））=．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（﹣2）=2，则f（4）=．16．重庆八中开设6门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从该校1468份试卷中随机抽（2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学这道题得分ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：x1+x3＞．请考生从第22～24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆八中高二（下）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4} C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}【考点】并集及其运算．【分析】由A与B交集的元素为4，得到4属于A且属于B，得到a2=4，求出a的值，确定出A与B，即可确定出两集合的并集．【解答】解：∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，∴a2=4，解得：a=2或a=﹣2，当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；当a=﹣2时，A={﹣2，4}，B={2，4}，则A∪B={﹣2，2，4}．故选：C2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D3．若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”．由奇函数的定义可知f（0）=﹣f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0．【解答】解：若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”．由奇函数的定义可知f（0）=﹣f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0．∴若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的必要非充分条件．故选B．4．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），P （ξ＞1）=p ，则P （﹣1＜ξ＜0）等于（ ）A ． pB ．1﹣pC ．1﹣2pD ．﹣p【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N （0，1），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P （ξ＞1）=p ，即可求出P （﹣1＜ξ＜0）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，1）， ∴正态曲线关于ξ=0对称， ∵P （ξ＞1）=p ， ∴P （ξ＜﹣1）=p ，∴P （﹣1＜ξ＜0）=﹣p ． 故选：D ．5．函数y=lncosx （）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决． 【解答】解：∵cos （﹣x ）=cosx ，∴是偶函数，可排除B 、D ，由cosx ≤1⇒lncosx ≤0排除C ， 故选A ．6．下列说法正确的是（ ）A ．已知命题p ：∃x 0＞0，2x0=3，则￢p 是∀x ≤0，2x ≠3B ．“p ∧q 为假命题”是“p ∨q 为假命题”的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈（0，1），lnx +x 2=0”是真命题D ．命题“∀x ∈R ，sinx ＜x ”是真命题 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出特称命题的否定判断A；由复合命题的真假判断判断B；利用函数零点判定定理判断C；举例说明D错误．【解答】解：命题p：∃x0＞0，2x0=3，则￢p是∀x＞0，2x≠3，故A错误；由p∧q为假命题，可知p、q中至少一个为假命题，则p∨q可能为真命题；反之，p∨q为假命题，可知p、q均为假命题，则p∧q为假命题．∴“p∧q为假命题”是“p∨q为假命题”的必要不充分条件，故B错误；令f（x）=lnx+x2，f′（x）=＞0在（0，1）上恒成立，f（x）=lnx+x2在（0，1）上为增函数，又f（1）=1＞0，当x＞0且趋于0时，f（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上有零点，即命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题，故C正确；当x=0时，sin0=0，∴命题“∀x∈R，sinx＜x”是假命题，故D错误．故选：C．7．函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．0【考点】二次函数的性质．【分析】当m=﹣1时，f（x）=﹣1，与x轴没有交点，当m≠﹣1时，△=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得即可．【解答】解：∵函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴只有一个交点，当m=﹣1时，f（x）=﹣1，与x轴没有交点，当m≠﹣1时，△=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得，m=﹣2，故选：C．8．已知不等式＞0的解集为（﹣1，2），则二项式（ax﹣）6展开式的常数项是（）A．5 B．﹣5 C．15 D．25【考点】二项式定理．【分析】由条件解分式不等式求出a的值，再根据二项展开式的通项公式，令x的系数等于零求出r的值，可得展开式的常数项．【解答】解：不等式＞0，即0，根据它的解集为（﹣1，2），可得=﹣1，a=﹣1．=•x6﹣3r，二项式（ax﹣）6=（﹣x﹣）6=（x+）6的展开式式的通项公式为T r+1令6﹣3r=0，求得r=2，可得展开式的常数项是=15，故选：C．9．