2018学年湘教版数学选修2-2章末检测4导数及其应用

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4。

4 生活中的优化问题举例一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（）A．4 B．6 C．4。

5 D．8答案A解析设底面边长为x,高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256 x2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·错误!＝x2＋错误!，∴S′(x)＝2x－4×256x2。

令S′(x）＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0)．已知贷款的利率为0。

0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈（0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( ) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0。

024 3 D．0。

048 6答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6）．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3（0<x〈0。

048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.令y′＝0,得x＝0.032 4或x＝0（舍去）．当0〈x〈0.032 4时，y′>0；当0。

章末综合检测(一)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各式正确的是( ) A ．(sin α)′＝cos α(α为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－15x －6解析：选C.由导数的运算法则易得，注意A 选项中的α为常数，所以(sin α)′＝0. 2．与曲线y ＝1e x 2相切于P (e ，e)处的切线方程是(其中e 是自然对数的底)( )A ．y ＝e x －2B ．y ＝e x ＋2C ．y ＝2x ＋eD ．y ＝2x －e解析：选D.因为y ′＝(1e x 2)′＝2e x ，故曲线在P (e ，e)处切线斜率k ＝f ′(e)＝2， 所以切线方程为y －e ＝2(x －e)， 即y ＝2x －e.3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．ln 2C ．ln 22D ．e解析：选D.f ′(x )＝x ·(ln x )′＋(x )′·ln x ＝1＋ln x . 所以f ′(x 0)＝1＋1n x 0＝2，所以ln x 0＝1，所以x 0＝e. 4．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，所以x >12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．5．若甲的运动方程为s 1(t )＝e t－1，乙的运动方程为s 2(t )＝e t ，则当甲、乙的瞬时速度相等时，t 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.需先求甲、乙的瞬时速度，即先求s 1(t )、s 2(t )的导数，s 1′(t )＝e t，s 2′(t )＝e ，即e t＝e ，所以t ＝1.6．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值解析：选C.在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．7．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a ，2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D ．－12或－32解析：选C.y ′＝－2x －2，令y ′＝0，解得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a ，2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 8．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2.当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点．故选D.9．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝21解析：选 A.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当相应一元二次方程的根的判别式Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，此时函数f (x )不存在极值点．故选A.10．已知a ＜0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选B.f ′(x )＝3ax 2＋12ax，所以f ′(1)＝3a ＋12a≥－12，即a ＋4a ≥－4，又a ＜0，有a ＋4a≤－4，所以a ＋4a＝－4，故a ＝－2.11．已知a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ln 22B ．－ln 2C ．ln 22D ．ln 2解析：选D.由题可知f ′(x )＝e x－a e －x，因为f ′(x )是奇函数，且f ′(x )的定义域为R ，所以f ′(0)＝0，即1－a ＝0，得a ＝1， 所以f ′(x )＝e x －e －x.设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0－e －x＝32， 即2e2 x 0－3e x0＝2，解得e x 0＝2或e x0＝－12(舍去)，所以x 0＝ln 2.12．已知函数y ＝f (x )对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D ．f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：选D.设g (x )＝f （x ）cos x， 则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x cos 2x .因为y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，所以g ′(x )>0在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立， 所以g (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数， 所以g (0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x <0时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.故当x ＝2时取得极小值．答案：214．已知f (x )＝(2x －x 2)e x，给出以下四个结论： ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值； ④f (x )有最大值，没有最小值． 其中判断正确的是________． 解析：f (x )>0⇔2x －x 2>0⇔0<x <2， 所以①正确． 由f (x )＝(2x －x 2)e x， 得到f ′(x )＝(2－x 2)e x，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－2，x 2＝2，因为在(－∞，－2)和(2，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )单调递减；在(－2，2)上f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (－2)是极小值，f (2)是极大值，故②正确； 由题意知，f (2)为最大值，且无最小值，故③错误，④正确． 答案：①②④15．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析：由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1(舍去)或x ＝40.当0<x <40时，y ′<0；当x >40时，y ′>0， 所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案：4016．曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．解析：y ＝x 3在点(1，1)处的切线方程为y －1＝f ′(1)(x －1)， 即y ＝3x －2. 作图可知S △ABC ＝12|AB |·|BC |＝12×(2－23)×4＝83. 答案：83三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1，2)处的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝2ax －43a .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝2a －43a ＝1，f （1）＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1，2)处的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32，求函数f (x )的解析式． 解：由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，有sin x ＋x cos x >0，当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意．当a <0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内是减少的．又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a >0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )>0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增加的，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a＝1.综上所述，f (x )＝x sin x －32.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e －x＋ax . (1)已知x ＝－1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)若a ＝1，求函数f (x )的极值．解：(1)由f (x )＝e －x＋ax ，得f ′(x )＝－e －x ＋a ， 因为x ＝－1是函数f (x )的极值点， 所以f ′(－1)＝－e ＋a ＝0， 解得a ＝e ，经检验a ＝e 符合条件．(2)令f ′(x )＝－e －x ＋1＝0，得：x ＝0， 列表如下，当x ＝020．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －e －x. (1)证明：f (x )的导数f ′(x )≥2；(2)若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋e －x ，由基本不等式得e x ＋e －x ≥2e x ·e －x＝2，故f ′(x )≥2，当且仅当x ＝0时等号成立，即f ′(x )＝2.(2)令g (x )＝f (x )－ax ＝e x －e －x－ax (x ≥0)， 则g (0)＝0，g ′(x )＝e x ＋e －x－a . 若对∀x ≥0，都有g (x )≥0， 则需g ′(0)＝2－a ≥0，得a ≤2(a ≤2是g (x )≥0(x ≥0)恒成立的必要条件)．当a ≤2时，g ′(x )＝e x ＋e －x－a ≥2－a ≥0，因此函数g (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (0)＝0(x ≥0)恒成立．所以a 的取值范围是(－∞，2]．21．(本小题满分12分)某大型玩具生产公司的一分公司大批生产了一种新型玩具．若每件商品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，这一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司这一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司这一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )．解：(1)由题意，知分公司这一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)L ′＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0，得x ＝6＋23a 或x ＝12(舍去)．因为3≤a ≤5，所以8≤6＋23a ≤283.因为在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正变负，所以当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L 在x ＝9处取得最大值，L max ＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )；当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L 在x ＝6＋23a 处取得最大值， L max ＝4(3－13a )3；故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司这一年的利润L 最大，最大值为Q (a )＝9(6－a )万元；若92≤a ≤5，则当每件售价为(6＋23a )元时，分公司这一年的利润L 最大，最大值为Q (a )＝4(3－13a )3万元．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1，3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：当x ＝a 时，f (x )取得极小值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23上是减函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．要使f (x )＝0在[1，3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1，2)，(2，3)上各有一个实根， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）>0，f （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.。

