第三章 三角恒等变换 章末专题整合 课件
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高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换教学课件 新人教A版必修4
(3)由于
tanα2＝1＋sincoαs
及 α
tanα2＝1－sincoαs
α不含被开方数，且
不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注
意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用 sin2α2
＝1－c2os
α，cos2α2＝1＋c2os
α .
半角公式及其应用
谢谢观看！
结束语
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒 等变换教学课件 新人教A版必修4
设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值． 思路点拨：由 θ 范围求2θ范围，由 cos2θ的值求 sin2θ，再利用 半角公式及其变形求值．
解：(1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π. 又 cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2.
(1)先化简所求的三角函数式； (2)从角和三角函数名称两方面来寻找已知条件 和所求式子之间的联系；
(3)明确关系，代入求值．
【互动探究】
若本例条件不变，求 tan2θ的值． 解：方法一：由例题解题过程可知，
sin2θ＝ 1－a2，
θ
故 tan2θ＝sin2θ＝
1－a2 a.
cos2
方法二：由 cos2θ＝a，知 cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1，
(2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 的三角恒等变换教学课件 新人教A 同学们，下课休息十分钟修。4现在是休息时间
2018_2019高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课件苏教版必修4
原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°· cos 50°
2
1 1 1 2 ＝(2sin 30° · cos 10° ) －2(sin 70° －sin 30° )＝cos 10° －2cos 20° ＋4
1＋cos 20° 1 1 3 ＝ － cos 20° ＋ ＝ . 2 2 4 4
α 同理 sin 2＝±
α sin 2 1－cos α α ， ∴ tan ＝ ＝ ± α 2 2 cos 2
1－cos α . 1＋cos α
答案
思考3
α sin α 利用tan α＝ 和倍角公式又能得到 tan 与sin α， cos α怎样的关系？ 2 cos α
答案 α α sin 2 sin2· 2cos α tan2＝ α＝ α cos 2 cos2· 2cos α · 2sin 2 α 2sin 2· α 2 sin α α＝1＋cos α， 2
1 1 1 ＝－4sin 80° ＋2×2(sin 100° ＋sin 60° )
1 1 3 3 ＝－4sin 80° ＋4sin 80° ＋8＝8.
解答
(3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
1 1 ＝2[sin 90° ＋sin(－50° )]－2[cos 60° －cos(－40° )]
2＋1 1 ＝2(sin 45° ＋sin 30° )＝ 4 .
解答
(2)sin 20°· sin 40°· sin 80°； 解 sin 20°· sin 40°· sin 80°
1 ＝－2[cos 60° －cos(－20° )]· sin 80°
2016_2017年高中数学第三章三角恒等变换专题整合课件苏教版必修 (2)
[分析] 由已知条件先求出A＋B，再根据内角和定理求C.
[解] ∵A 为锐角，cos 2A＝35.
∴cos
2A＝1－2sin2A＝35，∴sin
A＝
5 5.
cos A＝ 1－sin2A＝2 5 5，
又 B 为锐角，sin B＝ 1100，
∴cos B＝
1－sin2B＝3
10 10 .
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
⇔cos2φ＝2cos2θ⇔co1s2θ＝
2 cos2φ
⇔sin2θco＋s2cθos2θ＝2（sin2cφo＋s2φcos2φ） ⇔tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)⇔tan2θ＝2tan2φ＋1. 而由已知，tan2θ＝2tan2φ＋1 成立， ∴cos 2φ＝2cos 2θ＋1. 法三：∵tan2θ＝2tan2φ＋1， ∴2cos 2θ＋1＝2·11－ ＋ttaann22θθ＋1
＝2 5 5×3 1010－ 55× 1100＝ 22. ∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4， ∴C＝π－(A＋B)＝34π，即角 C 的大小为34π. [点评] 利用三角公式可以解决一些与三角形有关的问题.
三角恒等变换的综合利用
三角恒等变换的基本规律：①基本方向是变角、变函数、变 结构；②基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角 分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如 1 的代换)；变量集中(引进辅助角)，如 acos θ＋bsin θ＝ a2＋b2 sin(θ＋φ)(φ 为辅助角)；③基本目标是复角化单角，异名化同 名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名 称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数，尽可能 不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．
[解] ∵A 为锐角，cos 2A＝35.