5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（）A．18种B．36种C．48种D．54种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分类讨论，利用排列知识求解即可．【解答】解：若甲排在第一位，则乙可能排在第三、四或五位有3种可能，其余三人任意排列，有3A33种排列；若甲排在第二位，则乙可能排在第四或五位有2种可能，其余三人任意排列，有2A33种排列；若甲排在第三位，则乙可能排在第一或五位有2种可能，其余三人任意排列，有2A33种排列；若甲排在第四位，则乙可能排在第一或二位有2种可能，其余三人任意排列，有2A33种排列．综上可得，满足条件的所有不同的排列有（3+3×2）A33=54种，故选：D．10．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，函数f（x﹣2）是奇函数，且f（4）=1，则f A．2016 B．﹣2016 C．1 D．﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，从而求出函数值即可．【解答】解：∵f（x﹣2）为奇函数，∴f（x﹣2）=﹣f（﹣x﹣2），∴f（x+2﹣2）=﹣f[﹣（x+2）﹣2]，∴f（x）=﹣f（﹣x﹣4），∴f（x﹣4）=﹣f[﹣（x﹣4）﹣4]，∴f（x﹣4）=﹣f（﹣x），∴f（x﹣4）=﹣f（x），而f（x）是偶函数，∴f（x﹣4﹣4）=﹣f（x﹣4），∴f（x﹣8）=﹣[﹣f（x）]，∴f（x﹣8）=f（x），∴周期为8，∴f=f（﹣8）=﹣f（4）=﹣1，故选：D．11．已知函数，且f（x）存在最大值M和最小值N，则M、N一定满足（）A．M+N=8 B．M﹣N=8 C．M+N=6 D．M﹣N=6【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由已知中函数的解析式，可以判断出函数的单调性，进而得到f（x）的最大值M和最小值N，进而得到答案．【解答】解：∵函数为增函数故M==+cos1N==﹣cos1故M+N=6故选C12．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为（0，）．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=的定义域为[3，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据使函数f（x）=的解析式有意义，得到不等式组：，解得答案．【解答】解：若使函数f（x）=的解析式有意义，自变量x须满足：，解得：x∈[3，+∞），故函数f（x）=的定义域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）14．已知f（x）=，（i为虚数单位），则f（f（1﹣i））=3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用分段函数值的求法结合复数代数形式的乘除运算得答案．【解答】解：由f（x）=，得f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2，∴f（f（1﹣i））=f（2）=1+2=3．故答案为：3．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（﹣2）=2，则f（4）=20．【考点】抽象函数及其应用．【分析】观察题设条件，可先令x=y=0求出f（0），再令x=2，y=﹣2，求出f（2）的值，即可得出结论．【解答】解：由题意令x=y=0，则有f（0）+f（0）=f（0），故得f（0）=0令x=2，y=﹣2，则有f（﹣2）+f（2）﹣8=f（0）=0，又f（﹣2）=2∴f（2）=6，∴f（4）=f（2）+f（2）+2×2×2=20．故答案为：20．16．重庆八中开设6门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有1290．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，若都选1门，有A63=120种；若有1人选2门，则有=540种，若有2人选2门，则有=540种，若有3人选2门，则有=90种，故共有120+540+540+90=1290种，故答案为：1290．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求{b n}的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q由=54，得，从而q=3因此又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，∴a2=8从而d=a2﹣a1=6，故a n=a1+（n﹣1）•6=6n﹣4（2）令两式相减得=﹣（3n﹣2）•3n=∴，又．18．某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从该校1468份试卷中随机抽（）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计该校高三学生该题的平均分．（2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学这道题得分ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）用每一空的得分乘以得分人数作和，然后除以总人数得答案；（2）由图表分别求出两空答对的概率，进一步求得得分分别为0、2、3、5的概率，列出分布列，再由期望公式求得期望．【解答】解：（1）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得：，据此可估计该校高三学生该题的平均分为3.0；（2）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，P（ξ=0）=（1﹣0.8）（1﹣0.3）=0.14，P（ξ=2）=（1﹣0.8）0.3=0.14，P（ξ=3）=0.8（1﹣0.3）=0.56，P（ξ=5）=0.8•0.3=0.24．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质．