4．5.4微积分基本定理一、基础达标1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是()①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)⎪⎪ba；②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；③它在时间段[a，b]内的位移是s＝b－an s′(ξi)；④它在时间段[a，b]内的位移是s＝⎠⎛ab s′(t)d t.A．①B．①②C．①②④D．①②③④答案 D2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是()A．F(x)＝1 3x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝13x3＋1D．F(x)＝13x3＋c(c为常数)答案 B解析若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.3.⎠⎛1(e x＋2x)d x等于() A．1 B．e－1 C．e D．e＋1答案 C解析⎠⎛1(e x＋2x)d x＝(e x＋x2)|10＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛－11f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，故选B.5．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．答案 33解析 由已知得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6．(2013·湖南)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7．已知⎠⎛－11 (x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛－11 (x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛－11 (x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛－11 (x 3＋ax )d x ＋⎠⎛－11 (3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3，①又f (t )＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t 0＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0，②由①②得a ＝－3，b ＝－9.二、能力提升 8．sin 2x2d x 等于( )A.π4 B .π2－1 C ．2 D.π－24 答案 D解析sin 2x 2d x ＝1－cos x2d x ＝＝π－24，故选D.9．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1 D. S 3＜S 2＜S 1答案 B解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x ＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x＝e 2－e ＝e(e－1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3|＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛a1b x d x ＝13a ＋12b ＝176.由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝513a ＋12b ＝176，得⎩⎨⎧a ＝4b ＝3.即f (x )＝4x ＋3.12．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值． 解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2. 三、探究与创新 13．求定积分|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ (x ＋a )d x ＝＝7a －72.(2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x＋a )]d x ＋(x ＋a )d x＝a 22－4a ＋8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a22＋3a ＋92＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ [－(x ＋a )]d x ＝＝－7a ＋72.综上，得|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72，a ≥4，a 2－a ＋252，－3＜a ＜4，－7a ＋72，a ≤－3.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°Da +bx -b-ab a45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。

