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一、基础知识题6.1设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1，求树T中的叶子数。
【解答】设度为m的树中度为0,1,2,…,m的结点数分别为n0, n1, n2,…, nm，结点总数为n，分枝数为B，则下面二式成立n= n0+n1+n2+…+nm (1)n=B+1= n1+2n2 +…+mnm+1 (2)由(1)和(2)得叶子结点数n0=1+即： n0=1+(1-1)*4+(2-1)*2+(3-1)*1+(4-1)*1=86.2一棵完全二叉树上有1001个结点，求叶子结点的个数。
【解答】因为在任意二叉树中度为2 的结点数n2和叶子结点数n0有如下关系：n2=n0-1,所以设二叉树的结点数为n, 度为1的结点数为n1，则n= n0+ n1+ n2n=2n0+n1-11002=2n0+n1由于在完全二叉树中，度为1的结点数n1至多为1，叶子数n0是整数。
本题中度为1的结点数n1只能是0，故叶子结点的个数n0为501.注：解本题时要使用以上公式，不要先判断完全二叉树高10，前9层是满二叉树，第10层都是叶子，……。
虽然解法也对，但步骤多且复杂，极易出错。
6.3 一棵124个叶结点的完全二叉树，最多有多少个结点。
【解答】由公式n=2n0+n1-1,当n1为1时，结点数达到最多248个。
6.4．一棵完全二叉树有500个结点，请问该完全二叉树有多少个叶子结点？有多少个度为1的结点？有多少个度为2的结点？如果完全二叉树有501个结点，结果如何？请写出推导过程。
【解答】由公式n=2n0+n1-1，带入具体数得，500=2n0+n1-1，叶子数是整数，度为1的结点数只能为1，故叶子数为250，度为2的结点数是249。
若完全二叉树有501个结点，则叶子数251，度为2的结点数是250，度为1的结点数为0。
6.5 某二叉树有20个叶子结点，有30个结点仅有一个孩子，则该二叉树的总结点数是多少。
第六章放大电路中的反馈自测题一、在括号内填入“√”或“×”，表明下列说法是否正确。
（1）若放大电路的放大倍数为负，则引入的反馈一定是负反馈。
（）（2）负反馈放大电路的放大倍数与组成它的基本放大电路的放大倍数量纲相同。
（）（3）若放大电路引入负反馈，则负载电阻变化时，输出电压基本不变。
（）（4）阻容耦合放大电路的耦合电容、旁路电容越多，引入负反馈后，越容易产生低频振荡。
（）解：（1）×（2）√（3）×（4）√1 / 18二、已知交流负反馈有四种组态：A．电压串联负反馈B．电压并联负反馈C．电流串联负反馈D．电流并联负反馈选择合适的答案填入下列空格内，只填入A、B、C 或D。
（1）欲得到电流－电压转换电路，应在放大电路中引入；（2）欲将电压信号转换成与之成比例的电流信号，应在放大电路中引入；（3）欲减小电路从信号源索取的电流，增大带负载能力，应在放大电路中引入；（4）欲从信号源获得更大的电流，并稳定输出电流，应在放大电路中引入。
解：（1）B （2）C （3）A （4）D2 / 18三、判断图T6.3所示各电路中是否引入了反馈；若引入了反馈，则判断是正反馈还是负反馈；若引入了交流负反馈，则判断是哪种组态的负反馈，并求出反馈系数和深度负反馈条件下的电压放大倍数A 或f s u A 。
设图中f u所有电容对交流信号均可视为短路。
Array图T6.33 / 184 / 18解：图（a ）所示电路中引入了电流串联负反馈。
反馈系数和深度负反馈条件下的电压放大倍数f u A 分别为 L 31321f 32131 R R R R R R A R R R R R F u 式中为电流表的等效电阻。
图（b ）所示电路中引入了电压并联负反馈。
反馈系数和深度负反馈条件下的电压放大倍数f u A 分别为 12f 2 1R R A R F u图（c ）所示电路中引入了电压串联负反馈。
反馈系数和深度负反馈条件下的电压放大倍数fu A 分别为 1 1f u A F 图（d ）所示电路中引入了正反馈。
高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。
管理学作业第六章简述计划的概念（名词和动词）及其性质。
[中山大学2011年研、上海交大2005年研、吉林大学2012年研]计划的含义: 计划是对未来行动的说明。
名词意义上——用文字和指标等形式所表述的，在未来一定时期内组织以及组织内不同部门和不同成员，关于行动方向、内容和方式安排的管理文件。
（做什么？）计划既是决策所确定的组织未来一定时期内的行动目标和方式在时间和空间的进一步展开，又是组织、领导、控制和创新等管理活动的基础。
动词意义上——为了实现决策所确定的目标，预先进行的行动安排。
（怎么做？）这项行动安排工作包括：在时间和空间两个维度上进一步分解任务和目标，选择任务和目标的实现方式，规定进度，检查与控制行动结果等。
性质：（1）目标性：计划工作为实现组织目标服务（2）首位性：计划工业是管理活动的桥梁，是组织、领导和控制等管理活动的基础（3）计划工作具有普遍性和秩序性：（4）效率性：计划工作要追求效率理解计划的类型及其作用。
（一）长期计划和短期计划长期计划描述了组织在较长时期(通常为五年以上)的发展方向和方针，规定了组织的各个部门在较长时期内从事某种活动应达到的目标和要求，绘制了组织长期发展的蓝图。
短期计划具体地规定了组织的各个部门在目前到未来的各个较短的时期阶段，特别是最近的时段中，应该从事何种活动，从事该种活动应达到何种要求，因而为各组织成员在近期内的行动提供了依据。
（二）业务计划长期生产计划安排了企业生产规模的扩张及实施步骤，短期生产计划则主要涉及不同车间、班组的季、月、旬乃至周的作业进度安排；长期营销计划关系到推销方式或销售渠道的选择与建立，而短期营销计划则为在现有营销手段和网络的充分利用。
（三）财务计划和人事计划长期人事计划要研究如何保证组织的发展提高成员的素质，准备必要的干部力量，短期人事计划则要研究如何将具备不同素质特点的组织成员安排在不同的岗位上，使他们的能力和积极性得到充分的发挥。
