高中数学概率问题解析

高考数学复习总结归纳点拨

1 概率问题中的数学思想

一、化归思想

1．运用公式()()1PAPA进行化归

例1 一枚硬币连掷3次，求至少出现一次正面的概率．

解：设A表示事件“掷3次硬币，3次均出现反面”，根据题意，易知1()8PA，而()()1PAPA，故7()1()8PAPA．

点评：点评：含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质()1()PAPA进一步求解．

2．将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率

例2 一个口袋中装有大小相同的２个白球和３个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．

解：记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球恰好颜色不同”为事件Ａ，而摸出一个球得白球的概率是20.45，摸出一球得黑球的概率是30.65，故“有放回地摸两次，颜色不同”是指“先白再黑”或“先黑再白”．

()0.40.60.60.40.48PA∴．

二、分类讨论思想

例3 袋中装有白球和黑球各３个，从中任取２个，取到黑球的概率是多少？

分析：取到黑球包括两种情况：“一个黑球、一个白球”、“两个黑球”，因此，需分情况讨论．

解：设“取到一个黑球、一个白球”为事件A，“取到两个黑球”为事件B，“取到黑球”为事件C，则()()PCPABU．

由题意易知，从袋中任取2个球，共有65215种可能结果，“取到一个黑球、一高考数学复习总结归纳点拨

2 个白球”有339种可能结果，“取到两个黑球”有3223种可能结果．

故93()155PA，31()155PB．

又事件A与事件B互斥，故4()()()5PCPAPB．

评注：分类讨论时，需注意做到不重不漏．

三、方程思想

例４ 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮住这种动物1200只，作标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中有作过标记的100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只这种动物？

高二数学学科中的概率问题解析

概率是数学的一个重要分支，也是高中数学中的一部分。它研究的是事件发生的可能性，并且在高二数学学科中占有一定的重要性。本篇文章将对高二数学学科中的概率问题进行深入解析，帮助学生更好地理解和应用概率知识。

一、概率的基本概念

概率是描述随机事件发生可能性的数值。一般情况下，概率的取值范围在0到1之间。其中，0代表不可能事件，1代表必然事件。

在高二数学学科中，我们需要了解以下几个基本概念：

1.1 样本空间

样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。用S表示，样本空间包含了实验的所有可能结果。

1.2 事件

事件是样本空间中的一个子集。事件可以是单个结果，也可以是多个结果的组合。

1.3 事件的概率

事件的概率指的是事件发生的可能性，用P(A)表示。其中，P(A)的取值范围在0到1之间。

二、概率的计算方法 在高二数学学科中，我们常用的计算概率的方法有以下几种：

2.1 古典概型

古典概型适用于每个结果都是等可能发生的情况。例如，掷骰子的结果就是一个典型的古典概型。

对于古典概型的计算，我们可以使用以下公式：

P(A) = 事件A的有利结果数 / 样本空间的结果总数

2.2 几何概型

几何概型适用于涉及到几何问题的概率计算。例如，求某个点在一个区域内的概率。

对于几何概型的计算，我们可以使用以下公式：

P(A) = A的面积 / 区域的面积

2.3 频率概率

频率概率是通过实验得到的结果来推断概率。通过多次实验并统计结果的次数，可以近似估算概率。

对于频率概率的计算，我们可以使用以下公式：

P(A) = 事件A发生的次数 / 实验总次数

三、概率问题的应用 在高二数学学科中，概率问题的应用可以非常广泛。以下是几个常见的概率问题的应用示例：

3.1 生日悖论

生日悖论是指在一个人数较小的群体中，两人生日相同的概率比我们通常想象的要高。通过概率计算，我们可以得出在某个群体中至少有两人生日相同的概率。

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马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）

如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新

高考I卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押

题卷”挽回了一些颜面。

2023年新高考I卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题

的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I卷

药物试验也是马尔可夫链，在新人教A版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔

科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A版选择性必修三 P49 页），可想而知，

未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关

注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，

对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中

的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。

基本原理

虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造

某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于

整点处，在时刻0=t

时，位于点)(+

∈=Niix

，下一个时刻，它将以概率α

或者β

（1),1,0(=+∈βαα

）向左或者向右平移一个单位.

若记状态

itX

=表示：在时刻t

该点位于位置

)(+

∈=Niix

，那么由全概率公式可得：

)|()()|()()(

1111111+==++=−==+−==+⋅+⋅=

itititititititXXPXPXXPXPXP

另一方面，由于αβ

==

+==+−==+)|(,)|(

1111ititititXXPXXP

专题22高中数学概率的问题

【知识总结】

1．古典概型的概率公式

P(A)＝事件A包含的样本点数试验的样本点总数.

2．独立重复试验

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．

3．相互独立事件同时发生的概率：

若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．

4．互斥事件至少有一个发生的概率：

若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A－)＝1－P(A)．

5．条件概率公式

设A，B为随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝PABPA.

【高考真题】

1．(2022·全国乙理)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

____________．

2．(2022·全国甲理) 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

3．(2022·全国甲文) 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )

A．15 B．13 C．25 D．23

4．(2022·新高考Ⅰ) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )

A．16 B．13 C．12 D．23

5．(2022·全国乙理) 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为123, , ppp，且3210ppp．记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )

A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大