一维三组元杆状结构声子晶体带隙研究
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声子晶体弹性波带隙理论计算及实验研究
声子晶体弹性波带隙理论计算及实验研究
温激鸿;刘耀宗;王刚;赵宏刚
【期刊名称】《功能材料》
【年(卷),期】2004(035)005
【摘要】声子晶体是一种具有弹性波带隙的新型结构功能材料.本文在详细介绍声子晶体弹性波带隙计算方法--平面波展开法的基础上,采用该方法计算了一维金属/丁腈橡胶杆状结构声子晶体及二维空气中正方形排列的钢管阵列声子晶体的弹性波带隙并进行了实验验证,实验结果同理论计算结果吻合较好.
【总页数】3页(P657-659)
【作者】温激鸿;刘耀宗;王刚;赵宏刚
【作者单位】国防科技大学,三院机电工程研究所,湖南,长沙,410073;国防科技大学,三院机电工程研究所,湖南,长沙,410073;国防科技大学,三院机电工程研究所,湖南,长沙,410073;国防科技大学,三院机电工程研究所,湖南,长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】O734;O48
【相关文献】
1.一维功能梯度材料声子晶体弹性波带隙研究 [J], 宿星亮;高原文
2.一维功能梯度材料声子晶体弹性波带隙研究 [J], 宿星亮;高原文
3.一维固-液平板声子晶体中弹性波的模式和带隙 [J], 刘启能
4.密度正弦变化声子晶体中弹性波的带隙 [J], 刘启能
5.固-液结构圆柱声子晶体中弹性波的模式和带隙 [J], 刘启能
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一维声子晶体带隙研究概述
一维声子晶体带隙研究概述邱学云【摘要】文章对声子晶体的概念、基本特征和分类进行简要概述.总结分析一维声子晶体的三种简化模型和一维声子晶体的计算方法及其带隙研究成果.展望一维声子晶体在低频振动、噪声控制、抗振防震方面的应用可能,为深入研究一维声子晶体提供依据.【期刊名称】《红河学院学报》【年(卷),期】2011(009)002【总页数】4页(P5-8)【关键词】一维声子晶体;能带结构;带隙【作者】邱学云【作者单位】文山学院数理系,云南文山663000【正文语种】中文【中图分类】O469半导体中的电子与周期分布的原子势场相互作用,使得半导体形成电子带隙,即电子能带间的频率范围,也叫电子禁带,人为设计能够控制电子的流动.近年来,能带理论突破了以固有材料为研究对象的限制,进入了通过能带设计来模拟实际晶格以获得新型功能材料和器件的新阶段.在这些材料中存在能够禁止某种经典波传播的频率范围,这些频率范围称为带隙.具有经典波带隙的周期性复合材料或结构统称波晶体.通常把存在电磁波带隙,介电常数周期分布的材料或结构称光子晶体,把存在弹性波带隙,弹性常数及密度周期分布的材料或结构称声子晶体.文章对声子晶体的概念、基本特征、和分类进行简要概述,总结分析一维声子晶体的计算方法及其带隙研究成果,展望一维声子晶体的应用可能,为深入一维声子晶体的应用研究提供依据.1987 人们年发现了一种新型光子材料--光子晶体[1-2],在光子晶体研究的基础上,提出了声子晶体的概念.M.S.Kushwaha等1993年第1次提出声子晶体概念时,就对电子晶体、光子晶体和声子晶体的有关特性进行了比较[3],通过比较研究,得出它们非常相似性[4].声子晶体是一种具有弹性波带隙的周期性结构材料,即在带隙频率范围内的弹性波不能够传播.基于这一特性,声子晶体在隔声、降噪、减振方面有广阔的应用可能.声子晶体内部材料的弹性常数、密度、杨氏模量等材料参数周期性变化和材料结构参数晶格尺寸、组份比的不同,声子晶体的弹性波带隙也就不同.带隙分完全带隙和不完全带隙,在特定的频率范围内,波在波矢的所有方向上都不能传播的称为完全带隙.频率范围内只允许某些方向上的波通过,其它方向禁止通过的带隙具有方向性,称为不完全带隙.一般来说,声子晶体中各组份比越大,入射波将被散射得越强烈,就越容易产生带隙[5].声子晶体一般由两相或以上的弹性介质复合组成.根据声子晶体结构在笛卡尔坐标系中周期排列形式的不同,分为一维、二维及三维结构.如图1所示,从左到右分别为一维(层状)、二维(柱状)、三维(正方体)声子晶体结构示意图.声子晶体结构常用的组份形态有层状、柱状、长方体、正方体、球形、椭球形等,材料可以是实心或中空的,可以是不同物相不同组份的复合.