2015届高考数学(文)课时检测9-1直线方程(人教版)

【与名师对话】2014年高考数学总复习 9-1 直线的方程配套课时作业 理 新人教A 版一、选择题1．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：由y －5＝－34(x ＋2)，得：3x ＋4y －14＝0，故选A. 答案：A2．(2012年孝感统考)过点(3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：圆心坐标为(0,1)，斜率k ＝tan α＝－2－13－0＝－3，∴倾斜角α＝120°. 答案：C3．(2012年山西四校联考)直线x －2cos αy ＋3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3解析：直线x －2cos αy ＋3＝0的斜率k ＝12cos α，∵α∈[π6，π3]，∴12≤cos α≤32，故k ＝12cos α∈[33，1]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[33，1]， 由于θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，π4]．答案：A 4．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：由y ＝xx ＋2，得y ′＝x ＋－x x ＋2＝2x ＋2，所以在点(－1，－1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝－1＝2， 由点斜式方程，得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：A5．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.法二：设方程为x a ＋y b＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b＝1，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小， ∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0. 答案：B6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析：如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 答案：B 二、填空题7．直线x ＝π3的倾斜角为________．解析：∵直线x ＝π3与x 轴垂直，∴其倾斜角为90°.答案：90°8．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b＝________.解析：设直线方程为x a ＋y b＝1，因为A (2,2)在直线上， 所以2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12.答案：129．(2011年安徽)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 解析：令y ＝x ＋12，则①正确．令y ＝3x －3，则经过(1,0)，②不对． 令y ＝x ＋12，则直线不过任何整点，④不对．令y ＝3x ，∴⑤正确．③显然正确．答案：①③⑤ 三、解答题10．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.11．(2012年河北沧州月考)已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －3＝6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12．(2012年河北沧州月考)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·＋2k2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[热点预测]13．(1)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0(2)经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且以d ＝(1,1)为方向向量的直线的方程是__________ . 解析：(1)圆心C (3,0)，k CP ＝－12，由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以MN 所在直线方程是2x －y －1＝0，故选D.(2)抛物线焦点(1,0)，斜率k ＝1，由点斜式，得y －0＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：(1)D (2)x －y －1＝0。

课时作业(五十八)1．已知F 1、F 2是双曲线x 22－y 2＝1的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )A ．8B ．2 2C ．4 2D ．随α的大小而变化答案 C解析 由双曲线定义知： |PF 1|＋|QF 1|－|PQ |＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|) ＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|) ＝4a ＝4 2.2．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线且经过点A (－3，32)的双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离是( )A. 2 B ．34 2 C ．1 D ．4答案 B解析 设此双曲线方程为x 29m －y 216m ＝1，代入点A (－3，32)，得m ＝－18.∴方程为y 22－x 298＝1.∵焦点到渐近线的距离为b ，∴d ＝b ＝98＝324.3．(2014·山东莱芜一模)双曲线中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1答案 B解析该双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由已知条件知c＝5，即a2＋b2＝5.①由题意知P点坐标为(5，4)，则5a2－16b2＝1.②由①②可解得a2＝1，b2＝4，所求双曲线的方程为x2－y24＝1.4．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率()A.32B．2C.52D．3答案 B解析设F1(－c,0)，F2(c,0)．由△PF1F2为正三角形，得2c＝c2＋4b2.∴3c2＝4b2＝4(c2－a2)．∴c2＝4a2，e2＝4，e＝2.5．△ABC的顶点为A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.x29－y216＝1 B．x216－y29＝1C.x29－y216＝1(x>3) D．x216－y29＝1(x>4)答案 C解析设△ABC的内切圆与x轴相切于D点，则D(3,0)．由于AC、BC都为圆的切线．故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.再由双曲线第一定义知所求轨迹为x29－y216＝1(x>3)．6．已知曲线x2a－y2b＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP→·OQ→＝0(O为原点)，则1a－1b的值为()A ．1B ．2C ．3D ．32答案 B解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，所以2a ＋2ab a －b －2aa －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点F 是其左焦点，点E 是其右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若AE →·BE →＝0，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A 解析根据题意画出如图所示的简图．由AE →·BE →＝0，可知∠AEB 为直角．由双曲线的几何性质可知∠AEF ＝45°.又|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，三角形AEF 为等腰直角三角形，所以b 2a ＝a ＋c ，整理得c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．8．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56 答案 C解析如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝6， 由双曲线的定义可知，|PF 1|＝10.在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2－|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2＝10×6×56＝50. 9．已知圆C 过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．答案 163解析 由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，±473，易求它到中心的距离为163.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________.答案 56解析 由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56.11．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为_______；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为_______．