∴cos
2A＝1－2sin2A＝35，∴sin
A＝
5 5.
cos A＝ 1－sin2A＝2 5 5，
又 B 为锐角，sin B＝ 1100，
∴cos B＝
1－sin2B＝3
10 10 .
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
⇔cos2φ＝2cos2θ⇔co1s2θ＝
2 cos2φ
⇔sin2θco＋s2cθos2θ＝2（sin2cφo＋s2φcos2φ） ⇔tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)⇔tan2θ＝2tan2φ＋1. 而由已知，tan2θ＝2tan2φ＋1 成立， ∴cos 2φ＝2cos 2θ＋1. 法三：∵tan2θ＝2tan2φ＋1， ∴2cos 2θ＋1＝2·11－ ＋ttaann22θθ＋1
＝2 5 5×3 1010－ 55× 1100＝ 22. ∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4， ∴C＝π－(A＋B)＝34π，即角 C 的大小为34π. [点评] 利用三角公式可以解决一些与三角形有关的问题.
三角恒等变换的综合利用
三角恒等变换的基本规律：①基本方向是变角、变函数、变 结构；②基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角 分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如 1 的代换)；变量集中(引进辅助角)，如 acos θ＋bsin θ＝ a2＋b2 sin(θ＋φ)(φ 为辅助角)；③基本目标是复角化单角，异名化同 名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名 称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数，尽可能 不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．
高中数学 第三章 三角恒等变形章末高效整合课件 北师大版必修4
(2)条件恒等式的证明 这类问题的解题思路是恰当地、适时地使用条件或仔细探求所附条件与需证 明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法． (3)解题过程中应注意：角的变化；函数名的变化；次数的变化；角的范围的 变化(开方时应特别注意正、负问题)．
(1)求证：tan2x＋tan12x＝213－＋ccooss44xx； (2)已知锐角 α，β 满足 tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β. [边听边记] (1)方法一：左边＝csoins22xx＋csoins22xx＝sisni4nx2＋xcocos2sx4x ＝sin2x＋cos142sxin22－2x2sin2xcos2x＝1－14s12insi2n22x2x
能力挑战 4．已知－π6≤β＜π4，3sin2α－2sin2β＝2sin α，试求 y＝sin2β－12sin2α 的最小值． 解析： ∵－π6≤β＜π4， ∴－12≤sin β＜ 22，0≤sin2β＜12， ∴0≤2sin2β＜1. 由已知得 2sin2β＝3sin2α－2sin α，
∴0≤3sin2α－2sin α＜1，
16
能力挑战 1．已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝16，α∈π2，π，求1＋sinco4sα2α的值．
解析： ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋α·cosπ4＋α＝16， sinπ2＋2α＝13，即 cos 2α＝13. 又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－ 1－132＝－232， ∴1＋sinco4sα2α＝21s＋in12＋α·cc2ooss 22αα＝2×1－＋213＋2213×13＝－4152.
