【2014石景山一模】北京市石景山区2014届高三3月统一测试 数学(理)试题

2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝﹣lg|x|D．y＝2x3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10B．﹣10C．20D．﹣204．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4B．C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2B．8C．D．46．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．28．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且＝0，则||的最小值为（）A．B．3C．D．1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．10．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，则数列{a n}的通项公式a n＝，设b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n＝．11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为，若直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则实数k的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y＝kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a＝2b sin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝，求c边的长和△ABC的面积．16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i＝2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n＝（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x＝，k∈N*，k≤2n﹣1}．2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A＝{x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B＝{x|x≥1}，∵全集U＝R，∴∁U B＝{x|x＜1}，则A∩（∁U B）＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝﹣lg|x|D．y＝2x【解答】解：A．y＝x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A 不选；B．y＝x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；C．y＝﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；D．y＝2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，故选：C．3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10B．﹣10C．20D．﹣20【解答】解：的二项展开式的通项为T r+1＝•＝•（﹣1）r x10﹣3r，令10﹣3r＝1，得r＝3，故x项的系数为•（﹣1）3＝﹣10，故选：B．4．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4B．C．D．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵以BC为直径的圆交AB于D，∴AC是圆的切线，∴AC2＝AD•AB，∴AD＝＝，∴BD＝5﹣＝．故选：D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2B．8C．D．4【解答】解：∵抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为：y＝﹣，∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）＝3，解得：p＝4．即焦点到准线的距离为4，故选：D．6．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是＝1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选：B．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．2【解答】解：根据题意，程序框图运行的程序为，i＝0，A＝2，i＝1，A＝1﹣＝，i＝2，A＝1﹣2＝﹣1；i＝3，A＝1﹣（﹣1）＝2，i＝4，A＝1﹣＝，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i＝2015，∴A＝﹣1，i＝2015＞2014，输出A：﹣1；故选：C．8．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且＝0，则||的最小值为（）A．B．3C．D．1【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2＝|PF|2﹣|MF|2，而|MF|＝1，∴当PF最小时，切线长PM 最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3＝2．此时|PM|＝＝．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥010．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，则数列{a n}的通项公式a n＝2n，设b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，则q3＝＝＝8，解得q＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2×2n﹣1＝2n，∴b n＝log2a n＝log22n＝n，∴b1＝1，∵b n＝n是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n＝＝故答案为：2n；11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4，若直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则实数k的值为．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，根据ρ2＝x2+y2，则圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4．又因为直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则圆心（0，0）到直线kx+y+3＝0的距离d＝＝2＝r，解得：．故应填：x2+y2＝4；．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x＝，y＝时，有最小值；当x＝1，y＝6时，有最大值6故答案为：13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有180种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．【解答】解：甲、乙都不选时，有＝60种；甲、乙两个专业选1个时，有＝120种，根据分类计数原理，可得共有60+120＝180种不同的填报专业志愿的方法．故答案为：180．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y＝kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为y＝2x﹣2．【解答】解：作出函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则y＝kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b＝0，解得b＝﹣k，函数f′（x）＝2x，即k＝f′（1）＝2，∴b＝﹣2，即隔离直线方程为y＝2x﹣2，故答案为：y＝2x﹣2三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a＝2b sin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝，求c边的长和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝2b sin A，∴sin A＝2sin A sin B，∵0＜A＜π，∴sin A≠0，∴sin B＝，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B＝60°；（Ⅱ）∵a＝2，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：（）2＝22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3＝0，解得：c＝3或c＝﹣1（舍），∴c＝3，＝ac sin B＝×2×3×＝．则S△ABC16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：…（12分）∴．…（13分）17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为A1B的中点．因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分）所以MD∥B1C．…（3分）因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（4分）（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB＝2，，D是AC的中点．所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，…（5分）所以，，．设是平面A 1BD的法向量，所以即令，则y＝2，z＝3，所以是平面A 1BD的一个法向量．…（6分）由题意可知是平面ABD的一个法向量，…（7分）所以．…（8分）所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为．…（9分）（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则，设平面B1C1E的法向量，所以即令，则x 1＝3，，，…（12分）又，即，解得，所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）18．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2+x﹣lnx（x＞0），∴，当，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间．