答案 x ±y ＝0 ±3解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，联立方程，得⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，消去x 得(m 2－1)y 2＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P 、Q 两点的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵P A →＝2AQ →，∴y P ＝－2y Q .又⎩⎪⎨⎪⎧y P ＋y Q ＝2m1－m 2，y P y Q ＝1m 2－1，解得m ＝±13，直线l 的斜率为1m ，即为3或－3.12．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为833的双曲线的方程．答案 x 24－y 2＝1解析 渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24m －y 2m ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24m －y 2m＝1，x －y －3＝0.可得3x 2－24x ＋36＋4m ＝0， ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，得 |AB |＝2·48－16m3. 又∵|AB |＝833，∴m ＝1. ∴双曲线方程为x 24－y 2＝1.13．(2011·江西)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC→＝λOA →＋OB →，求λ的值．答案 (1)e ＝305 (2)λ＝0或λ＝－4解析 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.因为C 为双曲线上一点，所以x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。

课时作业(十三)1．函数f (x )＝x －4x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个答案 C解析 令f (x )＝0，解x －4x ＝0，即x 2－4＝0，且x ≠0，则x ＝±2.2．(2012·北京)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 因为y ＝x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝(12)x 在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－(12)x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x －(12)x 在定义域内有唯一零点，选B.3．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0,2]上( )A ．有两个零点B ．有三个零点C ．仅有一个零点D ．无零点 答案 C解析 由于f (x )＝x 3－x 2－x ＋1＝(x 2－1)(x －1)．令f (x )＝0，得x ＝－1,1.因此f (x )在[0,2]上仅有一个零点．4．(2012·湖北)函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 借助余弦函数的图像求解．f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有π4，3π4，5π4，7π4，共4个根，故原函数有5个零点．5．(2014·唐山一中)“k >3”是“函数f (x )＝x －2，x ∈[0，k ]存在零点的”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 若f (x )存在零点，则k ≥2.6．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0] 答案 D解析 函数f (x )在区间[a ，b ]上有零点，需要f (x )在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f (a )f (b )≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.7．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 答案 B解析 原函数f (x )＝x －cos x 可理解为幂函数x 12与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x ＝2π，且2π>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.8．方程2x －1＋x －5＝0的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 C解析 令f (x )＝2x －1＋x －5，f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0.∴方程的解在(2,3)内．9．(2011·陕西)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根答案 C解析求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图像如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．10．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案 A解析 只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．11．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点 C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D解析 由题意，得f (1e )·f (1)>0且f (1)·f (e)<0，又f ′(x )＝13－1x ，当0<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(0,3)上单调递减．12．(2014·东城区期末)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析设g(x)＝11－x，由于函数g(x)＝11－x＝－1x－1在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.13．(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．答案 1解析f′(x)＝2x ln2＋3x2在(0,1)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点．14．如果函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．答案0，－1 2解析由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a.g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax(x＋1 2)，则g(x)的零点是x＝0，x＝－1 2.15．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为________．答案7解析当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1，∵f(x＋2)＝f(x)，∴y＝f(x)在[0,6)上有6个零点．又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上的与x轴的交点个数为7.16．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．答案m＝－2，零点是x＝0解析方法一：令2x＝t，则t>0，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0仅有一正根，而g (0)＝1>0，故⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4＝0，－m 2>0.∴m ＝－2.方法二：令2x ＝t ，则t >0.原函数的零点，即方程t 2＋mt ＋1＝0的根． ∴t 2＋1＝－mt .∴－m ＝t 2＋1t ＝t ＋1t (t >0)．有一个零点，即方程只有一根．∵t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1t 即t ＝1时)，∴－m ＝2即m ＝－2时，只有一根． 注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数．。

