高数 利用导数证明不等式及导数的应用
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高考中利用导数证明不等式的一些策略1与lnx分开来考虑,即将f(x)分解为两个函数的和:f(x)=lnx+2ex-1.然后分别对这两个函数求导,得到f'(x)=1/x+2ex>0,说明f(x)在定义域上单调递增,且f(0)=1,因此f(x)>1成立。
评注:对于这种需要分离成两个函数的不等式,可以先观察不等式的特征,尝试将其分解为两个函数的和或差,然后分别对这些函数求导来证明不等式。
类型三、需要构造辅助函数的不等式1.利用辅助函数构造上下界例3(2016年全国卷1第23题改编)已知a,b,c>0,证明:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9分析:将(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)展开,得到a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b+3≥9.观察不等式中的每一项,可以发现这些项都可以表示为三个数的和,因此可以构造辅助函数f(x)=ln(x)+1/x-1,然后对f(x)求导,得到f'(x)=1/x^2-1,f'(x)>0当且仅当x1,因此f(x)在(0,1)和(1,∞)上分别是减函数和增函数。
接着,将a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b分别表示为f(ab)+f(ac)+f(bc)+3,然后应用均值不等式,得到f(ab)+f(ac)+f(bc)≥3f((abc)^(2/3))=3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)-3.将此式代入原不等式中,得到3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)≥6,即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)≥2/3.再次利用辅助函数,构造g(x)=lnx+(1/3)x^(-2/3)-2/3,对其求导得到g'(x)=1/x-(2/9)x^(-5/3),g'(x)>0当且仅当x9/4,因此g(x)在(0,9/4)和(9/4,∞)上分别是减函数和增函数。
由于a,b,c>0,因此abc>0,因此可将不等式中的abc替换为x,得到g(abc)≥0,即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)-2/3≥0,即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)≥2/3,因此原不等式成立。
导数与不等式1.利用导数证明不等式利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过研究函数的性质达到证明的目的. 1.1 利用单调性证明不等式构造函数,利用函数的单调性证明不等式例1. ()(1)ln(1)f x x a x x =-++。
(Ⅰ)求()f x 的极值点;(Ⅱ)当1a =时,若方程()f x t =在1[,1]2-上有两个实数解,求实数t 的取值范围;(Ⅲ)证明:当0m n >>时,(1)(1)n m m n +<+。
例2、已知函数)()(R x xe x f x∈=-。
(1)求函数()f x 的单调区间和极值;(2)已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,证明当1x >时,()()f x g x >;(3)如果12x x ≠,且12()()f x f x =,证明122x x +>。
1.2通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中,可以依此不等式的特点构造函数,进而求函数的最值,当该函数的最大值或最小值对不等式成立时,则不等式是永远是成立的,从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来 例3.已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-(1)求函数()f x 在[,2)(0)t t t +>上的最小值; (2)对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围; (3)证明:对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln x x e ex->成立.例4、(2009辽宁卷文)设2()(1)xf x e ax x =++,且曲线y =f (x )在x =1处的切线与x 轴平行。
(1)求a 的值,并讨论f (x )的单调性;(2)证明:当[0,]f(cos )f(sin )22πθθθ∈-<时,1.3多元不等式的证明含有多元的不等式,可以通过对不等式的等价变形,通过换元法,转化为一个未知数的不等式,或可选取主元,把其中的一个未知数作为变量,其他未知数作为参数,再证明之. 例5、 已知函数()ln f x x =.若120x x >>,求证:122221212()()2f x f x xx x x x ->-+.例6、 (2013·陕西高考)已知函数f (x )=e x ,x ∈R .(1)求f (x )的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程; (2)证明:曲线y =f (x )与曲线y =12x 2+x +1有唯一的公共点;(3)设a <b ,比较f ⎝⎛⎭⎫a +b 2与f (b )-f (a )b -a 的大小,并说明理由.1.4.与数列有关的不等式证明例8.已知函数f(x)=ln(x+1)-x2-x.(1)若关于x的方程f(x)=-52x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;(2)证明:对任意的正整数n,不等式2+34+49+…+21nn+>ln(n+1)都成立.