2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1. 设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（ ） A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}x x k k Z =−∈∣ C. {32,}x x k k Z =−∈∣ D. ∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z U U ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z U ð． 故选：A ．2. 设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+−=−++=+−=，所以22210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.3. 执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=； 当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=； 当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=； 当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =． 故选：B.4. 已知向量,,a b c r r r 满足1,2a b c ===r r r ，且0a b c ++=r r r r ，则cos ,a c b c 〈−−〉=r r r r （ ）A. 45−B. 25−C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=rrrr,所以a b c +=-rrr,即2222a b a b c ++⋅=rrrr r,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅=rr .如图,设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ,由题知,1,2,OA OB OC OAB ===V 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==, 所以232222CD CO OD =+==, 1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=, 2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈−−〉=∠=∠=∠−r r r r2421510=⨯−=. 故选:D.5. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =−，则4S =（ ） A.158B.658C. 15D. 40【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S . 【详解】由题知()23421514q q q q q q++++=++−,即34244q q q q +=+,即32440q q q +−−=,即(2)(1)(2)0q q q −++=. 由题知0q >,所以2q =. 所以4124815S =+++=. 故选:C.6. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6C. 0.5D. 0.4【答案】A 【解析】【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+−=，记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==，所以()0.4()0.8()0.5P AB P BA P A ===∣.故选:A .7. 设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=−+=， 即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.55B.55C.355D.55【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=， 所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+， 所以弦长22145||22155AB r d =−=−=. 故选：D9. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60C. 30D. 20【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.10. 函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =−的交点个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =−，再作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =−的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =−，而1122y x =−显然过10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =−==，即3π3π7π,,444x x x =−==处()f x 与1122y x =−的大小关系，当3π4x =−时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯−−=−<− ⎪⎝⎭； 当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，13π13π412428y −=⨯−=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，17π17π412428y −=⨯−=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =−的交点个数为3. 故选：C.11. 已知四棱锥P ABCD −的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC V 的面积为（ ）A. 22B. 32C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅V V ，PDB PCA ≅V V ，从而得到PA PB =，再在PAC △中利用余弦定理求得17PA =，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC △中利用余弦定理求得17PA =1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=−u u u r u u u r ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD ∠的方程组，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD ==22DO CO ==， 又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅V V ，则PDO PCO ∠=∠， 又3PC PD ==，42AC BD ==PDB PCA ≅V V ，则PA PB =， 在PAC △中，3,42,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=， 故17PA =，则17PB故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD == 在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=，故17PA =，所以22217cos 2172173PA PC AC APC PA PC +−∠===−⋅⨯⨯，则17cos 173317PA PC PA PC APC ⎛⋅=∠=⨯−=− ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以()()22PA PC PB PD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()217923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即23296cos m m θ=+−，则26cos 230m m θ−−=②，两式相加得22340m −=，故17PB m ==故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 故选：C.12. 设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A.135B.302C.145D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PF PF PF +，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PF PF +，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠==V ， 由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ−−∠====+，解得：1tan 2θ=， 由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===−=， 所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯V ，解得：23p y =， 即2399162p x ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =+=+=． 的故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=，即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②， 解得：22121215,212PF PF PF PF =+=， 而()1212PO PF PF =+u u u r u u u r u u u u r ，所以1212OP PO PF PF ==+u u u r u u u r u u u u r， 即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =+=+⋅+=+⨯⨯=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=， 即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②，解得：221221PF PF +=， 由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F =302OP =．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13. 若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=−+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________． 【答案】2 【解析】【分析】利用偶函数性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解. 【详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==−+++=−++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ， 所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−+ ⎪ −⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎝+⎭，的则22πππ2π1212a −⎛⎫⎛⎫=+− ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =−++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x −=−++++−==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.14. 若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y −≤⎧⎪−+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．【答案】15 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =−+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y −+=⎧⎨−=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=. 故答案为：1515. 在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 【答案】12 【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，22222222EF FG EG =+=+=即2R =，则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =+=+=，所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：1216. 在ABC V 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________． 【答案】2 【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由ABC ABD ACD S S S =+V V V 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯o o o ， 解得：2313323312b AD b +===++． 