一维声子晶体一般有层状结构和杆状结构两种.对一维声子晶体带隙进计算分析时,通过调控组元材料的结构参数或材料参数来调控声子晶体的带隙情况.对于一维声子晶体,当相邻两个离散单元为同种材料时沿x方向的拉压刚度为2ES/(dj+1+dj),不同种材料时拉压刚度为2EAEBS/(EAdj+1+EBdj),E为弹性模量.对于原胞中包含两种以上材料叠合的情形也可以按上述方法进行简化处理.[6]如下图2所示是一维严格周期性声子晶体简化模型.图(a)是一维二组元结构,图(b)是一维三组元结构.不同弹性常数和密度的材料A、B或材料A、B、C沿x方向交替排列形成一维二组元(三组元)声子晶体的简化模型.用集中质量法可以将其分解为有限个集中质量,各个集中质量间之间的连接简化为无质量的弹簧连接,声子晶体原胞由材料A和材料B组成,理论上是无限多自由度的连续介质系统.因此,其原胞可简化为有限个自由度的弹簧振子结构,而一维声子晶体则简化为周期弹簧振子结构.[7]如下图3所示是一维二组元声子晶体的离散示意图,我们只要找到离散后的集中质量和弹簧刚度与连续介质材料参数之间的关系,就可以计算连续介质的一维二组元声子晶体的带隙结构.曹永军等[8]提出一种层厚递变式一维准周期结构声子晶体模型.如图4所示,系统共有N个周期2N层,分3种情况:第一种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA 和dB,其后每个周期的厚度同时依次递增或递减一个Δd;第二种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA和dB,其后每个周期中介质A的厚度不变,而介质B的厚度依次递增或递减一个Δd;第三种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA和dB,其后每个周期中介质B的厚度不变,而介质A的厚度依次递增或递减一个Δd.通过计算弹性波通过该一维准周期结构声子晶体的透射系数,并与周期结构声子晶体的透射系数进行比较.研究发现利用准周期排列结构可以有效地调节声子晶体的带隙宽度和所在的频率范围.宿星亮等[9]提出了一维功能梯度材料声子晶体模型.如图5所示,该模型研究的一维声子晶体是由材料常数按指数形式分布的功能梯度材料沿x轴方向周期排列而成.该功能梯度材料单元两端表面材料常数相同,在原胞中心a处达到材料常数峰值,周期排列后构成材料常数宏观上连续变化的一维结构.上述三种一维声子晶体模型:第一种是材料参数和结构参数严格周期性变化的;第二种是材料参数不变,结构参数层厚递变式的准周期性结构;第三种是材料参数按指数形式分布变化,结构参数不变的准周期性结构.三种模型各有优点,都具有各自的实际应用价值.国内外有关声子晶体带隙研究的文献主要是对声子晶体的布拉格散射机理[10-12]、局域共振带隙机理[13-18]和带隙特性进行研究.局域共振带隙机理由我国刘正猷教授等人2000年提出.局域共振带隙机理认为,在特定的弹性波激励下,声子晶体结构基体中的散射单元产生共振,并同弹性波相互作用,从而抑制其传播.这为低频振动与噪声控制的应用研究开辟了一条新思路[19].另外,王刚等人主要研究了不同周期结构的带隙计算方法和带隙特性,研究也取得了很多的成果[20].下面是常用的一维声子晶体带隙的计算方法及其部分研究成果.传递矩阵法[21-22]是从连续状态参数应力、质点位移等的基本方程入手,结合界面连续条件,得出单个周期的传递矩阵.通过引入周期边界条件得到相应的色散关系即能带结构,同时通过有限个传递矩阵相乘可得到有限周期传输特性.该方法计算量较小,可计算一维声子晶体带隙,不能直接处理二维和三维声子晶体的带隙.郁殿龙等[23]利用该法研究了表面局域态对一维声子晶体中水平剪切波传输特性的影响情况,研究表明共振峰的极值与入射角度和声子晶体层数有关,合适的入射角度和层数可以使声波完全透射.当入射角在一定范围内连续变化时,在较宽频率范围内均出现较大透过率.声子晶体的这一特性可以应用于高性能的阻抗匹配材料和声波滤波器中.蒋泽等[24]应用广义传输矩阵法,建立了声波传播特性的理论分析模型,得到了其声波场的平面波解,给出了数值实现方案.其研究表明,该方法可精确地模拟弹性波通过一维有限厚的严格周期结构、准周期结构以及完全无序结构的传播特性.