(3)给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三 角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角．选择三角函数时尽量选择给定 区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是0，π2，选择 求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是(0，π)，选择求所求角的余弦 值；若所求角的范围为－π2，π2，选择求所求角的正弦值．
第三章 三角恒等变形 章末复习方案 课件北师大必修.ppt
[解] (1)f(x)＝m·n
＝ 3Asin xcos x＋A2cos 2x
＝A(
3 2 sin
2x＋12cos
2x)
＝Asin(2x＋π6)．
因为 A>0，由题意知 A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin(2x＋π6)． 将函数 y＝f(x)的图像向左平移1π2个单位后得到 y＝6sin[2(x＋1π2)＋π6]＝6sin(2x＋π3)的图像； 再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不 变，得到 y＝6sin(4x＋π3)的图像． 因此 g(x)＝6sin(4x＋π3)． 因为 x∈[0，52π4]，所以 4x＋π3∈[π3，76π]， 故 g(x)在[0，52π4]上的值域为[－3,6]．
函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，
sin2α＋cos2α＝1；切化弦；sin α±cos α 平方整体代换．
2．和(差)角公式 (1)公式Cα－β，Cα＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公 式Sα－β，Sα＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；Tα±β的符号 规律为“分子同，分母反”． (2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律， 公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．
[借题发挥] 1．“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数 值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求 出角． 2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区 间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦 函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数 值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．
[答案]
17 2 50
高中数学第三章三角恒等变换章末归纳整合课件a必修4a高一必修4数学课件
12/9/2021
第九页，共三十一页。
【例 2】 若函数 f(x)＝tan2x－atan x|x|≤π4的最小值为－6， 则实数 a 的值为________．
【分析】由角的范围可得 tan x 的范围，由二次函数的知识 分类讨论可得．
【解析】∵|x|≤π4，设 m＝tan x∈[－1,1]， ∴y＝tan2x－atan x＝m2－am，m∈[－1,1]． 当a2＜－1，即 a＜－2 时，函数 y＝m2－am 在 m∈[－1,1] 上单12/调9/202递1 增，
12/9/2021
第二十页，共三十一页。
4．(2018 年江苏)已知 α，β 为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)
＝－
5 5.
(1)求 cos 2α 的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
12/9/2021
第二十一页，共三十一页。
【解析】(1)由csoins αα＝43，
结合 α 为锐角，解得
sin2α＋cos2α＝1，
sin α＝45，
cos
α＝35，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－275.
12/9/2021
第二十二页，共三十一页。
(2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝2245，则 tan 2α＝csoins 22αα＝ －274.
∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，α)， ∴sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝255， 则 tan(α＋β)α＋β)]＝1t＋ant2anα－2αttaannαα＋＋ββ＝－121.
令 2x＋π3＝t，则 t∈π3，43π，函数 y＝h(t)＝2sin t 与直线 y ＝k 在π3，43π上有两个交点，要使两个函数图象有两个交点， 则 3≤k＜2.
高一数学必修课件第三章三角恒等变形
半角公式证明
同样可以通过数学归纳法或代入法等方法进行证明。证明过程需要运用三角函数的性质和 相关定理。
典型例题解析
01
例题1
已知sinα = 3/5，求cos2α的 值。
02
解析
根据倍角公式cos2α = 1 2sin²α，将已知的sinα值代入
公式进行计算，即可求得 cos2α的值。
03
例题2
已知cosβ = -√3/2，且β为第 二象限角，求sinβ/2的值。
要证明上述等式成立，我们可以先将 其转化为(1 + sinα + cosα) × 2 = (1 + tanα) × (1 + sinα - cosα)的形式 。然后利用辅助角公式和三角恒等式 进行化简和证明。
05
三角恒等式证明方法
直接法证明三角恒等式
01
公式法
利用已知的三角恒等式进行推 导，通过代入、变换等手段得
三角恒等变形定义
通过三角函数的基本关系式和诱导公式，将复杂的三角函数表达式化简为简单 的形式，或者将不同形式的三角函数表达式转化为等价的形式。
三角恒等变形的意义
在解决三角函数问题时，通过恒等变形可以简化计算过程，提高解题效率。同 时，掌握三角恒等变形的方法也有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三角函数周期性
利用三角函数的周期性，可以简化一些复 杂的三角函数表达式，或者将不同形式的 三角函数表达式转化为等价的形式。
诱导公式及其应用
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函 数值的公式。常见的诱导公式有和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
诱导公式的应用
利用诱导公式可以简化一些复杂的三角函数计算问题，如求任意角的三角函数值 、证明三角恒等式等。同时，诱导公式也是解决一些实际问题的重要工具，如测 量、物理中的振动和波动问题等。
同样可以通过数学归纳法或代入法等方法进行证明。证明过程需要运用三角函数的性质和 相关定理。
典型例题解析
01
例题1