例9.已知函数f(x)=ln ax-x ax-(a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间及最值;(2)求证:对于任意正整数n,均有1+111ln23nen n⋯≥+++!(e为自然对数的底数);(3)当a=1时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数y=f(x)的图象相切?若存在,有多少条?若不存在,请说明理由.例10.已知函数f (x )=e x -kx 2,x ∈R.(1)若k =12,求证:当x ∈(0,+∞)时,f (x )>1; (2)若f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,试求k 的取值范围; (3)求证:444422221111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<e 4(n ∈N *)..2.利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁,也是高考的重点和热点问题,往往用到的方法是依据不等式的特点,等价变形,构造函数,借助图象观察,或参变分离,转化为求函数的最值问题来处理.()f x a >:min max max ()()()f x af x a f x a⇔>⎧⎪⇔>⎨⎪⇔≤⎩恒成立有解无解例11.设函数()ln f x a x =,21()2g x x =.(1)记'()g x 为()g x 的导函数,若不等式'()2()(3)()f x g x a x g x +<+-在[1,]x e ∈上有解,求实数a 的取值范围;(2)若1a =,对任意的120x x >>,不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立.求m (m Z ∈,1m ≤)的值.例12、 (2013·辽宁高考)(1)证明:当x ∈[0,1]时,22x ≤sin x ≤x ;(2)若不等式ax +x 2+x 32+2(x +2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立,求实数a 的取值范围.3.利用导数解不等式通过构造函数,利用函数的单调性得到不等式的解集.例13.若)(x f 的定义域为R ,2)(>'x f 恒成立,2)1(=-f ,则42)(+>x x f 解集( )A .(1,1)-B .(1)-+∞, C .(,1)-∞- D .(,)-∞+∞ 例14.函数f (x )的定义域是R ,f (0)=2,对任意x ∈R ,f (x )+f ′(x )>1,则不等式e x·f (x )>e x+1的解集为( ).A. {}|0x x >B. {}|0x x <C. {}|1,1x x x <->或D. {}|1,1x x x <-<或0<例15.已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)2()4(=-=f f ,)(x f '为)(x f 的导函数,且导函数)(x f y '=的图象如右图所示.则不等式1)(<x f 的解集是( )A .)0,2(- B .)4,2(- C .)4,0( D .),4()2,(+∞--∞ 例16.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且0)2(=f ,当0>x 时,有2()()0xf x f x x '-<恒成立,则不等式2()0x f x >的解集是( )A. (-2,0) ∪(2,+∞)B. (-2,0) ∪(0,2)C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-∞,-2)∪(0,2)例17.已知函数y =f (x )(x ∈R)的图象如图所示,则不等式xf ′(x )<0的解集为________. 例18、设函数()x f y =在其图像上任意一点00(,)x y 处的切线方程为()()0020063x x x x y y --=-,且()30f =,则不等式解集导数与不等式1.利用导数证明不等式在初等数学中,我们学习过好多种证明不等式的方法,比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等,有些不等式,用初等方法是很难证明的,但是如果用导数却相对容易些,利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过研究函数的性质达到证明的目的.1.2 利用单调性证明不等式构造函数,利用函数的单调性证明不等式 例1. ()(1)ln(1)f x x a x x =-++。
浅析导数在不等式证明中的应用
导数是数学中一个重要的概念,它可以证明许多数学定理,也是很多学科研究的基础。
比如,在做不等式证明时,导数会保证证明的连贯性和有效性。
误差分析和最优化问题是数学研究中常常遇到的问题,解决这些问题的关键在于找到较好的函数,以便评估结果的可靠性。
一个函数对于给定的变量可以描述为一个函数模型,那么我们可以利用导数来推测变量之间的关系,其中,导数也可以证明不等式定理。
在不等式领域,可以借助导数分析函数的变化情况,找出函数拐点或者极值,以证明不等式定理。
此外,导数也可以用来证明概率采样的中心极限定理,以及熵的最小值定理。
更重要的是,导数还有助于优化不等式的解,例如证明梯度下降优化算法最优解是全局最优解,以此来满足最优性原理要求。
总之,导数是研究数学问题中一个不可缺少的重要概念,它在不等式证明中的作用是非常重要的。
特别是,根据导数的微分性质,可以衡量函数变化的快慢,从而有效解决不等式证明问题。
导数证明不等式的方法介绍导数证明不等式的方法介绍利用导数是可以证明很多定律的,比如不等式之类的。
下面就是店铺给大家整理的利用导数证明不等式内容,希望大家喜欢。