【分析】（1）由，得，从而有a+c=5（a﹣c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．【解答】解：（1）∵，∴．∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，故椭圆E的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．21．已知函数f（x）=（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：x1+x3＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数不等式求单调区间．（Ⅱ）利用导数结合函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，构造函数，利用单调性去判断．【解答】解：（Ⅰ）f'x=0减极小值，；增区间为（Ⅱ）由题，对于函数，有∴函数h（x）在上单调递减，在上单调递增∵函数f（x）有3个极值点x1＜x2＜x3，从而，所以，当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a﹣1＜0，∴函数f（x）的递增区间有（x1，a）和（x3，+∞），递减区间有（0，x1），（a，1），（1，x3），此时，函数f（x）有3个极值点，且x2=a；∴当0＜a＜1时，x1，x3是函数的两个零点，﹣﹣﹣﹣即有，消去a有2x1lnx1﹣x1=2x3lnx3﹣x3令g（x）=2xlnx﹣x，g'（x）=2lnx+1有零点，且∴函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增要证明⇔⇔因为g（x1）=g（x3），所以即证构造函数，则只需要证明单调递减即可．而，，所F′（x）在上单调递增，所以F′（x）＜F′（）=0．∴当0＜a＜1时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生从第22～24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的普通方程；直接消掉参数t可得直线l 的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得关于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，得|MN|2=|PM||PN|，变形后代入韦达定理可得a的方程．【解答】解：（1）由ρsin2θ=2acosθ，得ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，由消掉t，得y=x﹣2，所以曲线C和直线l的普通方程分别为：y2=2ax，y=x﹣2；（2）把直线l的参数方程代入y2=2ax，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0，设点M，N分别对应参数t1，t2，则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a），因为|MN|2=|PM||PN|，所以（t1﹣t2）2=（t1+t2）2﹣4t1t2=t1t2，即8（4+a）2=5×8（4+a），解得a=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（I）．…当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．…综上，所求不等式的解集为．…（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}．…2016年11月24日。

2020届重庆市直属校（重庆市八中）2017级高三下学期3月月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1.设集合A＝{x|x2＜9},B＝{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B＝（）A. {0,1,2}B. {﹣1,0,1,2}C. {﹣2,﹣1,0,1,2}D. {﹣2,﹣1,0}【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合A,由此求得两个集合的交集.【详解】∵A＝{x|﹣3＜x＜3},B＝{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∩B＝{﹣2,﹣1,0,1,2}.故选：C.2.设（1+i）（a+bi）＝2,其中a,b是实数,i为虚数单位,则|3a+bi|＝（）A. 2 C.【答案】D【解析】利用复数除法运算化简已知条件,根据复数相等的知识求得,a b,由此求得3a bi+,进而求得3a bi+.【详解】由题意可知：211a bi ii+==-+,∴a＝1,b＝﹣1,∴3a+bi＝3﹣i,∴|3a+bi|＝|3﹣i|=故选：D.3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,a1＝2,a3＝2a2+16,则log2a9＝（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C【解析】 将已知条件转化为1,a q 的形式,由此求得q ,进而求得9a 以及29log a 的值.【详解】∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1＝2,a 3＝2a 2+16, ∴2q 2＝2×2q +16,且q ＞0,解得q ＝4,∴log 2a 98224log =⨯=17.故选：C .4.若实数x ,y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则z ＝x +y 的最小值为（ ）A. ﹣8B. ﹣6C. 1D. 3【答案】B【解析】画出可行域,结合图像判断出z x y =+经过()4,2A --时取得最小值.【详解】由题意作平面区域如下, 由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得,A （﹣4,﹣2）,z ＝x +y 经过可行域的A 时,目标函数取得最小值. 故z ＝x +y 的最小值是﹣6,故选：B .。

