选修1-2统计案例、推理与证明试题(文科)有答案

一、选择题1．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（）A．14B．89C．116D．5322．小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜．已知小红投篮命中的概率为35，小明投篮命中的概率为12，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（）A．1225B．25C．825D．6253．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶．现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是34．则打光子弹的概率是（）A．9256B．13256C．45512D．910244．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（）A．512B．58C．35D．125．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A．15B．14C．13D．126．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如右表，则下列说法正确的是（）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：A ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响．B ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响．C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响．D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习无影响． 7．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为x y +为偶数，事件B 为x y ≠ ，则概率(|)P B A =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．若y 关于x 的线性回归方程0.70.35y x =+是由表中提供的数据求出，那么表中m 的值为( )A ．3.5B ．3C ．2.5D ．29．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且 2.7567.3ˆ25yx =-+. ②y 与x 负相关且 3.47654ˆ.68y x =+ ③y 与x 正相关且 1.226 6.5ˆ78yx =-- ④y 与x 正相关且8.96786ˆ.13y x =+ 其中一定不正确的结论的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(),i i x y （1,2,,8i =），其回归直线方程是1ˆ8ˆybx =+，且1238x x x x ++++=()123826y y y y ++++=，则实数ˆb的值是（ ） A ．116B ．14C ．13D ．1211．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则关于事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取到白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率说法正确的是（ ）A ．事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于23 B ．事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于415C ．事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于23，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于415D ．事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于415，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于2312．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）参考公式附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：A ．130B ．190C ．240D ．250二、填空题13．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n 次()*2,n n N∈，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X ，若()5E X >，则n 的最小值为________. 14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________.15．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：则认为“是否同意限定区域停产与家长的性别有关”的把握约为__________．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.16．某人进行射击训练，射击一次命中靶心的概率是0.9，各次射击相互独立，他连续射击3次，则“第一次没有命中靶心后两次命中靶心” 的概率是______.17．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为__________．18．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为___________．19．若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为__________．20．已知甲、乙两位射手,甲击中目标的概率为0.7,乙击中目标的概率为0.6,如果甲乙两仁射手的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的概率为_________.三、解答题21．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表：x的线性相关程度；（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：()()ni ix x y yr--=∑()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．临界值表：22．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm60cm100cm⨯⨯，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表所示的数据：（1）请完成22⨯列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？合计（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补贴券”，记赠送的补贴券总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82823．2020年10月1日既是中华人民共和国第71个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频APP 或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频APP 或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人．将这160人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求a 的值并估计这160人的平均年龄；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过短视频APP 表达对祖国祝福的中老年人有26人，问是否有99％的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？ 附：()20P K k > 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++24．在一次抽样调查中测得5个样本点，得到下表及散点图．x0.250.51 2 4 y1612521（1）根据散点图判断y a bx =+与1y c k x -=+⋅哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果试建立y 与x 的回归方程；（计算结果保留整数） （3）在（2）的条件下，设=+z y x 且[)4,x ∈+∞，试求z 的最小值．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.25．某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图：甲配送方案乙配送方案 9 7 9 9 8 8 7 09 7 6 4 4 4 3 3 3 3 2 1 13 4 57 8 9 93 3 5 7 7 7 8 8 9 9 9 9 2 34 4 7 8 8（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m，将完成订单数超过m记为“优秀”，不超过m记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；（3）根据（2）中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.26．随着运动App和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：间中点值作代表）；（2）若用A表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先确定是条件概率，在出现数字乘积为偶数的前提下，乘积为非零偶数的概率， 首先求两次数字乘积为偶数的概率， 然后两次为非零偶数的概率，再按照条件概率的公式求解. 【详解】两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，概率是22169⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以两次数字乘积为偶数的概率P =228169⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； 若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，P =111152366636⨯⨯+⨯=,.故所求条件概率为55368329P ==.故选：D【点睛】本题主要考查了条件概率的计算和独立事件，考查了学生的计算能力，属于基础题.2．D解析：D 【分析】由题意可知，用(,)x y 表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0)，由相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得． 【详解】由题意可知，用(,)x y 表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0)，小明获胜的概率是22222112213133131326111252552525252525P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯-=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选D ． 【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意识以及运算能力．3．B解析：B 【分析】打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次． 【详解】5次中0次：514⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5次中一次： 4153144C ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭5次中两次： 前4次中一次，最后一次必中314331444C ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭则打光子弹的概率是514⎛⎫ ⎪⎝⎭+4153144C ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭+314331444C ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=13256,选B 【点睛】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆． 4．A解析：A 【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得26291553612C P C ===.故答案为A 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2) 条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.5．D解析：D 【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.详解：111223122412C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为1132353310C C A ⨯=. 6．C解析：C 【解析】 经计算，()2230421681020101218K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，27.87910.828K <<，对照数表知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响，故选C ．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题；其解题步骤为：（1）认真读题，取出相关数据，作出22⨯列联表；（2）根据22⨯列联表中的数据，计算2K 的观测值k ；（3）通过观测值k 与临界值0k 比较，得出事件有关的可能性大小．7．D解析：D 【解析】因为事件A 的基本事件分别为A(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,4),(4,2),(3,3),(4,4),(4,6),(6,4),(5,5),(1,5),(5,1),(6,6),(3,5),(5,3),(2,6),(6,2)，共18种情形；其中x y =的情形(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6种情形，所以事件B 为x y ≠的情形有12种，则所求条件事件的概率()122|183P B A ==，应选答案D 。

选修 1-2第一章、统计案例测试一、选择题1 3 5 71．已知 x与 y之间的一组数据：y 44x y 01132537则 y与 x 的线性回归方程为y b x a必过点B. (1.5 ,4)C.(1.5 ,0) ( )A.(2,2) D.(1,2)【答案】 B【解析】0 1 2 34试题分析：由数据可知x（ 1.5,4）1.5，，∴线性回归方程为y b x a必过点考点：本题考查了线性回归直线方程的性质点评：解决此类问题常常用到线性回归直线方程恒过定点(x, y)这一结论，属基础题2．年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为1千元时，工人工资平均Ｂ．减少 70元Ｃ．增加 80元y 10 70x，这意味着年劳动生产率每提高Ａ．增加 70元【答案】ＡＤ．减少 80元【解析】试题分析：由题意，年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为y 10 70x，故当x增加 1时，y要增加 70元，∴劳动生产率每提高故Ａ正确．1千元时，工资平均提高70元，考点：线性回归方程．点评 :本题考查线性回归方程的运用，正确理解线性回归方程是关键．3．已知某回归方程为：y? 2 3x?，则当解释变量增加 1个单位时，预报变量平均：（）1个单位B、增加31个单D、减少3 C、减少 3个单位A、增加 3个单位位【答案】 C 【解析】解释变量即回归方程里 的自变量x ，由回归方程知预报变量 ?y?减少 3个单位4．变量 X 与 Y 相对应 的一组数据为 (10, 1), (11.3, 2), (11.8, 3), (12.5, 4), (13, 5)；变量 U 与V 相对应 的一组数据为 (10,5), (11.3, 4), (11.8, 3), (12.5, 2), (13, 1),r表示变量1Y X 之与间 的线性相关系数， r 表示变量 V U 之间 的线性相关系数，则 与 2 A ． r r 0 B ． 0 r r 12C ． r 0 r 12D ． r r 122 1 【答案】 C 【解析】解：∵变量X 与 Y 相对应 的一组数据为（ 10，1），（11.3，2），（ 11.8， 3），（12.5，4），（ 13，5）， . X =（10+11.3+11.8+12.5+13） 5 =11.72 . Y =（1+2+3+4+5）5 =3 ∴这组数据 的相关系数是r=7.219.172 =0.3755，变量 U 与 V 相对应 的一组数据为（10，5），（11.3，4），（ 11.8， 3），（12.5，2），（ 13，1） . U =（5+4+3+2+1）5 =3，-0.3755，∴这组数据 的相关系数是 ∴第一组数据 的相关系数大于零，第二组数据 的相关系数小于零， 故选 C ．k 2 5．统计中有一个非常有用 的统计量，用它 的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班 行某次数 学考试，按 学生考试及格与不及格统计成绩后 的(甲班 A 老师教 ,乙班 B 老师教 )进2×2列联表 .不及格及格 总计 甲班 (A 教) 乙班 (B 教) 总计4 36 40 16 2024 6040 80k 2 根据 的值 ,你认为不及格人数 的多少与不同老师执教有关系 的把握大约为 A ．99.5% 【答案】 AB ．99.9%C ．95%D ．无充分依据 .n(ad bc)2k 2(a b)(c d)(a c)(b d)【解析】解： k2= × 40 =9.6＞7.879=80(4×24-16×36) 2/ 20×60×40∴不及格人数 的多少与不同老师执教有关系 的把握大约为 99.5%故选 A ．6．下面是一个 2 2列联表，则表中 a 、b 处 的值分别为 ( )y a 2 b1y 2 总计 73 x 1 21 25 46x 2 27 总计100A. 94、96 C. 52、50 【答案】 BB. 52、54 D. 54、52【解析】解：因为根据表格中 的数据可知， 2+a=b,b+46=100,b=54,a=52,选 B7．右图是 2× 2列联表：则表中 a 、b 的值分别为A.94,72 C.52,74B.52,50 D.74,52【答案】 C【解析】 a=73-21=52 b=a+22=52+22=74故选 C28．统计中有一个非常有用的统计量k，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的 2× 2列联表 .不及格及格33 总计45甲班乙班总计129 36 45 21 69 90则k 2 的值为（）A．0.559 B．0.456 C．0.443 D．0.4 【答案】 A90(12 36 33 9) 2 45 45 21 69 902【解析】0.559，故选 A。