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第九章 解析几何 第一节 直线的方程一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2014年高考数学全程总复习】过点M (,N (的直线的倾斜角是( )(A)34π (B) 4π (C) 6π (D)3π【答案】B【解析】由斜率公式得k==1.又倾斜角范围为[0,)π,∴倾斜角为4π. 2. 【2013-2014学年福建省清流一中高一下学期第一阶段】直线10x y --=不经过的象限是( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3. 【2013-2014学年四川省资阳市高一下学期期末】直线134x y+=与两坐标轴围成的三角形的周长为（ ）A ．6B ．7C ．12D ．1412434322=+++.4.【2013-2014学年福建省清流一中高一下学期第一阶段】过点P 且倾斜角为45°的直线方程为（ ）A ．3y x +=B ．y x =C ．y x =-．y = 【答案】C【解析】斜率145tan ==k ,由直线的点斜式方程可得⇒-=+)3(13x y y x =- C.5.【2013-2014学年湖南省安乡一中高二下学期期末】与直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）A 、0543=++y xB 、0543=-+y xC 、0543=-+-y xD 、0543=++-y x6.【2013-2014学年福建省三明一中高一下学期期中】下列说法的正确的是 （ ）A ．经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B ．经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示C ．经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示7. 【2014年高考数学全程总复习】直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是( )(A)40° (B)50° (C)130° (D)140°8. 【2013-2014学年辽宁省铁岭高中高一下学期期初】直线1l ：0ax y b -+=，2l ：0bx y a -+=（0ab ≠，a b ≠）在同一坐标系中的图形大致是( )9.【2014届陕西省高考前30天】点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．010. 【2014高考名师推荐】设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】B 【解析】11.【改编自2014届高考数学总复习考点引领】2014届高考数学总复习考点引领直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为（ ）． A ．8x －5y ＋20＝0 或 2x －5y+10＝0 B ．2x －5y －10＝0 C ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝012.【改编自2005·全国卷3文理】已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P到AC 、BC 的距离乘积的最大值是（ ）. A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】以C 为原点,CA CB 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图所示，则直线AB 的方程为143x y+=.由重要不等式得：43x y +≥13xy ≥≤.点P 到AC 、BC 的距离乘积即xy ，所以点P到AC 、BC 的距离乘积的最大值是3，选C .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

课时作业(七十七)1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23 C.32 D ．－32答案 D2．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t(t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |(t 为参数) D.⎩⎨⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t (t 为参数)答案 D解析 考查四个选项：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ； 对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ； 对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，但要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2即符合y 2＝x .因此D 是正确的，故选D.3．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t (t 为参数)等价的普通方程( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)答案 D解析 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y24＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2.4．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为____________，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为____________．答案 (x －1)2＋y 2＝1 (x －12)2＋y 2＝14 解析 ∵⎩⎨⎧x －1＝cos θ，y ＝sin θ，∴(x －1)2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.M 点的坐标可以设为M (1＋cos θ，sin θ)，则P (1＋cos θ2，sin θ2)，即⎩⎨⎧2x －1＝cos θ，2y ＝sin θ.∴(2x －1)2＋(2y )2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴点P 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14.5．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋t sin α，y ＝－2＋t cos α(t 为参数)，其中实数α的范围是(0，π2)，则直线l 的倾斜角是________．答案 π2－α解析 首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程，根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角．直线l 的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos (π2－α)，y ＝－2＋t sin (π2－α)(t 为参数)，所以根据方程可知直线的倾斜角是π2－α.6．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.答案2解析 由抛物线参数方程⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t消去t ，得y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)．∴直线l 的方程为y ＝x －2.又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， ∴r ＝|4－2|1＋1＝ 2.7．(2014·衡水调研卷)直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.答案 π6或5π6解析 直线y ＝x tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12.∴α＝π6或5π6. 8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．答案 2解析 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，化为普通方程x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，r ＝1.曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程x －y ＋1＝0，则圆心在曲线C 2上，直线与圆相交，故C 1与C 2的交点个数为2.9．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x －y＋m ＝0相切，则m ＝______.答案2 －1或3解析 由题意知，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其半径r ＝ 2.若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则|1－2＋m |1＋1＝2，得|m －1|＝2，故m ＝－1或3. 10．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．答案 75解析将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos(θ＋π4)分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C (12，－12)，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75.11．将参数方程⎩⎨⎧x ＝3sin 2θ，y ＝4cos2θ(θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线．答案 8x ＋3y －12＝0(x ∈[0,3])，表示一条线段解析 y ＝4cos2θ＝4－8sin 2θ，由x ＝3sin 2θ，得sin 2θ＝x3. ∴y ＝4－83x ，即8x ＋3y －12＝0. ∵x ＝3sin 2θ∈[0,3]，∴所求普通方程为8x ＋3y －12＝0(x ∈[0,3])，它表示一条线段．12．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)(2)ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3解析 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)方法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°.设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1sin (120°－θ)，即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.方法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程 ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.13．