对于平面波展开法[25-26]是因为声子晶体具有周期性,可将相关参数按傅里叶级数展开,结合Bloch定理,把声子晶体波动方程放到倒格矢空间以平面波叠加的形式展开,将声子晶体波动方程的求解转化成本征值问题,从而得到频率与波矢之间的色散关系即声子晶体的带隙结构.该法可用于计算一维、二维、三维声子晶体中固体/固体、液体(气体)/液体(气体)的复合结构,但在计算、液体(气体)/固体结构时存在困难.应用该法时当组元材料参数差异较大时计算量大,收敛慢,但是随着计算机的更新换代,这个问题已经得到改善.宿星亮,等[9]应用此法研究了由功能梯度材料周期复合而成的一维声子晶体中存在的弹性波带隙特征,结果表明功能梯度材料声子晶体较常规材料声子晶体在相同范围内能够出现更多阶带隙结构.肖伟等[27]提出用波传播法来研究一维声子晶体的带隙特性,将该方法与平面波展开法进行比较,发现平面波展开法随着波数的增加而逐渐收敛于波传播法的结果.如将波传播法应用于一维二组元和一维四组元声子晶体禁带特性的计算中,在相同计算精度下波传播法的计算时间大约为平面波展开法的1/50和1/100.当考虑到粘弹性材料的频变特性时,波传播法能直接得到声子晶体的禁带特性,在相同的计算精度下波传播法的计算量大约要比经过迭代改进的平面波展开法的计算量小两个数量级. 闫志忠等[28]发展了一种基于小波的一维声子晶体弹性波带隙计算方法,将弹性波场在小波基上展开,得到一个关于自适应计算小波积分的一般矩阵特征值问题.将该方法应用到二元体系的声子晶体,与传统平面波展开法相比,该方法的计算结果与之相符合,而且可在得到同样计算精度的条件下,显著降低计算量,提高计算速度.王刚等[29]采用迭代法改进了一维声子晶体带隙特性计算的平面波展开算法,以使其适用于组成材料粘弹性所导致的弹性常数随频率非线性变化的特性.在将该算法应用于丁腈橡胶和钢组成的一维周期结构声子晶体振动带隙的研究中,理论计算和振动测试结果吻合理想.集中质量法[30-31]是基于振动力学中连续系统的离散化思想,在声子晶体中将各组元连续介质中的质量集中到有限个节点或截面上,把有限个节点或截面视为有限多个自由度的弹簧振子结构,即将声子晶体弹性波带隙的计算简化为计算周期弹簧振子结构的弹性波带隙.其本质是将无限自由度系统转化成有限自由度系统近似求解.这种方法特别适合计算大弹性常数差组份复合而成的一维声子晶体,并且这种方法可以更加直观地描述声子晶体内部作用机理,这对声子晶体带隙的产生机理揭示将起到重要作用.刘铁权等[32]将一维声子晶体的原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构后,在辛对偶变量体系下探讨晶格振动,引入辛数学方法确定波矢与本证值的色散关系.通过本证值计数法计算特征频率,从而得到禁带区间.研究认为与传统集中质量法相比,该算法的计算结果与之吻合很好,且提高了计算精度和计算效率,在低频处收敛性更好,可以借鉴参考.深入研究一维声子晶体的带隙特性,将会发现许多新的物理现象,从理论计算寻找到具有带隙起始频率低且有一定带宽的周期结构,分析其在噪声控制、低频防震方面的应用可能,理论设计出具有隔声、降噪、减振性能的一维声子晶体模型和具有低频防震性能的工程模型,可为工程应用做贡献.作为一种新材料,各种结构声子晶体的应用都还处于展望阶段,但由于声子晶体所具有的特殊性质使得其在航空航天、电子器件、人造脏器、汽车发动机、声功能器件、等诸多方面都有广泛的应用前景.【相关文献】[1]Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solidstate physics andelectronics.Phys[J].Rev.Lett.,1987,58(20):2059[2]John S.Strong localization of photons in certain disordereddielectric[J].Phys.Rev.Lett.,1987,58(23):2486.[3]Kushwaha M S,Halevi P,DobrzynsiL.Acoustic band structure of periodic elastic composites[J].Physical Review Letters,1993,71(13):2022-2025.[4]温熙森,等著.光子/声子晶体理论与技术[M].北京:科学出版社,2006,3-4.