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人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计一、教学目标1.理解柯西不等式和排序不等式的概念和基本性质。
2.能够应用柯西不等式和排序不等式解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和团队协作精神。
二、教学内容1.柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式及其应用。
3.排序不等式的定义和证明。
4.排序不等式及其应用。
三、教学重点和难点1.理解柯西不等式和排序不等式的定义和基本性质。
2.掌握柯西不等式的证明方法，理解其应用。
3.熟练掌握排序不等式的证明方法，能够应用排序不等式解决实际问题。
四、教学方法和手段1.教师引导学生自主发现和探究柯西不等式和排序不等式。
2.采用运用举例的方法，引导学生理解和记忆柯西不等式和排序不等式，提高学生举一反三的能力。
3.推崇探究式学习方法，鼓励学生主动探究，组织学生研究、合作探讨，提升学生的团队合作能力。
五、教学流程1.柯西不等式的引入通过真实生活中的例子，引出两个变量之间的关系，小组探究两正数之积的最大值、两负数之积的最大值、正数与负数之积的最小值。
教授柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式的应用通过计算题目，引出使用柯西不等式求出积分值最大值的方法，题目的复杂程度逐渐加深，教授柯西不等式在解题中的应用。
3.排序不等式引入介绍排序不等式的定义和证明过程，并从生活中的例子引出排序不等式的应用场景。
4.排序不等式的应用通过计算题目，引导学生掌握人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式的解题方法，解决实际问题。
六、教学评价1.通过出题考核，检测学生掌握柯西不等式和排序不等式的基础知识和应用能力。
2.通过实际应用问题，检验学生对柯西不等式和排序不等式的理解和应用能力。
七、小组探究设计在小组合作过程中，让学生组织实验、调查等自主探究柯西不等式和排序不等式。
小组探究产生的报告可作为课后作业，让学生进行总结和讨论。
最后，本课程旨在为学生提供基本数学知识和运用能力，建立实际生活场景与知识的联系。
一、教学目标１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排１课时三、教学重点１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋２y＋z＝１，求t＝x２＋４y２＋z２的最小值．【解】由柯西不等式得（x２＋４y２＋z２）（１＋１＋１）≥（x＋２y＋z）２.∵x＋２y＋z＝１，∴３（x２＋４y２＋z２）≥１，即x２＋４y２＋z２≥错误!.当且仅当x＝２y＝z＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!时等号成立．故x２＋４y２＋z２的最小值为错误!.（二）讲授新课教材整理１三维形式的柯西不等式设a１，a２，a３，b１，b２，b３∈R，则（a错误!＋a错误!＋a错误!）·（b错误!＋b错误!＋b错误!）≥.当且仅当或存在一个数k，使得a i＝kb i（i＝１,２,３）时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理２一般形式的柯西不等式设a１，a２，a３，…，a n，b１，b２，b３，…，b n是实数，则（a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!）≥ .当且仅当b i＝0（i＝１,２，…，n）或存在一个数k，使得a i＝（i＝１,２，…，n）时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例１已知a，b，c∈（0，＋∞），错误!＋错误!＋错误!＝２，求a＋２b＋３c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．【精彩点拨】由于错误!＋错误!＋错误!＝２，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈（0，＋∞），∴错误!·（a＋２b＋３c）＝[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!][（错误!）２＋（错误!）２＋（错误!）２]≥错误!错误!＝（１＋２＋３）２＝３6．又错误!＋错误!＋错误!＝２，∴a＋２b＋３c≥１8，当且仅当a＝b＝c＝３时等号成立，综上，当a＝b＝c＝３时，a＋２b＋３c取得最小值１8．规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]１．已知x＋４y＋9z＝１，求x２＋y２＋z２的最小值．【解】由柯西不等式，知（x＋４y＋9z）２≤（１２＋４２＋9２）（x２＋y２＋z２）＝98（x２＋y２＋z２）．又x＋４y＋9z＝１，∴x２＋y２＋z２≥错误!，（*）当且仅当x＝错误!＝错误!时，等号成立，∴x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!时，（*）取等号．因此，x２＋y２＋z２的最小值为错误!.题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例２已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式错误!＋错误!＋错误!≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】“恒成立”问题需求错误!＋错误!＋错误!的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0．且x＋y＋z＝xyz.∴错误!＋错误!＋错误!＝１．又错误!＋错误!＋错误!≤错误!错误!＝错误!错误!≤错误!当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝错误!时等号成立．∴错误!＋错误!＋错误!的最大值为错误!.故错误!＋错误!＋错误!≤λ恒成立时，应有λ≥错误!.因此λ的取值范围是错误!.规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]２．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝３，a２＋２b２＋３c２＋6d２＝５，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝３，得b＋c＋d＝３—a，由a２＋２b２＋３c２＋6d２＝５，得２b２＋３c２＋6d２＝５—a２，（２b２＋３c２＋6d２）错误!≥（b＋c＋d）２，即２b２＋３c２＋6d２≥（b＋c＋d）２.由条件可得，５—a２≥（３—a）２，解得１≤a≤２，所以实数a的取值范围是[１,２]．题型三、利用柯西不等式证明不等式例３已知a，b，c∈R＋，求证：错误!错误!＋错误!＋错误!≥9．【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a１＝错误!，a２＝错误!，a３＝错误!，b１＝错误!，b２＝错误!，b３＝错误!，而a１b１＝a２b２＝a３b３＝１，因而得证．【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知错误!错误!＝[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!]×[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!]≥错误!错误!＝（１＋１＋１）２＝9，∴错误!错误!≥9．规律总结：１．当a i，b i是正数时，柯西不等式变形为（a１＋a２＋…＋a n）（b１＋b２＋…＋b n）≥（错误!＋错误!＋…＋错误!）２.２．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]３．已知函数f（x）＝m—|x—２|，m∈R，且f（x＋２）≥0的解集为[—１,１]．（１）求m的值；（２）若a，b，c∈R＋，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证：a＋２b＋３c≥9．【解】（１）因为f（x＋２）＝m—|x|，f（x＋２）≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|—m≤x≤m}．又f（x＋２）≥0的解集为[—１,１]，故m＝１．（２）证明：由（１）知错误!＋错误!＋错误!＝１．