重庆市第八中学2017届高考适应性月考卷（八）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{40,}A x x x x Z =-≤∈，2{,}B y y m m A ==∈，则AB =（ ）A ．{0,1,4}B ．{0,1,6}C ．{0,2,4}D ．{0,4,16} 2.若x 是实数，i 是虚数单位 ，且(1)()xi x i i +-=-，则x =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．23.已知数列{}n a 是递增的等比数列，13521a a a ++=，36a =，则579a a a ++=（ ） A ．214 B ．212C ．42D ．84 4.若圆C 与y 轴相切于点(0,1)P ，与x 轴的正半轴交于,A B 两点，且2AB =，则圆C 的标准方程是（ ）A ．22((1)2x y +++=B ．22(1)(2x y +++=C ．22((1)2x y +-=D ．22(1)(2x y -+-=5.我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中首创割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，通过逐步增加正多边形的边数而使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（数据0sin150.2588≈，0sin100.1736≈，0sin 7.50.1306≈）A ．3，3.1248，3.1320B ．3，3.1056，3.1248C ．3，3.1056，3.1320D ．3，3.1，3.1406.如图，一直角墙角的两边足够长，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和m α（010α<≤），现用12m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内（包括边界），则函数()u f a =（单位：2m ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7.若,x y 满足*22030,x y x y x y N ⎧+-≥⎪+-≤⎨⎪∈⎩，则2y x -的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．0D ．-28.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．2 B ．．2 D ．49.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的图象如图所示，将()f x 的图象向右平移m 个单位得到()g x 的图象关于y 轴对称，则正数m 的最小值为（ ）A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π10.已知三棱锥O ABC -的顶点,,A B C 都在半径为3的球面上，O 是球心，150AOB ∠=，当AOC ∆与BOC ∆的面积之和最大时，三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C ．92 D ．9411.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)P -作斜率为k (0k >)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若12AF BF=，则k =（ ）A ．23B C ．1 D ．212.设e 表示自然对数的底数，函数222()()()4e af x x a -=+-（a R ∈），若关于x 的不等式1()5f x ≤有解，则实数a 的值为（ ）A ．15 B ．14 C ．0 D ．12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(1,1)a =，(1,0)b =，则当a tb -取最小值时，实数t = ． 14.在(nx 展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ． 15.若星期一的所温为20℃，人星期二开始，每天的气温与前一天相比，仅等可能存在三种情形：“升1℃”、“持平”、“降1℃”，则星期五时气温也为20℃的概率为 ． 16.已知正项数列{}n a 满足11a =，111111()()4n n n na a a a +++-=，数列{}nb 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且222()sin cos a b c C C +-=.（1）求角C ；（2）若c =2b a -的取值范围.18. 如图所示，正三角形ABC 所在平面与梯形BCDE 所在平面垂直，//BE CD ，24BE CD ==，BE BC ⊥，F 为棱AE 的中点.（1）求证：直线AB ⊥平面CDF ；（2）若异面直线BE 与AD 所成角为045，求二面角B CF D --的余弦值.19. 某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布~(110,144)X N ，现从甲校100分以上（含100分）的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析，统计如下：（注：表中试卷编号12452028n n n n n <<<<<<）（1）列出表中试卷得分为126分的试卷编号（写出具体数据）；（2）该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图6），试通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分及分散程度（均不要求计算出具体值，给出结论即可）；（3）在第（2）问的前提下，从甲乙两校这40名学生中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，该3人在全市前15名的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望. （附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()68.3%P X μσμσ-<<+=，(22)95.4%P X μσμσ-<<+=，(33)99.7%P X μσμσ-<<+=）20. 