[5]Vasseur J O,Djafarirouhani B,DobrZynski L,et al.Acoustic band gaps in fibre composite materials of boron nitride structure[J].J.Phys.Condens.Mat.,1997,9(35):7327.[6]温激鸿,王刚,郁殿龙,等.声子晶体振动带隙及减振特性研究[J].中国科学E辑,2007,37(9):1126-1139.[7]温熙森,温激鸿,郁殿龙,等.声子晶体[M].北京:国防工业出版社,2009;101.[8]曹永军,胡晓颖,周培勤.一维准周期结构声子晶体带隙特性的研究[J].内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版),2008,37(1):53-57.[9]宿星亮,高原文.一维功能梯度材料声子晶体弹性波带隙研究[J].功能材料,2010,41(增刊):368-370.[10]LIU Z,CHAN C T,SHENGP.Three-component elastic wave band-gapmaterial[J].Phys.Rev.B,2002,65(16):165116.[11]GOFFAUX C,DEHESA S J.Two-dimensi onal phononic crystals studied using a variati onalmethod:app licati on to lattices of l ocally resonantmaterials[J].Phys.Rev.B,2003,67(14):144301.[12]H IRSEKORN M.Small-size sonic crystalswith strong attenuation bands in the audible frequency range[J].Appl.Phys.Lett,2004,84(17):3364-3366.[13]GOFFAUX C,DEHESA S J,YEYAT IA L,et al.Evidence of fano-like interference phenomena in l ocallyres onantmaterials[J].Phys.Rev.Lett,2002,88(22):225502.[14]VASSEUR J O.Experimental and theoretical evidencefor the existence of abs olute acoustic band gap s in twodi mensi onal s olid phononiccrystals[J].Phys.Rev.Lett,2000,86:3012.[15]PABLOS GD.Theory and experi mental on elasticbandgaps[J].Phys.Rev.Lett,2000,84:4349.[16]VASSEUR J O.Phononic crystal with l ow filling fracti on and abs olute acoustic band gap in the audible frequency range:a theoretical and experimentalstudy[J].Phys.Rev.E,2002,65(5):6608-6613.[17]H IRSEKORN M,DELSANTO P P,BATRA N K,et al.Modelling and si mulati on of acoustic wave p r opagati on in l ocally resonant s onicmaterial[J].Ultras onics,2004,42(129):231-235.[18]HOK M,CHENG C K,YANG Z,et al.Br oadband locally resonant sonicshields[J].Appl.Phys.Lett,2003,83(26):5566-5568.[19]L IU Z,ZHANG X,MAO Y,et al.Locally resonants onic materials[J].Science,2000,289:734-1736.[20]王刚,温激鸿,韩小云,等.二维声子晶体带隙计算中的时域有限差分方法[J].