一、选择题1．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A ．3761()2CB ．2741()2AC ．2741()2CD ．1741()2C2．小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜．已知小红投篮命中的概率为35，小明投篮命中的概率为12，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（ ） A ．1225B ．25C ．825D ．6253．在某场考试中，同学甲最后两道单项选择题（每题四个选项）不会解答，分别随机选择一个选项作为答案，在其答对了其中一道题的条件下，两道题都答对的概率为（ ） A ．116B ．17C ．14D ．134．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件A =“第一次取到的是奇数”，事件B =“第二次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ） A ．12B ．25C ．310D ．155．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班60名学生进行问卷调查，得到如下图所示的22⨯列联表，则至少有（ ）的把握认为喜爱打篮球与性别有关.附参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%6．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则(|)P B A =（ ）A ．25B ．415C ．49D ．597．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如右表，则下列说法正确的是（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：A ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响．B ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响．C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响．D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习无影响．8．在5道题中有3道代数题和2道几何题.如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到代数题的概率为 ( ) A ．15B ．25C ．12D ．359．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(),i i x y （1,2,,8i =），其回归直线方程是1ˆ8ˆybx =+，且1238x x x x ++++=()123826y y y y ++++=，则实数ˆb的值是（ ） A ．116B ．14C ．13D ．1210．通过随机询问72名不同性别的学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++则根据以上数据：A．能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间无关系；B．能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间无关系；C．能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间有关系；D．能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间有关系；11．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（）参考公式附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：A．130 B．190C．240 D．25012．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是2 3和12，在这个问题至少被一个人正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（）A．27B．25C．15D．19二、填空题13．在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者.则乙连胜四局的概率为____.14．某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竟猜活动，活动规则如下：两人一组，每轮竞猜中，每人竞猜两次，两人猜对的次数之和不少于3次就可以获得一张奖券.小蓝和她的妈妈同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为p1，p2，两人是否猜中相互独立，若p1+p2＝32，则当小蓝和她妈妈获得1张奖券的概率最大时，p12+p22的值为_____.15．有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______.16．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲胜的概率为23．比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）制”，则甲3:2获胜的概率是____．17．2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：关系．（参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.）18．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，且三次测试相互独立，其中恰有1次通过的概率为__________．19．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是______．20．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A ：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A 发生的概率为__________.三、解答题21．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算).甲､乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲､乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.3；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.1，0.1.（1）求甲比乙所扣积分多的概率；（2）设甲､乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.22．为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图，如图所示.（1）求出频率分布直方图中的a 值和这200人的平均年龄；（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？ 附：()20P K K 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 23．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）物理题 数学题 总计男同学 1614 30 女同学 8 2230 总计243660（1）在犯错误的概率不超过1%的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为58-分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为68-分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附表及公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++24．在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为34，45，23，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品. （1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；（2）若该同学制作10次，其中合格作品数为X ，求X 的数学期望与方差；（3）该同学掌握技术后制作的小视频被某广告公司看中，聘其为公司做广告宣传，决定试用一段时间，每天制作小视频(注：每天可提供素材制作个数至多40个)，其中前7天制作合格作品数y 与时间t 如下表：(第t 天用数字t 表示)其中合格作品数(y )与时间(t )具有线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程(精确到0.01)，并估算第14天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)？(参考公式()()()1221121niii nnin i i ii ii x y nx y b n x x x xy x xy ====-=---=-∑∑∑∑，a y bx =-，参考数据：71163i ii t y==∑.)25．某学校六年级1､2两个班级同时进行一次数学竞赛考试，已知满分100分，分数不小于60视为及格，否则视为不及格，现随机抽取两个班级各40名学生的数学成绩，其结果如下表：（1）根据表中数据，分别估计六年级1､2两个班级数学竞赛考试的及格率；（2）根据以上数据，完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为此次数学竞赛考试中学生数学及格与班级有关？（3）若按高分(大于等于80分为高分)与非高分的比例，从1班考试的分数中抽取4个分数，从2班考试的分数中抽取5个分数，记事件A：从上面4个1班考试的分数中随机抽取2个，且都不是高分；事件B：从上面5个2班考试的分数中随机抽取2个，一个是高分，一个不是高分.试通过计算说明这两个事件中哪一个事件发生的概率大.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.26．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是12，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是13，开黄花的概率是23；若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是35，开黄花的概率是25.记第n代开红花的概率为n p，第n代开黄花的概率为n q.（1）求2p；（2）①证明：数列9()19n p n N *⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭为等比数列； ②第*(,2)n n N n ∈≥代开哪种颜色花的概率更大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果. 【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B.【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.2．D解析：D 【分析】由题意可知，用(,)x y 表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0)，由相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得． 【详解】由题意可知，用(,)x y 表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0)，小明获胜的概率是22222112213133131326111252552525252525P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯-=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选D ． 【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意识以及运算能力．3．B解析：B 【解析】分析：由题意结合条件概率计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：同学甲至少答对一道题的概率为：2371416⎛⎫-= ⎪⎝⎭，两道题都答对的概率为211416⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由条件概率计算公式可知，同学甲两道题都答对的概率为：11167716p ==. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查古典概型计算公式，条件概率的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】分析：利用条件概率公式求(|)P B A .详解：由条件概率得(|)P B A =2311341.2A C C =故答案为A.点睛：（1）本题主要考查条件概率的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A ==()()n AB n A . 5．C解析：C 【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得27.333k ≈，对照临界值即可的结果. 详解：根据所给的列联表， 得到()226025151557.333 6.63540203030k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴至少有0099的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故选C.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.6．C解析：C 【解析】分析：利用概率的计算公式，求解事件A 和事件A B 的概率，即可利用条件概率的计算公式，求解答案．详解：由题意，事件A =“第一次摸出的是红球”时，则63()105P A ==， 事件A =“第一次摸出的是红球”且事件B =“第二次摸出白球”时，则6412()10945P AB =⨯=， 所以()4(|)()9P AB P B A P A ==，故选C ． 点睛：本题主要考查了条件概率的计算，其中熟记条件概率的计算公式和事件的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力．7．C解析：C 【解析】 经计算，()2230421681020101218K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，27.87910.828K <<，对照数表知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响，故选C ．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题；其解题步骤为：（1）认真读题，取出相关数据，作出22⨯列联表；（2）根据22⨯列联表中的数据，计算2K 的观测值k ；（3）通过观测值k 与临界值0k 比较，得出事件有关的可能性大小．8．C解析：C 【解析】记事件A: 第1次抽到代数题，事件B:第2次抽到代数题，P(A)=35,63()2010P AB ==,r 则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到代数题的概率为3P(AB)110P(B |A)3P(A)25===.选C. 9．C解析：C 【解析】 因为12386x x x x ++++=，12383y y y y ++++=所以33,48x y ==，所以样本中心点的坐标为33(,)48，代入回归直线方程得848ˆ331b =⨯+，解得ˆ13b =，故选C. 10．C解析：C 【解析】2272(1682028)=8.427.87944283636K ⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯＞∴性别和读营养说明之间有99.5%的可能性. 本题选择C 选项.11．B解析：B 【分析】设男、女生的人数都为5x ，列出22⨯列联表，计算2K 的值，查表解不等式即可. 【详解】依题意，设男、女生的人数各为5x ，建立22⨯列联表如下所示：故222831010553721xxxx K x x x x =⋅⋅⋅⋅-=，由题可知106.63510.82821x <<， ∴139.33510227.388x <<，只有B 符合题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查独立性检验，关键点是建立22⨯列联表代入公式计算，考查数学运算、数学建模的核心素养.12．B解析：B 【分析】先计算“这个问题至少被一个人正确解答”和“甲、乙两位同学都能正确解答该问题”概率，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由已知，不妨设A =“这个问题至少被一个人正确解答”，B =“甲、乙两位同学都能正确解答该问题”，因为甲、乙两位同学各自独立正确解答该问题的概率分别是23和12， 故215()111326P A ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，121()233P B =⨯=， 易知1()()3P AB P B ==. 