已知sinα = 3/5，求cos2α的 值。
02
解析
根据倍角公式cos2α = 1 2sin²α，将已知的sinα值代入
公式进行计算，即可求得 cos2α的值。
03
例题2
已知cosβ = -√3/2，且β为第 二象限角，求sinβ/2的值。
要证明上述等式成立，我们可以先将 其转化为(1 + sinα + cosα) × 2 = (1 + tanα) × (1 + sinα - cosα)的形式 。然后利用辅助角公式和三角恒等式 进行化简和证明。
05
三角恒等式证明方法
直接法证明三角恒等式
01
公式法
利用已知的三角恒等式进行推 导，通过代入、变换等手段得
三角恒等变形定义
通过三角函数的基本关系式和诱导公式，将复杂的三角函数表达式化简为简单 的形式，或者将不同形式的三角函数表达式转化为等价的形式。
三角恒等变形的意义
在解决三角函数问题时，通过恒等变形可以简化计算过程，提高解题效率。同 时，掌握三角恒等变形的方法也有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三角函数周期性
利用三角函数的周期性，可以简化一些复 杂的三角函数表达式，或者将不同形式的 三角函数表达式转化为等价的形式。
诱导公式及其应用
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函 数值的公式。常见的诱导公式有和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
诱导公式的应用
利用诱导公式可以简化一些复杂的三角函数计算问题，如求任意角的三角函数值 、证明三角恒等式等。同时，诱导公式也是解决一些实际问题的重要工具，如测 量、物理中的振动和波动问题等。
高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳总结课件 新人教A版必修4
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
三角恒等变换 第三章
章末归纳总结 第三章
1 知识结构 2 专题突破
知识结构
专题突破
Байду номын сангаас
专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
[解析]
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcosθ＋3cos2θ＋53s＋in52θta＋nθ8sinθcosθ
cosθ＋3sinθ
3cosθ＋5sinθ
＝cosθ＋3sincθosθcosθ－sinθ＋3cosθ＋5sicnoθsθcosθ＋sinθ
已知 tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β 均为锐角， 求 cosβ 的值．
[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换，则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
[解析] ∵α、 β 均为锐角，∴0<α＋β<π. 又 cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
又 tanα＝4 3， ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489.
∴sinα＝473，从而 cosα＝ 1－sin2α＝17， 故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
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三角恒等变换 第三章
章末归纳总结 第三章
1 知识结构 2 专题突破
知识结构
专题突破
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专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
[解析]
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcosθ＋3cos2θ＋53s＋in52θta＋nθ8sinθcosθ
cosθ＋3sinθ
3cosθ＋5sinθ
＝cosθ＋3sincθosθcosθ－sinθ＋3cosθ＋5sicnoθsθcosθ＋sinθ
已知 tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β 均为锐角， 求 cosβ 的值．
[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换，则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
[解析] ∵α、 β 均为锐角，∴0<α＋β<π. 又 cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
又 tanα＝4 3， ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489.
∴sinα＝473，从而 cosα＝ 1－sin2α＝17， 故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
高中数学 第三章 三角恒等变换章末总结课件 新人教A版必修4
1 tan x
证明 3：左－右 cosx sin x2 1 tan x
cos2 x sin2 x 1 tan x
cos x sin x 1 tan x cos x sin x 1 tan x
1 tan x 1 tan x 0 1 tan x 1 tan x
∴左＝右
a
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5
(二) 要点概述
完整版ppt
6
完整版ppt
7
四、典型题归纳： （一）求值题
例
1.
已知
4
，
34
，
0，
4
，且 cos
4
3 5
，
sin
5 4
12 13
，求 cos
。
解：由已知
4
，
3 4
，得
3 4
，
4
∴
4
2
，0
又 cos
4
3 5
，∴
sin
4
4 5
2 2
2 2
2
2 cos
2
cos sin 2 cos2
2 2
2
cos
2
cos·cos
2
cos
2
∵ 2，∴ ，∴ cos 0
22
2
cos · cos
∴原式
2
cos
cos
2
完整版ppt
11
（三）证明题
例 3.
求证： 1 2 sin x cos x cos2 x sin2 x
2
2
降幂公式 cos2 cos 2 1 ， sin2 1 cos 2
2
2
⑶
tan
证明 3：左－右 cosx sin x2 1 tan x
cos2 x sin2 x 1 tan x
cos x sin x 1 tan x cos x sin x 1 tan x
1 tan x 1 tan x 0 1 tan x 1 tan x
∴左＝右
a
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5
(二) 要点概述
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6
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7
四、典型题归纳： （一）求值题
例
1.