第四章 导数及其应用章末质量评估(时间：120分钟 总分值：150分)一、选择题(每题5分，共50分)1．假设当lim Δx →0 f x 0－f x 0＋3Δx2Δx＝1，那么f ′(x 0)等于( )． A.32 B.23 C ．－32D ．－23解析 lim Δx →0 f x 0－f x 0＋3Δx2Δx＝－lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫fx 0＋3Δx －f x 03Δx ·32＝－32lim Δx →0 f x 0＋3Δx －f x 03Δx ＝－32f ′(x 0)．∴－32f ′(x 0)＝1，∴f ′(x 0)＝－23.答案：D2．(2021·重庆)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处切线方程为( )．A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x解析 y ′＝－3x 2＋6x ，y ′|x ＝1＝3， 切线方程为y －2＝3(x －1)， 即y ＝3x －1. 答案 A3．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，5π2 D.()2π，3π解析 y ′＝－x sin x ，当x ∈(π，2π)时，y ′＞0，那么函数y ＝x cos x －sin x 在区间(π，2π)内是增函数． 答案 B4．某汽车启动阶段路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，那么t ＝2秒时，汽车加速度是 ( )．A ．14B ．4C ．10D ．6解析 v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t .a (t )＝v ′(t )＝12t －10. ∴当t ＝2时，a (2)＝24－10＝14. 答案 A5． (1＋cos x )d x 等于( )．A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )＝π＋2.答案 D6．函数f (x )＝ln xx(0<x <10)( )．A ．在(0,10)上是增函数B ．在(0,10)上是减函数C ．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数D ．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数解析 由f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )>0，得0<x <e ； 令f ′(x )<0，得e<x <10. 答案 C7．函数f (x )图象如下图，以下数值排序正确是( )．A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f (3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析 f ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上点切线斜率，f (3)－f (2)＝f 3－f 23－2，∴f (3)－f (2)为图象上x 为2与3对应两点连线斜率，所以选B. 答案：B8．直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，那么a 值为 ( )．A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln x 0＋a由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2，选B. 答案 B9．f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值与极小值，那么a 取值范围为A ．－1＜a ＜2B ．－3＜a ＜6C ．a ＜－1或a ＞2D ．a ＜－3或a ＞6解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ＞0，即4a 2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0，解得a ＞6或a ＜－3. 答案 D10．(2021·全国)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处切线与直线y ＝0与y ＝x 围成三角形面积为 ( )．A.13B.12C.23D ．1解析 y ′＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2.∴切线方程为y －2＝－2(x －0)，即2x ＋y －2＝0.它与y ＝x 交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23， 所以面积S ＝12×1×23＝13.答案 A二、填空题(每题5分，共25分)11．假设⎠⎜⎛eb2x d x ＝6，那么b ＝________. 解析 ⎠⎜⎛eb 2xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪be ＝2ln b －2＝6.∴ln b ＝4，∴b ＝e 4. 答案 e 412．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处切线平行直线方程是________．解析 易求y ′＝6x －4，y ′|x ＝1＝2. ∴所求直线斜率k ＝2.∴所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 答案 2x －y ＋4＝013．要做一个底面为长方形带盖箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，那么它长为______，宽为______，高为______时，可使外表积最小．解析 设两边分别为x cm 、2x cm ，高为y cm. V ＝2x 2y ＝72，y ＝722x2，s ＝2(2x 2＋2xy ＋xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x.s ′＝8x －216x2，令s ′＝0，解得x ＝3.答案 3 m 6m 32m14．设函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，假设对任意x ∈[－1,2]有f (x )<m成立，那么实数m 取值范围是________．解析 由题意知m 大于f (x )在x ∈[－1,2]上最大值，求得f (x )max ＝f (2)＝7，所以m >7. 答案 m >715．假设曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴切线，那么实数a 取值范围是________．解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴切线，∴f ′(x )＝0有解，即3ax 2＋1x ＝0有解，∴3a ＝－1x3，而x >0，∴a ∈(－∞，0)．答案 (－∞，0)三、解答题(本大题共6小题，总分值75分)16．(本小题总分值13分)函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在点x ＝1处有极小值－1.(1)求a 、b ；(2)求f (x )单调区间． 解 (1)由，可得f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，①又f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ， ∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－12.(2)由(1)得函数解析式为f (x )＝x 3－x 2－x . 由此得f ′(x )＝3x 2－2x －1. 根据二次函数性质，当x <－13或x >1时，f ′(x )>0；当－13<x <1时，f ′(x )<0.因此，在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－13与(1，＋∞)上，函数f (x )为增函数； 在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13，1上，函数f (x )为减函数． 17．(本小题总分值13分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )表达式；(2)求y ＝f (x )图象与两坐标轴所围成图形面积．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，那么f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎜⎛－10 (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13.18．(本小题总分值 13分)一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如下图，求该物体在12 s ～6 s 间运动路程．解v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤12，1<t ≤313t ＋1，3<t ≤6由变速直线运动路程公式，可得s ＝⎠⎛612v (t )d t ＝⎠⎛1122t d t ＋⎠⎜⎛132d t ＋⎠⎜⎛36⎝⎛⎭⎪⎪⎫13t ＋1d t＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t ⎪⎪⎪ 31＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16t 2＋t ⎪⎪⎪63＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间运动路程是494m.19．(本小题总分值12分)(2021·浙江文)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.①求f (x )单调区间；②求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解 ①f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a >0，∴由f ′(x )>0知0<x <a ，由f ′(x )<0知x >a .所以，f (x )增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． ②由题意知f (1)＝a －1≥e－1， 即a ≥e.由①知f (x )在[1，e]内递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －1≥e－1，fe＝a 2－e 2＋a e≤e 2，∴a ＝e.20．(本小题总分值12分)函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率； (2)当a ≠23时，求函数f (x )单调区间与极值．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率为3e. (2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．①假设a >23，那么－2a <ax 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：a －2)内是减函数．函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a . 函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.②假设a <23，那么－2a >ax 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：－2a )内是减函数．函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .21．(本小题总分值12分)(2021·辽宁)设f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过点P (1,0)，且在P 点处切线斜率为2.①求a ，b 值； ②证明：f (x )≤2x －2.①解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0，f ′1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝3.②证明 由①知f (x )＝x －x 2＋3ln x .f (x )定义域为(0，＋∞)．设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 那么g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －12x ＋3x.由g ′(x )>0知0<x <1， 由g ′(x )<0知x >1.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 所以g (x )在(0，＋∞)上最大值为g (1)＝0， 所以g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。