故()1()235()56P AB P BA P A ===∣. 故选：B. 【点睛】本题考查了条件概率的应用，属于中档题.二、填空题13．09【分析】当乙连胜四局时对阵情况是第一局：甲对乙乙胜；第二局：乙对丙乙胜；第三局：乙对甲乙胜；第四局：乙对丙乙胜然后利用概率公式进行求解即可【详解】当乙连胜四局时对阵情况如下：第一局：甲对乙乙胜；解析：09. 【分析】当乙连胜四局时，对阵情况是第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜，然后利用概率公式进行求解即可 【详解】当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为P 1=（1﹣0.4）2×0.52=0.32=0.09 ∴乙连胜四局的概率为0.09 【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件．14．【分析】小蓝和她妈妈获得1张奖券这个事件的发生分类为：小蓝猜对1次她妈妈猜对2次或小蓝猜对2次她妈妈猜对1次或小蓝和她妈妈都猜对2次由此可计算出概率求出这个概率最大时的值可得出结论【详解】由题意小蓝解析：54【分析】小蓝和她妈妈获得1张奖券这个事件的发生分类为：小蓝猜对1次、她妈妈猜对2次或小蓝猜对2次、她妈妈猜对1次或小蓝和她妈妈都猜对2次，由此可计算出概率，求出这个概率最大时12p p 的值可得出结论． 【详解】由题意小蓝和她妈妈获得1张奖券的概率是2222112122122(1)2(1)P p p p p p p p p =-+-+， 化简得212123()3P p p p p =-+，∵12p p +≥∴12916p p ≤， ∴1212p p =时，max 34P =，此时2222121212315()22224p p p p p p ⎛⎫+=+-=-⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：54． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式，掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．15．【分析】将比分分为四种情况讨论计算概率【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手并且投给每位选手的概率是若投票给两位选手的比分为则概率为若比分为则投给选手的方法有种所以概率为若比分为则投给选手的两票不 解析：532【分析】将比分分为7:0，6:1，5:2，4:3四种情况讨论计算概率. 【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手A ，并且投给每位选手的概率是12P =. 若投票给A 、B 两位选手的比分为7:0，则概率为712⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若比分为6:1，则投给选手B 的方法有155C =种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭若比分为5:2，则投给选手B 的两票不能在第三和第四的位置，有2519C -=种，所以概率为7192⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 若比分为4:3，则投给A 的票不能是最后一位，且不能占5,6位，有2415C -=种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 所以概率()7151595232P ⎛⎫=+++⋅=⎪⎝⎭.故答案为：532【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，重点考查分类的思想，属于中档题型.16．；【分析】利用相互独立事件同时发生的概率计算求解甲获胜则比赛打了5局且最后一局甲胜利【详解】由题意知前四局甲乙每人分别胜2局则甲获胜的概率是：【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率属于基础题解析：1681； 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率计算求解，甲3:2获胜，则比赛打了5局，且最后一局甲胜利. 【详解】由题意知，前四局甲、乙每人分别胜2局，则甲3:2获胜的概率是：222421216()()33381P C =⋅⋅=.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.17．05【详解】分析：直接利用独立性检验公式计算即得解详解：由题得所以犯错误的概率最多不超过005的前提下可认为注射疫苗与感染流感有关系故答案为005点睛：本题主要考查独立性检验和的计算意在考查学生对这解析：05 【详解】分析：直接利用独立性检验2K 公式计算即得解.详解：由题得22100(10302040)1004.762 3.8413070505021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,所以犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系． 故答案为0.05.点睛：本题主要考查独立性检验和2K 的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.18．【解析】由题意得根据相互独立事件发生的概率公式可得三次测试中恰有1次通过的概率为解析：49【解析】由题意得，根据相互独立事件发生的概率公式，可得三次测试中， 恰有1次通过的概率为123114(1)339P C =⨯⨯-=.19．【解析】解：男生甲被选中记作事件A 男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B 则：由条件概率公式可得：解析：35【解析】解：男生甲被选中记作事件A ，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B ，则：()26337715C P A C C == ，()1144337719C C P AB C C ++== ， 由条件概率公式可得：()()()3|5P AB P B A P A == . 20．42【分析】高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况分别求出三种情况的概率再利用加法公式即可【详解】由已知高一家长满意等级为不满意的概率为满意的概率为非常满意的概率为高二家长满意等级为解析：42 【分析】高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可. 【详解】由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为15，满意的概率为35，非常满意的概率为15， 高二家长满意等级为不满意的概率为25，满意的概率为12，非常满意的概率为110，高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为35⨯26525=； 2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为15⨯22525=； 3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为15⨯11210=. 由加法公式，知事件A 发生的概率为621210.4225251050++==. 故答案为：0.42 【点睛】本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.三、解答题21．（1）0.29；（2）分布列答案见解析，数学期望：1.9. 【分析】（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件1A ，2A ，3A ，4A ，它们彼此互斥，分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件1B ，2B ，3B ，4B ，它们彼此也互斥，则213132414243M A B A B A B A B A B A B =+++++，由此可求事件M 的概率；（2）根据题ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，然后，相应的()P ξ的值，即可求出列出ξ的分布列，并由公式求出ξ的数学期望 【详解】解：（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分､1分､2分､3分”为事件1A ，2A ，3A ，4A ， 它们彼此互斥，且()10.4P A =，()20.4P A =，()30.1P A =，()40.1P A =， 分别记“乙扣分为0分､1分､2分､3分”为事件1B ，2B ，3B ，4B ，它们彼此互斥，且()10.3P B =，()20.5P B =，()30.1P B =，()40.1P B =， 由题知，事件1A ，2A ，3A ，4A 与事件1B ，2B ，3B ，4B 相互独立， 记甲比乙所扣积分多为事件M ，则213132414243M A B A B A B A B A B A B =+++++，所以()()()()()()()()()21313241P M P A P B P A P B P A P B P A P B =+++()()()()4243P A P B P A P B ++0.40.30.10.30.10.50.10.30.10.50.10.10.29=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）根据题ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，则 ()00.40.30.12P ξ==⨯=，()10.40.50.40.30.32P ξ==⨯+⨯=，()20.40.10.30.10.40.50.27P ξ==⨯+⨯+⨯=， ()30.40.10.30.10.40.10.50.10.16P ξ==⨯+⨯+⨯+⨯=， ()40.40.10.50.10.10.10.1P ξ==⨯+⨯+⨯=， ()50.10.10.10.10.02P ξ==⨯+⨯=，()60.10.10.01P ξ==⨯=.所以ξ的分布列为：的数学期望()00.1210.3220.2730.1640.150.0260.01 1.9E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：解题关键在于列出式子()()()()()()()()()21313241P M P A P B P A P B P A P B P A P B =+++，然后利用概率的相关公式求解，以及根据题意得出ξ的分布列，主要考查学生的运算能力和逻辑推理能力，难度属于中档题.22．（1）0.035a =；41.5；（2）21110；（2）没有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关； 【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形的面积总和为1，可计算频率分布直方图中a 的值，以各组的区间中点值代表该组的取值，即可得出结论. （2）利用古典概型的概率公式计算可得结果；（3）根据题中的数据，列出列联表，计算出观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】（1）由题意得：()20.010.0150.03101a ⨯+++⨯=， 所以0.035a =，200人的平均年龄为：200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）依题意按照分层抽样从第2组中抽取3人，第3组中抽取7人，第5组中抽取2人；再从这12人中抽取3人一共有312C 种结果；其中这三人恰好来自不同组别有111372C C C故这三人恰好属于不同组别的概率11137231221110C C C P C == （3）由题意可得22⨯列联表为：故()2220010********* 2.083 6.635120801604012K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 故没有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关. 【点睛】本题主要考查了利用频率分布直方图求平均数的问题，考查了古典概型的概率公式，考查了列联表、独立性检验的基本思想、考查了考生的分析能力、计算能力，属于中档题. 23．(1) 在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的学习与性别有关.(2)2 ()3 PA=.(3)分布列见解析，1()2E X=.【分析】（1）先根据卡方公式求2K值，并与参考数据比较作判断，（2）为几何概型概率，测度为面积，先确定甲、乙解答第一道物理题的时间所构造的矩形面积，再求甲比乙先解答完此题所确定的直角梯形面积，最后根据面积比得概率，（3）先确定随机变量取法，再分别根据组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】（1）由表中数据得2K的观测值()22601622148404.444 6.635303024369K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的学习与性别有关.（2）设甲、乙解答第一道物理题的时间分别为,x y分钟，则{58(,)68xx yy⎧≤≤⎫Ω=⎨⎬≤≤⎭⎩，设事件A为“甲比乙先解答完此题”，则()(),,x yA x yx y⎧⎧⎫∈Ω⎪⎪=⎨⎨⎬<⎪⎭⎪⎩⎩，作出可行域如图∴()122221233P A⨯⨯=-=⨯（3）由题可知在选择做物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C=种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C=种；恰有一人被抽到有12种；两人都被抽到有221C=种。

选修1-2参考答案 第1章 统计案例 §1.1独立性检验经典例题：根据题意，列出列联表如下：提出统计假设，0H ：在恶劣气候飞行中男人与女人一样容易晕机则2289(2426318) 3.68955343257χ⨯-⨯==⨯⨯⨯2 2.706χ>,故我们有90%的把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机.当堂练习：1.C;2.A;3.A;4.B;5.A;6.B;7. 7.86；服用此药的效果与患者的性别有关. ;8. ③;9. ③; 10．在酗酒的人中患病的概率为30200＝15％ 在不酗酒的人中患病的概率为20300＝6．7％ 因此，酗酒与否，其患肝病的可能性有较大差异，故患肝病与酗酒有关. 患肝病与酗酒有关。

11．提出统计假设，0H ：患慢性病与服用新药无关根据列联表中的数据，可以求得： 22300(408716013) 2.2553247200100χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯当统计假设0H 成立时，2 2.706χ≥的概率约为10％，而这里2 2.25 2.706χ=<∴我们不能否定0H ，即根据目前的调查数据，不能作出患慢性病是否与服用新药有关的结论. 12．.(1)2×2的列联表如右： (2) 提出统计假设，0H ： 假设人的饮食习惯与年龄无关，22124(43332721) 6.20170546460χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯当统计假设0H 成立时，2 5.024χ≥的概率约为2.5％，即有97.5％的把握认为“人的饮食习惯与年龄有关”.§1.2回归分析经典例题：(1)271,72.3,5146.7,5052x y xy x ====，x sy s0.7803x y xy x y r s s -==≈. 由小概率0.05及28n -=查得0.050.632r =∵ 0.05r r >, ∴ y 与x 具有相关关系.(2) 2225146.77172.3ˆ 1.218505271()xy xy bx x --⨯==≈--，ˆ72.3 1.2187114.178a =-⨯≈-∴ 回归直线方程为：ˆ 1.21814.178yx =-，当78x =时， 1.2187814.17881y =⨯-≈. 即计高一体重为78kg 的学生在高二时的体重约为81kg.当堂练习：1.D;2.B;3.C;4.A;5.C;6.A;7. 0;8. ③;9. ④⑤; 10．15.11. （1）6.2人；（2）11人，30人. 12.（１）散点图如下图（２）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++=1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.557.72)7.24310y =+++++++++= 1013283.9i i i x y ==∑，102120183i i x ==∑（3）由散点图知：能用线性回归方程来刻画x 与y 之间的关系，设回归直线为ˆy ˆˆbx a =+21044.507.2433283.9ˆ0.161044.5020183b ⨯⨯-=≈⨯- ˆa =ˆ7.2430.1644.500.12-=-⨯≈ ∴ 线性回归方程为：ˆ0.160.12yx =+§1.3统计案例单元测试1.B;2.A;3.D;4.A;5.C;6.C;7.B;8.C;9. 64%;10.女教授人数，男教授人数，女副教授人数，男副教授人数; 11. 5%; 12. 一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右, 大于0;13. 解：（1）2×2的列联表计算2124(43332721) 6.20170546460k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为 5.024k ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”14 解：首先设变量1ux=，题目所给的数据变成如下表所示的数据经计算得,从而认为与y 之间具有线性相关关系，由公式得ˆˆ 1.125,8.973ab == 所以ˆ 1.1258.973yx =+ 最后回代1u x =，可得8.973ˆ 1.125y x=+第2章 推理与证明经典例题： [解] 1131312233+⨯+⨯=- 1232323233+⨯+⨯=- 1333334233+⨯+⨯=- ┅┅133)1(233+⨯+⨯=-+n n n n将以上各式分别相加得：n n n n ++++⨯+++++⨯=-+)321(3)321(31)1(222233所以： ]2131)1[(3132132222n n n n n +---+=++++)12)(1(61++=n n n当堂练习：1.B;2.C;3.C;4.D;5.B;6.B;7. A;8.D;9.D; 10.C; 11.A; 12.B;13.2222BCD ABC ACD ADB S S S S ∆∆∆∆=++; 14.2(1)(2)......(32)(21)n n n n n ++++++-=-; 15. f(2.5)>f(1)>f(3.5); 16. 5；12（n+1）(n-2); 17.证明：假设2、3、5为同一等差数列的三项，则存在整数m,n 满足3=2+md ① 5=2+nd ②①⨯n-②⨯m 得：3n-5m=2(n-m)两边平方得： 3n 2+5m 2-215mn=2(n-m)2左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确。