已知椭圆222:44(0)C x y m m +=>，过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是椭圆上的任意一点且直线,PA PB 与坐标轴不平行. （1）证明：直线PA 的斜率与直线PB 斜率之积为定值；（2）若,A B 不是椭圆C 的顶点，且PA AB ⊥，直线BP 与x 轴，y 轴分别交于,E F 两点. （i ）证明：直线BP 的斜率与直线AF 斜率之比为定值； （ii ）记OEF ∆的面积为OEF S ∆，求2OEFS m ∆的最大值. 21. 已知1()(1)x f x ea x -=-+（1x ≥），()(1)l n gxx x =-，其中e 为自然对数的底数.（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若在（1）的条件下，当a 取最大值时，求证：()()f x g x ≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标为2cos ρθ=，且直线3:4x m tl y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于不同两点,A B .（1）求实数m 的取值范围；（2）设点(,0)M m ，若1MA MB ∙=，求实数m 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数2()log (512)f x x x =-+--的定义域为D . （1）求集合D ；（2）设,a b D ∈，证明：33ab a b +<+重庆市第八中学2017届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{01234}{014916}A B ==，，，，，，，，，，∴{014}AB =，，，故选A ．2．2(1i)(i)2(1)i i x x x x +-=+-=-，∴0x =，故选B ． 3．由1353216a a a a ++==，得22122q q ==，（舍去），∴4579135()84a a a a a a q ++=++=，故选D ．4．设AB 中点为D ，则||||1AD CD ==，∴||1)r AC C =，故选C ． 5．当6n =时，3S =；当12n =时， 3.1056S =；当24n =时， 3.1320S =，故选C ． 6．可得36(06)(12)(610)a u a a a <<⎧=⎨-⎩，≤≤，故选B ．7．令2z y x =-，作直线:2l y x z =+，当l 过点(12)A ，时，z 取最大值0，故选C ． 8．如图1所示，该几何体的直观图为四棱锥B ACDP -，平面ABC ⊥平面ACDP ，11332322B ACDP V -⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭，故选A ．9．由图可知，41111πππ3126A T ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，，故2π2T ω==，由于π16⎛⎫⎪⎝⎭，为五点作图的第二点，则ππ262ϕ⨯+=，解得π6ϕ=，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππs i n 2c o s 236y x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()g x =，故选C ．10．设球O 的半径为R ，由21(s i n s i n )2AOC BO CS S R A O C B O C +=∠+∠△△知，当s i n =A O C ∠s i n =90B O C ∠︒时，AOC BOC S S +△△取得最大值，此时OA OC OB OC ⊥⊥，，所以OC ⊥平面AOB ，319sin 64O ABC C OAB V V R AOB --==∠=，故选D ．11．设l 方程为1x m y =-，与C ：24y x =联立得2440y m y -+=，则有44A B A B y y m y y +==，，由||1||2AF BF =得12A B y y =，解得A y =B y =1422A B k m y y ===+，故选B ． 12．设点e 22x a P a Q x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则2()||f x P Q =，记1()2g x x =及e ()2x h x =，若直线12y x m =+与函数()h x 的图象相切，则切点为102M ⎛⎫⎪⎝⎭，，点M 到直线()g x的距离为d ==，从而21()5f x d =≥，又由于1()5f x ≤有解，则1()5f x =，此时点P 坐标满足12122y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，解之得15x =，综上可得15a =，故选A ．二、填空题13．2222||()22(1)1a tb a tb t t t -=-=-+=-+，当1t =时，||a tb -取最小值．14．易知12n =，通项41212311212C C (1)(01212)rr r rr r r T xxr --+⎛==-= ⎝，，，，，当9r =时，常数项为220-．15．基本事件总数为4381=，所求基本事件数分三类：1．四个持平含有的基本事件数为1种；2．两个持平含有的基本事件数为24A 12=种；3．零个持平含有的基本事件数为24C 6=种；故答案为1981． 16．易知21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，2143n n a =-，又{}n a为正项数列，所以1n a =n b ⇒==，故2012T b b =++…20b+11)4=-++…2+=．三、解答题17.解：（Ⅰ）由余弦定理，可得2222cos a b c ab C +-=，所以2cos sin cos ab C C C，所以sin C ， 又π02C <<，所以π=3C ．