利用导数证明不等式方法11.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)设函数f(x)=x-ln(x+1)求导,f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0所以f(x)在(1,+无穷大)上为增函数f(x)>f(1)=1-ln2>o所以x>ln(x+12..证明:a-a^2>0 其中0F(a)=a-a^2F'(a)=1-2a当00;当1/2因此,F(a)min=F(1/2)=1/4>0即有当003.x>0,证明:不等式x-x^3/6先证明sinx因为当x=0时,sinx-x=0如果当函数sinx-x在x>0是减函数,那么它一定<在0点的值0,求导数有sinx-x的导数是cosx-1因为cosx-1≤0所以sinx-x是减函数,它在0点有最大值0,知sinx再证x-x³/6对于函数x-x³/6-sinx当x=0时,它的值为0对它求导数得1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数,它在0点的值是最大值了。
利用导数证明不等式方法2要证x²/2+cosx-1>0 x>0再次用到函数关系,令x=0时,x²/2+cosx-1值为0再次对它求导数得x-sinx根据刚才证明的当x>0 sinxx²/2-cosx-1是减函数,在0点有最大值0x²/2-cosx-1<0 x>0所以x-x³/6-sinx是减函数,在0点有最大值0得x-x³/6利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0,X∈(0,1)成立令f(x)=x-x² x∈[0,1]则f'(x)=1-2x当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减故f(x)的最大值在x=1/2处取得,最小值在x=0或1处取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值为零故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中非常重要的概念,它是函数在某一点的变化率,也可理解为函数在该点的切线斜率。
在证明不等式中,有时可以通过求导来探究函数的性质,从而得到不等式。
构造函数也是证明不等式的常用技巧之一。
通过巧妙地构造函数,可以得到满足特定条件的变量之间的不等式,进而推导出原问题的不等式。
下面,我们将详细介绍导数和构造函数在证明不等式中的应用。
一、导数在证明不等式中的应用在微积分中,导数被称为函数的铁证,因为它可以准确描述出函数在某一点附近的性质。
在证明不等式时,导数也可以起到很好的作用。
1. 求导探究函数的特性如果一个函数在某一区间内是严格单调递增或严格单调递减的,那么这个函数在该区间内的大小关系也就确定了。
因此,我们可以通过求导来探究函数的单调性,进而得出函数的大小关系。
例如,我们要证明当$x>0$时,$e^x>1+x$。
此时我们可以定义函数$f(x)=e^x-(1+x)$,然后求$f(x)$的导数,即$ f'(x)=e^x-1$。
根据导数的定义可知,当$f'(x)>0$时,$f(x)$单调递增;当$f'(x)<0$时,$f(x)$单调递减。
因此,我们只需要证明在$x>0$时,$f'(x)>0$即可。
显然,$e^x>1$,因此$f'(x)=e^x-1>0$,即$f(x)$单调递增。
由于$f(0)=0$,因此当$x>0$时,$f(x)>0$,即$e^x-(1+x)>0$,也就是$e^x>1+x$。
2. 利用中值定理证明不等式中值定理是微积分中的一个重要定理,它表明如果一个函数在某一区间内满足一定的条件,那么这个函数在该区间内至少有一点的导数等于这一区间的函数增量的比率。
在证明不等式时,我们可以用中值定理来探究函数的性质。
$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1}{x}$$可以发现,$f'(x)<0$当且仅当$x>\sqrt{2}$,因此我们只需要证明当$x>\sqrt{2}$时,$f(x)>0$。
第四节 利用导数证明不等式考点1 单变量不等式的证明 单变量不等式的证明方法(1)移项法:证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))的问题转化为证明f (x )-g (x )>0(f (x )-g (x )<0),进而构造辅助函数h (x )=f (x )-g (x );(2)构造“形似〞函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构〞构造辅助函数;(3)最值法:欲证f (x )<g (x ),有时可以证明f (x )max <g (x )min .直接将不等式转化为函数的最值问题 函数f (x )=ln x +ax 2+(2a +1)x .(1)讨论f (x )的单调性;(2)当a <0时,证明f (x )≤-34a-2.[解] (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x+2ax +2a +1=〔x +1〕〔2ax +1〕x.当a ≥0,那么当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增. 当a <0,那么当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12a 时,f ′(x )>0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a ,+∞时,f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a ,+∞上单调递减.(2)证明:由(1)知,当a <0时,f (x )在x =-12a 取得最大值,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a -1-14a.所以f (x )≤-34a -2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a -1-14a ≤-34a -2,即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a +12a+1≤0.