一、选择题1．观察下列各式：177=，，则20207的末位数字为（）=，37343=，2749A．7 B．9 C．3 D．12．A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论:①A1车型销量比B1车型销量多；②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率．其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．43．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（）A．丙做对了B．甲做对了C．乙说对了D．乙做对了4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学5．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老师说：你们4人中有2位优秀，2位良好，我给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看完后甲对大家说：我不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道4人的成绩 C ．丁可以知道自己的成绩D ．丁可以知道4人的成绩6．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．1211n n ；+-+B ．211n n -+；C ．21n n -；D ．121n n +-；7．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前135项的和为( )A ．18253-B ．18252-C ．17253-D ．17252-8．现有1A ，2A ，…，5A 这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计1A ，2A ，3A ，4A 这4个球队已经赛过的场数分别为：1A 队4场，2A 队3场， 3A 队2场，4A 队1场，则5A 队比赛过的场数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =10．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形11．下面使用类比推理正确的是（ ）A ．直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，类推出：向量a b b c ，，则a cB ．同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥bC ．实数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4b ．类推出：复数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4bD ．以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程为x 2+y 2＝r 2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程为x 2+y 2+z 2＝r 212．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --=D ．430x y ++=二、填空题13．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.14．已知函数2()42(0)f x x x x =++≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，*n N ∈，则2020()f x 在[0,1]上的最大值为____________．15．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2(a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________． 16．在Rt ABC ∆中，若90,,C AC b BC a ∠=︒==，斜边AB 上的高位h ，则有结论22 222a bha b=+，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为,,a b c且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论__________．17．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n=-∈N.18．将正整数1，2，3，⋯按照如图的规律排列，则100应在第______列.19．甲、乙、丙三位同学被问到是参加了学校组织的A、B、C三个活动兴趣小组时，甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A兴趣小组；乙说：我没参加过B兴趣小组；丙说：我们三人参加了同一兴趣小组；由此可判断乙参加的兴趣小组为__________．20．对于问题“已知关于x的不等式20ax bx c++>的解集为(2,3)-，解关于x的不等式20ax bx c-+>的”，给出一种解法：由20ax bx c++>的解集为(2,3)-，得2()()0a xb x c-+-+>的解集为(3,2)-.即关于x的不等式20ax bx c-+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x的不等式20ax bx c++>的解集为(1,4)，则关于x的不等式2a bcx x++>的解集为_____.三、解答题21．已知非零向量a b，，且a b⊥，求证：2a ba b+≤+．22．用反证法证明: 7,9,11不可能成等差数列23．观察下列三角形数表记第n行的第m个数为(),(,)n ma n N m N+∈∈.（Ⅰ）分别写出()()4,23,2a a-，()()5,24,2a a-，()()6,25,2a a-值的大小；（Ⅱ）归纳出()(),21,2(2)n n a a n --≥的关系式，并求出(),2(1)n a n ≥关于n 的函数表达式.24．已知数列 {}n a 满足：112a =，()()11312111n n n n a a a a ++++=--，()101n n a a n +<≥；数列{}n b 满足：()2211n n n b a a n +=-≥．（1）求数列 {}n a ，{}n b 的通项公式；（2）证明：数列 {}n b 中的任意三项不可能成等差数列．25．（1>（2）如果,,a b c 是不全相等的实数，若,,a b c 成等差数列，用反证法证明：111,,a b c不成等差数列.26．观察下列等式：11-=-；132-+=；1353-+-=-； 13574-+-+=； ………（1）照此规律，归纳猜想出第n 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先利用数字的关系求出函数的周期，进一步求出末尾数字. 【详解】解：观察下列各式：177=，2749=，37343=，462401=，5716807=…， 所以末尾数循环的周期为4，且20205054=⨯，所以20207与47的末位数字相同， 所以末尾数字为1. 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关归纳推理的问题，以及周期性的应用，属于简单问题.2．B解析：B【分析】根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论，分析正误即可．【详解】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：对于①，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误；对于②，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%，所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，②错误；对于③，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%，所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确；对于④，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率，也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，④正确；综上所述，其中正确的结论序号是③④．故选B．【点睛】本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题．3．A解析：A【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论．【详解】假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意；假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意；假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意．所以，说对的是甲，做对的是丙．故选：A．【点睛】本题考查了阅读理解能力以及逻辑思维能力的应用问题，是中档题．4．D解析：D【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.5．A解析：A【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案.【详解】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩，乙、丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩，若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩；丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，故选A.【点睛】该题是一道逻辑推理的题目，掌握此类题目的推理方法是解题的关键.6．A解析：A【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，…以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．故选A．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．7．A解析：A【解析】【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S nn1212-==-2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n() n n12+ =，可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．8．B【解析】 【分析】根据题意，分析可得A 1队必须和A 2，A 3，A 4，A 5这四个球队各赛一场，进而可得A 2队只能和A 3，A 4，A 5中的两个队比赛，又由A 4队只赛过一场，分析可得A 2队必须和A 3、A 5各赛1场，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5五支球队进行单循环比赛，已知A 1队赛过4场,所以A 1队必须和A 2，A 3，A 4，A 5这四个球队各赛一场，已知A 2队赛过3场，A 2队已和A 1队赛过1场，则A 2队只能和A 3，A 4，A 5中的两个队比赛，又知A 4队只赛过一场（也就是和A 1队赛过的一场），所以A 2队必须和A 3、A 5各赛1场，这样满足A 3队赛过2场，从而推断A 5队赛过2场． 故选B ． 【点睛】本题主要考合情推理的应用，利用A 1队比赛场数得出A 2队、A 4队比赛过的对应球队是解题关键．9．D解析：D 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】 解：数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ， 则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．10．B解析：B 【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ． 【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.11．D解析：D 【分析】类比推理中，对于不成立的选项通过举反例的形式说明即可. 【详解】A ：当b 为零向量时，不一定有a c ，故错误；B ：正方体的某一顶点处的三条棱互相垂直，其中没有两条棱是平行的，故错误；C ：取,1a i b i ==--，则方程有实根1x =，此时24a b ≥不成立，故错误；D ：设球上任意一点(,,)P x y z ，则有||OP =2222x y z r ++=，故正确.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明中的类比推理，难度一般.对于一些无法直接证明出真假的命题，可以考虑通过举例的方法尝试推翻结论.12．A解析：A 【解析】 【分析】通过类比的方法得到直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-，代入数据得到答案.【详解】0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得双曲线的0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-代入数据()1,1P ，得到：1143044x y x y -=-⇒-+= 故答案选A 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.二、填空题13．【分析】由合情推理中的类比推理由平面图形类比空间图形由二维到三维由面积到体积由圆到球即可得出结论【详解】三角形的面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径 解析：()12343r S S S S +++ 【分析】由合情推理中的类比推理，由平面图形类比空间图形，由二维到三维，由面积到体积，由圆到球，即可得出结论.【详解】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13， 得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 故答案为：()12343r S S S S +++ 【点睛】本题主要考查了合情推理中的类比推理，考查了推理，归纳能力，属于容易题． 14．【分析】先求出且再求出且且依次类推即得解【详解】由题得函数在单调递增且所以在单调递增且所以且同理且同理且依次类推且故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质复合函数的单调性和函数最值的求法考 解析：2020232-【分析】先求出21max [()]32f x =-，且1()0f x >，再求出222max [()]32f x =-，且2()0f x >，323max [()]32f x =-，且3()0f x >，依次类推即得解.【详解】由题得函数2()42f x x x =++在[0,)+∞单调递增，且()0f x >， 所以1()f x 在[0,1]单调递增，且1()0f x >，所以21max [()]142732f x =++==-，且1()0f x >，同理222max 1max [()][(())](7)7932f x f f x f ====-，且2()0f x >，同理323max 2max [()][(())](79)32f x f f x f ===-，且3()0f x >，依次类推，202022020max 2019max [()][(())]32f x f f x ==-，且2020()0f x >. 故答案为：2020232-.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、复合函数的单调性和函数最值的求法，考查归纳推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．60【解析】【分析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11第二三个数为相邻的两个整数可设为列出方程即可求解【详解】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11第二三个数为相邻的两个整数设第二三个数为： 解析：60【解析】【分析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为,1x x +，列出方程，即可求解.【详解】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数， 设第二、三个数为：,1x x +，所以222(1)11x x +=+，解得60x =，所以第5组勾股数的三个数依次为11,60,61，故答案为：60.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理进行归纳、列出方程计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 16．；【解析】【分析】由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可【详解】如图设为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱三棱锥的高为连接交于两两互相垂直平面平面故答案为 解析：2222222222a b c h a b b c c a =++； 【解析】【分析】由平面上的直角三角形Rt ABC ∆中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【详解】如图，设PA 、PB 、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P ABC -的高为PD h =，连接AD 交BC 于E ， PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA ∴⊥平面PBC ，PE ⊂平面PBC ，PA PE ∴⊥，PA BC ⊥，AE BC ∴⊥，PE BC ⊥22222b c PE b c ∴=+，∴222222PA PE h PDPA PE ==+2222222222b c a b c b c a b c +=++222222222a b c a b b c c a =++． 