（Ⅱ）由正弦定理，2sin sin sin a b cA B C====，所以2π22sin 4sin 2sin 4sin 3sin 3b a B A A A A A ⎛⎫-=-=--- ⎪⎝⎭，π23b a A ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭因为ABC △是锐角三角形，所以π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，，得ππ62A <<，所以ππ5π+236A <<，πcos 03A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2(30)b a -∈-，． 18.（1）证明：取AB 中点M ，连接MF MC ，，因为M 为AB 中点， 所以MF 平行且等于12BE ，又CD 平行且等于12BE ，所以MF平行且等于CD，所以四边形MFDC为平行四边形，所以MC FD∥；因为ABC△为正三角形，M为AB中点，所以CM AB⊥，从而DF AB⊥；又平面ABC⊥平面BCDE，CD BC⊥，平面ABC平面BCDE BC=，∴CD⊥平面ABC，∵CD AB CD DF D⊥=，，∴AB⊥平面CDF．（Ⅱ）解：异面直线BE AD，所成角即直线DA DC，所成角，则45ADC∠=︒，又90ACD∠=︒，则2AC CD==，以B为原点，建立空间直角坐标系B xyz-，如图2所示，则1 (000)(400)(01(020)22B E AC F⎛⎝⎭，，，，，，，，，，，，，132(020)2BF BC⎛⎫==⎪⎝⎭，，，，，，设平面BCF的法向量为()n x y z=，，，则n BFn BC⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即120220xy zy⎧++=⎪⎨⎪=⎩，，解得xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，，令4z=-，得(304)n=-，，，由（Ⅰ）可知AB⊥平面CDF，所以(01AB=-，，为平面CDF的一个法向量．cos AB n〈〉=，，所以二面角B CF D--的余弦值为19．解：（1）126分的试卷编号分别为48，88．（2）通过茎叶图可知：甲校学生成绩的平均分高于乙校学生成绩的平均分，甲校学生成绩比较集中，乙校学生成绩比较分散． （3）∵150.001510000=，根据正态分布可知：(74146)99.7%P X <<=， ∴199.7%(146)0.00152P X -==≥，即前15名的成绩全部在146分以上（含146分）． 根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上（含146分）的有3人，而成绩在140分以上（含140分）的有8人． ∴ξ的取值为0，1，2，3． 3538C 5(0)C 28P ξ=== 215338C C 15(1)C 28P ξ===， 125338C C 15(2)C 56P ξ===， 3338C 1(3)C 56P ξ===， 所以ξ的分布列为因此5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．证明：（1）设1122()()A x y P x y ，，，，则11()B x y --，，2221144x y m +=；2222244x y m +=， 22222221212121222221212121(44)(44)4PA PBy y y y y y m x m x k k x x x x x x x x -+----====--+-- （2）（i ）由（Ⅰ）得11AB y k x =， 又∵1AB PA k k =-，∵11PA x k y =-，∵4PA PB k k =-，∴114PB y k x =.直线BP ：11114()y y x x y x =+-，则1304E x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，1(03)F y ，， 则11111320AF y y y k x x -==--， ∴1111422PB AF k y y k x x -=÷=-. （ii ）2221111111141399993|||2|248161628OEFx y S x y x y x y m +⎛⎫=-===⎪⎝⎭△≤，298OEF S m △≤， 当且仅当22221122m x y m ==，时取到最大值．21．（1）解：法一：分类讨论．因为1x ≥，1()e x f x a -'=-. ①当1a ≤时，1e 1x -≥，所以1()e 0x f x a -'=-≥， 故()f x 在[1)+∞，上单调递增，所以min 1()(1)1202f x f a a ==-⇒≥≤，所以1.2a ≤②当1a >时，令()01ln f x x a '=⇒=+，若(11ln )x a ∈+，，()0f x '<；若(1ln )x a ∈++∞，，()0f x '>， 所以()f x 在(11ln )a +，上单减，在(1ln )a ++∞，上单增； 所以ln min ()(1ln )e (2ln )0a f x f a a a =+=-+≥， 解得10ea <≤，此时a 无解，综上可得12a ≤．法二：分离参数．()0f x ≥恒成立1e 1x a x -⇔+≥在[1)+∞，上恒成立．令1e ()1x h x x -=+，则12e ()0(1)(1)x x h x x x -'=>+≥，所以()h x 在[1)+∞，上单增， 故min 1()(1)2h x h ==，所以1.2a ≤（2）证明：由题意可知，12a =． 要证()()f x g x ⇔≥11e (1)ln (1)2x x x x x -+--≥≥，（*） 先证明：1x ≥时，ln 1x x -≤． 令11()ln 1()1xh x x x h x x x-'=-+=-=，则． 当1x ≥时，()0h x '≤，所以()h x 在[1)+∞，上单减， 所以()(1)0h x h =≤，所以ln 1x x -≤． 所以要证明（*）式成立，只需要证明121e (1)(1)2x x x x -+--≥≥.（**） ……（8分） 令121()e (1)2x x k x x -+=---，则1113()e 2(1)e 222x x k x x x --'=---=-+， 1()e 2x k x -''=-，令()01ln 2k x x ''=⇒=+又()k x ''在[1)+∞，上单调递增，则在[11ln 2]+，上，()0k x ''≤， 在[1ln 2)++∞，，()0k x ''>．所以，()k x '在[11ln 2]+，上单减，在[1ln 2)++∞，上单增， 所以323e()(1ln 2)ln 4ln 024k x k ''+=-=>≥， 所以()k x 在[1)+∞，上单调递增，所以()(1)0k x k =≥． 