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第四章导数及其应用章末检测一、选择题1．（2013·广东改编)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直,则切线l的方程为（)A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0答案D解析y′＝4x,设切点M（x0,y0),∴k＝4x0。

又∵x＋4y－8＝0的斜率k＝－错误!,∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x错误!＝2，即切点为M(1，2），k＝4。

故切线l的1方程为y－2＝4（x－1），即4x－y－2＝0,故选D。

2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )A．(－∞，－1)及（0，1)B．（－1，0）及(1，＋∞)C．(－1,1)D．（－∞，－1）及(1，＋∞)答案A解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′〈0得x的范围为（－∞，－1）∪（0，1),故选A。

3．一物体在变力F(x)＝5－x2（力单位：N,位移单位:m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )A.错误! JB.错误! JC。

错误! J D．2错误! J答案C解析由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°，W＝⎠⎛12(5－x 2）·cos 30°d x ＝错误!错误!（5－x 2）d x ＝错误!错误!错误!＝错误!×错误!＝错误! （J ）．4。

4．2.3 导数的运算法则一、基础达标1．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( )A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a2x 2＝x 2－a 2x2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －2.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B 解析 y ′＝cos x x ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x2＝1x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D 解析 y ′＝－4exx ＋2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′ ＝－4tt 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.答案 2解析 令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