设g (x )=ln x -x +1,那么g ′(x )=1x-1.当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x =1时,g (x )取得最大值,最大值为g (1)=0.所以当x >0时,g (x )≤0.从而当a <0时,ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a +12a+1≤0,即f (x )≤-34a-2. 将不等式转化为函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f (x )≤f (x )max 或f (x )≥f (x )min 直接证得不等式.转化为两个函数的最值进行比较f (x )=x ln x .(1)求函数f (x )在[t ,t +2](t >0)上的最小值; (2)证明:对一切x ∈(0,+∞),都有ln x >1e x -2e x 成立.[解] (1)由f (x )=x ln x ,x >0,得f ′(x )=ln x +1, 令f ′(x )=0,得x =1e.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. ①当0<t <1e <t +2,即0<t <1e时,f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e=-1e; ②当1e ≤t <t +2,即t ≥1e时,f (x )在[t ,t +2]上单调递增,f (x )min =f (t )=t ln t .所以f (x )min=⎩⎪⎨⎪⎧-1e ,0<t <1e ,t ln t ,t ≥1e.(2)证明:问题等价于证明x ln x >x e x -2e(x ∈(0,+∞)).由(1)可知f (x )=x ln x (x ∈(0,+∞))的最小值是-1e,当且仅当x =1e时取到.设m (x )=x e x -2e(x ∈(0,+∞)),那么m ′(x )=1-xex ,由m ′(x )<0得x >1时,m (x )为减函数, 由m ′(x )>0得0<x <1时,m (x )为增函数, 易知m (x )max =m (1)=-1e,当且仅当x =1时取到.从而对一切x ∈(0,+∞),x ln x ≥-1e ≥x e x -2e ,两个等号不同时取到,即证对一切x ∈(0,+∞)都有ln x >1e x -2e x成立.在证明的不等式中,假设对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题,可以借助两个函数的最值进行证明.构造函数证明不等式函数f (x )=e x -3x +3a (e 为自然对数的底数,a ∈R ).(1)求f (x )的单调区间与极值;(2)求证:当a >ln 3e ,且x >0时,e xx >32x +1x-3a .[解] (1)由f (x )=e x-3x +3a ,x ∈R ,知f ′(x )=e x-3,x ∈R . 令f ′(x )=0,得x =ln 3,于是当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:x (-∞,ln 3)ln 3 (ln 3,+∞)f ′(x ) - 0 + f (x )↘极小值↗故f (x )单调递增区间是[ln 3,+∞),f (x )在x =ln 3处取得极小值,极小值为f (ln 3)=e ln 3-3ln 3+3a =3(1-ln 3+a ).无极大值.(2)证明:待证不等式等价于e x>32x 2-3ax +1,设g (x )=e x-32x 2+3ax -1,x >0,于是g ′(x )=e x-3x +3a ,x >0.由(1)及a >ln 3e =ln 3-1知:g ′(x )的最小值为g ′(ln 3)=3(1-ln 3+a )>0.于是对任意x >0,都有g ′(x )>0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递增. 于是当a >ln 3e =ln 3-1时,对任意x ∈(0,+∞),都有g (x )>g (0).而g (0)=0,从而对任意x ∈(0,+∞),g (x )>0. 即e x>32x 2-3ax +1,故e xx >32x +1x-3a .假设证明f (x )>g (x ),x ∈(a ,b ),可以构造函数h (x )=f (x )-g (x ),如果能证明h (x )在(a ,b )上的最小值大于0,即可证明f (x )>g (x ),x ∈(a ,b ).函数f (x )=a e x-b ln x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1e -1x +1.(1)求a ,b ; (2)证明:f (x )>0.[解] (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).f ′(x )=a e x -b x ,由题意得f (1)=1e ,f ′(1)=1e-1,所以⎩⎪⎨⎪⎧a e =1e,a e -b =1e-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1e2,b =1.(2)证明:由(1)知f (x )=1e 2·e x-ln x .因为f ′(x )=ex -2-1x在(0,+∞)上单调递增,又f ′(1)<0,f ′(2)>0,所以f ′(x )=0在(0,+∞)上有唯一实根x 0,且x 0∈(1,2).当x ∈(0,x 0)时,f ′(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0,从而当x =x 0时,f (x )取极小值,也是最小值. 由f ′(x 0)=0,得e x 0-2=1x 0,那么x 0-2=-ln x 0.故f (x )≥f (x 0)=e x 0-2-ln x 0=1x 0+x 0-2>21x 0·x 0-2=0,所以f (x )>0.