物理学报,2003,52(8)[21]Camly R E,Djafari-Rouhani B,Dobrzynski L.Transverse elastic waves in periodically layered infinite and semi-infinite media[J].Phys.Rev.B.,1993,27(12):7318.[22]Sigalas M M,Soukoulis C M.Elastic-wave propagation through disordered and/or absorptive layered systems[J].Phys.Rev.B.,1995,51(5):2780.[23]郁殿龙,刘耀宗,邱静.表面局域态对一维声子晶体中水平剪切波传输特性的影响[J].人工晶体学报,2005,34(3):425-430.[24]蒋泽,赵琳,周建超.一维声子晶体中声波传播的理论分析[J].压电与声光,2007,29(6):638-640.[25]Vasseur J O,DjafarirouhaniB,DobrZynskiL,et al.Acoustic band gaps in fibre composite materials of boron nitride structure[J].J.Phys.Condens.Mat.,1997,9(35):7327.[26]Vasseur J O,Djafari-Rouhani B,Dobrzynski L,et plete acoustic band gaps in periodic fibre reinforced composite materials:the carbon/epoxy composite and some metallic systems[J].J.Phys:Condens Mat,1994,(6):8759.[27]肖伟,曾广武.基于波传播法的一维声子晶体禁带[J].机械工程学报,2007,43(1):125-128.[28]闫志忠,汪越胜.一维声子晶体弹性波带隙计算的小波方法[J].中国科学G辑,2007,37(4):544-551.[29]王刚,温激鸿,刘耀宗,等.一维粘弹材料周期结构的振动带隙研究[J].机械工程学报,2004,40(7):47-50.[30]温激鸿,王刚,刘耀宗,等.基于集中质量法的一维声子晶体弹性波带隙计算[J].物理学报,2004,53(10):3384.[31]温激鸿,王刚,刘耀宗,等.大弹性常数差二维声子晶体带隙计算中的集中质量法[J].物理学报,2005,54(03):1247.[32]刘铁权,邓子辰,周加喜.基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算[J].振动与冲击,2010,29(12):102-105.。
一维杆状Thue-Morse(TM)准周期结构声子晶体带隙特性的研究
序 列排 列 ， 就形 成 了 一 维 杆状 Ｔ 准周 期 结 构 声 子 Ｍ 晶体 （ 图 １ 。 了与周 期 结 构 （ Ｂ Ｂ Ｂ… ）对 应 见 ）为 Ａ ＡＡ 起 来 ， 每一级 Ｔ 在 Ｍ序列 中 ， 认为 口＝口 ＋口 是 １ 个 （ ）晶格 常数 ， 准 即对应 １ （ ）周 期 结构 ， 个 准 故第 ／ ＂ ｔ 代 Ｔ 序 列有 ２ 个 （ ）周 期结 构 。 Ｍ 准 Ａ、 Ｂ两种 材料 分别选 取 环氧树脂 （ｐｘ ） ｅｏｙ 和铝
构声子晶体的广泛应用提供了参考。
１ Ｔ 序 列 的 带 隙特 性 Ｍ
Ｔ ｕ — ｒ （ Ｍ） 列 如下 ： Ｓ ｈ ｅＭｏｓ Ｔ 序 ｅ 设 。＝ Ａ Ｂ为 第 １ 代Ｔ Ｍ序 列 ， 照 按 、 的规 则依 次生 成诸
声子 晶体 因其 在减 振降 噪 、 波 、 导 等方 面有 滤 波 着广 泛 的潜在应 用 前 景 ， 已经 引起 了众 多 学 者 的 关
表 １ 计算用材料的主要物理参数
的声 子晶体 中引入 缺 陷态 时 Ｊ缺 陷 态 对应 频 率 的 ８，
排序 的材料组合 都不影响其 带 隙范围， 改变材料 参数 （ 但 密度 和弹 性模 量 ） 能改 变其 带 隙范 围。此 却 研 究可供其在 减振 降噪 、 滤波 、 波导等方 面的设计和 实 际应 用参 考。 关 键 词 ：Ｍ 序 列 ； Ｔ 准周期 ； 子 晶体 ； 隙 声 带