（Ⅱ），∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，切线的斜率，又切线过原点，，即：t2+at﹣lnt＝2t2+at﹣1，∴t2﹣1+lnt＝0，令g（t）＝t2﹣1+lnt，，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，所以方程t2﹣1+lnt＝0有唯一解t＝1．综上，切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．∴，，∴＝1，∴椭圆方程为，∴准圆方程为x2+y2＝4．（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，联立得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．∵直线y＝kx+2与椭圆相切，∴△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，∴l1，l2方程为y＝x+2，y＝﹣x+2．∵，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：，当l1：时，l1与准圆交于点，此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，∴由得．由△＝0化简整理得，∵，∴有．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程，∴t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，|MN|＝4，∴线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i＝2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n＝（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x＝，k∈N*，k≤2n﹣1}．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，∴，由于，∴S3可能值为．…（3分）（Ⅱ）∵，当n＝1时，，当n≥2时，，∴，n∈N*，…（5分）∵{b n}是的生成数列，∴；；；∴，在以上各种组合中，当且仅当时，才成立．∴．…（8分）（Ⅲ）证明：共有2n﹣1种情形．，即，又，分子必是奇数，满足条件的奇数x共有2n﹣1个．…（10分）设数列{a n}与数列{b n}为两个生成数列，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．由于，不妨设a k＞0，b k＜0，则＝，所以，只有当数列{a n}与数列{b n}的前n项完全相同时，才有S n＝T n．…（12分）∴共有2n﹣1种情形，其值各不相同．∴S n可能值必恰为，共2n﹣1个．即S n所有可能值集合为．…（13分）。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）理综试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试用时150分钟。

第I卷（选择题共20题每题6分共120分）可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Cu-64 Ba-137 在每小题列出的四个选项中。

选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

1. 人脐带间充质干细胞在特定诱导条件下，可分化为脂肪、肝、神经等多种组织细胞。

下图表示培养人脐带间充质干细胞的大致过程，相关说法错误．．的是A. 人脐带间充质干细胞属于多能干细胞B. 通过离心去上清液可以除去胰蛋白酶C. 在超净台上操作可满足细胞培养所需的无毒、无菌条件D. 出现接触抑制前，培养瓶中的细胞数量增长呈“J”型2. 研究人员从木耳菜中提取过氧化物酶（POD），分别与四种不同酚类物质及H2O2进行催化反应，结果如下图所示。

相关说法正确的是A. 图1所示的实验目的是探究不同酚类物质的浓度对POD活性的影响B. 当底物浓度为0.08 mmol·L-1时，POD催化酚类2的反应速率一定大于酚类3C. 由图2可知，H2O2浓度过高会抑制POD的活性，降低浓度后POD活性就会恢复D. H2O2对POD活性的影响与温度和pH对POD活性的影响相同3. 油菜的凸耳和非凸耳是一对相对性状，用甲、乙、丙三株凸耳油菜分别与非凸耳油菜进行杂交实验，结果如下表所示。

相关说法错误．．的是PF1F2甲×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=15:1乙×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=3:1丙×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=3:1A. 凸耳性状是由两对等位基因控制B. 甲、乙、丙均为纯合子C. 甲和乙杂交得到的F2均表现为凸耳D. 乙和丙杂交得到的F2表现型及比例为凸耳：非凸耳=3：14. 栽培番茄含有来自野生番茄的Mi-1抗虫基因，它使番茄产生对根结线虫（侵染番茄的根部）、长管蚜和烟粉虱三种害虫的抗性。

2014北京市石景山区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=x+1 C．y=﹣lg|x| D．y=2x3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣204．（5分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4 B．C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2 B．8 C．D．46．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．10．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，则数列{a n}的通项公式a n= ，设b n=log2a n，则数列{b n}的前n项和S n= ．11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切，则实数k的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b 和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i=2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n=（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x=，k∈N*，k≤2n﹣1}．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．2．【解答】A．y=x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A不选；B．y=x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；C．y=﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；D．y=2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，故选：C．3．【解答】的二项展开式的通项为T r+1=•=•（﹣1）r x10﹣3r，令10﹣3r=1，得r=3，故x项的系数为•（﹣1）3=﹣10，故选：B．4．【解答】Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC==3，∵以BC为直径的圆交AB于D，∴AC是圆的切线，∴AC2=AD•AB，∴AD==，∴BD=5﹣=．故选：D．5．【解答】∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为：y=﹣，∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）=3，解得：p=4．即焦点到准线的距离为4，故选：D．6．【解答】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是=1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选B．7．【解答】根据题意，程序框图运行的程序为，i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i=2，A=1﹣2=﹣1；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i=4，A=1﹣=，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i=2015，∴A=﹣1，i=2015＞2014，输出A：﹣1；故选：C．8．【解答】依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．此时|PM|==．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥010．【解答】设等比数列{a n}的公比q，则q3===8，解得q=2，∴a n=a1q n﹣1=2×2n﹣1=2n，∴b n=log2a n=log22n=n，∴b1=1，∵b n=n是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n==故答案为：2n；11．【解答】以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，根据ρ2=x2+y2，则圆C的直角坐标方程为x2+y2=4．又因为直线l：kx+y+3=0与圆C相切，则圆心（0，0）到直线kx+y+3=0的距离d==2=r，解得：．故应填：x2+y2=4；．12．【解答】满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故答案为：13．【解答】甲、乙都不选时，有=60种；甲、乙两个专业选1个时，有=120种，根据分类计数原理，可得共有60+120=180种不同的填报专业志愿的方法．故答案为：180．14．【解答】作出函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则y=kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b=0，解得b=﹣k，函数f′（x）=2x，即k=f′（1）=2，∴b=﹣2，即隔离直线方程为y=2x﹣2，故答案为：y=2x﹣2三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵a=2bsinA，∴sinA=2sinAsinB，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B=60°；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理得：（）2=22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍），∴c=3，则S△ABC=acsinB=×2×3×=．16．【解答】（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P…（12分）∴．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为A1B的中点．