考点2 双变量不等式的证明破解含双参不等式证明题的3个关键点(1)转化,即由条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.(2)巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.(3)回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.函数f (x )=ln x -ax (x >0),a 为常数,假设函数f (x )有两个零点x 1,x 2(x 1≠x 2).求证:x 1x 2>e 2.[证明] 不妨设x 1>x 2>0, 因为ln x 1-ax 1=0,ln x 2-ax 2=0,所以ln x 1+ln x 2=a (x 1+x 2),ln x 1-ln x 2=a (x 1-x 2),所以ln x 1-ln x 2x 1-x 2=a ,欲证x 1x 2>e 2,即证ln x 1+ln x 2>2. 因为ln x 1+ln x 2=a (x 1+x 2),所以即证a >2x 1+x 2, 所以原问题等价于证明ln x 1-ln x 2x 1-x 2>2x 1+x 2,即ln x 1x 2>2〔x 1-x 2〕x 1+x 2,令c =x 1x 2(c >1),那么不等式变为ln c >2〔c -1〕c +1.令h (c )=ln c -2〔c -1〕c +1,c >1,所以h ′(c )=1c -4〔c +1〕2=〔c -1〕2c 〔c +1〕2>0, 所以h (c )在(1,+∞)上单调递增, 所以h (c )>h (1)=ln 1-0=0,即ln c -2〔c -1〕c +1>0(c >1),因此原不等式x 1x 2>e 2得证.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a ,再结合所证问题,巧妙引入变量c =x 1x 2,从而构造相应的函数.其解题要点为:联立消参 利用方程f (x 1)=f (x 2)消掉解析式中的参数a 抓商构元 令c =x 1x 2,消掉变量x 1,x 2构造关于c 的函数h (c ) 用导求解 利用导数求解函数h (c )的最小值,从而可证得结论 函数f (x )=ln x -12ax 2+x ,a ∈R .(1)当a =0时,求函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线方程;(2)假设a =-2,正实数x 1,x 2满足f (x 1)+f (x 2)+x 1x 2=0,求证:x 1+x 2≥5-12. [解] (1)当a =0时,f (x )=ln x +x ,那么f (1)=1,所以切点为(1,1),又因为f ′(x )=1x+1,所以切线斜率k =f ′(1)=2,故切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.(2)证明:当a =-2时,f (x )=ln x +x 2+x (x >0). 由f (x 1)+f (x 2)+x 1x 2=0,得ln x 1+x 21+x 1+ln x 2+x 22+x 2+x 1x 2=0, 从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2-ln(x 1x 2),令t =x 1x 2(t >0),令φ(t )=t -ln t ,得φ′(t )=1-1t =t -1t,易知φ(t )在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以φ(t )≥φ(1)=1,所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因为x 1>0,x 2>0,所以x 1+x 2≥5-12成立. 考点3 证明与正整数有关的不等式问题函数中与正整数有关的不等式,其实质是利用函数性质证明数列不等式,证明此类问题时常根据的函数不等式,用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量,通过多次求和达到证明的目的.假设函数f (x )=e x -ax -1(a >0)在x =0处取极值.(1)求a 的值,并判断该极值是函数的最大值还是最小值; (2)证明:1+12+13+ (1)>ln(n +1)(n ∈N *).[解] (1)因为x =0是函数极值点,所以f ′(0)=0,所以a =1.f (x )=e x -x -1,易知f ′(x )=e x -1.当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0, 当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0, 故极值f (0)是函数最小值. (2)证明:由(1)知e x≥x +1.即ln(x +1)≤x ,当且仅当x =0时,等号成立, 令x =1k(k ∈N *),那么1k >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k ,即1k >ln 1+k k,所以1k>ln(1+k )-ln k (k =1,2,...,n ), 累加得1+12+13+ (1)>ln(n +1)(n ∈N *).函数式为指数不等式(或对数不等式),而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式),要注意指、对数式的互化,如e x ≥x +1可化为ln(x +1)≤x 等.函数f (x )=ln(x +1)+ax +2.(1)假设x >0时,f (x )>1恒成立,求a 的取值X 围; (2)求证:ln(n +1)>13+15+17 +…+12n +1(n ∈N *).[解] (1)由ln(x +1)+ax +2>1,得a >(x +2)-(x +2)ln(x +1).令g (x )=(x +2)[1-ln(x +1)], 那么g ′(x )=1-ln(x +1)-x +2x +1=-ln(x +1)-1x +1. 当x >0时,g ′(x )<0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减. 