南山实验2024届补习年级文科数学二诊模拟四（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}Z 33U x x =∈-<<，{}2,1A =-，{}2,2B =-，则()UB A ⋃=ð（）A.{}2,1,2-B.{}2,0,2-C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,2--【答案】C 【解析】【分析】先化简U ，再求出U A ð，进而求出()U A B ð即可.【详解】解：因为{}{}Z 332,1,0,1,2U x x =∈-<<=--，{}2,1A =-，所以{}1,0,2U A =-ð，所以(){}2102U A B ,,,=-- ð.故选：C2.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则渐近线方程是（）A.12y x =±B.2y x=± C.y = D.3y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据条件得出ba=.【详解】由双曲线方程22221x y a b-=，知渐近线方程为b y x a =±，又因为2c e a ==，222c a b =+，所以222224c a b a a+==，得到b a =所以双曲线渐近线方程为y =，故选：C.3.“sin tan αα<”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断sin tan αα<，即判断()sin tan tan cos 10αααα-=-<，根据cos 10α-<在象限中恒成立即可判断出α所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.【详解】()sin tan tan cos 1αααα-=-，若α为第一象限角或第三象限角，则()tan cos 10αα-<，即sin tan αα<；若α为第二象限角或第四象限角，则()tan cos 10αα->，即sin tan αα>.故“sin tan αα<”是“α为第一象限角”的必要不充分条件.故选：B.4.已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(2,4)B.(1,2)C.(2,1)- D.(2,4)-【答案】D 【解析】【分析】先把2x y +转化为()212x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可求2x y +的最小值，然后根据222x y m m +>-恒成立，求得22m m -小于2x y +的最小值，解不等式即可.【详解】因为211x y+=，所以()()2444412248y x x y x y x y x y ⎛⎫==++≥+=+= ⎪⎝++⎭+，当且仅当4,2x y ==等号成立若222x y m m +>-恒成立，则()2min 228m m x y -<+=，解得：24m -<<，故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题.5.在ABC 中，3,0BQ QC AP BP =+=，则（）A.1344PQ AC AB=+ B.2133PQ AB AC=+C.3144PQ AC AB=- D.1344PQ AC AB=- 【答案】C 【解析】【分析】根据3,0BQ QC AP BP =+=，利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为3BQ QC =，所以34BQ BC = ，所以()31334444AQ AB BQ AB BC AB AC AB AB AC +=+-++===,因为0AP BP +=，所以P 为AB 的中点，12AP AB= 则3131244441PQ AQ AP AB AC AB AC AB ---+=== ，所以3144PQ AC AB =- ，故选：C6.下列命题中，真命题的是（）A.若回归方程ˆ04506yx =-+..，则变量y 与x 正相关B.线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C.若样本数据1210,,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的标准差为4D.一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3【答案】D 【解析】【分析】利用正负相关的意义判断A ；利用相关指数的意义判断B ；求出标准差判断C ；利用对立事件求出概率判断D.【详解】对于A ，回归方程ˆ04506yx =-+..，由0.450-<，得变量y 与x 负相关，A 错误；对于B ，2R 值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B 错误；对于C ，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2228⨯=，标准差为，C 错误；对于D ，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件，则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D 正确.故选：D7.已知函数()12x f x -=，若1a b <<，且2a c +>，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f c f b f a <<C.()()()f b f a f c <<D.()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】【分析】函数()f x 是关于直线x =1对称的，在1x >和1x ≤是单调性是相反的，利用以上特点，不难判断.【详解】由题可知()112,12,1x x x f x x --⎧≤=⎨>⎩，当1x ≤时是减函数，当1x >时是增函数；由于()()211222x x f x f x ----===，直线x =1是()f x 的对称轴；1a b << ，()()f a f b ∴>，由2a c +>可知，21c a >->，由对称性可知()()()2f c f a f a >-=，()()()f c f a f b ∴>>；故选：C.8.在各项均为正数的数列{}n a 中,12a =,2211230n n n n a a a a ++--=,n S 为{}n a 的前n 项和,若242n S =,则n =（）A.5B.6C.7D.8【答案】A 【解析】【分析】由2211230n n n n a a a a ++--=,化简可得()()1130n n n n a a a a ++-+=,得13n n a a +=或1n n a a +=-,因为各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列,根据等比数列前n 项和公式即可求得答案.【详解】 2211230n n n n a a a a ++--=,得()()1130n n n n a a a a ++-+=，∴13n n a a +=或1n n a a +=-，又 各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去.12a =,13n n a a +=,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列则()21324213n n S -==-，解得5n =，故选:A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于中档题9.在直角坐标平面内，点()1,1A -到直线l 的距离为3，点()4,3B 到直线l 的距离为2，则满足条件的直线l 的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为求以点(1,1)A -为圆心，以3为半径的圆和以点()4,3B 为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，【详解】到点(1,1)A -距离为3的直线可看作以A 为圆心3为半径的圆的切线，同理到点()4,3B 距离为2的直线可看作以B 为圆心2为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又||523AB ===+，故两圆外切，所以公切线有3条，故选：C10.