(ii)若m ＜ M，则因 f(a)=f(b)，使得最大值M与
最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得， 而ξ是的极值点，由条件(ii) f在点ξ处可导， 故由费马定理推知
f ' 0
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注1：罗尔定理的几何意义： 在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线
的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。 注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的 三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一 个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：
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注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能 有一个，几个甚至无限多个，例如：
f
(x)
x4
sin2
1 x
,
x
0
0, x 0
在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，
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显然
f
' ( x)
4x3
sin2
1 x
2x2
sin
1 x
cos
1 x
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（分析）
由条件（i）知在[a，b]上有最大值和最小
值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定 理便可得到结论。
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证明：
因为在f 在［a,b］上连续，所以有最大值与最 小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论： (i)若M = m , 则 在［a,b］上必为常数，从而结 论显然成立。
x1,x2 I,
使得 f (x2 ) f (x1) f ' ( )(x2 x1) 0.
ba
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证明： 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