第六章数据的收集与整理周周测1一．选择题1．下列统计活动中不宜用问卷调查的方式收集数据的是（）A．七年级同学家中电脑的数量B．星期六早晨同学们起床的时间C．各种手机在使用时所产生的辐射D．学校足球队员的年龄和身高2．要调查城区九年级8000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（）A．在某校九年级选取50名女生B．在某校九年级选取50名男生C．在某校九年级选取50名学生D．在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生3．在进行下列调查时，选取的样本具有代表性的是（）A．要了解学校学生喜欢课程的情况，对某班男同学进行调查B．要了解某小区居民防火意识，对你们班同学进行调查C．要了解商场的平均日销售额，选在周末进行调查D．要了解学生的每日运动量，随机调查50名学生每日的运动量4.今年我市有近35000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是A. 每位考生的数学成绩是个体B. 近35000名考生是总体C. 这1000名考生是总体的一个样本D. 1000名考生是样本容量5.2015年12月9日德国柏林日报报道，全球各地销售的近四分之三的玩具都是由中国工厂生产的，若中国某玩具工厂生产了一批玩具共3000个，为检测该批玩具的质量是否合格，质检人员从中随机抽查了300个，合格的有290个，在此次调查中，所抽取的300个玩具的合格情况是A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本容量6.某市期末考试，甲校满分人数占本校总人数的4%，乙校满分人数占本校总人数的5%，则两校满分人数相比（）A.甲校多于乙校B.甲校与乙校一样多C.甲校少于乙校D.不能确定7.为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加书法兴趣小组的频率是（）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.38.甲，乙，丙三种作物，分别在山脚，山腰和山顶三个试验田进行试验，每个试验田播种二十粒种子，农业专家将每个试验田成活的种子个数统计如条形统计图，如图所示，下面有四个推断：①甲种作物受环境影响最小；②乙种作物平均成活率最高；③丙种作物最适合播种在山腰；④如果每种作物只能在一个地方播种，那么山脚，山腰和山顶分别播种甲，乙，丙三种作物能使得成活率最高．其中合理的是（）A．①③B．①④ C．②③ D．②④9.对赵中、安中的最近的联考二的数学测试成绩（得分为整数）进行统计，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如图所示的频数分布直方图，根据直方图提供的信息，在这次测试中，成绩为A等（80分以上，不含80分）的百分率为（）A．24% B．40% C．42% D．50%10.体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是（）A．16% B．24% C．30% D．40%11.小明在选举班委时得了28票，下列说法中错误的是（）A．不管小明所在班级有多少学生，所有选票中选小明的选票频率不变B．不管小明所在班级有多少学生，所有选票中选小明的选票频数不变C．小明所在班级的学生人数不少于28人D．小明的选票的频率不能大于1）二．填空题13.为了解某新品种黄瓜的生长情况，抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，从而得到统计图（如图），观察该图可知，共抽查了______株黄瓜.[来源:学|科|网]14.为知道饭煮熟了没有，从饭煲中舀出一勺饭尝尝，这种抽样调查简单的随机抽样调查（填“是”或“不是”）15.一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%．由此在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销售量占40%．请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠：，理由是．16.学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为．的频率为．18.为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班同学积极参与，现将捐书数量绘制成频数分布直方图（如图所示），如果捐书数量在3.5﹣4.5组别的频率是0.3，那么捐书数量在4.5﹣5.5组别的人数是．三．解答题19.调查你们班全时（1）采取哪种调查方式最合适？（2）这个班同学每周做多长时间家务的人最多？做多长时间家务的人最少？（3）请你根据以上的结果，用一句话谈谈自己的感受．20.为了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．21.某校为了解学生平均每天课外阅读的时间，随机调查了该校部分学生一周内平均每天课外阅读的时间（以分钟为单位，并取整数），将有关数据统计整理并绘制成尚未完成的频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表中所提供的信息，解答下列问题．频率分布表注：这里的15～25表示大于等于15同时小于25．（1）求被调查的学生人数；（2）直接写出频率分布表中的a和b的值，并补全频数分布直方图；（3）若该校共有学生500名，则平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有多少名？22.为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中的a=，b=；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？。