故答案为2222222222a b c h a b b c c a =++．【点睛】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．17．【解析】【分析】通过观察前几个式子的变化规律总结规律即可得到答案【详解】根据题意第一个式子从1开始左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始有3项；第三个式子从3开始有5项于是可归纳出第n 个式子从n 开始 解析：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-【解析】【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.18．【解析】分析：先找到数的分布规律求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数每一列的数字都是从大大小按排列的且每一列的数字个数等于列数继而求出答案详解：由排列的规律可得第n 列结束的时候排了个数每一列的数字 解析：【解析】分析：先找到数的分布规律，求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案．详解：由排列的规律可得，第n 列结束的时候排了()1123112n n n +++⋯+-=+个数．每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，而第13列的第一个数字是()113131912⨯⨯+=，第14列的第一个数字是()1141411052⨯⨯+=， 故100应在第14列．故答案为：14点睛：此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题19．【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组根据甲不参加乙不参加以及三人参加了同一兴趣小组从而可得结论详解：甲参加的兴趣小组比乙多甲至少参加两个乙只能参加一个小组又甲不参加甲只能参加或又三人参加了同一小组 解析：C【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组，根据甲不参加A ，乙不参加B ，以及三人参加了同一兴趣小组，从而可得结论. 详解：甲参加的兴趣小组比乙多， ∴甲至少参加两个，乙只能参加一个小组， 又甲不参加A ，∴甲只能参加B 或C ， 又三人参加了同一小组，乙不参加B ，∴三人共同参加的小组只有C ，而乙只能参加一个小组，∴乙参加的小组是C ，故答案为C .点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主 解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【分析】关于x 的不等式20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解.【详解】若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a b c x x ++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x 代入得来， 则可得，114x << 解得，114x <<. 故答案为：1,14⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.三、解答题21．证明见解析【分析】a b ⊥⇔0a b ⋅=．同时注意，22||a a =，将要证式子等价变形，用分析法即可获证．【详解】解：∵a b ⊥∴0a b ⋅=， 要证2a ba b +≤+， 只需证2a b a b +≤+， 只需证()2222|2|22a a b b a a b b++≤+⋅+， 只需证2222|2|22a a b b a b ++≤+， 只需证22||2a b a b +-≥0，即2()0a b -≥，上式显然成立，故原不等式得证．【点睛】用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立．注意应用条件a b ⊥⇔0a b ⋅= 和22||a a =．22．见证明【分析】设不成立，原命题成立.【详解】则有=22⇔=3618⇔=+9⇔=8177⇔=【点睛】本小题主要考查利用反证法证明命题，考查等差中项的性质，属于基础题.23．（1）见解析；（2）2(,2)21n a n n n N =+≥∈（且）.【解析】分析：（Ⅰ）直接根据三角形数表中的数值求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）观察共同规律，可得()(),21,221n n a a n --=-，利用累加法可得结果.详解：（Ⅰ）观察以上三角形数表可得：()4,2a - ()3,2a =7，()5,2a - ()4,2a =9，()6,2a - ()5,2a =11.（Ⅱ）依题意()()(),21,2212n n a a n n --=-≥，()1,23a =,当2n ≥时，()()()()()()()()()()(),21,22,21,23,22,2,21,2...n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ， ()()()23213357.......213122n n n n +-=+++++-=+-=+，当1n =时，()1,23a =符合上式 所求()2,221n a n n n N （且）=+≥∈. 点睛：本题主要考查归纳推理以及“累加法”的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.24．（1） ()11121.43n n n n a b --⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭（2） 见解析 【解析】分析：（1）化简可得()2212113n n a a +-=-，令 21n n c a =-，从而判断}{n c 是首项为134c =，公比为 23 的等比数列，从而得到1232143n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而求出{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）用反证法证明即可.详解：（1） 由题意可知()221211,3n n a a +-=- 令 21n n c a =-，则12,3n n c c += 又 211314c a =-=，则数列 }{n c 是首项为 134c =，公比为 23的等比数列，即132,43n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭故1122323211,4343n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又 1102a =>，10n n a a +<，故()1n n a -=- 1122132321211.434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （2） 假设数列 {}n b 存在三项 r b ，s b ，t b ()r s t << 按某种顺序成等差数列， 由于数列 {}n b 是首项为 14，公比为 23的等比数列， 于是有 r s t b b b >>，则只有可能有 2s r t b b b =+ 成立．所以 1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①两边同乘 11432t r --⨯，化简得32223t r t r s r t s ----+=⨯②由于 r s t <<，所以 ② 式左边为奇数，右边为偶数，故 ① 式不可能成立，导致矛盾． 故数列 {}n b 中任意三项不可能成等差数列．点睛：本题考查了等比数列与等差数列的综合应用，同时考查了反证法，用反证法证明要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．25．（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得4240>显然成立，从而可得结果；（2）假设111,,a b c成等差数列，可得2b ac =，结合2b a c =+可得a b c ==，与,,a b c 是不全相等的实数矛盾，从而可得结论.详解：（1>只需证：(22>即6785+>+>4240>显然结论成立>（2）假设111,,a b c 成等差数列，则211a c b a c ac+=+= 由于,,a b c 成等差数列，得2b a c=+① 那么22a c b b ac ac+==，即2b ac =② 由①、②得a b c ==与,,a b c 是不全相等的实数矛盾． 故111,,a b c不成等差数列． 点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.26．（1）135+-++()()()1211n n n n --=-（*N n ∈）；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)结合所给的规律可猜想第n 个等式为135=+-++ ()()()1211n n n n --=-（*N n ∈）；(2)首先说明n=1等式成立，然后假设当n k =（*N k ∈）时，等式成立，证明当1n k =+时等式成立即可.试题（1）第n 个等式为135=+-++ ()()()1211n n n n --=-（*N n ∈）； （2）用数学归纳法证明：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =（*N k ∈）时，等式成立，即135-+-++ ()()()1211k k k k --=-则当1n k =+时，135-+-++ ()()()()1121121k k k k +--+-+ ()()()11121k k k k +=-+-+= ()()1121k k k +--++。

一、选择题1．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以20：领先，则下列说法中错误的是（）A．甲队获胜的概率为827B．乙队以30：获胜的概率为13C．乙队以三比一获胜的概率为29D．乙队以32：获胜的概率为492．如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r＝0.83，则下列结论错误的是（）A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月C．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大D．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加3．某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（）表1表2语文性别不及格及格总计数学性别不及格及格总计男143650男104050女163450女203050总计3070100总计3070100A ．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小B ．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小C ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小D ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 4．甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ） A ．12B ．1C ．56D ．11125．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：2()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++A ．12B ．11C ．10D ．186．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（ ） A ．310B ．13C ．710D ．237．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件 C ．17(|)11P B A =D ．3()5P B =8．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ） A ．15B ．14C ．13D ．129．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如右表，则下列说法正确的是（ ）使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 总计201030参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响．B ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响．C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响．D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习无影响． 10．在一次独立性检验中，得出列表如下：AA合计 B100 400500B900 a90a + 合计190400a +590a +且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是( ) A ．720 B ．360C ．180D ．9011．学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关,抽样调查100人,得到如下数据:根据表中数据,通过计算统计量并参考以下临界数据:若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”,则此结论出错的概率不超过 A ．B ．C ．D ．12．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（ ） A ．0.18B ．0.21C ．0.39D ．0.42二、填空题13．在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者.则乙连胜四局的概率为____. 14．掷三个骰子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________. 15．给出下列结论：（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；（2）某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量； （3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；（4）若关于x 的不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则a 的最大值是1；（5）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A ：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B ：“甲，乙都没有击中目标”是相互独立事件．其中结论正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上）16．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是_____________． ①若K 2的观测值满足K 2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．17．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是______．18．已知下列说法：①分类变量A 与B 的随机变量越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为，若，，，则．其中说法正确的为_____________．（填序号）19．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好取自由曲线y x =与直线1x =及x 轴所围成的曲边梯形内”， B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则(|)P B A =_________.20．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________． ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件三、解答题21．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg ，每件尺寸限制为40cm 60cm 100cm ⨯⨯，其中头等舱乘客免费行李额为40kg ，经济舱乘客免费行李额为20kg .某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表所示的数据： 携带行李重量（kg ） []0,20(]20,30(]30,40(]40,50头等舱乘客人数 8 33 12 2 经济舱乘客人数37 5 3 0 合计4538152（1）请完成22⨯列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？托运免费行李 托运超额行李 合计（）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补贴券”，记赠送的补贴券总金额为X元，求X的分布列与数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：22．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面22⨯列联表.与性别有关”？（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女生的概率.若将频率视为概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 23．随着网络的发展，人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户按年龄分组进行访谈，统计结果如下表.（1）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，则各组应分别抽取多少人？