所以（**）成立，也即是（＊）式成立．故()()f x g x ≥. 22．解：（1）直线l ：4()3y x m =-，曲线C ：222x y x +=，圆心(10)，．由题意知圆心到直线l的距离1d =<，解得1944m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．（2）联立直线l ：3545x m t y t ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，，与圆C ：222x y x +=，得226(1)205t m t m m ''+-+-=，所以2|2|1m m -=，解得1m =或1+1-． 综上，实数m 的值为1． 23.（1）解：|1||2|5x x ++-<，当2x ≥时，|1||2|215x x x ++-=-<，解得23x <≤， 当12x -<<时，|1||2|35x x ++-=<恒成立， 当1x -≤时，125x x ---+<，解得21x -<-≤， 综上，定义域{|23}D x x =-<<．（2）证明：原不等式22223|||9|91898118a b ab a ab b a b ab ⇔+<+⇔++<++ 22(9)(9)0a b ⇔-->．由a b D ∈，得29a <，29b <，原不等式得证．。

2010-2023历年重庆市重庆八中高三第四次月考数学理卷第1卷一.参考题库(共20题)1.若,则=" " ．2.（本小题满分12分）已知数列满足递推式：（1）若的通项公式；（2）求证：3.定义在上的函数满足当时，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．4.设若的最小值为（）A．4 B．8 C．1 D ．5.（本小题满分13分）设的内角的对边分别为，且，,求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值．6.（本小题满分13分）已知向量（其中）．设,且的最小正周期为．（1）求;（2）若,求的值域．[来源:ZXXK]7.（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设．如果对任意，，求的取值范围。

8.已知集合,集合,则= （）A．B．C．D．9.等差数列满足:,则= （）A．B．0C．1D．210.（本小题满分12分）设数列的前项和为（1）求数列的通项公式（2）是否存在正整数使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由．11.设若对于任意总存在使得成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.在且成等差数列。

则的范围是13.已知函数，在点处连续，则14.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（）A．B．C．D．15.、为非零向量。

“”是“函数为一次函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.（本小题满分13分）已知函数有两个实根为。

（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式17.若,且,则锐角= （）A．B．C．D．18.给出下列四个命题：①若成立，则②若则③已知与的夹角为则在上的投影为3；④已知在处取得最小值，则其中正确命题的序号是_________________．（把你认为正确的命题的序号都填上）19.知,与的夹角为,如下图所示,若,,且为的中点,则= （）A．B．C．D．20.设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：2.参考答案：（1）（2）略3.参考答案：B4.参考答案：A本题主要考查的是等比中项与均值不等式。

重庆八中高2014级高三上学期第四次月考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150 分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1.向量(1,)a x =r ，(2,1)b =-r ，若a b ⊥r r ，则a =rB. 5C. 3D. 2 2. 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如右图．则这10天甲加工零件的平均数及乙加工零件的中位数分别为 A.23,24 B.24,24 C.24,23 D.23,233.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，若()()P a b P a b ξξ>+=<-，则a = A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.设{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列，则41a a =A ．3B ．4C ．6D ．75.设圆()11:221=+-y x C 与圆()()222:321C x y -+-=，点P 为一动点，由点P 作圆1C 与圆2C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ．若PA PB=，则点P 的轨迹方程为A ．03=-+y xB ．03=++y xC ．03=+-y xD ．03=--y x 6. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．83207. 设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z abx y =+8，则()()2210ab a b +-+的最小值为A ．32-B ．33-C ．34-D ．35- 8. 运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是A ．42011B ．42013C ．22011D ．220139. 已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈，把使得乘积123na a a a ⋅⋅⋅⋅⋅为整数的n 叫做“成功数”，则区间(1,2013)内所有成功数的和为 A ．