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计30100计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（）附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.828A.0.001B.0.05C.0.01D.0.005【答案】B【解析】【分析】计算卡方，再根据独立性检验的概念判断即可.【详解】完善2×2列联表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗104050未注射疫苗203050合计3070100零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．因为χ2＝()2100103020402 4.762,3.841 4.762 6.63530705050χ⨯-⨯=≈<<⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．故选：B.11.已知函数π()4sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，(0)(4)2f f ==-，函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极大值但没有极小值，则ω的最小值为（）A.π6B.π3 C.5π6D.4π3【答案】B 【解析】【分析】先由(0)2f =-求出ϕ，再由题意知2x =时，函数()f x 取得最大值，从而求出ω，得到答案.【详解】∵4sin 2(0)f ϕ==-，∴1sin 2ϕ=-．又||2ϕπ<，∴π6ϕ=-，所以π()4sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为(0)(4)f f =，且函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极大值但没有极小值，所以当0422x +==时，函数()f x 取到最大值（也是极大值），此时π122ππ62k ω-=+，k ∈Z ．解得ππ3k ω=+，k ∈Z ．所以当0k =时，π3ω=,此时()ππ4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π,362x m m -=+∈Z ，则65x m =+，所以函数图象在y 轴右侧的第一个最小值点的横坐标为5，因45<，故π3ω=符合题设,故选：B .12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为3x ，则A.123x x x >> B.213x x x >> C.312x x x >> D.321x x x >>【答案】A 【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系.【详解】()1xf x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110xe x x +-= 函数()2x gx e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭且()g x 单调递增12x x ∴>由()21ln 2x h x x -'=可得：()()max12h x h e e ==，即31124x e =<123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.二、填空题13.若复数i 1iaz =++为实数，则实数=a _________.【答案】2【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据复数的分类求解.【详解】()()()()1i 1i i=i=i=1i 1i 1i 1i 222a a a a a z --⎛⎫=++++- ⎪++-⎝⎭，由于i 1ia z =++为实数，则102a-=，得2a =，故答案为：214.已知函数()22,12,1x x f x x x x +≤-⎧=⎨-+>-⎩，则不等式()3f x >-的解集是______.【答案】()5,3-【解析】【分析】分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()3f x >-，综合可得出原不等式的解集.【详解】当1x ≤-时，由()3f x >-得23x +>-，解得5x >-，此时，51x -<≤-；当1x >-时，由()3f x >-得223x x -+>-，即2230x x --<，解得13x -<<，此时，13x -<<.综上所述，不等式()3f x >-的解集是()5,3-.故答案为：()5,3-.15.在圆224x y +=内随机地取一点(),P x y ，则该点坐标满足()()2210y x x y -++≤的概率为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据条件得到20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩，结合224x y +=画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线20y x -=，210x y ++=的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.【详解】要满足()()2210y x x y -++≤，则20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩①或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩②，在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆224x y +=，则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：由图知：在圆224x y +=内随机取(),P x y 在阴影部分，而直线20y x -=过圆心()0,0，且直线20y x -=与直线210x y ++=相互垂直，所以图中阴影部分的面积为圆面积的12，故点(),P x y 满足()()2210y x x y -++≤的概率为12，故答案为：12.16.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线C ：24x y =上的点P （不为原点）作C 的切线l ，过坐标原点O 作OQ l ⊥，垂足为Q ，直线PF （F 为抛物线的焦点）与直线OQ 交于点T ，点(2,0)A ，则TA 的取值范围是______.【答案】1⎤-+⎦【解析】【分析】设点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，切线l 的方程为()24t y k x t -=-，可求得切线的斜率，由OQ l ⊥可求得OQ 的方程，与直线PF 联立可求得点T 的坐标，消参可求得点T 的轨迹方程，结合图形可求得TA 的范围.【详解】因为点P 为抛物线C ：24x y =上的点（不为原点），所以可设点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，且()0,1F ，当切线l 的斜率不存在时，不合题意；当切线l 的斜率存在时，可设为()24t y k x t -=-，联立()2244t y k x t x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得()224x t k x t -=-，化简可得22440x kx kt t -+-=，令Δ0=，可得()2216440k kt t --=，化简可得()220k t -=，即2t k =，又OQ l ⊥，所以OQ 的斜率2OQ k t=-，所以OQ 的方程2y tx =-，因为点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，()0,1F ，所以PF 的斜率为2214404PF t t k t t--==-，则PF 的方程为2414t y x t-=+，联立22414y x t t y x t ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，解得224484t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2248,44t T t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由224484t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩两式相除可得2x t y =-，即2x t y =-，由0t ≠，可得0x ≠，再代入284x t =+，可得22844y x y=+，化简可得2220x y y +-=，可得()2211x y +-=()0x ≠，可知点T 轨迹为半径为1的圆，圆心为()0,1F，结合图形可知AF r TA AF r -≤≤+，又1r =，AF ==，则1TA ⎤∈⎦.