因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分）所以MD∥B1C．…（3分）因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（4分）（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB=2，，D是AC的中点．所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，…（5分）所以，，．设是平面A1BD的法向量，所以即令，则y=2，z=3，所以是平面A1BD的一个法向量．…（6分）由题意可知是平面ABD的一个法向量，…（7分）所以．…（8分）所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为．…（9分）（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则，设平面B1C1E的法向量，所以即令，则x 1=3，，，…（12分）又，即，解得，所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx（x＞0），∴，当，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间．（Ⅱ），∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，切线的斜率，又切线过原点，，即：t2+at﹣lnt=2t2+at﹣1，∴t2﹣1+lnt=0，令g（t）=t2﹣1+lnt，，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以方程t2﹣1+lnt=0有唯一解t=1．综上，切点的横坐标为1．19．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．∴，，∴=1，∴椭圆方程为，∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：，当l1：时，l1与准圆交于点，此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得．由△=0化简整理得，∵，∴有．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．20．【解答】（Ⅰ）由已知，，，∴，由于，∴S3可能值为．…（3分）（Ⅱ）∵，当n=1时，，当n≥2时，，∴，n∈N*，…（5分）∵{b n}是的生成数列，∴；；；∴，在以上各种组合中，当且仅当时，才成立．∴．…（8分）（Ⅲ）证明：共有2n﹣1种情形．，即，又，分子必是奇数，满足条件的奇数x共有2n﹣1个．…（10分）设数列{a n}与数列{b n}为两个生成数列，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．由于，不妨设a k＞0，b k＜0，则=，所以，只有当数列{a n}与数列{b n}的前n项完全相同时，才有S n=T n．…（12分）∴共有2n﹣1种情形，其值各不相同．∴S n可能值必恰为，共2n﹣1个．即S n所有可能值集合为．…（13分）。

北京市石景山区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合M=x∈R x2+2x−3≤0，N=x∈R x+1<0，那么M∩N= ______A. −1,0,1B. −3,−2,−1C. x −1≤x≤1D. x −3≤x<−12. 复数i1−i= ______A. 12+i2B. 12−i2C. −12+i2D. −12−i23. 已知向量a=x,1，b=4,x，则“ x=2”是“ a∥b”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知数列a n为等差数列，a4=2，a7=−4，那么数列a n的通项公式为 ______A. a n=−2n+10B. a n=−2n+5C. a n=−12n+10 D. a n=−12n+55. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为______A. 3B. 126C. 127D. 1286. 在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y=x围成的区域内（阴影部分）的概率为______A. 12B. 23C. 34D. 457. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为______A. 324B. 328C. 360D. 6488. 已知函数f x满足f x+1=1f x+1，当x∈0,1时，f x=x，若在区间−1,1上，g x=f x−mx−m有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______A. 0,12B. 12,+∞ C. 0,13D. 0,12二、填空题（共4小题；共20分）9. 已知圆C的参数方程为x=1+2cosθ,y=2sinθ,（θ为参数）则圆C的直角坐标方程为______，圆心C到直线l:x+y+1=0的距离为______．10. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=6，c=4，cos B=13，则b= ______．11. 若x,y满足约束条件x≤1,y≥0,x−y+2≥0,则z=x+y的最大值为______．12. 如图，已知在△ABC中，∠B=90∘，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则AB的长为______，CD的长为______．三、解答题（共6小题；共78分）13. 已知函数f x=23sin x cos x+cos2x+1．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．14. 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在85,100之间为体质优秀；在75,85之间为体质良好；在60,75之间为体质合格；在0,60之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：91356801122333445667797056679645856（1）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（2）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．15. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，∠ABC =90∘，AD ∥BC ，且 PA =AD =2，AB =BC =1，E 为 PD 的中点．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求二面角 E −AC −D 的余弦值；（3）在线段 AB 上是否存在一点 F （不与 A ，B 两点重合），使得 AE ∥平面PCF ?若存在，求出 AF 的长；若不存在，请说明理由．16. 已知函数 f x =e x −ax （e 为自然对数的底数）．（1）当 a =2 时，求曲线 f x 在点 0,f 0 处的切线方程； （2）求函数 f x 的单调区间；（3）已知函数 f x 在 x =0 处取得极小值，不等式 f x <mx 的解集为 P ，若 M =x 12≤x ≤2 ，且 M ∩P ≠∅，求实数m 的取值范围．17. 已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 过点 2,0 ，且椭圆的离心率为 12．（1）求椭圆的方程；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且 MP =PN ，再过作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．18. 已知集合 A = −1,0,1 ，对于数列 a n 中，a i ∈A i =1,2,3,⋯,n ．（1）若 50 项数列 a n 满足 a i 50i =1=−9， a i −1 250i =1=107，则数列 a n 中有多少项取值为零?（ a i n i =1=a 1+a 2+⋯+a n ,n ∈N ∗）（2）若各项非零数列 a n 和新数列 b n 满足 b i −b i−1=a i−1 i =2,3⋯,n ． （ⅰ）若首项 b 1=0，末项 b n =n −1，求证数列 b n 是等差数列；（ⅱ）若首项 b 1=0，末项 b n =0，记数列 b n 的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最大值和最小值．答案第一部分 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C6. B7. B8. D第二部分9. x −1 2+y 2=4； 2 10. 6 11. 4 12. 4；3 第三部分13. （1） f x = 3sin2x +cos2x +1=2sin 2x +π6 +1， 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以函数 f x 的单调递增区间为 kπ−π3,kπ+π6 k ∈Z ． （2） 因为 −π4≤x ≤π4，−π3≤2x +π6≤2π3，−32≤sin 2x +π6 ≤1，− 3+1≤2sin 2x +π6 +1≤3，所以当 2x +π6=−π3，即 x =−π4时，函数 f x 取得最小值 − 3+1．14. （1） 根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有 1030×300=100 人． （2） 依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:10=3:2．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为 35×5=3，从体质为优秀的学生中抽取的人数为 25×5=2．（ⅰ）设“在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀”为事件 A ， 则 P A =1−C 33C 53=910．故在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀的概率为 910． （ⅱ）随机变量 X 的所有取值为 1,2,3． P X =1 =C 31⋅C 22C 53=310， P X =2 =C 32⋅C 21C 53=610，P X =3 =C 33C 53=110．所以，随机变量 X 的分布列为：X 123P310610110EX =1×310+2×610+3×110=95．15. （1） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ．取AD的中点G，连接GC，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90∘，且AB=BC=1，所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且CG=12AD，所以∠ACD=90∘，即AC⊥CD．又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（2）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz．A0,0,0，C1,0,0，E0,0,1，P0,0,2，所以AP=0,0,2，AC=1,0,0，AE=0,1,1．因为PA⊥平面ABCD，所以AP=0,0,2为平面ACD的一个法向量．