第三章__数值计算

Matlab编程基础及应⽤-四川⼤学课件

第三章基本数值计算

第⼀节数据的类型1.变量

2.常量

3.字符变量

第⼆节矩阵构造及运算1.矩阵（matrix）的构造

（1）矩阵的建⽴

exno10：

exno10t：

（2）向量

（3）向量的点积与叉积

2.矩阵的加减乘除

3.对矩阵的操作

（1）对矩阵元素的操作

（2）对矩阵A的部分操作

（3）对矩阵A进⾏分析

4.矩阵的数组运算

练习3-3：

若x= 0 : 0.1 : 2 plot(x, y)

5.矩阵元素的关系运算与逻辑运算

6.矩阵的多维数组形式

（1）数组的维

（2）多维数组的构成

a是3x3x2矩阵

c是3x3x3矩阵7.多项式及其运算式（1）多项式的创建

（2）多项式的引⽤polyval

（3）多项式运算的函数

（4）函数的多项式拟合：

第四章符号运算

符号运算是数学计算的重要内容，特点是不带来计算误差，希望认真掌握本章内容。第⼀节符号变量的创建第⼆节符号函数的运算

1.函数求极限

第3句返回值：

exno18t：

a = 2/3 其中2/3是符号不是数字

2.微分与积分的运算y1 =

y1,y2是两个变量

y(1),y(2)是y的两个元素

3.梯度函数gradient注意：除了边界点是相邻作差，其他点应间隔⼀点作差再除以两倍相邻距离）

第一章 引论

计算方法解决问题的主要思想

计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简

1、采用“构造性”方法

构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。

2、采用“离散化”方法

把连续变量问题转为求离散变量问题。

例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。

3、采用“递推化”方法

将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。

4、采用“近似代替”方法

计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。

算法的可行性分析

时间复杂度、空间复杂度

分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。

时间复杂度是算法耗费时间的度量。

算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度

算法的可靠性分析

良态算法、病态算法

一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。

误差的来源

1、模型误差

我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。因而总是近似的，这就产生了误差。这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。

2、观测误差

观测到的数据与实际数据之差。

3、截断误差

数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。

4、舍入误差

由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。

绝对误差、相对误差

定义2 记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。

定义3 称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。 “四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。

第三章 物理学中定积分的数值计算方法

一、填空题

1、库仑常数k等于 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0等于 8.85×10-12F/m 。

2、对于电量为Q的点电荷，在距离r处产生的电场强度为21ˆˆ()4QrErrrr。

3、已知定积分bafxdx，被积分函数为fx，积分区间为,ab。将该区间N等分，步长/xbaN，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。积分近似计算公式为10()()NbiaiIfxdxfxx。

4、毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034IdlrdBr。

5、玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。

6、麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2vkTdNfvdvvedvNkT。

7、在计算物理中求解定积分的方法有 辛普森法 、 龙贝格法 、 高斯求积法等。

二、简答

1、写出库仑常数、真空中的介电常数和玻尔兹曼常数的值。

答：库仑常数k= 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0= 8.85×10-12F/m，玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K。

2、什么是矩形法？ 答：已知定积分bafxdx，被积分函数为fx，积分区间为,ab。将该区间N等分，步长/xbaN，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。积分近似计算公式为10()()NbiaiIfxdxfxx。

3、毕奥—萨伐尔定律和麦克斯韦速率分布律公式。

答：毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034IdlrdBr。麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2vkTdNfvdvvedvNkT。

三、计算、编程

1、将区间（0，π/2）二等分，分别利用矩形法、梯形法、抛物线法计算积分/20cosGxdx。

解：将区间（0，π/2）二等分。

第 1 页 共 1 页 第三章 程序编制中的数值计算

根据零件图样，按照已确定的加工路线和允许的编程误差，计算数控系统所需输入的数据，称为数控加工的数值计算。手工编程时，在完成工艺分析和确定加工路线以后，数值计算就成为程序编制中一个关键性的环节。除了点位加工这种简单的情况外，—般需经繁琐、复杂的数值计算。为了提高工效，降低出错率，有效的途径是计算机辅助完成坐标数据的计算，或直接采用自动编程。

一个零件的轮廓往往是由许多不同的几何元素所组成，如直线、圆弧、二次曲线以及阿基米德螺线等。各几何元素间的联结点称为基点。如两直线间的交点，直线与圆弧或圆弧与圆弧间的交点或切点，圆弧与二次曲线的交点或切点等。显然，相邻基点间只能是一个几何元素。对于由直线与直线或直线与圆弧构成的平面轮廓零件，由于目前一般机床数控系统都具有直线、圆弧插补功能，故数值计算比较简单。此时，主要应计算出基点坐标与圆弧的圆心点坐标。将组成零件轮廓的曲线，按数控系统插补功能的要求，在满足允许的编程误差的条件下进行分割，即用若干直线段或圆弧段来逼近给定的曲线，逼近线段的交点或切点称为节点。

对刀时是通过一定的测量手段使刀位点与对刀点重合，数控系统从对刀点开始控制刀位点运动，并由刀具的切削刃部分加工出要求的零件轮廓。