故答案为：1⎤-⎦.【点睛】关键点睛：本题难点在于如何求出T 点的轨迹方程，可借助参数得出两直线的方程，联立后用参数表示该交点坐标，借助交点坐标消去参数，即可求得该点的轨迹方程.三、解答题17.“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照[)0.1,0.2，[)0.2,0.3，....，[]0.9,1分组，得到如下频率分布直方图根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：购物金额（单位：万元）分组[)0.3,0.6[)0.6,0.8[]0.8,1发放金额（单位：万元）50100200（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；（2）从这100名购物金额不少于0.8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．【答案】（1）64万元（2）1021【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】购物金额在[)0.3,0.6的频率为()1.52 2.50.10.6++⨯=，购物金额在[)0.6,0.8的频率为()1.50.50.10.2+⨯=，购物金额在[]0.8,1的频率为()0.50.20.10.07+⨯=，所以购物者获得电子优惠券金额的平均数为：500.61000.22000.0730201464⨯+⨯+⨯=++=万元.【小问2详解】购物金额在[)0.8,0.9的频率为0.50.10.05⨯=，购物金额在[]0.9,1的频率为0.20.10.02⨯=，所以购物金额在[)0.8,0.9的有5人，记为1,2,3,4,5，购物金额在[]0.9,1的有2人，记为6,7，从中任取2人，基本事件有{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7，{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,2,6,2,7，{}{}{}{}3,4,3,5,3,6,3,7，{}{}{}{}{}{}4,5,4,6,4,7,5,6,5,7,6,7，共21种，其中两人都在[)0.8,0.9的有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，所以这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率为1021.18.已知数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=L ，数列{}n b 首项为2，且满足()11n n nb n b +=+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）记集合()141,N n n n n M nb b b n a λ*+⎧⎫⎪⎪=≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若集合M 的元素个数为2，求实数λ的取值范围.【答案】（1）13n n a =，*2,N n b n n =∈（2）2028(,99【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++= ，求得13n n a =，再由101n n b b n n +-=+，结合等差数列的定义，求得2n b n =，得到{}n b 的通项公式.（2）根据题意，转化为()()*121|,N 3n n n n M n n λ⎧⎫++=≤∈⎨⎬⎩⎭，记()()1213n n n n n P ++=，化简()()21112173n n n n n P P ++⎡⎤-+--⎣⎦-=，得出数列的单调性，结合题意，即可求解.【小问1详解】解：由211233333n n n a a a a -++++=L ，当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++= ，相减可得1113333n n n n a --=-=，故13n n a =，当1n =时，113a =也符合上式，所以*1,N 3n n a n =∈，又由()11n n nb n b +=+，可得101n n b b n n +-=+，所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公差为0的等差数列，且首项为2，所以2n b n=，则*2,N n b n n =∈.【小问2详解】解：由*2,N n b n n =∈和()*141,n n n n M n b b b n a λ+⎧⎫⎪⎪=≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，可得()()*121|,N 3nn n n M n n λ⎧⎫++=≤∈⎨⎬⎩⎭，记()()1213n n n n n P ++=，则()()()1112233n n n n n P +++++=，所以()()21112173n n n n n P P ++⎡⎤-+--⎣⎦-=，当1n =时，210P P ->，当2n ≥时，234P P P >>> ，此时{}n P 单调递减，而()()()()3028202,12,3,4999P P P P ====，由于集合M 的元素个数为2，所以{}2,3M =，所以202899λ<≤，即实数λ的取值范围为2028(,99.19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2b =，4c =.（1）若D 是边BC 的中点，且AD =cos B 的值；（2）若π3C B -=，求ABC 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的余弦定理结合已知条件即可；（2）利用三角形的正弦定理以及两角和的正弦公式和三角形面积公式即可.【小问1详解】如图所示：因为πADB ADC ∠+∠=，所以πADB ADC ∠=-∠，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，在ABD △中，由余弦定理的推论得：222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅⋅，在ACD 中，由余弦定理的推论得：222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅⋅，所以222222022AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-+=⋅⋅⋅⋅因为D 是边BC 的中点，所以BD CD =，代入上式整理得：2222220AD BD AB AC +--=，因为4,2,A A AB c C b D =====，所以222222420BD +--=，解得：2BD =或2BD =-（舍去），所以24a BC BD ===，在ABC 中，由余弦定理的推论得：2222224427cos 22448a cb B ac +-+-===⨯⨯.