设平面EAC的法向量为n1=x,y,z，由n1⋅AC=0，n1⋅AE=0得x+y=0, y+z=0,令x=1，则y=−1，z=1．所以n1=1,−1,1是平面EAC的一个法向量．所以cos n1,AP=222=33．因为二面角E−AC−D为锐角，所以二面角E−AC−D的余弦值为33．（3）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．F a,0,0，则CF=a−1,−1,0，CP=−1,−1,2．设平面PCF的法向量为n2=x,y,z，由n2⋅CF=0，n2⋅CP=0得a−1x−y=0,−x−y+2z=0,令x=1，则y=a−1，z=a2，所以n2=1,−1,a2是平面PCF的一个法向量．因为AE∥平面PCF，所以AE⋅n2=0，即a−1+a2=0，解得a=23，所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且AF=23．16. （1）当a=2时，f x=e x−2x，f0=1，fʹx=e x−2，得fʹ0=−1，所以曲线y=−x+1在点y=−x+1处的切线方程为y=−x+1．（2）fʹx=e x−a．当a≤0时，fʹx>0恒成立，此时f x的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；当a>0时，x∈−∞,ln a时，fʹx<0，x∈ln a,+∞时，fʹx>0，此时f x的单调递增区间为ln a,+∞，单调递减区间为−∞,ln a．（3）由题意知fʹ0=0得a=1，经检验此时f x在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f x<mx在12,2上有解，即∃x∈12,2使f x<mx成立，即∃x∈12,2使m>e x−xx成立，所以m>e x−xx min．令g x=e xx −1，gʹx=x−1e xx，所以g x在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，则g x min=g1=e−1，所以m∈e−1,+∞．17. （1）因为点2,0在椭圆C上，所以4a +0b=1，所以a2=4，因为椭圆C的离心率为12，所以ca=12，即a2−b2a=14，解得b2=3，所以椭圆C的方程为x 24+y23=1．（2）设P−1,y0，y0∈ −32,32，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y−y0=k x+1，M x1,y1，N x2,y2，由3x2+4y2=12,y−y0=k x+1,得3+4k2x2+8ky0+8k2x+4y2+8ky0+4k2−12=0，所以x1+x2=−8ky0+8k23+4k，因为MP=PN，即P为MN中点，所以x1+x22=−1，即−8ky0+8k23+4k2=−2．所以k MN=34y0y0≠0，因为直线l⊥MN，所以k l=−4y03，所以直线l的方程为y−y0=−4y03x+1，即y=−4y03 x+14，显然直线l恒过定点 −14,0．②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=−1，此时直线l为x轴，也过点 −14,0．综上所述直线l恒过定点 −14,0．18. （1）设数列a n中项为1,−1,0分别有x,y,z项．由题意知x+y+z=50, x−y=−9,z+4y=107,解得z=11．所以数列a n中有11项取值为零．（2）（ⅰ）a i∈−1,1且b i−b i−1=a i−1，得到b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，若a i=1i=1,2,⋯,n−1，则满足b n=n−1．此时b i−b i−1=1，数列b n是等差数列；若a1,a2,⋯,a n−1中有p p>0,p∈N∗个−1，则b n=n−1−2p≠n−1不满足题意；所以数列b n是等差数列．（ⅱ）因为数列b n满足b i−b i−1=a i−1，所以b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，根据题意有末项b n=0，所以a1+a2+⋯+a n−1=0．而a i∈−1,1，于是n为正奇数，且a1a2⋯a n−1中有n−12个1和n−12个−1．S n=b1+b2+⋯+b n=a1+a1+a2+⋯+a1+a2+⋯+a n−1=n−1a1+n−2a2+⋯+ a n−1．要求S n的最大值，则只需a1a2⋯a n−1前n−12项取1，后n−12项取−1，所以S n max=n−2+n−4+⋯+1=n−124（n为正奇数）．要求S n的最小值，则只需a1,a2,⋯,a n−1前n−12项取−1，后n−12项取1，则S n min=−n−2−n−4−⋯−1=−n−124（n为正奇数）．。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）数学（文）试卷本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x << B ．{}|0x x < C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2xy =3．直线:40l x +-=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定4．双曲线22221x y ab -=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（ ） A ．5B．2CD5．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin()23x y π=+ B ．2sin(2)6y x π=-C ．2sin(2)6y x π=+D ．2sin()23x y π=- 6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（ ）A ．4B ．127．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）AB ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．i 是虚数单位，计算41ii +=+_________.10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{nb 的前n 项和=nS_____________．11．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________.13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.14．若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域内的任意实数x 分别满足：C．D ．24A ．2-B ．12C ．1-D ．2左视图()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（Ⅰ）求分数在[5060)，的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高； （Ⅲ）若要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率．17.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积．18．（本小题满分13分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O ，的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F. CDBAF E（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.20．（本小题满分13分） 对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把ia 或ia -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1312(1312nn n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S.2014年石景山区高三统一测试 高三数学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分， 第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 2sin b A =，2sin sin A B A =， ………………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， ………………4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，………………8分解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． ………………10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． ………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， ………………2分 由茎叶图知：分数在[506，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=. ………………4分 （Ⅱ）分数在[8090)，之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.……………7分（Ⅲ）将[8090)， 之间的3个分数编号为123a a a ，，,[90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， ………………8分在[80100)，之间的试卷中任取两份的基本事件为： 1213111223()()()()()a a a a a b a b a a ，，，，，，，，，，2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， ………………10分其中，至少有一个在[90100)，之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90100)， 之间的概率是70.710=. ……………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，分别是AD ，AC 的中点，FG ∴∥CD ，且112FG DC ==.BE ∥CD ， ………………2分 FG ∴与BE 平行且相等.∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . ………………3分又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .EF ∴∥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）ABC ∆ 为等边三角形，G 为AC 的中点，CDBAFEGHBG AC ∴⊥. ………………5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， ………………6分又AC DC C = ，BG ∴⊥平面ADC . ………………7分EF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， ………………8分 EF ⊂ 平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . ………………10分（Ⅲ）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC == , AH BC ∴⊥.DC ⊥ 平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BC DC C = ，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =， ………………12分11(12)133224BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯⨯=梯形. ………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. ………………1分 22()2a f x x x '=-2222x a x -=2()()x a x a x +-=. ………………2分()f x 在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. ………………3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>，所以a 的值为1. ………………4分（Ⅱ）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. ………………5分当x 在(0)+∞，内变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. ……………8分 （Ⅲ）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >. （ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减， 22min ()()20f x f e e a ==->，解得02a <<与a e ≥矛盾. ………………10分（ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增，2m i n ()()(12l n )f x f a a a ==->，解得0a <<所以1a <<. (12)分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a 的取值范围为0a << ………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）1c a b ==∴= ，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分准圆方程为224x y +=. ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在，则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(2)2n n b n n *=∈≥N ，， ∴231148b b =±=±，， 由于11171115111311112488248824882488++=+-=-+=--=，，，，∴3S 可能值为13578888，，，． ………………5分 （Ⅱ）∵1312(1312n n n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，.∴3()n k k *=∈N 时， 12345632313111111111()()()222222222n k k k S --=--+--++-- 14322531363111111111()()()222222222k k k --=+++-+++-+++32333333111111[1()][1()][1()]222222*********k k k ---=----- 38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-.11[1()]72n n S ∴=-.31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ；32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ；*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，，………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）数学（理）试卷本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x << B ．{}|0x x < C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2xy =3．在251()x x -的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt △ABC 中，o9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）5． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．8CD ．4A ．4B ．95C ．125D ．165ACB6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）A ．2-B ．12C ．1-D ．28．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）AB ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{nb 的前n 项和=nS_____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．A． B． C．D．左视图12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________.13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．1235567889 135567罗非鱼的汞含量（ppm ）（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17.（本小题满分14分） 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1.19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O ，的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F. A 1A1B1CCD B（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.20．（本小题满分13分） 对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把ia 或ia -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分， 第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 2sin b A =，2sin sin A B A =， ……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， …………… 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ……………6分 （Ⅱ）因为2a =，b=，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. ……………10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. ……………4分（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………5分ξ可能取0，1，2，3. ……………6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．…………10分……………12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B于M ，连结1B C DM，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以四边形11AA B B是矩形，所以M 为1A B的中点．因为D 是AC 的中点， 所以MD 是三角形1AB C的中位线， ……………2分所以MD ∥1B C． ……………3分 因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD，MA 1A1B1CBCD所以1B C∥平面1A BD． ……………4分（Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA =D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C ，，1(10)A ， ……………5分所以1(02D ，，3(02BD = ，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量， 所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，即30220x z x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(23)n =，是平面1A BD 的一个法向量． ……………6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， ……………7分所以11cos 2n AA <>==，． ……………8分 所以二面角1A BD A--的大小为3π． ……………9分（Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1C E x =-，11(10C B，，=-设平面11B C E的法向量1111()n x y z，，=，所以111100n C E n C B，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩令1z =13x =，1y =，x1(3n=，……………12分又1n n⋅=，即--=，解得3x=，所以存在点E，使得平面11B C E⊥平面1A BD且3AE=．……………14分18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）1a=时, 2()ln(0)f x x ax x x=+->，1(21)(1)()21x xf x xx x-+'∴=+-＝，……………1分11(0)()0()()022x f x x f x''∈<∈+∞>，，，，，，()f x的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. ……………3分（Ⅱ）1()2f x x ax'=+-()f x在区间(01]，上是减函数，()0f x'∴≤对任意(01]x∈，恒成立，即120x ax+-≤对任意(01]x∈，恒成立，……………5分12a xx∴≤-对任意(01]x∈，恒成立，令1()2g x xx=-，min()a g x∴≤，……………7分易知()g x在(01]，单调递减，min()(1)1g x g∴==-.1a∴≤-. ……………8分（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x '=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t tt =+-+-=+-∴-+=，即：，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. ……………11分再证唯一性：设()21ln t t tϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解.