所以g (x )<g (0)=2,故a 的取值X 围为[2,+∞). (2)证明:由(1)知ln(x +1)+2x +2>1(x >0), 所以ln(x +1)>xx +2.令x =1k (k >0),得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k +1>1k 1k+2,即lnk +1k >12k +1. 所以ln 21+ln 32+ln 43+…+ln n +1n >13+15+17+…+12n +1,即ln(n +1)>13+15+17+…+12n +1(n ∈N *).课外素养提升③ 逻辑推理——用活两个经典不等式逻辑推理是得到数学结论,构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题,降低了思考问题的难度,优化了推理和运算过程.(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链:e x>x +1>x >1+ln x (x >0,且x ≠1).[例1] (1)函数f (x )=1ln 〔x +1〕-x,那么y =f (x )的图象大致为( )(2)函数f (x )=e x,x ∈R .证明:曲线y =f (x )与曲线y =12x 2+x +1有唯一公共点.(1)B [因为f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln 〔x +1〕-x ≠0,即{x |x >-1,且x ≠0},所以排除选项D. 当x >0时,由经典不等式x >1+ln x (x >0), 以x +1代替x ,得x >ln(x +1)(x >-1,且x ≠0),所以ln(x +1)-x <0(x >-1,且x ≠0),即x >0或-1<x <0时均有f (x )<0,排除A ,C ,易知B 正确.](2)证明:令g (x )=f (x )-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2+x +1=e x -12x 2-x -1,x ∈R ,那么g ′(x )=e x-x -1,由经典不等式e x ≥x +1恒成立可知,g ′(x )≥0恒成立, 所以g (x )在R 上为单调递增函数,且g (0)=0. 所以函数g (x )有唯一零点,即两曲线有唯一公共点. [例2] (2017·全国卷Ⅲ改编)函数f (x )=x -1-a ln x . (1)假设f (x )≥0,求a 的值;(2)证明:对于任意正整数n ,⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12n <e.[解] (1)f (x )的定义域为(0,+∞),①假设a ≤0,因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-12+a ln 2<0,所以不满足题意. ②假设a >0,由f ′(x )=1-a x =x -ax知,当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0; 当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0;所以f (x )在(0,a )单调递减,在(a ,+∞)单调递增, 故x =a 是f (x )在(0,+∞)的唯一最小值点.因为f (1)=0,所以当且仅当a =1时,f (x )≥0,故a =1. (2)证明:由(1)知当x ∈(1,+∞)时,x -1-ln x >0. 令x =1+12n ,得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12n <12n.从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+122+…+ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12n <12+122+…+12n =1-12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12n <e.[例3] 设函数f (x )=ln x -x +1. (1)讨论f (x )的单调性;(2)求证:当x ∈(1,+∞)时,1<x -1ln x<x .[解] (1)由题设知,f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x-1,令f ′(x )=0,解得x =1.当0<x <1时,f ′(x )>0,f (x )在(0,1)上单调递增; 当x >1时,f ′(x )<0,f (x )在(1,+∞)上单调递减.(2)证明:由(1)知f (x )在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=0. 所以当x ≠1时,ln x <x -1.故当x ∈(1,+∞)时,ln x <x -1,x -1ln x>1.①因此ln 1x <1x-1,即ln x >x -1x ,x -1ln x<x .② 故当x ∈(1,+∞)时恒有1<x -1ln x<x .。
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。
它可以描述函数在各个点上的变化率,也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。
而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。
本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$,如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0,说明它在该区间上单调递增;如果导数$f'(x)$小于0,则说明它在该区间上单调递减。
因此,如果要证明一个不等式在某个区间上成立,可以先求出函数在该区间上的导数,确定其单调性,然后再比较函数在两个端点处的取值即可。