[推荐学习]高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例基础达标湘教版选修2-24．4 生活中的优化问题举例基础达标限时20分钟1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A.3V B.32VC.34V D．23V解析设底面边长为x，则表面积S＝3 2x2＋43xV(x>0)，S′＝3x2(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝34V.答案 C2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益( )．A．0.016 B．0.032C．0.024 D．0.048解析依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x ＝0.032或x＝0(舍去)，又当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048时，y′<0，所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益．答案 B4．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.解析表面积：S＝32a2＋643a(a>0)，S′＝3a－643a2，令S′＝0，得唯一极值点，a＝364＝4.答案 45．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．答案1156．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．①求a的值；②若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解①因为x＝5时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2.②由①知，y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.∴f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．当3<x <4时，f ′(x )>0；4<x <6时，f ′(x )<0.∴f (x )在(3,4)上递增，(4,6)上递减． 当x ＝4时，f (x )取得最大值，f (4)＝42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得利润最大．综合提高 限时25分钟7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( A．60件B．80件C．100件D．120件解析设每件产品的平均费用为y，则y＝800x＋x8.y′＝－800x2＋18＝x－80x＋808x2.当x>80时，y′>0；当x<80时，y′<0.所以当x＝80时，y取得最小值．答案 B8．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )．A．1 B.1 2C.52D.22解析 |MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)，y ′＝2t －1t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t . 当0<t <22时，y ′<0；当t >22时，y ′>0. ∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22上递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上递增， ∴t ＝22时，|MN |取得最小值． 答案 D9．用总长为14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为________时容器的容积最大？解析 设容器底面的一边为x ，则另一边长为x ＋0.5，高为3.2－2x ，则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )．V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V′＝0得x＝1.∴x＝1时，V取得最大值．∴高为3.2－2×1＝1.2(m)答案 1.2 m10．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则面积之和的最小值为________．解析设前者宽为x，面积之和为y，则y＝2x·x＋15(l－6x)310(l－6x)＝10425x2－1825lx＋350l2，y′＝20825x－1825l.令y′＝0得，x＝9104l.∴y的最小值为y|x＝9104l＝3104l2.答案3 104l211．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形，斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解设包装盒的高为h cm，底面边长为acm.则a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.①S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以，当x＝15时，S取得最大值．②V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62 x(20－x)．令V′＝0得x＝0或x＝20.当0<x<20时，V′>0；当20<x<30时，V′<0.所以，当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12 .12．(创新拓展)(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；②求该容器的建造费用最小时的r.解①设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，∴l ＝V －43πr 3πr 2＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，∴43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ≥2r ， ∴0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c因此，y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2. ②由①知y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －2r 2⎝⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2， 由于c >3， ∴c －2>0.由y ′＝0得r ＝320c －2若0< 320c－2<2，即c>92时，此时0<r< 320c－2时，y′<0，320c－2<r<2时，y′>0.∴r＝320c－2时，y取得极小值．若320c－2≥2，即3<c≤92时，0<r<2时，y′<0，函数单调递减，∴r＝2时，y取得极小值．总之，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时，r＝320c－2.。

4．1.3 导数的概念和几何意义一、基础达标1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案 B2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定答案 B解析分别作出A、B两点的切线，由题图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8.答案 C4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1答案 A解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．答案33x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝limd→0Δy d＝limd→0(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，即3x－y＋1＝0.6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________．答案4x－y－5＝0解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)d＝(x＋d)2－1－(x2－1)d＝2xd＋d2d＝(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)d＝(3＋d)3－33d＝(d2＋9d＋27)＝27，∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x答案 A解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)Δx＝－Δx2＋3.Δx→0时，－Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案 3解析由已知切点在切线上．∴f(1)＝12×1＋2＝5 2.切线的斜率f′(1)＝12.∴f(1)＋f′(1)＝3.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.答案1 1解析∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴－b＋1＝0，b＝1.又f(0＋Δx)－f(0)Δx＝Δx2＋aΔx＋b－bΔx＝a＋Δx，∴f′(0)＝a＝1.11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．解 设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋1.(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx ＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20，切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上，∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时，切线方程为3x －y －1＝0， 当x 0＝－12时，切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以，所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52，6)的切线方程．解 由已知得，Δyd ＝2x ＋d ， ∴当d →0时，2x ＋d →2x ， 即y ′＝2x ，设此切线过抛物线上的点(x 0，x 20)， 又因为此切线过点(52，6)和点(x 0，x 20)， 其斜率应满足x 20－6x 0－52＝2x 0， 由此x 0应满足x 20－5x 0＋6＝0.解得x 0＝2或3.即切线过抛物线y ＝x 2上的点(2,4)，(3,9)．所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)． 化简得4x －y －4＝0,6x －y －9＝0， 此即是所求的切线方程． 三、探究与创新13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。