综上，切点的横坐标为1. ……………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1c a b ==∴= ，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分准圆方程为224x y +=. ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=.设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴231148b b =±=±，，由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，，∴3S 可能值为13578888，，，． ……………3分 （Ⅱ）∵311(1)78n n S =-， 当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=， 当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=， 3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， ……………5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±； ∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中， 当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2n n n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． ……………8分 （Ⅲ）2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形． 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++ ，即12122n n nn S -≤≤， 又12322212n n n n n S ---±±±±= ，分子必是奇数，满足条件121222n n n n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． ……………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项． 由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++ 12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++ 1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．…12分 ∴2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n - ，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． ……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2014年石景山区高三统一测试数学（文科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么UAB =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．直线:40l x +-=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（ ）A ．5B ．2C D5．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ） A ．2sin()23x y π=+B ．2sin(2)6y x π=-C ．2sin(2)6y x π=+D ．2sin()23x y π=-6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A B ．3C ．125D ．1A ．4B ．12 CD ．24A ．2-B ．12C ．1-D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________． 11．已知命题p :0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________. 13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 14．若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域内的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.分数频率组距0.0440.0280.0120.00810090807060500三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，32sin a b A =．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2a =，7b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（Ⅰ）求分数在[5060)，的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高； （Ⅲ）若要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率．17.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积．18．（本小题满分13分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围． CDBAF E19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F 的（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1312(1312nn n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S .2014年石景山区高三统一测试高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：2sinb A =，2sin sin A B A =， ………………2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 所以sin B =， ………………4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=， ………………8分解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． ………………10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． ………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， ………………2分 由茎叶图知：分数在[5060)，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=. ………………4分（Ⅱ）分数在[8090)，之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.……………7分 （Ⅲ）将[8090)，之间的3个分数编号为123a a a ，，, [90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， ………………8分 在[80100)，之间的试卷中任取两份的基本事件为： 1213111223()()()()()a a a a a b a b a a ，，，，，，，，，，2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， ………………10分 其中，至少有一个在[90100)，之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90100)，之间的概率是70.710=. ……………13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，分别是AD ，AC 的中点， FG ∴∥CD ，且112FG DC ==. BE ∥CD ， ………………2分FG ∴与BE 平行且相等. ∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . ………………3分CDBAFEGH又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .EF ∴∥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）ABC ∆为等边三角形，G 为AC 的中点，BG AC ∴⊥. ………………5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， ………………6分又ACDC C =，BG ∴⊥平面ADC . ………………7分EF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， ………………8分 EF ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . ………………10分（Ⅲ）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC ==, AH BC ∴⊥.DC ⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BCDC C =，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =………………12分11(12)1332BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯=梯形………………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. ………………1分 22()2a f x x x '=-2222x a x-=2()()x a x a x +-=. ………………2分()f x 在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. ………………3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>， 所以a 的值为1. ………………4分 （Ⅱ）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. ………………5分当x 在(0)+∞，内变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. ……………8分 （Ⅲ）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >. （ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减， 22min ()()20f x f e e a ==->，解得 02a <<与a e ≥矛盾. ………………10分 （ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增， 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->，解得0a <<，所以1a <<………………12分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a的取值范围为0a <<. ………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分 准圆方程为224x y +=. ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(2)2n n b n n *=∈≥N ，， ∴231148b b =±=±，， 由于11171115111311112488248824882488++=+-=-+=--=，，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． ………………5分（Ⅱ）∵1312(1312n n nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，. ∴3()n k k *=∈N 时， 12345632313111111111()()()222222222n k k kS --=--+--++-- 14322531363111111111()()()222222222k k k --=+++-+++-+++ 32333333111111[1()][1()][1()]222222*********k k k ---=----- 38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-. 11[1()]72n n S ∴=-. 31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ； 32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ； *11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，， ………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2014届高三一模理科数学试卷（带解析）1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x > D ．{}|12x x <<【答案】A【解析】因为集合),1[).20(∞+== B A 所以),1,(-∞=B C U ).1,0(=B C A U I 选C. 考点：集合的运算2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =- D ．2xy =【答案】C【解析】2y x =在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数，所以不选A. 1y x =+在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选B. lg ||y x =-在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数,所以选C,. 2xy =在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选D.考点：函数奇偶性与单调性3．在251()x x -的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 【答案】B【解析】因为,)1()(31051)5(251r r r r r r r x C x x C T ---+-=-=所以令,1310=-r 得.3=r 因此x 的系数为.10)1(335-=-C 考点：二项式展开式通项公式4．已知Rt △ABC 中，o9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD的长为（ ）A ．4B ．95C ．125D ．165【答案】D【解析】由题意得：.3=AC 又由切割线定理得：.59,53,22=⨯=⋅=AD AD AB AD AC 因此.516595=-=-=AD AB BD 考点：切割线定理5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．8 C．4 【答案】D【解析】由抛物线定义得：.4,321==+p p所以焦点到准线的距离为.4=p考点：抛物线定义6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）A． B． C． D．【解析】如图为所求几何体：底边等腰三角形的底长为2，底边上的高为1，底面面积为.11221=⨯⨯几何体的高为正三角形的高3，所以几何体的体积为.331331=⨯⨯考点：三视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．2-B ．12 C ．1- D ．2【答案】C【解析】第一次循环，,21,1==A i 第二次循环，,1,2-==A i 第三次循环，,2,3==A i 第四次循环，,21,4==A i L ，因此当267132015+⨯==i 时，.1-=A 考点：循环体流程图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A ．3 C ．125 D ．1【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3m i n =PM考点：圆的切线长，椭圆定义9．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 【答案】.0,≥∈∀x e R x【解析】因为命题p :.,q x ∃的否定为“.,q x ⌝∀”，所以p ⌝是.0,≥∈∀xe R x 考点：存在性命题的否定 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，(1)2n n +【解析】由题意得公比.222,2,81143n n n a q a a q =⋅====-因此.2)1(,+==n n S n b n n考点：等比数列通项公式，等差数列前n 项和11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．【答案】22+=4x y，k =【解析】由222=+=y x ρ得.422=+y x 因为直线:30l kx y ++=与圆C 相切，所以21|3|2=+k ，解得.25±=k考点：直线与圆相切12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________. 【答案】[95，6]【解析】可行域表示为三角形))29,25(),6.1(),31((C B A ABC ∆及其内部, x y表示为原点与可行域内的点连线的斜率, 所以取值范围是],,[OA OB k k 而,59,6==OC OB k k 因此取值范围是[59，6]考点：线性规划求范围13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 【答案】180【解析】分三类情况讨论，一是选甲不选乙，有,3325A C 二是选乙不选甲，有,3325A C 三是既不选甲也不选乙,有,3335A C 所以共有+3325A C +3325A C .1803335=A C考点：排列组合14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【解析】由题意得函数()f x 和函数()g x 的隔离直线为它们在交点)0,1(处的公切线.因为,)1(2)1(k g f ='=='所以切线过程为).1(2-=x y考点：利用导数求切线方程15．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =．（1）求角B 的大小； （2）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积.【答案】（1）60B =，（2）3，.233【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.2sin b A =，由正弦定2sin sin A B A =，从而有sin B =，又因为大角对大边，而a b c <<，因此角B 为锐角，60B =.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯解得3c =或1c =-（舍），再由三角形面积公式得11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=.试题解析：解：（12sin b A =，2sin sin A B A =， 2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． 6分 （2）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. 10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． 13分考点：正余弦定理16．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下： 罗非鱼的汞含量（ppm ）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率； （2）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 【答案】（1）4591，（2）.1=ξE【解析】试题分析：（1）古典概型求概率问题，需正确计数.从这15条鱼中，随机抽出3条，共有315C 种基本事件; 3条中恰有1条汞含量超标事件就是从5条汞含量超标中选出1条，且从10条汞含量不超标中选出2条，即包含21015C C 种基本事件,因此所求概率为1251031545()91C C P A C ==.（2）从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，可以看作3次独立重复试验，每次选出汞含量超标的概率按以此15条鱼的样本数据来估计，即为51()153P B ==，因此.1313),31,3(~=⨯=ξξE B试题解析：解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1235567889 1355671251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. 4分（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， 5分ξ可能取0，1，2，3 6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．10分12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 13分考点：古典概型求概率，概率分布，数学期望 17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2D 是AC 的中点．（1）求证：1B C ∥平面1A BD ；（2）求二面角1A BD A --的大小；（3）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的A1A1B1CCDB长；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析，（2）3π，（3）AE =. 