(2014·保定模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 答案 (1)A (0,0)，B (22，7π4) (2)⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)解析 (1)直线l 的普通方程为y －1＝－(x ＋1)， 即y ＝－x .①曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.② ①代入②，得2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. ∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B (22，7π4)． (2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－(3)2＝1. 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝kx ＋k ＋1. ∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34. ∴l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)．14．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π4)＝m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值；(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．答案 (1)m ＝2 (2)(x ＋28)2＋(y －28)2＝116，轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆解析 (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A 的直角坐标为(2，0)，直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2m ＝0.由点A 到直线l 的距离为d ＝|2＋2m |2＝1＋m ＝3， ∴m ＝2.(2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ－π4)＝2， 设P (ρ0，θ0)，Q (ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρρ0＝1，θ＝θ0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝1ρ，θ0＝θ.①因为点P (ρ0，θ0)在直线l 上，所以ρ0sin(θ0－π4)＝2.②将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q 轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π4)．化为直角坐标方程为(x ＋28)2＋(y －28)2＝116.则点Q 的轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆．15．已知圆ρ＝2，直线l ：ρcos θ＝4，过极点作射线交圆于A 点，交直线l 于B 点，直线l 与极轴的交点为N .(1)求AB 中点M 的轨迹的极坐标方程；(2)判断△OMN 能否为等边三角形，并说明理由． 答案 (1)ρ＝2cos θ＋1 (2)△OMN 不可能为等边三角形 解析 (1)设M (ρ，θ)，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)， 则θ＝θ1＝θ2，且2ρ＝ρ1＋ρ2. 由于ρ1＝2，得ρ2＝2(ρ－1)．而B(ρ2，θ2)在直线l：ρcosθ＝4上，则ρ2cosθ2＝4，则2(ρ－1)cosθ＝4，则ρ＝2cosθ＋1.所以AB中点M的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋1.(2)若△OMN为等边三角形，则∠NOM＝60°.那么此时|OM|＝2cos60°＋1＝5，而|ON|＝4，知|OM|≠|ON|.那么△OMN不可能为等边三角形．16．已知直线l：ρsin(θ－π4)＝4和圆C：ρ＝2k·cos(θ＋π4)(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.(1)求圆心C的直角坐标；(2)求k值．答案(1)C(22k，－22k)(2)k＝－1解析(1)ρsin(θ－π4)＝4化为ρ(sinθcosπ4－cosθsinπ4)＝4，∴x－y＋42＝0即l方程．又将⊙C方程化为x2＋y2－2kx＋2ky＝0，即(x－22k)2＋(y＋22k)2＝k2.∴C(22k，－22k)．(2)∵直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2，∴|22k＋22k＋42|2＝|k|＋2.即|k＋4|＝|k|＋2.两边平方，得8k＝4|k|－12.k>0时，4k＝－12，k＝－3(舍)；k<0时，12k＝－12，k＝－1.综上k值为－1.。

9.1 直线的方程1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的X 围为[0°，180°). (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2.直线方程的五种形式名称 方程 适用X 围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用3.过P 1(x 11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.4.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(6)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示.( × ) (7)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示.( × )(8)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ )2.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________________________________. 答案 45°或135°解析 由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.4.直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点.则直线l 的倾斜角的取值X 围为____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 5.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 答案 x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点.设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值X 围分别为________，________.思维启迪 本题考查斜率求解公式以及k 与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论. 答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则 k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时， α＝0，k >0时，α为锐角. 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值X 围为α∈[0，π4]∪[3π4，π).思维升华 直线倾斜角的X 围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的X 围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0).(1)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B.－13C.－32D.23(2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的X 围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 答案 (1)B (2)B解析 (1)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.(2)由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.思维启迪 本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍. 解 (1)设直线l 在x 、y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用例3已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 思维启迪 先求出AB 所在的直线方程，再求出A ，B 两点的坐标， 表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值. 解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1 (a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k )≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立.即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值X 围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)解 由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k ).