文 献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ０２ ５ （ ０ ２ ０ － ４ － １０ － ８ ２ １ ） ２０ ５ ６ ７ ２ ０
注。准周期结构声子 晶体就是继周期结构声子晶体 之后 提 出的又 一复 合 功 能材 料 ， 其 带 隙 的计 算 方 但
法却 不多 。Ｋｎ 等基 于实 验研究 了准周 期结 构 声 ｉｇ 子 晶体 中的弹性 波 波导 行 为 ； 永 军 等 基 于 模 式 曹 匹配法 研究 了弹性波 在准周 期 结构声 子 晶体 中 的透 射 系数 。 在准周 期序 列 中Ｃ ，ｉｏａｃ 序 列 是 介 于 无 序 ５ Ｆｂｎｃｉ ３ 和 周期 之 间 的一 种典 型结 构 ， Ｔ ｕ— ｒ （ Ｍ） 而 ｈｅＭｏｓ Ｔ 序 ｅ
一维杆状声子晶体的带隙特性
一维杆状声子晶体的带隙特性
宋卓斐;王自东;王艳林;王强松
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2010(029)002
【摘要】用有限元方法计算了一维杆状声子晶体的振动传输特性及其振动模态,从振形角度分析了-维杆状声子晶体相关参数(物理参数、尺寸参数)对带隙起始频率及带隙宽度的影响,发现带隙的形成与其模态振形密切相关,各参数对声子晶体带隙的影响主要是影响了个模态所在的频率,从而改变了其带隙的起始位置及宽度.【总页数】4页(P145-148)
【作者】宋卓斐;王自东;王艳林;王强松
【作者单位】北京科技大学材料科学与工程学院,北京100083;北京科技大学材料科学与工程学院,北京100083;北京科技大学材料科学与工程学院,北京100083;北京科技大学材料科学与工程学院,北京100083
【正文语种】中文
【中图分类】O77
【相关文献】
1.一维杆状Thue-Morse(TM)准周期结构声子晶体带隙特性的研究 [J], 李雷;刘永寿;任建亭;税朗泉
2.一维杆状结构声子晶体扭转振动带隙研究 [J], 郁殿龙;刘耀宗;王刚;温激鸿;邱静
3.一维铝/铅匀直杆状声子晶体带隙特性分析 [J], 邱学云;胡家光
4.一维准周期结构声子晶体带隙特性的研究 [J], 曹永军;胡晓颖;周培勤
5.一维声子晶体杆状结构纵向振动带隙特性 [J], 刘超
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一维声子晶体
一维声子晶体一维声子晶体是指在一维结构中存在声子的空间周期性排列现象。
声子是晶体中的一种元激发，表现为晶格中原子或离子的振动。
一维声子晶体的研究有助于我们更好地理解声子的传播和控制声波的性质。
一维声子晶体的形成是通过周期性重复的单元结构，其中每个单元都包含了相同的声子离散能级。
这种周期性结构可以由交错排列的不同材料的多层薄膜构成，也可以是周期性重复的晶格结构。
在一维结构中，声子的传播受到晶格的限制，只能在特定的频率范围内传播。
一维声子晶体的研究主要集中在声子的禁带特性和声子局域化效应。
禁带是指在一维结构中存在某些频率范围内声子无法传播的区域。
这种禁带的形成是由于周期性结构的干涉效应导致的。
当声子频率位于禁带内时，声子会被禁止传播，从而发生局域化现象。
这种局域化现象在一维声子晶体中可以被用来控制和调控声波的传播。
一维声子晶体在声学器件中有着广泛的应用。
通过调控一维声子晶体的结构参数，比如周期、层数和材料的选择等，可以实现声波的频率选择性传播和滤波功能。
这在声学通信、声学传感和声学隔离等领域具有重要的应用价值。
此外，一维声子晶体还可以用于研究声子的量子效应和拓扑性质，为声子学的进一步发展提供了重要的实验平台。
除了一维声子晶体，还存在二维和三维声子晶体。
二维声子晶体是指在二维结构中存在声子的周期性排列现象，三维声子晶体则是指在三维结构中存在声子的周期性排列现象。
二维和三维声子晶体的研究也具有重要的科学意义和应用价值，可以用于实现更复杂的声学器件和研究更多样化的声子行为。
一维声子晶体作为声学材料的一种特殊形态，具有独特的声子传播特性和应用潜力。
通过对一维声子晶体的研究，可以深入理解声子的行为和声波的传播规律，为声学器件的设计和应用提供新的思路和方法。
随着声子学的进一步发展，一维声子晶体的研究将在更多领域展示出其重要性和应用前景。
声子晶体带结构研究
第一章，介绍了与声子晶体有关的基本概念，声子晶体的研究背景和 国内外研究动态。
