根据幂级数的运算知识点总结

集合幂级数相关

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2022.2.28 重构整篇⽂章。原⽂章见 。

NOI ⼤纲⾥没有把位运算卷积如 FMT，FWT，⼦集卷积等知识点单独列出，但⾼维前缀和（SOSDP）是应⽤⽐较⼴泛的重要算法。

学习上述算法，⾸先要理解什么是集合幂级数。

1. 集合幂级数

1.1 定义

集合幂级数最初由吕凯风在他的 2015 年集训队论⽂《集合幂级数的性质与应⽤及其快速算法》中提出。这个名字听起来⾮常⾼级，但实际上不难理解。如果读者能够有⼀点点形式

幂级数的基础知识会更容易理解。

为⽅便说明，我们引⼊⼀些记号：

定义 2X 表⽰ X 的所有幂集，即 X 的所有⼦集组成的集合。定义 U 为全集 {1,2,⋯,n}，其中 n=|U|，即 U 的⼤⼩。⽤数字来表⽰元素是因为我们并不关⼼集合中的元素具体是什么，数字只是⼀个易于理解的符号。若⽆特殊说明，S 均为 U 的⼦集。

形式化地，域 F 上的集合幂级数 f 是 2U→F 的函数，其中对于每个 S⊆U，函数 f 均有对应的取值 fS∈F。

换句话说，集合幂级数就是从全集的所有⼦集（全集的幂集）到某个域 F（OI 中⼀般研究模某个⼤质数 p 意义下的整数域 Zp 或实数域 R）上的 映射。把 U 的每个⼦集 S 带⼊函

数，均有对应的取值 fS。

通俗地（不严谨），集合幂级数就是把函数的⾃变量值类型从⼀个数 x 换成了⼀个集合 S，且函数的定义域为全集的所有⼦集。

对⽐：形式幂级数由序列导出，⽽集合幂级数由集合导出。1.2 表⽰

有了定义，我们考虑如何表⽰⼀个集合幂级数。由于它的定义实在有些抽象，我们需要⼀个⽅法清晰地描述集合幂级数 f 在每个集合 S 处的取值（总不能说 f 把 ∅ 映射到 a，把 {1}

映射到 b，把 {⋯} 映射到 ⋯ 吧？这样太⿇烦了，⽽且不⽅便形式化表述）。

类⽐形式幂级数，我们可以给每个集合 S 对应的取值 fS 后添加 占位符 xS。即 cxS 表⽰⼀个将 S 映射到 c (fS=c) 的集合幂级数，且对于不等于 S 的 U 的⼦集 T，fT 的取值为 0

高数幂级数知识点

高数幂级数是高等数学中一个重要的概念，通过幂级数可以对一些函数进行近似展开，并得到它们的一些性质以及在某个点附近的近似值。

一、高数幂级数的定义 高数幂级数由一列项数不同的幂函数相加而成，通常形式如下： f(x) = a0 + a1(x -

x0) + a2(x - x0)^2 + a3(x - x0)^3 + ... 其中，a0，a1，a2，a3等为常数，称为系数；x0为展开点，x为自变量。

二、高数幂级数的收敛域 幂级数并不在所有点都收敛，而是在一定范围内收敛。收敛域由展开点x0和幂级数的收敛半径r决定。收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式计算得到： R = 1 / lim sup |an|^(1/n) 其中，an为系数，n为项数。当n趋向于无穷大时，计算结果即为收敛半径。

三、高数幂级数的求和公式 当幂级数收敛时，我们可以通过求和公式计算幂级数的和。常见的求和公式有以下几种： 1. 几何级数：当|q| < 1时，幂级数a + aq +

aq^2 + aq^3 + ...收敛，且和为A = a / (1 - q)。 2.

指数级数：e^x = 1 + x / 1! + x^2 / 2! + x^3 / 3!

+ ...，这是由指数函数的泰勒级数展开得到的幂级数。

3. 三角函数级数：sin(x) = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! + ...，cos(x) = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! -

x^6 / 6! + ...，这是由三角函数的泰勒级数展开得到的幂级数。

四、高数幂级数的应用 高数幂级数在数学及其他学科中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面： 1. 近似计算：通过幂级数可以对一些复杂的函数进行近似展开，从而得到它们在某个点附近的近似值。这在计算机科学、物理学等领域中非常重要。 2. 函数性质研究：通过幂级数可以研究函数的性质，如判定函数的奇偶性、周期性等。这对于分析函数的特性非常有帮助。 3. 物理运动问题：通过幂级数可以描述物理运动的规律。比如，通过对物体的位置或速度进行幂级数展开，可以得到运动的加速度、速度等信息。 4. 工程应用：高数幂级数在工程领域中也有着一定的应用，比如在信号处理、电路分析等方面可以通过幂级数展开来求解问题。

幂级数的知识点总结

一、幂级数的定义与基本概念

1. 幂级数定义

幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。

2. 幂级数的收敛半径

幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。收敛半径 $R$ 的计算公式为

\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]

当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0

3. 幂级数的收敛域

幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。我们可以通过比较 $|x|

$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。

二、幂级数的性质

1. 幂级数的加法性与乘法性

若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。

2. 幂级数的导数与积分

幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}

na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。

三、幂级数的收敛性与收敛域判断

1. 幂级数的收敛性判定

判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。比值判别法和根式定理适用于正项级数的收敛性判断，而韦达定理则适用于绝对收敛的级数。 2. 幂级数的收敛域判断

第十四章 幂级数习题课

一 疑难解析与注意事项

1．如何求缺项幂级数的收敛半径

答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂级数，不能直接用公式1limlimnnnnnnaaa．常用方法是：

1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．

例如幂级数2112nnnx，可令2yx，化为幂级数112nnny，而幂级数112nnny的收敛半径为2R，从而当22x时，原幂级数收敛，当22x时，原幂级数发散，由此推出原幂级数的收敛半径为2R．

2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2来求．

例如求幂级数2202nnnx（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数2202nnnx，因为22222222lim42nnnnnxxx，当214x时，即2x，2202nnnx收敛，则原来级数绝对收敛；当214x时，即2x，2202nnnx发散，则原来级数发散，所以收敛半径2R．

2．如何求幂级数的收敛域

答：1）首先求幂级数的收敛半径R；

2）写收敛区间,RR；

3）讨论端点处的收敛性，即讨论0nnnaR，0nnnaR的收敛性，如果两个都收敛，则幂级数的收敛域为,RR，如果两个都发散，则收敛域为,RR，如果其中一个收敛，一个发散，则收敛域为,RR（0nnnaR收敛），,RR（0nnnaR收敛）．

3．幂级数在RR,内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何

答：1）幂级数在RR,端点处可能收敛可能发散． 例如幂级数nxn的收敛区间是1,1，在端点1处，级数1n发散，在端点1处级数1nn收敛，收敛域是1,1．