高等数学II 练习题 第六章 定积分________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______习题6.1 定积分的概念一．选择题1．下列函数中哪个函数在[ba ,]上不一定可积（ B ）（A ）)(x f 在[b a ,]内有两个第一类间断点 （B ）)(x f 在[b a ,]上有界 （C ）)(x f 在[b a ,]内严格单调增加 （D ）)(x f 在[b a ,]上连续2．设函数)(x f 在[b a ,]上连续，则曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于（ C ） （A ）⎰badx x f )( （B ）⎰badx x f )( （C ）dx x f ba⎰)(（D ）)())((b a a b f <<-'ξξ3．设⎰=401πxd xI ，⎰=402πdxx I ，⎰=403sin πxdxI ，则（ D ）（A ）321I I I >> （B ）213I I I >> （C ）231I I I >> （D ）312I I I >> 4．设)(x f 连续，⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，则=)(x f（ B ）（A ）x （B ）1-x （C ）2-x （D ）1+x 5．设定积分⎰+=141dxxx I ，则I的值（ A ） （A ）220≤≤I （B ）151≤≤I （C ）51102≤≤I （D ）1≥I二．填空题1．利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果 （1）0⎰= （2）sin xdx ππ-⎰= （3）22cos xdx ππ-⎰= 2c o s xd x π⎰（4）02(1)x dx --=⎰2．利用定积分的性质，填写下列各题（1） 421(1)x dx ≤+≤⎰ （2） ≤≤⎰331a r c t a n x d x x3．利用定积分的性质，比较下列各题两各积分的大小（填写 ≤ 或 ≥）π04-25169π23π（1）12x dx ⎰13x d x⎰ （2）21ln xdx ⎰221(ln )x dx ⎰（3）10xe dx ⎰1(1)x dx +⎰（4）⎰+20321πdx x⎰+2032s i n 1πdx x三．计算题 1．由几何意义求⎰的值。
2．已知111()2()()f x xf x dx f x dx -=+⎰⎰，试求)(x f 。
322202x x e dx e -≤≤⎰。
高等数学II 练习题 第六章 定积分≥≥≥≥220(,0),22,88a a x a a ππ=⎰解：该积分表示中心为半径为的轴上方的半圆,其面积为所以。
111110001011011111111011111011110()d ()d 2d ()d d ()d ()d 4()d ()d 2d ()d d ()d 02()d 2()d ,()d ,()28f x x x f x x x x f x x x f x x f x x f x x x f x x x x f x x xf x x f x xf x x f x x f x ππππ---------=-+=-+=-+=-⋅+∴=-=-∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：42x ππ-22222112244minmax 12222400012240([0,2])(21)10211[0,][,2]22,,3d d d 2d 2x x x x x x x x x x y e x y x e y x y e y e e e e e x e x e x e e x e ---------'=∈=-'==∴∴==≤≤≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰解：设，则令，则在上函数为减函数，在上函数为增函数即故由性质知：即________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______习题6.2 微积分基本定理一．选择题 1．下列结果正确的是（ B ）（A ）22(sin )sin b a d t dt a da =⎰ （B ）22(sin )sin b a d t dt b db =⎰ （C ）22(sin )sin b a d t dt x dx =⎰ （D ）22(sin )2sin b ad t dt x x dx =⎰ 2．已知2,01()1,12x x f x x ⎧≤≤=⎨≤≤⎩，又设1()()x F x f t dt =⎰（02x ≤≤），则()F x =（ B ）（A ）31,013,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ （B ）311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩；（C ）31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ （D ）311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩3．设⎰=xtd tx f 0s i n )(，则)]2([πf f =（ D ）（A ）1- （B ）1 （C ）1cos - （D ）1cos 1- 4．设()2222xt f x dt t t -+=++⎰，则()f x 在[01]，上 （ B ）（A ） 单调增加 （B ）单调减少 （C ）有增有减 （D ）无界 二．填空题 1．设()sin xf t dt x x =⎰，则)(x f =。
2．已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则=')0(F 。
3．设()y y x =由23cos 20cos 0xx yt t dt e dt -+=⎰⎰所确定，则y '= 。