第二章，基于弹性波波动方程,介绍了计算声子晶体带结构最常用的 方法——平面波展开法，简述研究二维和三维声子晶体的理论模型。
第三章，计算了二维固态-固态声子晶体中不同散射体按正方形排列 时的带结构，计算结果表明：（1）当散射体的填充率取不同值时，频率最 低的带隙的最大值所对应的散射体截面形状不同；（2）当散射体的截面为 长方形时, 截面的长宽比为 1.2 时 XY 模的带隙最宽，长宽比为 1 时 Z 模 的带隙最宽；（3）当散射体横截面是正方形并旋转角 θ 时，当 θ=45ｏ时 最有利于带隙的产生。
In chapter 2, based on the elastic wave equation, we introduce the traditional method for the calculation of band structure, namely the method of plane wave expansion. In addition, theoretic models to study 2D and 3D phononic crystals are presented.
Finally, a summary of our works and outlook for future works on the investigation of phononic crystals are presented in chapter 5.
Key words: Phononic crystals; Energy band structure; Phononic band gaps; Plane wave expansion method.
第二章，基于弹性波波动方程,介绍了计算声子晶体带结构最常用的 方法——平面波展开法，简述研究二维和三维声子晶体的理论模型。
第三章，计算了二维固态-固态声子晶体中不同散射体按正方形排列 时的带结构，计算结果表明：（1）当散射体的填充率取不同值时，频率最 低的带隙的最大值所对应的散射体截面形状不同；（2）当散射体的截面为 长方形时, 截面的长宽比为 1.2 时 XY 模的带隙最宽，长宽比为 1 时 Z 模 的带隙最宽；（3）当散射体横截面是正方形并旋转角 θ 时，当 θ=45ｏ时 最有利于带隙的产生。
In chapter 2, based on the elastic wave equation, we introduce the traditional method for the calculation of band structure, namely the method of plane wave expansion. In addition, theoretic models to study 2D and 3D phononic crystals are presented.
Finally, a summary of our works and outlook for future works on the investigation of phononic crystals are presented in chapter 5.
Key words: Phononic crystals; Energy band structure; Phononic band gaps; Plane wave expansion method.
一维声子晶体振动带隙的带边模式研究
* 国家自然科学基金(10902123)资助项目。********收到初稿， *******收到修改稿
波带隙的存在。声子晶体的带隙特性为声波及振动 控制提供了新的思路，在隔声、精密机械平台减振 及声学功能器件等方面的应用前景引起了人们的广 泛关注。HO[4]利用声子晶体思想设计、制备并测试 的低频隔声材料；温激鸿等[5]将声子晶体引入到梁 板类结构设计中，构建了梁板类声子晶体结构，得 到了相应的振动带隙；CERVERA[6]采用金属棒设计 出了二维声子晶体声波透镜，可将 1~3 kHz 范围内 的声波进行聚焦；而吴福根、KE 等[7,8]研究了利用 声子晶体共振腔实现声波高度定向发射的问题。
： Key words Phononic crystals Vibration band gap Crystal lattice Symmetry Primitive cell