【小问2详解】由π3C B -=，则π3C B =+，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin b c B C=，因为2,4b c ==，所以24πsin sin 3B B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πsin 2sin 3B B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即13sin 2sin 22B B B +=，则cos B B =，若cos 0sin 0B B =⇒=，与22cos sin 1B B +=矛盾，所以cos 0B ≠，所以3tan 3B =，因为0πB <<且π2B ≠，所以π6B =，所以πππ632C =+=，所以ππ3A B C =--=，所以ABC 的面积为：11sin 24222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=20.已知函数()ln f x ax x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在0a >，使得()22a f xb ≥+对任意()0,x ∈+∞成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求导后分类讨论即可（2）承接第一问用导数求最值【小问1详解】由题()1,0f x a x x'=->.当0a ≤时，()()0,f x f x '<在()0,∞+上单调递减；当0a >时，由()0f x '=解得1x a =.所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；所以，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】由（1）知：当0a >时，min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以，存在0a >，使21ln 2a a b +≥+成立，即存在0a >，使21ln 2a ab +-≥成立令()21ln 2a g a a =+-，则()211a g a a a a-=-='所以，()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()112g a g ≤=.所以b 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点()0,B b 且与直线2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且12220F F F D += .（1）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线:60l x --=相切，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =.过椭圆Γ右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在，(4,0)N .【解析】【分析】（1）设出焦点12,F F ，表示出点D ，再由垂直关系及切线方程求出,,a b c 即得.（2）由（1）中信息求出椭圆方程，设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，求出直线MQ 的方程，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，设12(,0),(,0)F c F c -，由12220F F F D += ，得1F 是线段2F D 的中点，则()3,0D c -，由直线BD 与2BF 垂直，得1212BF DF =，则1||2a BF c ===显然过B 、D 、2F 三点的圆的圆心为1(,0)F c -，半径为2r c =，由过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线:60l x -=相切，得2c =，解得2c =，有24a c ==，212b =，所以椭圆Γ的方程为2211612x y +=.【小问2详解】由（1）及2a =，得1,c b ==2(1,0)F ，椭圆Γ的方程为22143x y +=，设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,)M x y -，由221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理得22(43)690t y ty ++-=，223636(43)0t t ∆=++>，12122269,4343t y y y y t t --+==++，直线MQ 的方程为211112()x x x x y y y y --=++，令0y =得211112()x x y x x y y -=++2111111212x y x y x y x y y y -++=+211212x y x y y y +=+211212(1)(1)ty y ty y y y +++=+1212121212221ty y y y ty y y y y y ++==+++2(9)146t t⨯-=+=-，所以在x 轴上存在一个定点(4,0)N ，使得M 、Q 、N 三点共线.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 203ρθρθ++=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点)P 作直线l 的平行线交曲线C 于M ，N 两点（M 在x 轴上方），求11PM PN -的值．【答案】（1）24y x =，203++=x y ；（2）12【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的关系以及极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求解；（2）利用直线参数方程的几何意义求解.【小问1详解】将22x t y t⎧=⎨=⎩中的参数t 消去，得曲线C 的普通方程为24y x =．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入sin cos 203ρθρθ++=，得直线l 的直角坐标方程为3203++=x y ．【小问2详解】易知直线l的参数方程为212x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（m 为参数），代入24y x =，得20m +-，设M 对应的参数为1m ，N 对应的参数为2m ，则12m m +=-，12m m =-10m >，20m <，所以1212121211111112m m PM PN m m m m m m +-=-=+==．23.设函数()4f x x x a =+-，其中R a ∈.（1）当6a =时，求曲线()y f x =与直线480x y -+=围成的三角形的面积；（2）若a<0，且不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-，求a 的值.【答案】（1）64（2）17-【解析】【分析】（1）由题知()56,636,6x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分x a ≥和x a <两种情况求解得()2f x <的解集为2{|}5a x x +<，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当6a =时，()56,64636,6x x f x x x x x -≥⎧=+-=⎨+<⎩，所以，()624f =，设(6,24)C ；直线480x y -+=与36y x =+交于点(2,0)A -，与直线56y x =-交于点(14,64)B ，且AB =点(6,24)C 到直线480x y -+=的距离d =，所以，要求图形的面积1642S AB d =⨯⨯=；【小问2详解】解：当x a ≥时，()5f x x a =-，()2f x <，即52x a -<，解可得25a x +<，此时有25a a x +≤<，当x a <时，()3f x x a =+，()2f x <，即32x a +<，解可得23a x -<，又由a<0，则23a a ->，此时有x a <，综合可得：不等式的解集为2{|}5a x x +<，因为不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-所以，235a +=-，解可得17a =-；。