【解析】试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.利用三角形中位线性质找平行，取1A B的中点M ，则MD 是三角形1AB C 的中位线，即MD ∥1B C ．应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）利用空间向量求二面角的大小，关键求出平面的法向量.平面ABD 的一个法向量为 1AA ,而平面1A BD 的法向量则需列方程组解出.根据向量的数量积求出两向量夹角，再根据向量夹角与二面角的大小关系，求出结果.一般根据图像判定所求二面角是锐角还是钝角.（3）存在性问题，从假定存在出发，利用面面垂直列等量关系.在（2）中已求出平面1A BD 的法向量，因此只需用E 点坐标表示平面1A BD 的法向量即可.解题结果需注意E 点在线段上这一限制条件. 试题解析：（1）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以四边形11AA B B 是矩形，所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点， 所以MD 是三角形1AB C 的中位线， 2分所以MD ∥1B C ． 3分MA1A1B1CBCD因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ． 4分（2）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C，1(10)A ， 5分所以1(02D，3(02BD =，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即30220x z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量． 6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， 7分x所以121cos 2n AA <>==，． 8分所以二面角1A BD A --的大小为3π． 9分（3）设(10)E x，，，则1(1CE x =-，11(10C B ，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令1z =13x =，1y =，1(3n =， 12分又10n n⋅=，即0--=，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B CE ⊥平面1A BD 且AE =． 14分考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角18．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （3）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1.【答案】（1）减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，，（2）1-≤a ，（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：0>x ，二是求导数xx x x f )1)(12()(+-='，三是分析导数符号变化情况：11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数()f x 在区间(01]，上是减函数，所以0)(≤'x f 对任意(01]x ∈，恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即xx a 21-≤对任意(01]x ∈，恒成立. 因此.)21(m i n x x a -≤（3）求切点问题，从设切点(())M t f t ，出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：21ln 0t t -+=.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.试题解析：解: （1）1a =时,2()ln (0)f x x ax x x =+->， 1(21)(1)()21x x f x x x x -+'∴=+-＝， 1分 11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. 3分（2）1()2f x x a x '=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x +-≤对任意(01]x ∈，恒成立， 5分 12a xx ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x =-，min ()a g x ∴≤， 7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-.1a ∴≤-. 8分（3）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x '=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t =+-+-=+-∴-+=，即：，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. 11分再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t t ϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解.综上，切点的横坐标为1. 13分 考点：利用导数求函数性质19．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程，并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出.,b a 因为短轴上的一个端点到F 的距离为a ，所以.3=a 而,2=c 所以.1=b 再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，由判别式为零得斜率1k =±,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究121k k =-是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点P 坐标在变化，所以由判别式为零得关于点P坐标的一个等式：2220000(3)210x t x y t y -++-=，即222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，而这等式对两条切线都适用，所以12l l ，的斜率为方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=两根，因此121k k =-.当12l l ，垂直时，线段MN 为准圆224x y +=的直径，为定值4.试题解析：解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， 2分准圆方程为224x y +=. 3分 （2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+，所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. 7分121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. 8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. 10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. 12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. 14分 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）写出3S 的所有可能值；（2）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．【答案】（1）13578888，，，（2）132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）列举出数列{}n b 所有可能情况，共11224C C =种，分别计算和值为13578888，，，，本题目的初步感观生成数列{}n b （2）已知和项解析式，则可利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项. 当2n ≥时，3231318n n n nb b b --++=，而323133231311111(421)()22288n n n n n n n nb b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．所以132213 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合nS 的个数及其表示形式.首先集合n S 的个数最多有12n -种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为12n -种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合n S 的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由12322212n n n n n S ---±±±±=得分子必是奇数，奇数个数由范围12122n n n n S -≤≤确定.试题解析：解：（1）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ，∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． 3分（2）∵311(1)78n n S =-，当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=，当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， 5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．∴132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． 8分（3）2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形．23231111111122222222n n n S ----≤≤++++，即12122n n nnS -≤≤，又12322212n n n n n S ---±±±±=，分子必是奇数，满足条件121222n nn n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． 10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>，所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．12分∴2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n -，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． 13分注：若有其它解法，请酌情给分】考点：已知和项求通项，数列综合。