已知
4
，
34
，
0，
4
，且 cos
4
3 5
，
sin
5 4
12 13
，求 cos
。
解：由已知
4
，
3 4
，得
3 4
，
4
∴
4
2
，0
又 cos
4
3 5
，∴
sin
4
4 5
2 2
2 2
2
2 cos
2
cos sin 2 cos2
2 2
2
cos
2
cos·cos
2
cos
2
∵ 2，∴ ，∴ cos 0
22
2
cos · cos
∴原式
2
cos
cos
2
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11
（三）证明题
例 3.
求证： 1 2 sin x cos x cos2 x sin2 x
2
2
降幂公式 cos2 cos 2 1 ， sin2 1 cos 2
2
2
⑶
tan
《三角恒等变换》归纳整合课件
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THANKS
详细描述
在三角恒等变换中，角度的取值范围对计算结果有着重 要的影响。如果角度的取值超出了特定范围，如90度 到270度或0度到180度，那么就需要使用不同的公式 或定理进行计算。忽视这一点，就会导致错误的结果。
不能灵活运用三角恒等变换的技巧
总结词
不能灵活运用三角恒等变换的技巧是学习中的一大难点。
详细描述
05
三角恒等变换的易错点分 析
忽视公式条件的使用范围
总结词
不重视公式条件的使用范围是三角恒等变换中的常见 错误。
详细描述
三角恒等变换的公式和定理都有一定的使用范围和条 件，如角度的范围、函数的种类等。如果忽视这些条 件，随意使用公式，会导致错误的结果。
忽视角度的范围对结果的影响
总结词
忽视角度的范围对三角恒等变换的结果有重要影响。
三角恒等变换的基本思路
通过引入已知的三角函数式，利用已知的三角恒等式将它们 联系起来，从而找到需要解决的表达式与已知表达式之间的 联系。
三角恒等变换的性质
三角恒等变换的性 质
三角恒等变换的性质主要包括奇 偶性、周期性、对称性以及三角 函数的和差倍角公式等。
奇偶性
对于一个函数f(x)，如果f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 ；如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)就 叫做奇函数。
常数变易的技巧
总结词
灵活运用，随机应变
详细描述
常数变易是通过将常数项变为变量，从而 改变等式中变量的系数，以达到简化计算 的目的。在三角恒等变换中，常数变易是 一种非常重要的技巧，可以广泛应用于各 种不同类型的等式中。
04
三角恒等变换的常见题型
求值题
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什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
第三章 三角恒等变换
长久坚持的能力 （自律性等）
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第三章 三角恒等变换
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
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第三章 三角恒等变换
什么是学习力-高效学习必备习惯
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第三章 三角恒等变换
例4 求证：tacnos52αα＋cotasn4α3α＝4(tan 5α－tan 3α)．
sin 5α ＋sin 3α 【证明】 左边＝ccooss52αα·ccooss43αα
＝
sin 8α
cos 5α·cos 3α·cos 2α·cos 4α
＝cos45sαin·c2oαs·3coαs·c2oαs·2coαs·c4oαs 4α
2．分类讨论思想 分类讨论思想与中学数学的关系较为密切，在三角 运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常常需 要分类讨论，三角函数与二次函数的综合问题以及 三角函数的最值等问题有时也需要分类讨论．
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第三章 三角恒等变换
例8 已知－π6≤β<π4，3sin2α－2sin2β＝2sin α，试求函
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第三章 三角恒等变换
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
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第三章 三角恒等变换
什么是学习力
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第三章 三角恒等变换
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
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第三章 三角恒等变换
例7 若方程 3sin x＋cos x＝a 在[0,2π]上恰有两个不
同的实数解，求 a 的取值范围． 【解】 ∵ 3sin x＋cos x＝a， ∴a＝2sin(x＋π6)，其中 x∈[0,2π]． 画出函数 f(x)＝2sin(x＋π6)，x∈[0,2π]的图象，如图所示．
＝cos45sαin·c2oαs 3α，
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第三章 三角恒等变换
右边＝4(csions 55αα－csions 33αα)
＝4·sin
5α·cos 3α－cos 5α·sin cos 5α·cos 3α
3α
＝ 4sin 2α ， cos 5α·cos 3α
∴左边＝右边，即等式成立．
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第三章 三角恒等变换
例6 点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线 PT 且 PT ＝ 1 ， ∠ PAB ＝ α ， 问 α 为 何 值 时 ， 四 边 形 ABTP的面积最大？ 【解】 如图所示，∵AB为直径， ∴∠APB＝90°，AB＝1， PA＝cos α，PB＝sin α.