1024 B ．2003 C ．2026 D ．2048 10. 设定义在()1,e 上函数()f x =()a R ∈．若曲线1cos y x =+上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是A ．[]1,2ln 2-+B ．(]02ln 2+，C ．)21,1e e ⎡--+⎣D ．()20,1e e -+第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）11. 复数3+1iz i =-（i 为虚数单位）的虚部为________．12. 在区间[]1,1-上随机取一个数x ，则cos2xπ的值介于0与12之间的概率为_____．13. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是_____．考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14. 如图，圆O 的半径为1，直线AB 与圆O 相切于点B ，且（第8题）AB =AO 并延长交圆O 于D C 、两点，则ABC Δ的面积为 _______．15.直线2x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos a ρθ=（θ为参数且0a >）相切，则=a ______．16.若不等式2121x x a a -+-≤++的解集为x ∈∅，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）已知函数()25sin cos f x x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间，并求出()f x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．18. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ．19. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 2a C c b-=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2AB AC +=u u u r u u u r，求ABC ∆面积的最大值．20. （本题共12分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问6分）已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+，0>a ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()2132y f x a a=++的图象与x 轴有3个不同的交点，求a 的取值范围．21. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点M，且左焦点为1(F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．证明：点Q 总在某定直线上．22. （本题共12分，第（Ⅰ）问4分, 第（Ⅱ）问8分） 已知曲线()22:20,1,2,n C x nx y n N n -+=∈=L ．从点()1,0P -向曲线nC 引斜率为(0)n n k k >的切线nl ，切点为(),n n n P x y ．（Ⅰ）求数列{}{}n n x y ，的通项公式；（Ⅱ）证明：13521nn nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<L ．重庆八中高2014级高三上学期第四次月考 数学（理科） 参考答案二、填空题11. 2 12. 13 13.[)2,+∞14.34 15. 1 16. ()1,0-三、解答题17. （Ⅰ）235cos35cossin5)(2+-=xxxxfΘ51cos2535sin253sin253cos25(sin2cos cos2sin) 222233xx x x x xππ+=-+=-=-)32sin(5π-=x∴最小正周期T=ππ=22（Ⅱ）由πππππkxk223222+≤-≤+-得5()1212k x k k Zππππ-+≤≤+∈)(xf∴的递增区间是)](125,12[Zkkk∈++-ππππ536xππ≤≤Q42333xπππ∴≤-≤min max53(),() 5.2f x f x∴=-=19. （Ⅰ）11cos sin cos sin sin 22a C c b A C C B-=⇒-=112sin cos sin sin()sin cos cos sin cos 223A C C A C A C A C A A π⇒-=+=+⇒=-⇒=（Ⅱ）将2AB AC +=u u u r u u u r 两边平方可得：4cos 222=++A bc b c ，即422=-+bc c b ，由均值不等式，bc bc c b 2422≥+=+，则4≤bc ，所以343sin 21≤==∆bc A bc S ABC ，当且仅当c b =时，取到最大值3.20. （Ⅰ）x x a x x a x a x a x x a x f ))(()()()(1112--=++-=+-+='当1>a 时，)(x f 在),(10和),(+∞a 上单增，在),(a 1上单减. 当1=a 时， )(x f 在),(+∞0上单增.当10<<a 时，)(x f 在),(a 0和),(+∞1上单增，在),(1a 上单减；（Ⅱ）令aa x a x x a a a x f x g 321121321222+++-+=++=)(ln )()( 则)()(x f x g '=' 当1>a 时，01>)(g 且0<)(a g 即0212212>-+a a 且02<+a a a ln ，显然无解；当1=a 时，)(x g 在),(+∞0上单增，显然不满足题意；当10<<a 时，0>)(a g 且01<)(g 即21e a >且5252+-<<--a ，2512-<<∴a e综上， 2512-<<a e ．21. （Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）方法一：设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。