依题意得⎩⎨⎧－1＋2kk <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(5分)与点M (4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________. 思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解. 解析 当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，∵点M (4,3)与所求直线的距离为5， ∴|4＋3－a |2＝5，∴a ＝7±5 2.∴所求直线方程为x ＋y －7－5 2 ＝0或x ＋y －7＋52＝0.当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. 同理可得|4k －3|1＋k 2＝5，∴k ＝－43.∴所求直线方程为y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0. 答案 x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0 温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有 (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况； (2)选用截距式时，忽视截距为零的情况； (3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值X 围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2.求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割， 牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法. 失误与防X1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的X 围；二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ) A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.2.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1 答案 D解析 由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1.3.已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A.3B.－3C.0D.1＋ 3 答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.4.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合.5.设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的X 围是( )A.[0，π)B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4答案 C解析 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的X 围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C.二、填空题6.直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________.答案 －23解析 设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)，∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2，∴P (－2,1)，∴k ＝1＋1－2－1＝－23. 7.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值X 围是________________.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－a a ＋1<0即可， 解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值X 围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 8.若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________. 答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0. 根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号.即ab 的最小值为16.三、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程. 解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3).又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1.直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( )A.－13B.－3C.13D.3 答案 A解析 结合图形可知选A.2.直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3B.⎝⎛⎭⎫12，3C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3，定点为(－12，－3). 3.经过点P (1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A.x ＋2y －6＝0B.2x ＋y －6＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0答案 B解析 方法一 直线过点P (1,4)，代入选项，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.方法二 设所求直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 将(1,4)代入得1a ＋4b＝1， a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4a b)≥9， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y 6＝1，即2x ＋y －6＝0. 4.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________. 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.5.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值X 围是________. 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小 值和最大值.∴b 的取值X 围是[－2,2].6.直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点.(1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程.解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负.设l ：y －4＝k (x －1)(k <0).令y ＝0，可得A (1－4k，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k ). (1)|P A |·|PB |＝ (4k)2＋16·1＋k 2 ＝－4k (1＋k 2)＝－4(1k＋k )≥8.(注意k <0) ∴当且仅当1k＝k 且k <0即k ＝－1时， |P A |·|PB |取最小值.这时l 的方程为x ＋y －5＝0.(2)|OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k)≥9. ∴当且仅当k ＝4k且k <0，即k ＝－2时， |OA |＋|OB |取最小值.这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.。

高考数学一轮复习学案：9.1 直线的方程（含答案）9.1直线的方程直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式.斜截式.截距式.两点式及一般式，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率.倾斜角也是考查的重点题型主要在解答题中与圆.圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择.填空题中出现.1直线的倾斜角1定义当直线l与x 轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.2范围直线l倾斜角的范围是0，1802斜率公式1若直线l的倾斜角90，则斜率ktan_.2P1x1，y1，P2x2，y2在直线l上且x1x2，则l的斜率ky2y1x2x1.