鲁教版数学七年级上第三章《勾股定理》(含答案及解析)

勾股定理

时间：100分钟 总分：100

题号

一 二 三 四 总分

得分

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）

1. 直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为( )

A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm

2. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为( )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

3. 适合下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，直角三角形的个数为( )

①𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5；

②𝑎=6，∠𝐴=45∘；

③𝑎=2，𝑏=2，𝑐=2√2；

④∠𝐴=38∘，∠𝐵=52∘．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. 以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )

A. 2，3，4 B. 4，6，5 C. 14，13，12 D. 7，25，24

5. 在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是𝑆1、𝑆2、𝑆3、𝑆4，则𝑆1+2𝑆2+2𝑆3+𝑆4=(

)

A. 5 B. 4 C. 6 D. 、10

6. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=15，𝐴𝐶=13，BC边上的高𝐴𝐷=12，则△𝐴𝐵𝐶的周长为(

)

A. 14 B. 42 C. 32 D. 42或32

7. △𝐴𝐵𝐶的三边为a、b、c且满足𝑎2(𝑎−𝑏)+𝑏2(𝑎−𝑏)=𝑐2(𝑎−𝑏)， 则△𝐴𝐵𝐶是( )

A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形

C. 等腰三角形 D. 直角三角形

8. 如图，在四边形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，E是AB上一点，且𝐷𝐸⊥𝐶𝐸.若𝐴𝐷=1，𝐵𝐶=2，𝐶𝐷=3，则CE与DE的数量关系正确的是( )

A. 𝐶𝐸=√3𝐷𝐸

B. 𝐶𝐸=√2𝐷𝐸

C. 𝐶𝐸=3𝐷𝐸

D. 𝐶𝐸=2𝐷𝐸

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分） 9. 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．

10. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．

11. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．

12. 如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入(填“能”或“不能”)．

13. 如图，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，AD是底边上的高，若𝐴𝐵=5𝑐𝑚，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，则𝐴𝐷=______cm．

14. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，若𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=3，则𝐴𝐷=

______ ．

15. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30∘，∠𝐵=45∘，𝐴𝐶=2，则𝐵𝐶= ______ ．

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

16. 已知如图，四边形ABCD中，∠𝐵=90∘，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，𝐶𝐷=12，𝐴𝐷=13，求这个四边形的面积．

17. 如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=13，BC边上的中线𝐴𝐷=6，求BC的长．

18. 公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得𝐵𝐶=𝐶𝐷=20米，∠𝐴=45∘，∠𝐵=∠𝐶=120∘，请求出这块草地面积．

19. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，∠𝐵=60∘，∠𝐶=45∘．

(1)求∠𝐵𝐴𝐶的度数．

(2)若𝐴𝐶=2，求AB的长．

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

20. 如图，等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，点P在AC上，将△𝐴𝐵𝑃绕顶点B沿顺时针方向旋转90∘后得到△𝐶𝐵𝑄．

(1)求∠𝑃𝐶𝑄的度数；

(2)当𝐴𝐵=4，AP：𝑃𝐶=1：3时，求PQ的大小；

(3)当点P在线段AC上运动时(𝑃不与A重合)，请写出一个反映𝑃𝐴2，𝑃𝐶2，𝑃𝐵2之间关系的等式，并加以证明．

21. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘，𝐴𝐵=3𝑐𝑚，𝐵𝐶=4𝑐𝑚.点D在AC上，𝐴𝐷=1𝑐𝑚，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿𝐶→𝐵→𝐴→𝐶的路径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿𝐵→𝐶→𝐴的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为𝑥𝑐𝑚/𝑠．

(1)点Q的速度为______𝑐𝑚/𝑠(用含x的代数式表示)．

(2)求点P原来的速度．

答案和解析

【答案】

1. D 2. C 3. C 4. D 5. C 6. D 7. A

8. B

9. 24

10. 612

11. 13或√119

12. 能

13. 4

14. 165

15. √2

16. 解：连接AC，如图所示：

∵∠𝐵=90∘，∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，

又𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3， ∴根据勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=5，

又𝐴𝐷=13，𝐶𝐷=12，

∴𝐴𝐷2=132=169，𝐶𝐷2+𝐴𝐶2=122+52=144+25=169，

∴𝐶𝐷2+𝐴𝐶2=𝐴𝐷2，

∴△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，∠𝐴𝐶𝐷=90∘，

则𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐶𝐷=12𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+12𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=12×3×4+12×12×5=36．