又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋２b＋３c ＝（a＋２b＋３c）错误!≥错误!错误!＝9．（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—错误!（五）随堂检测１．设a＝（—２,１,２），|b|＝6，则a·b的最小值为（）A．１8 B．6 C．—１8 Ｄ．１２【解析】|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤１8．∴—１8≤a·b≤１8，当a，b反向时，a·b最小，最小值为—１8．【答案】C２．若a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝１，b错误!＋b错误!＋…＋b错误!＝４，则a１b１＋a２b２＋…＋a n b n的取值范围是（）A．（—∞，２）B．[—２,２] C．（—∞，２] Ｄ．[—１,１]【解析】∵（a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!）≥（a１b１＋a２b２＋…＋a n b n）２，∴（a１b１＋a２b２＋…＋a n b n）２≤４，∴|a１b１＋a２b２＋…＋a n b n|≤２，即—２≤a１b１＋a２b２＋…＋a n b n≤２，当且仅当a i＝错误!b i（i＝１,２，…，n）时，右边等号成立；当且仅当a i＝—错误!b i（i＝１,２，…，n）时，左边等号成立，故选Ｂ．【答案】B３．设a，b，m，n∈R，且a２＋b２＝５，ma＋nb＝５，则错误!的最小值为________．【解析】根据柯西不等式（ma＋nb）２≤（a２＋b２）（m２＋n２），得２５≤５（m２＋n２），m２＋n２≥５，错误!的最小值为错误!.【答案】错误!六、板书设计３．２一般形式的柯西不等式七、作业布置同步练习：３．２一般形式的柯西不等式八、教学反思。
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos2θ＋b2sin2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a2cos2θ＋b2sin2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2cos2θ＋b2sin2θ(cos 2θ＋sin 2θ)≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：∵(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a 1＋a 2)2. ∴原不等式成立． 2．设a ，b ，c 为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得 a2＋b2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a2＋b2≥a ＋b . 同理：2·b2＋c2≥b ＋c ， 2·a2＋c2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 3．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a ＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a)＋(2－b)＝2. ∴原不等式成立.[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值．解：∵2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x)2＋y2＝3×2x2＋y2＝3，当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．求函数y ＝x2－2x ＋3＋x2－6x ＋14的最小值． 解：y ＝(x －1)2＋2＋(3－x)2＋5，y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)(3－x )＋10]＝[(x －1)＋(3－x )]2＋(7＋210)＝11＋210.当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝32＋52＋5时等号成立．此时y min ＝11＋210＝10＋1.1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a ＋b ＝ ax2＋by2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：选A (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625解析：选B (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号，即2x 2＋3y 2≥65.故2x 2＋3y 2的最小值为65.4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x)2＝5，当且仅当x ＝265时取等号．5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4y2⎝ ⎛⎭⎪⎫y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2≥x ·1x ＋2y ·y 2＝9，当且仅当xy ＝2时取等号． 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数k ， 使a ＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，故P ＝2x ＋y 的最大值为11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x)2＋(y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．若x 2＋4y 2＝5，求x ＋y 的最大值及此时x ，y 的值． 解：由柯西不等式得[x 2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(x ＋y )2，即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，此时x ＝2，y ＝12.10．求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin2x)， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos2x ＋1＋sin2x ·32＋42 ＝52，当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章概览内容提要1.柯西不等式(1)代数形式:(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2,等号成立⇔a 1b 2=a 2b 1.(2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,等号成立⇔α与β共线.(3)平面三角不等式:222211)()(b a b a -+-+222211)()(c b c b -+-2≥222211)()(c a c a -+-,等号成立⇔存在非负实数λ,u 使u (a 1-b 1)=λ(b 1-c 1),u (a 2-b 2) =λ(b 2-c 2).(4)一般形式:(a 12+a 22+…+a n 2)21(b 12+b 22+…+b n 2)21≥|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |,等号成立⇔2211b a b a ==…=nn b a . 2.排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,有a 1b n +a 2b n-1 +…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+…+a n b n ,等号成立⇔a 1=a 2…=a n 或b 1=b 2=…=b n .3.平均值不等式:a 1,a 2,…,a n ∈R +,n n n a a a na a a ⋅⋅⋅≥+++......2121,等号成立⇔ a 1=a 2=…=a n .4.最值问题:把握好函数基本形式,再借用不等式,函数的性质求最值.学法指导根据本章的特点,学习时应加强数学思想方法的学习,加强对各类不等式性质的理解.理解柯西不等式,排序不等式,平均值不等式在具体问题中的作用.。
二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