故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==o，解得：62sin 4B =，2sin 2C =， 因为1362+>>45C =o ，180604575B =−−=o o o o ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠=o ，即2AD AB ==． 故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =−（2）()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩即可求出；（2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =； 当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a −−=−，所以()()11221n n n n n S S a na n a −−−==−−， 化简得：()()121n n n a n a −−=−，当3n ≥时，131122n n a a an n −====−−L ，即1n a n =−， 当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =−∈．【小问2详解】因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++−⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+−⎝=−⎭⨯−⨯L ， 11122n n ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）证明：1AC AC =； （2）已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）1313【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1AO ⊥平面11BCC B ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【小问1详解】 如图，1A C ⊥Q 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1AC BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,AC AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=, BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11AO CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A I 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ， 1A O ∴⊥平面11BCC B1A Q 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=AO ， 在11Rt ACC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =−，11111,,AOC AOC ACC Q △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO AO AC +=，2221111AO OC C A +=，2221111AC AC C C +=，2211(2)4x x ∴+++−=，解得1x =，1112AC AC AC ∴=== 1A C AC ∴=小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC =⊥⊥Q ， 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△ 1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点， 由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D =Q ，2BD =，15A B AB ∴==，在Rt ABC △，223BC AB AC ∴=−=，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM AC CM AC =∥知四边形11ACMC 为平行四边形， 11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM ∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，2211(2)AC AC AC ∴=+ 在11Rt AB C △中，2211(2)AC AC AC =+，113B C BC == 2221(22)(2)(3)13AB ∴=++=又A 到平面11BCC B 距离也为1， 所以1AB 与平面11BCC B 131313=. 19. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；【（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m <m ≥对照组 实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d −=++++ 0k0.100 0.050 0.010()20P k k ≥2.7063.841 6.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能 【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表； （ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===， 所以X 分布列为：X12P1978 20391978故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6， 所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m <m ≥合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯−⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 20. 已知直线210x y −+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||415AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，求MFN △面积的最小值． 【答案】（1）2p = （2）1282−【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；的（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，找到,m n 的关系，以及MFN △的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px−+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p −+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==， 所以()()()222554415A B A B A B A B A B AB x x y y y y y y y =−+−=−=+−=即2260p p −−=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零， 设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n −−=，所以，12124,4y y m y y n +==−， 22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，所以()()1212110x x y y −−+=， 即()()1212110my n my n y y +−+−+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++−++−=，将12124,4y y m y y n +==−代入得，22461m n n =−+，()()22410m n n +=−>，所以1n ≠，且2610n n −+≥，解得322n ≥+或322n ≤−． 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以211n d m−=+()()22222121212111616MN x x y y m y y m m n =−+−=+−=++()2222146116211m n n n m =+−++=+−，所以MFN △的面积()2221112111221n S MN d m n m −=⨯⨯=+−=−+，而322n ≥+322n ≤−，所以，当322n =−MFN △的面积(2min 2221282S =−=−．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 21. 已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭（1）当8a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析. （2）(,3]−∞ 【解析】【分析】（1）求导,然后令2cos t x =,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin 2g x f x x =−,计算()g x '的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可. 【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=− 22244cos 3sin 32cos cos cos x x xa a x x+−=−=−令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t'−+−==−= 当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t'+−−+==== 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭. 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 【小问2详解】设()()sin 2g x f x x =−()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t ''+−=−=−−=−−=+−+−设223()24t a t t t ϕ=+−+− 322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'−−+−+=−−+==−> 所以()(1)3t a ϕϕ<=−. 1︒若(,3]a ∈−∞,()()30g x t a ϕ'=<−≤即()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=. 所以当(,3],()sin 2a f x x ∈−∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞ 当22231110,333t t t t ⎛⎫→−=−−+→−∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→−∞. (1)30a ϕ=−>.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=. 当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]−∞.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性cos t x =在定义域内是减函数,若00cos t x =,当()0,1,()0t t t ϕ∈>,对应当()00,,()0x x g x '∈>. 四、选做题在22. 已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ρθρθ+−=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<， 令0x =，12cos t α=−，令0y =，21sin t α=−， 所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±， 即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ， 因为ππ2α<<，所以3π4α=． 【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=−，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x −=−−，即30x y +−=，由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+−=． 23. 设0a >，函数()2f x x a a =−−．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =−−<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =−−<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【小问2详解】 2,()23,x a x a f x x a x a −+≤⎧=⎨−>⎩. 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC V ,ABC V 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a , 所以211||222ABC S AB a a =⋅==V ,解得2a =.。