4．设)(x f 为连续函数且满足31()x f t dt x -=⎰，则=)7(f 。
5．设⎰+=3241)(x x tdtx f ，则dx x df )(6．已知221,||2()1,24x x f x x x +≤⎧=⎨+<≤⎩，且340()3k f x dx =⎰，则k 的值为 。
sin cos x x x +2-22(cos )3cos9sin x y xxe--112201或-7．已知111()2()()f x x f x dx f x dx -=+⎰⎰，则()f x = 。
8．(2)baf x dx '=⎰。
三．计算题1．设()f x 为连续函数，且存在常数a 满足 1()ax xex f t dt --=⎰，求()f x 及常数a 。
2．4dx +⎰3．⎰-+++012241133dx x x x4．π⎰5．dx x ⎰-5426．⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→x t xt x dt te dt e 0220022lim 7．2210lim ()x t x x e dt →+∞⎰sin1(2)(2)2f b f a -11111111(),()1()d (1)d ()()()0,1x x a at t a a x x xx a x e f x f x e f t t e t t e a e x e a e a --------=-∴=-∴=-=-=---∴-==⎰⎰解：两边对求导得即192432924(+)d 211()45326x x xx x ==+=⎰2213011(3)d 1(arctan )14x x x x x --=++π=+=+⎰252222502(42)d (24)d (4)(4)13x x x xx x x x =-+-=-+-=⎰⎰20223322202cos (cos 224(sin )(sin )333x x x x x x x πππππππ=+-=-=-=⎰⎰⎰22222222020000002(d )lim d 2lim (1)d 2lim 2lim 2x t x x x x t x xx x t x x x e t e xe e t e xe e t e x →→→→⋅==→===⎰⎰⎰ 222222222222222020*******ln(d )lim lim 2d 2lim lim 2d 2d 212lim lim 1222lim (d )x tx x x x t x x x x x x t x t x x x x x x x x xt x x e t e x x e t e x xe e t x e e t xe e x e x x e e x e e t e→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅==+⋅+++===+++∴=⎰⎰⎰⎰⎰高等数学II 练习题 第六章 定积分________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______习题6.3 定积分的换元法一．选择题 1．设)(x f 为],[a a -上的连续函数，则定积分()aaf x dx --⎰=（ D ）（A ）0 （B ）⎰adx x f 0)(2 （C ）⎰--aadx x f )( （D ）⎰-aadx x f )(2．设)(x f 是连续函数，则()(bbaaf x dx f a b x dx-+-⎰⎰=（ A ）（A ）0 （B ）1 （C ）b a + （D ）⎰badx x f )(3．若连续函数)(x f 满足2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则=)(x f（ B ）（A ）2ln x e （B ）2ln 2x e （C ）2ln +x e （D ）2ln 2+x e 4．设4()2xx f t dt =⎰，则4f dx =⎰（ D ）（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 二．填空题1．09912(21)x dx -+⎰= 2．20cos d ϕϕ=3．1-=⎰4．1=⎰三．计算题1．⎰-+123)511(x dx2．21e ⎰1200122π1-2321d(11+5)11()(11+5)5(115)5251512x x x -==⋅-+=⎰2212e ===⎰3．226cos udu ππ⎰ 4．30(1sin )d πθθ-⎰5．1-⎰ 6．a x ⎰7．已知2ln 26aπ=⎰，求a 的值.8．若)(x f 是连续函数且为奇函数，证明()xf t dt ⎰是偶函数.26261+cos2d 211(sin 2)246u u u u πππππ==+=⎰302030d sin d (1cos )dcos 14(cos cos )33ππππθθθπθθπθθπ=-=+-=+-=-⎰⎰⎰2221331331541d d 213,11515(d )d 428511()8246t t x x t t x t x t t t t t t t t t -==∴=-=-===--∴=⋅-==-=⎰⎰解：令，当时，当时，原式44222004420sin arcsin cos 00,2sin 2d (1cos 4)d 481(sin 4)8416x x a t t a dx a tdt x t x a t a a t t t ta a t t πππππ==∴=======-=-=⎰⎰解：令，即，当时，当时，原式222ln 22d ln(1)d 12ln 22arctan 2(361,ln 2.4a u uu t u t u t a u t u a πππ==+∴=+====∴===-=∴==∴=⎰解：令当时，当时，,00000()()d ()()d ()()(d )()d ()()()d x x x xx F x f t t F x f t tt u F x f u u f u u F x F x f t t -=-==-∴-=--==∴=⎰⎰⎰⎰⎰证明：设，则令，是偶函数。