（2）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率.（3）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以50岁为分界点，能否在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关；参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.24．高三（1）班班主任李老师为了了解本班学生喜爱中国古典文学是否与性别有关，对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为35． （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关？请说明理由；（3）已知在喜欢中国古典文学的10位男生中，1A ，2A ，3A 还喜欢数学，1B ，2B 还喜欢绘画，1C ，2C 还喜欢体育．现从喜欢数学、绘画和体育的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．25．2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.（1）完成下列22⨯列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b a c c d b d -==+++++++26．贝诺酯为对乙酰氨基酚与阿司匹林的酯化产物，是一种新型的抗炎、抗风湿、解热镇痛药，主要用于类风湿关节炎、急慢性风湿性关节炎、神经痛及术后疼痛．药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的该药品的镇痛效果进行检测，若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显． （1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为23，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为45，药监部门要利用两只雌性和两只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，一只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为1-．用随机变量X 表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ；（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p ，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为()f p ，求()f p 最大时p 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】A ，在乙队以2:0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜；B ，乙队以3:0获胜，即第4局乙获胜；C ，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜；D ，若乙队以3:2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输． 【详解】解：对于A ，在乙队以2:0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜， 所以甲队获胜的概率为3128()327P ==，故正确； 对于B ，乙队以3:0获胜，即第4局乙获胜，概率为13，故正确； 对于C ，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为212339⨯=，故正确；对于D ，若乙队以3:2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输， 所以乙队以3:2获胜的概率为221433327⨯⨯=，故错． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．2．D解析：D 【分析】根据相关系数的性质判断A ；根据所给折线图，对B ，C ，D 逐项进行判断. 【详解】每月最低气温与最高气温的线性相关系数r ＝0.83，比较接近于1，则每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，则A 正确；由所给的折线图可以看出月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月，则B 正确；5﹣8月的月温差分别为18,17,16,16，9﹣12月的月温差分别为20,31,24,21，则9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大，C 正确；每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第六个月开始减少，所以A 正确，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据折线图解决实际问题以及相关系数的性质的应用，对于相关系数r ，r 越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，属于中档题. 3．C解析：C 【分析】根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论． 【详解】因为()()2210014341636100103020403070505030705050⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯()2100254552530705050⨯⨯-⨯<⨯⨯⨯，所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小. 故选C 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 4．D解析：D 【分析】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率. 【详解】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中， 则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标， 由独立事件的概率乘法公式得()321114312P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111111212P A P A ∴=-=-=，故选D. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.5．A解析：A 【分析】设男生人数为x ，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：则2 3.841K >，由222235236183 3.841822x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅，解得10.24x >， ,26x x为整数， ∴若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人，故选A. 【点睛】本题主要考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.6．B解析：B 【解析】分析：设已知第一次取出的是红球为事件A ，第二次是白球为事件B ，先求出P AB （）的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．详解：设已知第一次取出的是红球为事件A ，第二次是白球为事件B ．则由题意知，77371010930PA P AB ⨯===⨯（），（）， 所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为7130|.7310PB A （）== ． 故选B ．点睛：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键． 7．D解析：D 【解析】分析：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，条件概率公式求出1(|)P B A ，()()()()123P B P A B P A B P A B =++，对照选项即可求出答案.详解：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，()()()12351213,,10210510P A P A P A =====,()()()111177211|1112P BA P B A P A ⨯===,()23|11P B A =,()33|11P B A =,而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233|||P A P B A P A P B A P A P B A =++1713332115111011=⨯+⨯+⨯ 511=. 所以D 不正确. 故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.8．D解析：D 【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.详解：111223122412C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为1132353310C C A ⨯=. 9．C解析：C 【解析】 经计算，()2230421681020101218K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，27.87910.828K <<，对照数表知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响，故选C ．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题；其解题步骤为：（1）认真读题，取出相关数据，作出22⨯列联表；（2）根据22⨯列联表中的数据，计算2K 的观测值k ；（3）通过观测值k 与临界值0k 比较，得出事件有关的可能性大小．10．B解析：B 【解析】∵两个分类变量A 和B 没有任何关系，∴()()()()2259010090400 2.70219040090500a a K a a +-⨯=<⨯++，代入验证可知360a =满足，故选B.11．A解析：A 【解析】 由题意可得，所以, 由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”,则此结论出错的概率不超过，故选A.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）12．C解析：C 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以3:1获胜的概率是：()()()10.60.610.50.50.610.60.50.510.60.60.50.50.21P =⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=． 甲队以3:0获胜的概率是： 20.60.60.50.18P =⨯⨯=则甲队不超过4场即获胜的概率120.210.180.39P P P =+=+= 故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题13．09【分析】当乙连胜四局时对阵情况是第一局：甲对乙乙胜；第二局：乙对丙乙胜；第三局：乙对甲乙胜；第四局：乙对丙乙胜然后利用概率公式进行求解即可【详解】当乙连胜四局时对阵情况如下：第一局：甲对乙乙胜；解析：09.【分析】当乙连胜四局时，对阵情况是第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜，然后利用概率公式进行求解即可【详解】当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为P1=（1﹣0.4）2×0.52=0.32=0.09∴乙连胜四局的概率为0.09【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件．14．【分析】若点数的乘积为偶数此至少有一个骰子的点数为偶数考虑反面情况：三个骰子全部是奇数的概率用减去此概率即可得到结果【详解】因为三个点数的乘积为偶数时则至少有一个点数为偶数若三个点数均为奇数此时对应解析：7 8【分析】若点数的乘积为偶数，此至少有一个骰子的点数为偶数，考虑反面情况：三个骰子全部是奇数的概率，用1减去此概率即可得到结果.【详解】因为三个点数的乘积为偶数时，则至少有一个点数为偶数，若三个点数均为奇数，此时对应的概率为：311 28⎛⎫=⎪⎝⎭，所以至少有一个点数为偶数的概率为：17188 P=-=.故答案为：7 8 .【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，难度一般.概率计算时，若出现至多、至少这样的描述，可考虑从问题的反面解决问题.15．（1）（3）（4）【分析】根据相关指数离散型随机变量随机变量的方差和标准差绝对值不等式和相互独立事件相关的知识对五个结论逐一分析由此得出正确结论的序号【详解】对于（1）R2越大模型的拟合效果越好结论解析：（1），（3），（4）【分析】根据相关指数、离散型随机变量、随机变量的方差和标准差、绝对值不等式和相互独立事件相关的知识，对五个结论逐一分析，由此得出正确结论的序号. 【详解】对于（1）,R 2越大，模型的拟合效果越好，结论正确.对于（2），内径与规定的内径尺寸之差是连续型随机变量，结论错误.对于（3），根据随机变量的方差和标准差的知识可判断出结论正确.对于（4），根据绝对值不等式有22x x a a a -+-≥-≥，所以2a a -≤-或2a a -≥，前者解得1a ≤，后者无解，故a 的最大值为1，结论正确.对于（5），事件A ：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B ：“甲，乙都没有击中目标”是对立事件，不是相互独立事件，结论错误.综上所述，正确结论为（1），（3），（4）. 【点睛】本小题主要考查关指数、离散型随机变量、随机变量的方差和标准差、绝对值不等式和相互独立事件相关的知识，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.16．③【解析】推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病说法错误排除①有99的把握认为吸烟与患病有关系时与99的可能患有肺病是两个不同概念排除②故填③解析：③ 【解析】推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除①，有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，与99%的可能患有肺病是两个不同概念,排除②，故填③．17．【解析】解：男生甲被选中记作事件A 男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B 则：由条件概率公式可得：解析：35【解析】解：男生甲被选中记作事件A ，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B ，则：()26337715C P A C C == ，()1144337719C C P AB C C ++== ， 由条件概率公式可得：()()()3|5P AB P B A P A == . 18．①②③【解析】①正确因为k2越大说明A 和B 有关系的把握性就越大；②正确因为y=cekx 那么lny=lncekx=kx+lnc 即z=kx+lnc=03x+4解得k=03lnc=4解得：k=03c=e4解析：①②③ 【解析】①正确，因为越大，说明“和有关系”的把握性就越大；②正确，因为，那么，即，解得，解得： 所以正确；③在回归直线上，所以，解得：，所以正确，那么正确的有①②③.【点睛】本题是以命题形式考查了回归方程和独立性检验的相关知识，样本中心点必在回归直线上，独立性检验中越大，说明犯错误的概率越小，即认为两个变量有关的把握性就越大.19．【解析】由于曲线与直线围成的面积为即曲线与直线围成的面积为即所以由条件事件的概率公式可得应填答案点睛：本题旨在考查几何概型的计算公式及运用求解时充分依据题设条件借助定积分的计算公式分别求出几何概型中解析：14【解析】由于曲线y x =与直线1x =围成的面积为3210221033S xdx ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰，即()23P A =曲线y x=与直线y x =围成的面积为()13222021211()101032326S x x dx ⎛⎫==---=-= ⎪⎝⎭⎰，即()16P AB =，所以由条件事件的概率公式可得()()131(|)624P AB P B A P A ==⨯=，应填答案14。