第三章 三角恒等变换
章末专题整合
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第三章 三角恒等变换
知识体系构建
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第三章 三角恒等变换
专题归纳整合
专题一 三角函数式的求值 (1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊 角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角 函数值问题； (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角 函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β) ＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的 范围的讨论； (3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数 值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
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第三章 三角恒等变换
又∵PT 切圆于 P 点， ∠TPB＝∠PAB＝α， ∴S 四边形 ABTP＝S△PAB＋S△TPB ＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12sin αcos α＋12sin2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝ 42sin(2α－π4)＋14.
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第三章 三角恒等变换
例1 求 3tan 10°＋4sin 10°的值．
【解】
原式＝
3sin 10°＋4sin 10°cos 10° cos 10°
＝
3sin
10°＋2sin cos 10°
20°＝
3sin30°－20°＋2sin 20° cos 10°
＝
3sin 30°cos 20°－ 3cos 30°sin 20°＋2sin 20° cos 10°
＝
23cos
20°＋12sin cos 10°
20°＝sinc6o0s°1＋0°20°＝csions
8100°°＝1.
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第三章 三角恒等变换
例2 已知 tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，
0°<β<90°，求 β. 【解】 ∵0°<α<90°，且 tan α＝csions αα＝4 3，sin2α
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
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第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
所以 f(x)的单调递减区间为38π＋kπ，78π＋kπ(k∈Z)．
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第三章 三角恒等变换
专题四 三角函数的应用 三角函数是以角为自变量的函数也是以实数为自变量 的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同 时又广泛地应用于客观实际，所以建立三角函数模型 解决生活中的实际问题是十分重要的．
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息 后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
数 y＝sin2β－12sin2α 的最小值． 【解】 ∵－π6≤β<π4，∴－12≤sin β< 22，0≤sin2β<12， ∴0≤2sin2β<1. 由已知得 2sin2β＝3sin2α－2sin α， ∴0≤3sin2α－2sin α<1，
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第三章 三角恒等变换
即33ssiinn22αα－－22ssiinn
＋cos2α＝1，∴cos α＝17，sin α＝4 7 3. ∵cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°，
∴sin(α＋β)＝
1－－11142＝5143.
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第三章 三角恒等变换
∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5143×4 73＝12. 又 0°<β<90°，∴β＝60°.
例3 化简： 12－12 12＋21cos 2α(α∈(32π，2π))． 【解】 ∵α∈(32π，2π)， ∴α2∈(34π，π)，cos α>0，sinα2>0，
∴原式＝
12－12 12＋122cos2α－1＝
12－21|cosα|
＝ 121－cos α＝ 12·2sin2α2＝|sinα2|＝sinα2.
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
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高效学习模型
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
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第三章 三角恒等变换
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
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第三章 三角恒等变换小源自考TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
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第三章 三角恒等变换
专题二 三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路： 一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它 们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可通 过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间 经过怎样的变形可达到统一．
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第三章 三角恒等变换
如何利用规律实现更好记忆呢？
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
α≥0， α<1，
解得23≤sin α<1，或－13<sin α≤0.
∴y＝sin2β－12sin2α＝12(3sin2α－2sin α)－12sin2α
＝(sin α－12)2－14.
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第三章 三角恒等变换
∵当 sin α∈[23，1)时，y 是增函数， ∴当 sin α＝23时，ymin＝－29. ∵当 sin α∈(－13，0]时，y 是减函数， ∴当 sin α＝0 时，ymin＝0. 综上，函数 y＝sin2β－12sin2α 的最小值为－29.