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0kxx0不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式yy1y2y1xx1x2x1不含直线xx1x1x2和直线yy1y1y2截距式xayb1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0A2B20平面直角坐标系内的直线都适用题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置2坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率3直线的倾斜角越大，其斜率就越大4若直线的斜率为tan，则其倾斜角为.5斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等6经过任意两个不同的点P1x1，y1，P2x2，y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1表示题组二教材改编2P86T3若过点M2，m，Nm,4的直线的斜率等于1，则m的值为A1B4C1或3D1或4答案A解析由题意得m42m1，解得m1.3P100A组T9过点P2,3且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为xaya1，则2a3a1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4xx石家庄模拟直线xa21y10的倾斜角的取值范围是A.0，4B.34，C.0，42，D.4，234，答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为1a21，又11a210，故直线经过第一.二.四象限，不经过第三象限6过直线lyx上的点P2,2作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为____________答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m 与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2kx2，令y0，得x22k，依题意有1222k22，即11k1，解得k12，所以直线m的方程为y212x2，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一题型一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率典例1直线2xcosy306，3的倾斜角的取值范围是A.6，3B.4，3C.4，2D.4，23答案B解析直线2xcosy30的斜率k2cos，因为6，3，所以12cos32，因此k2cos1，3设直线的倾斜角为，则有tan1，3又0，，所以4，3，即倾斜角的取值范围是4，3.2直线l过点P1,0，且与以A2,1，B0，3为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为___________________答案，31，解析如图，kAP10211，kBP30013，k，31，引申探究1若将本例2中P1,0改为P1,0，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P1,0，A2,1，B0，3，kAP102113，kBP30013.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.2若将本例2中的B点坐标改为2，1，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180思维升华直线倾斜角的范围是0，，根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2与2，两种情况讨论跟踪训练已知过定点P2,0的直线l与曲线y2x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为A150B135C120D不存在答案A解析由y2x2，得x2y22y0，它表示以原点O为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示显然直线l的斜率存在，设过点P2,0的直线l为ykx2，则圆心到此直线的距离d|2k|1k2，弦长|AB|22|2k|1k22222k21k2，所以SAOB12|2k|1k2222k21k22k222k221k21，当且仅当2k222k2，即k213时等号成立，由图可得k33k33舍去，故直线l的倾斜角为150.题型二题型二求直线的方程求直线的方程典例1求过点A1,3，斜率是直线y4x的斜率的13的直线方程；2求经过点A5,2，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程解1设所求直线的斜率为k，依题意k41343.又直线经过点A1,3，因此所求直线方程为y343x1，即4x3y130.2当直线不过原点时，设所求直线方程为x2aya1，将5,2代入所设方程，解得a12，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k25，所以直线方程为y25x，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况跟踪训练根据所给条件求直线的方程1直线过点4,0，倾斜角的正弦值为1010；2经过点P4,1，且在两坐标轴上的截距相等；3直线过点5,10，到原点的距离为5.解1由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin101000，直线l的方程为xayb1，所以2a1b1.|MA||MB|MAMBa2，12，b12a2b12ab52ab2a1b52ba2ab4，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题典例已知直线l1ax2y2a4，l22xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P2,2，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S1222a122a22a2a4a122154，当a12时，四边形的面积最小思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值2求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程3求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解跟踪训练已知直线l过点P3,2，且与x轴.y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解方法一设直线方程为xayb1a0，b0，把点P3,2代入得3a2b126ab，得ab24，从而SAOB12ab12，当且仅当3a2b时等号成立，这时kba23，从而所求直线方程为2x3y120.方法二由题意知，直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2kx3k0，且有A32k，0，B0,23k，SABO1223k32k12129k4k121229k4k12121212.当且仅当9k4k，即k23时，等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为a1xy2a0aR1若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；2若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解1当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线方程可写为xa2a1ya21，a2a1a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.2由a2a1a2，得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解。

【优化方案】2015年高考数学 第八章 第1课时 直线及其方程知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0解析：选B ．∵B(3，1)，C(1，3)，∴k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1.又高线经过点A ，∴其直线方程为x －y ＋2＝0. 2．(2014·丰台质检)直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值X 围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C ．令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b ∈[－2，0)∪(0，2]．3．(2014·某某某某一模)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C ．因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上， 所以4m ＋3n －10＝0.利用m 2＋n 2表示直线上的点到原点距离的平方来分析可知，m 2＋n 2的最小值为4.4．直线l 经过点A(2，1)，B(1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角α的取值X 围是( )A ．0≤α<πB ．0≤α≤π4或π2<α<πC ．0≤α≤π4D ．π4≤α<π2或π2<α<π解析：选B ．直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以π2<α<π或0≤α≤π4.5．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．0解析：选A ．直线方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．6．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________． 解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.答案：y ＝3x ＋57．(2014·某某某某模拟)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k.令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．(2014·某某某某模拟)已知a ＝(6，2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A(3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般式方程是________．解析：∵a ＋2b ＝(6，2)＋2⎝⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2，3)， ∴与向量a ＋2b 平行的直线的斜率为－32.