一、选择题1．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品C ．B 作品D ．A 作品2．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4003．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B ．122C 21D ．21-4．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．0x y =，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为07．已知平面直角坐标系内曲线()1:,0C F x y =，曲线()200:(,),0C F x y F x y -=，若点()00,P x y 不在曲线1C 上，则下列说法正确的是（ ）A ．曲线1C 与2C 无公共点B ．曲线1C 与2C 至少有一个公共点C ．曲线1C 与2C 至多有一个公共点D ．曲线1C 与2C 的公共点的个数无法确定8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．9．===⋅⋅⋅=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4310．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 11．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A 1B 1CD12．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.五棱锥 6 10 6 六棱锥712712个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20二、填空题13．本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.14．已知等差数列{}()*n a n N∈中，若10100a=，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b=，则与此相应的等式_________________恒成立.15．观察下列等式：11=，3211=123+=，332123+=1236++=，33321236++=……可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）．16．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数1,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.图一 图二17．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.18．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c __________.19．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =__________．20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+； （2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >．22．23523．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由. （2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0f f x x =，求证：()00f x x =.24．已知i 为虚数单位，观察下列各等式：()()cos1sin1cos2sin 2cos3sin3i i i ++=+； ()()cos3sin3cos4sin 4cos7sin7i i i ++=+； ()()cos5sin5cos6sin6cos11sin11i i i ++=+； ()()cos7sin7cos8sin8cos15sin15i i i ++=+． 记()cos sin ,f i R αααα=+∈．（1）根据以上规律，试猜想()()(),,f f f αβαβ+成立的等式，并加以证明；（2）计算612i ⎫+⎪⎪⎝⎭．25．已知函数3()3xf x x =+，数列{}n a 对于*n ∈N ，总有1()n n a f a +=，112a =. (1)求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 26．已知()f x =,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字． 【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．3．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=， 即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.5．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.7．A解析：A 【分析】利用反证法，假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，推出矛盾，即可得到结论. 【详解】假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，则()11,0F x y =和()1100(,),0F x y F x y -=同时成立，()00,0F x y ∴=，∴点()00,P x y 在曲线1C 上，这与已知条件点()00,P x y 不在曲线1C 上矛盾. ∴假设不成立，所以曲线1C 与2C 无公共点. 故选：A . 【点睛】本题考查反证法，关键是理解掌握反证法的定义.8．C解析：C 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．B解析：B 【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值. 【详解】==，====)2,k k N *=≥∈，当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=，故选B. 【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】根据反证法的知识判断A,B 两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C 选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D 选线说法正确. 【详解】对于A 选项，反证法假设时，假设“1x ≠或1y ≠”，说法正确.对于B 选项，假设,a b 两个都不大于1，即1,1a b ≤≤，则2a b +≤与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为()0q q ≠，则()210y q =-⋅<，所以C 选项说法错误.对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D 选项说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.11．B【解析】 【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为： 棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.二、填空题13．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面解析：4π【分析】先画出2sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ，将区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦分为2n 段，每段矩形面积为 22222111cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 其中21k =，...，2n ， 原式即求11cos222y x =-+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴和2x π=所围图形面积，利用割补法易知面积为1224ππ⨯=. 故答案为：4π. 14．【分析】根据等差数列的性质有等比数列的性质有类比即可得到结论【详解】已知等差数列中由等差数列的性质得等比数列且有等比数列的性质得所以类比等式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质结合 解析：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【分析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论. 【详解】已知等差数列{}()*n a n N∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N∈，且1001b=，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．或或【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得【详解】由观察找到规律可得：故可得解【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和属于中档题解析：()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦或()2214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 【解析】 【分析】观察找到规律由等差数列求和可得. 【详解】由观察找到规律可得：()223333(1)123123,2n n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦故可得解. 【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.16．【分析】先利用定积分计算底面面积再用体积公式得到答案【详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【点睛】本题考查了体积的计算意在考查学生解决问题的能力解析：73【分析】先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案. 【详解】[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A1322101217(1)(1)(1)10326A S x dx x x -=+-=+--=-⎰77263A V S h ==⨯=故答案为73【点睛】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.17．【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律右边为平方数得到答案【详解】等式左边：第排首字母为数字个数为等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律意在考查学生的应用能力 解析：567891011121381++++++++=【解析】 【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.18．【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定abc 的值进一步可得的值【详解】若甲自己的预测正确则：据此可知丙的说法也正确矛盾；若乙自己的预测正确则：矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确即：；故：则故答案解析：【解析】 【分析】由题意利用推理的方法确定a ,b ,c 的值，进一步可得10100a b c 的值.【详解】若甲自己的预测正确，则：3,3a b ≠≠，据此可知3c =，丙的说法也正确，矛盾； 若乙自己的预测正确，则：3,3a b ==，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：3,3,1a b c =≠≠；故：3,1,2a b c ===，则10100213a b c ++=. 故答案为213． 【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.19．【解析】【分析】根据递推关系利用叠加法求结果【详解】因为所以【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)比较(比较已知数列)归纳转化(转化为特殊数列)联想(联想常见的数列)等方法 解析：271【解析】 【分析】根据递推关系16(1)n n a a n +-=-，利用叠加法求结果 【详解】因为16(1)n n a a n +-=-， 所以1010998211=()()()6[981]1271.a a a a a a a a -+-++-+=++++=【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【分析】关于x 的不等式20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a bc x x++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来， 则可得，114x<< 解得，114x <<. 故答案为：1,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）利用分析法，0,0a b >>，要证22a b aba b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，只需证明()20a b -≥即可，该式显然成立，从而可得结论；(2)本题是一个全部性问题,要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法,假设,,a b c ,不全是正数,这时需要逐个讨论,,a b c 不是正数的情形,但注意到条件的特点(任意交换,,a b c 的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数〔例如a ，其他两个数〔例如,b c 〕与这种情形类似. 试题 （1）证明：0,0a b >>，要证22a b ab a b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，即证2220a ab b -+≥，而()22220a ab b a b -+=-≥恒成立，故22a b aba b+≥+成立. （2）假设,,a b c 不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设0a ≤，下面分0a =和0a <两种情况讨论，如果0a =，则0abc =与0abc >矛盾，0a ∴=不可能，如果0a <，那么由0abc >可得，0bc <，又0,0a b c b c a ++>∴+>->，于是()0ab bc ca a b c bc ++=++<，这和已知0ab bc ca ++>相矛盾，因此，0a <也不可能，综上所述，0a >，同理可证0,0b c >>，所以原命题成立.【方法点睛】本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 22．详见解析 【分析】，=边平方整理，推出矛盾即可. 【详解】则由等差数列的性质可得=∴1225=++∴5=∴25＝40（矛盾），故假设不成立， ∴【点睛】本题主要考查反证法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值． （3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0． 【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-， ∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭， 即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立， ∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+， 即3442x a x -<<-恒成立， ∵()341,2x -∈-∴2a ≥； ∵()422,6x -∈∴2a ≤. 综上，满足条件的2a =. （3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x >，即()00x f x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =. 【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题. 24．(1) 猜想()()()f f f αβαβ=+，证明见解析；(2)-1【分析】 （1）将()(),f f αβ和()f αβ+之间的关系进行验证，总结出规律，即为猜想，作出证明即可；（2）利用（1）推出的结论，代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）猜想()()()ff f αβαβ=+，证明：()()()()cos sin cos sin f f i i αβααββ=++ ()()cos cos sin sin sin cos cos sin i αβαβαβαβ=-++()()()cos sin i f αβαβαβ=+++=+；（2）因为()()()f f f αβαβ=+，所以()()()()()cosn isinn nff f f f n ααααααα===+，∴661cos sin 266i i ππ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1i ππ=+=-． 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中根据题设中各式子的结构，合理归纳是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 25．（1）237a =，338a =，439a =，*3()5n a n n =∈+N （2）见证明 【解析】 【分析】(1) 计算得到237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)利用数学归纳法验证，假设，推导的顺序证明猜想. 【详解】(1)解：由3()3xf x x =+，得13()3n n n na a f a a +==+，因为11326a ==，所以237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)证明：用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，131152a ==+，猜想成立；②假设当*()n k k =∈N 时猜想成立，即35k a k =+， 则当1n k =+时，133335331535k k k a k a a k k +⋅+===+++++，所以当1n k =+时猜想也成立.由①②知，对*n ∈N ，35n a n =+都成立. 【点睛】本题考查了数列的计算，归纳猜想，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况.26．详见解析. 【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()f x =()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为3，根据结论的形式将()f x =可完成证明. 试题 由()f x =，得()()01f f +==,()()12f f -+== ()()23f f -+==. 归纳猜想一般性结论为 ()()1f x f x -++= 证明如下：()()1f x f x -++==x ===【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.。