例如,对于函数$f(x)=x^2-4x+3$,我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。
由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增,因此当$x<2$时,$f(x)<f(2)$,当$x>2$时,$f(x)>f(2)$,即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$,因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$,即$x^2-4x+3<1$。
2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$,如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$,且$f^{''}(x_0)>0$(即$f(x)$的二阶导数大于0)则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值;如果$f^{''}(x_0)<0$,则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。
因此,如果要证明一个不等式最值的存在性,可以先求出函数的导数,再找出导数为0的点即可。
3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式,可以考虑构造一个较为特殊的函数,来证明不等式的成立性。
例如,对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$,我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$,并证明$f(x)\leq 0$。
利用导数证明不等式的方法导数是微积分中的重要概念,它在数学中有着广泛的应用。
在证明不等式时,导数也可以发挥重要的作用。
本文将介绍如何利用导数证明不等式,并通过具体的例子来说明这一方法的实际应用。
我们需要了解导数的定义。
在微积分中,导数表示函数在某一点上的变化速率。
对于函数f(x),它在点x处的导数可以通过极限的方式来定义,即f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势和性质。
在证明不等式时,我们可以利用导数的性质来推导。
首先,我们需要找到函数的临界点,即导数为0或不存在的点。
在这些点上,函数的极值可能出现。
然后,我们可以通过导数的正负来判断函数的增减性。
如果导数在某个区间上恒大于0,则说明函数在该区间上是递增的;反之,如果导数在某个区间上恒小于0,则说明函数在该区间上是递减的。
通过这些性质,我们可以推导出不等式的成立。
假设我们要证明一个不等式f(x) ≤ g(x),我们可以定义一个新的函数h(x) = f(x) - g(x)。
然后,我们可以通过研究h(x)的导数来证明不等式的成立。
如果h(x)的导数恒小于等于0,则说明h(x)在整个定义域上是递减的,即h(x) ≤ 0,从而得到f(x) ≤ g(x)。
类似地,如果h(x)的导数恒大于等于0,则说明h(x)在整个定义域上是递增的,即h(x)≥ 0,也能得到f(x) ≤ g(x)。
下面,我们通过一个具体的例子来说明这一方法。
假设我们要证明不等式x^2 ≤ 2x。
我们可以定义函数h(x) = x^2 - 2x,并求出h(x)的导数。
通过计算,我们可以得到h'(x) = 2x - 2。
我们注意到h'(x)是一个一次函数,且导数恒大于等于0。
因此,根据上述的推导方法,我们可以得出结论x^2 ≤ 2x。
通过这个例子,我们可以看到利用导数证明不等式的方法的实际应用。
第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式f(x)〉g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)〈0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln x≤x-1,e x≥x+1,ln x〈x<e x(x〉0),错误!≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)特征分析构造法:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构"构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解.方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)=1-错误!,g(x)=错误!+错误!-bx(e为自然对数的底数),若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直.(1)求a,b的值;(2)求证:当x≥1时,f(x)+g(x)≥错误!.【解】(1)因为f(x)=1-ln x x,所以f′(x)=错误!,f′(1)=-1。
因为g(x)=错误!+错误!-bx,所以g′(x)=-错误!-错误!-b。
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直,所以g(1)=1,且f′(1)·g′(1)=-1,即g(1)=1+a-b=1,g′(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1。
(2)证明:由(1)知,g(x)=-错误!+错误!+x,则f(x)+g(x)≥2x⇔1-错误!-错误!-错误!+x≥0.令h(x)=1-错误!-错误!-错误!+x(x≥1),则h′(x)=-错误!+错误!+错误!+1=错误!+错误!+1.因为x≥1,所以h′(x)=ln xx2+错误!+1>0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,即1-错误!-错误!-错误!+x≥0,所以当x≥1时,f(x)+g(x)≥错误!。