17. 解：延长AD到E使𝐴𝐷=𝐷𝐸，连接CE，

在△𝐴𝐵𝐷和△𝐸𝐶𝐷中

{𝐴𝐷=𝐷𝐸∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶𝐵𝐷=𝐷𝐶，

∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，

∴𝐴𝐵=𝐶𝐸=5，𝐴𝐷=𝐷𝐸=6，𝐴𝐸=12，

在△𝐴𝐸𝐶中，𝐴𝐶=13，𝐴𝐸=12，𝐶𝐸=5，

∴𝐴𝐶2=𝐴𝐸2+𝐶𝐸2，

∴∠𝐸=90∘，

由勾股定理得：𝐶𝐷=√𝐷𝐸2+𝐶𝐸2=√61，

∴𝐵𝐶=2𝐶𝐷=2√61，

答：BC的长是2√61．

18. 解：连接BD，过C作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷于E，如图所示：

∵𝐵𝐶=𝐷𝐶=20，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=120∘，

∴∠1=∠2=30∘，

∴∠𝐴𝐵𝐷=90∘．

∴𝐶𝐸=12𝐶𝐷=10，

∴𝐵𝐸=10√3，

∵∠𝐴=45∘，

∴𝐴𝐵=𝐵𝐷=2𝐵𝐸=20√3，

∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐷+𝑆△𝐵𝐶𝐷=12𝐴𝐵⋅𝐵𝐷+12𝐵𝐷⋅𝐶𝐸=12×20√3×20√3+12×20√3×10

=(600+100√3)𝑚2．

19. 解：(1)∠𝐵𝐴𝐶=180∘−60∘−45∘=75∘．

(2)∵𝐴𝐶=2，

∴𝐴𝐷=𝐴𝐶⋅sin∠𝐶=2×sin45∘=√2；

∴𝐴𝐵=𝐴𝐷sin∠𝐵=√2sin60∘=2√63．

20. 解：(1)由题意知，△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝑄𝐵，

∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐶𝑄=45∘，∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝑃𝑄，𝐴𝑃=𝐶𝑄，𝑃𝐵=𝐵𝑄， ∴∠𝑃𝐶𝑄=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐶𝑄=90∘，∠𝐴𝐵𝑃+∠𝑃𝐵𝐶=∠𝐶𝑃𝑄+∠𝑃𝐵𝐶=90∘，

∴△𝐵𝑃𝑄是等腰直角三角形，△𝑃𝐶𝑄是直角三角形．

(2)当𝐴𝐵=4，AP：𝑃𝐶=1：3时，有𝐴𝐶=4√2，𝐴𝑃=√2，𝑃𝐶=3√2，

∴𝑃𝑄=√𝑃𝐶2+𝐶𝑄2=2√5．

(3)存在2𝑃𝐵2=𝑃𝐴2+𝑃𝐶2，

由于△𝐵𝑃𝑄是等腰直角三角形，

∴𝑃𝑄=√2𝑃𝐵，

∵𝐴𝑃=𝐶𝑄，

∴𝑃𝑄2=𝑃𝐶2+𝐶𝑄2=𝑃𝐴2+𝑃𝐶2，

故有2𝑃𝐵2=𝑃𝐴2+𝑃𝐶2．

21. 43𝑥

【解析】

1. 解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，

根据勾股定理得：(3𝑥)2+(4𝑥)2=202，

整理得：𝑥2=16，

解得：𝑥=4，

∴两直角边分别为12cm，16cm，

则这个直角三角形的周长为12+16+20=48𝑐𝑚．

故选D

根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．

此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

2. 解：由于a、b、c都是正方形，所以𝐴𝐶=𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=90∘；

∵∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=90∘，即∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐸，

在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐸𝐷中，

{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐶=90∘∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐷𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐶，

∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)，

∴𝐴𝐵=𝐶𝐸，𝐵𝐶=𝐷𝐸；

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐷𝐸2，

即𝑆𝑏=𝑆𝑎+𝑆𝑐=1+9=10，

∴𝑏的面积为10，

故选C．

运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐸，然后证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐸，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．

此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐸．

3. 解：①𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5，

∵32+42=25=52，

∴满足①的三角形为直角三角形；