一、选择题1．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）A ．分层抽样B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图2．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ） 参考数据及公式如下： 20()P K k ≥ 0.050 0.0100.0010k3.841 6.635 10.8282()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++A ．12B ．11C ．10D ．183．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．454．某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：做不到 能做到 高年级 45 10 低年级3015则下列结论正确的是（ ） 附参照表：2()P K k ≥0.10 0.025 0.01 k2.7065.0246.635参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++A．在犯错误的概率不超过90%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”D．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”5．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件A=“第一次摸出的是红球”，事件B=“第二次摸出的是白球”，则(|)P B A=（）A．25B．415C．49D．596．某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++并参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”7．下列结论中正确的是（）A．若两个变量的线性关系性越强，则相关系数的绝对值越接近于0B．回归直线至少经过样本数据中的一个点C．独立性检验得到的结论一定正确D．利用随机变量2x来判断“两个独立事件,X Y的关系”时，算出的2x值越大，判断“,X Y有关”的把握越大8．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果一次性抽取 2道题，已知有一道是理科题的条件下，则另一道也是理科题的概率为 A ．13B ．14C ．12D ．359．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下22⨯列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++参照附录，得到的正确结论是( ) A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” 10．下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B =； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==． A ．0B ．1C ．2D ．311．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：其中()()()()()22,.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++则下列结论正确的是A ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”12．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）参考公式附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879A ．130B ．190C ．240D ．250二、填空题13．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为12，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______. 14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________. 15．下列4个命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；②四边形ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-； ③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象； ④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为1.230.08y x =+.其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号)16．在2017年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y1110865由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：3.2y x a =-+，则a =__________．17．给出下列四个结论：(1)相关系数r 的取值范围是1r <；(2)用相关系数r 来刻画回归效果，r 的值越大，说明模型的拟合效果越差；(3)一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，则其中所含白球个数的期望是2；(4) 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ,且(),,0,1a b c ∈，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b+的最小值为163.其中正确结论的序号为______________. 18．已知下列说法：①分类变量A 与B 的随机变量越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为，若，，，则．其中说法正确的为_____________．（填序号）19．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________. 20．甲、乙两人独立地破译一密码,他们能单独破译该密码的概率分别是21,53,假设他们破译密码彼此没有影响,则该密码被破译的概率为____．三、解答题21．某机构为了解某大学中男生的体重单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y 关于x 的线性同归方程为ˆˆ1.15yx a =+ （1）求ˆa（2）已知()()22121ˆ1nii i nii y yR y y ==-=--∑∑且当20.9R 时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据：()621ˆ49.12iii y y=-=∑22．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．合计（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望． 附：()20P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.010 0.0050k2.072 2.7063.8416.6357.8792()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++23．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA 疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？大龄受试者 年轻受试者 合计舒张压偏高或偏低 舒张压正常 合计6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为X ，求X 的分布列和数学期望.运算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，对照表：P (2K k ≥) 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.82824．为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图，如图所示.（1）求出频率分布直方图中的a 值和这200人的平均年龄；（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？ 附：()20P K K 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 25．2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.（1）完成下列22⨯列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++26．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm60cm100cm⨯⨯，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：（1）请完成22⨯列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”，求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()0P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。

一、选择题1．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人2．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+3．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 4．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．655．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老师说：你们4人中有2位优秀，2位良好，我给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看完后甲对大家说：我不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道4人的成绩 C ．丁可以知道自己的成绩 D ．丁可以知道4人的成绩6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20187．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目积分规则100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 姓名 100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8乙 12.61.3 11.4 丙 12.91.2611.7丁13.11.2211.6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了10．已知222233+=，333388+=，44441515+=，⋅⋅⋅，若66n nm m+=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4311．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9612．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >. 其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________． 16．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为____ 18．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________19．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.20．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++⋅⋅⋅是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得12x =正数得21x =.666+++⋅⋅⋅=_____________.三、解答题21．已知正三角形ABC 的边长是a ，若O 是ABC △内任意一点，那么O 到三角形三边的距离之和是定值32a .这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设O 到三边的距离分别是OD 、OE 、OF ，则111222S a OD a OE a OF =⋅+⋅+⋅=11()22a OD OE OF a h ⋅++=⋅,h 为正三角形ABC 的高32a ，即32OD OE OF a ++=.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.22．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos 45︒+︒+︒︒； ③22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos5-︒+︒+-︒︒.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 23．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 10sin 70sin10sin 70︒+︒-︒︒ （2）22sin 20sin 80sin 20sin80︒+︒-︒︒ （3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒（4）()()22sin13sin 47sin 13sin 47-︒+︒--︒︒ （5）()()()()22sin 78sin 18sin 78sin 18-︒+-︒--︒-︒（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论. 24．下面（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 之间的数量关系（不要求证明）.25．已知()33xf x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 26．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：用,,A B C 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 也最多只有1个，得C 的最多只有1个，因此人数最多只有3人，显然(),(),()AC BB CA 满足条件，故选B ．考点：合情推理的应用．2．C解析：C 【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式及性质逐一计算判断即可. 【详解】在等比数列{}n b 中，0n b >，公比1q ≠，0q ∴>，即01q <<或1q >， 在A 中，3526b b b b =，故A 错误；在B 中，29561b b b q =，23231b b b q =，故当01q <<时，5623b b b b <，当1q >时5623b b b b >，故B 错误；在C 中，()3351b b b q q q+=+，()42611b b b q q +=+，而()()()()()()243332111110q q q q q q q q q +-+=---=-++>，得431qq q +>+，故3526b b b b +<+，故C 正确；在D 中，()45611b b b q q +=+，()2311b b b q q +=+，故当01q <<时，5623b b b b +<+，当1q >时5623b b b b +>+，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题.3．D解析：D 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.4．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案. 【详解】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩，乙、丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩，若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩； 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，【点睛】该题是一道逻辑推理的题目，掌握此类题目的推理方法是解题的关键.6．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。

一、选择题1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种2．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则57S ＝（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．20593．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：1a 1=，2a 1=，n 2n n 1a a a ++=+，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据n 2n n 1a a a ++=+可得n n 2n 1a a a ++=-，所以()()()12n 3243n 2n 1n 22n 2a a a a a a a a a a a a 1++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a (++⋯= )A．714 B．1870 C．4895 D．48964．现有1A，2A，…，5A这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计1A，2A，3A，4A 这4个球队已经赛过的场数分别为：1A队4场，2A队3场，3A队2场，4A队1场，则A队比赛过的场数为（）5A．1B．2C．3D．45．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。