必修5 数列
二、等差数列 知识要点
1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系
∑==++++=n
i i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨
⎧≥-==-2
1
1
1
n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式
()
1(),(),
,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数
(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．
3．等差中项：
若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2
c
a b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=
； 2
)1(1d
n n na S n -+= 221(),()22
n n d d
S n a n S f n An Bn =
+-==+特征：即
2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．
5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*
∈N q p n m 其中
⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；
⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：(
)(
)1n n a a d n N
*
+-=∈常数 ⇒{}n
a 是等差数列
②中项法：()122n n n a a a n N *
++=+∈⇒{}n
a 是等差数列
③通项公式法：(),n a kn b
k b =+为常数⇒{}n
a 是等差数列
④前n 项和公式法：()2,n S An Bn
A B =+为常数⇒{}n
a 是等差数列
【应用一】
1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1
21
2y y x x ( )
A ．3
2
B ．4
3
C ．1
D ．3
4
2. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.675
3. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )
A. a =2，b =5
B. a =－2，b =5
C. a =2，b =－5
D. a =－2，b =－5
4. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值围是 ( ) A.d ＞
83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.8
3
＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )
A ．3
B ．－3
C ．－2
D ．－1
6. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11
B.a 10
C.a 9
D.a 8
7. 设函数f (x )满足f (n +1)=
2
)(2n
n f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95
B. 97
C. 105
D. 192
8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大
B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大
C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等
D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{
}*
6,,且60
M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.
10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =+++
+，则13S =_____．
11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83
d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；
13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?
14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．
15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=2
1
. (1)求证：{
n
S 1
}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.
【应用二】
1．等差数列{}n a 中，(
)46810129111
120,3
a a a a a a a ++++=-则的值为
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．
3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．
①求出公差d 的围；
②指出1221S S S ，，
， 中哪一个值最大，并说明理由．
5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