又l 与向量a ＋2b 垂直，∴l 的斜率k ＝23.又l 过点A(3，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝23(x －3)，化成一般式为2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝09．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，一般式方程为6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1.10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3，3k ＋4.由已知，得(3k ＋4)(4k＋3)＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6B ．由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.[能力提升]1．(2014·某某某某一模)过点(1，3)作直线l ，若经过点(a ，0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．由题意得1a ＋3b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.又a ∈N *，b ∈N *，故有两个解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A ．由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.3．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值X围是________．解析：∵k ＝tan α在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4和⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π上都是增函数，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[)－3，0. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，14．(2014·某某某某一模)已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，则yx的最大值为________；最小值为________．解析：本题可先作出函数y ＝8－2x (2≤x ≤3)的图象，把y x看成过点(x ，y )和原点的直线的斜率进行求解．如图，设点P (x ，y )，因为x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，所以点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)．因为y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k O A ＝2，k O B ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.答案：2 235．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m.由题意得－1m＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.6．(选做题) 已知直线l 过点P (0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B(如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a )． ∵点P (0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A(－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴点B 的坐标是(4，0)．因此，过P (0，1)，B(4，0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.。

9-1直线的方程A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点M (－3，2)，N (－2，3)的直线的斜率是( )． A ．1 B ．2 C ．－1 D.32解析 由斜率公式得k ＝3－2－2＋3＝1.答案 A2．(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )．A ．－1B ．－3C ．0D ．2 解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得：y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3. 答案 B3．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )． A ．3x －5y ＋10＝0 B ．3x －4y ＋8＝0 C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0解析 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0. 答案 D4．(2011·佛山一检)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 解析 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1. 答案 D5．(★)(2012.荆州二检)设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )．A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案 C【点评】 本题也可以用筛选法．取α＝π2，即cos θ＝0成立，排除B 、D ，再取α＝0，斜率tan α＝－1cos θ＝0不成立，排除A. 二、填空题(每小题4分，共12分)6．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析 ∵k MN ＝m －4－2－m ＝1，∴m ＝1.答案 17．(2011·苏州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析 令x ＝0，得y ＝k4；令y ＝0， 得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 答案 －248．(2012·合肥调研)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析 (1)若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.(2)若直线不过原点，设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0. 答案 x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 三、解答题(共23分)9．(11分)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程． 解 由题设知截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1. 则－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.10．(12分)(2012·西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则有( )． A ．ab ＞0，bc ＞0 B ．ab ＞0，bc ＜0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析 数形结合可知－a b ＞0，－cb ＞0，即ab ＜0，bc ＜0. 答案 D2．(★)(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )． A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12解析 (数形结合法)由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12. 答案 D【点评】 本题采用数形结合法，即通过图形观察过点P 的直线l 的斜率与直线P A 、PB 的斜率大小.二、填空题(每小题4分，共8分)3．(★)(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，恒过定点________．解析 (回顾检验法)把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0， 整理得：(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎨⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3. 答案 (－2,3)【点评】 把所求出的点(－2，3)再代入原直线方程验证与m 无关.4．(2012·盐城一调)若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 由题意知：b －a ＝－2－2－a ，整理得：2a ＋2b ＝－ab .∴1a ＋1b ＝－12. 答案 －12三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线． 因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12， 整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1. 6．(12分)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解 存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。