0 前言*
近年来，关于弹性波在周期性复合材料或结构 中传播的研究比较活跃[18]。弹性波受到周期性复合 材料或结构的调制，会产生弹性波带隙，这样的复 合材料或结构称为声子晶体[1]。1992 年 SIGALAS[2] 在 理 论 上 论 证 了 弹 性 波 带 隙 的 存 在 ， 1995 年 MARTINEZSALA 等[3]首次从试验角度证实了弹性
¶t 2
t
)
=
¶ ¶x
é êE ë
(
x)
¶u ( x,t)ù
¶x
ú û
(1)
式中 u(x,t) ——位移 r(x) ——密度 E(x) ——弹性模量
对一维声子晶体带隙特性的分析，通常是选取 图 1b 所示原胞，结合波动方程与 Bloch 定理求解能 带结构来实现。事实上，周期结构中原胞的划分方 式有多种。在固体物理学中，一种常见的原胞划分 是对称性原胞或称为维格纳—塞茨原胞，即划分的 原胞具有周期结构的晶格对称性。一维声子晶体晶 格在具有周期平移对称性的同时还具有镜面对称 性，即对图 1c 中任一格点，以垂直于 x 方向的平面 为对称面，其两侧的结构是左右对称的。晶格对称 性会在声子晶体振动模式上反映出来，因而选取具 有晶格对称性的原胞有利于对声子晶体振动模式进 行深入分析。图 1b 中的原胞不具有一维晶格的镜面 对称性，这里我们选取沿原胞中心线左右镜面对称 的原胞来进行分析，如图 2 所示。
波带隙的存在。声子晶体的带隙特性为声波及振动 控制提供了新的思路，在隔声、精密机械平台减振 及声学功能器件等方面的应用前景引起了人们的广 泛关注。HO[4]利用声子晶体思想设计、制备并测试 的低频隔声材料；温激鸿等[5]将声子晶体引入到梁 板类结构设计中，构建了梁板类声子晶体结构，得 到了相应的振动带隙；CERVERA[6]采用金属棒设计 出了二维声子晶体声波透镜，可将 1~3 kHz 范围内 的声波进行聚焦；而吴福根、KE 等[7,8]研究了利用 声子晶体共振腔实现声波高度定向发射的问题。
： Key words Phononic crystals Vibration band gap Crystal lattice Symmetry Primitive cell
0 前言*
近年来，关于弹性波在周期性复合材料或结构 中传播的研究比较活跃[18]。弹性波受到周期性复合 材料或结构的调制，会产生弹性波带隙，这样的复 合材料或结构称为声子晶体[1]。1992 年 SIGALAS[2] 在 理 论 上 论 证 了 弹 性 波 带 隙 的 存 在 ， 1995 年 MARTINEZSALA 等[3]首次从试验角度证实了弹性
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(1)
式中 u(x,t) ——位移 r(x) ——密度 E(x) ——弹性模量
对一维声子晶体带隙特性的分析，通常是选取 图 1b 所示原胞，结合波动方程与 Bloch 定理求解能 带结构来实现。事实上，周期结构中原胞的划分方 式有多种。在固体物理学中，一种常见的原胞划分 是对称性原胞或称为维格纳—塞茨原胞，即划分的 原胞具有周期结构的晶格对称性。一维声子晶体晶 格在具有周期平移对称性的同时还具有镜面对称 性，即对图 1c 中任一格点，以垂直于 x 方向的平面 为对称面，其两侧的结构是左右对称的。晶格对称 性会在声子晶体振动模式上反映出来，因而选取具 有晶格对称性的原胞有利于对声子晶体振动模式进 行深入分析。图 1b 中的原胞不具有一维晶格的镜面 对称性，这里我们选取沿原胞中心线左右镜面对称 的原胞来进行分析，如图 2 所示。
一维功能梯度材料声子晶体弹性波带隙研究
声子 晶体 的带 隙特征 及影 响 因素 。应 用平 面 波展 开法
材料 声子 晶体较 常规 材料 声子 晶体在相 同 范围 内能 够 出现 更 多阶带 隙结构 。这 些结果 为功 能梯 度材 料 声子
晶体在 工 程 实际 中的 广 泛 应 用提 供 了理 论 依 据 和 指
导。
关 键 词 ： 声 子 晶 体 ； 能 梯 度 材 料 ； 性 波 带 隙 功 弹
中图分 类号 ： Ｏ ８ ． ； Ｂ ３ ４ １ １ Ｔ ５
文献标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ １９ ３ （Ｏ Ｏ 增 刊 Ⅱ一３ ８０ １０—７１２ １ ） ０ ６ —３
计 算揭 示 了一维 功能 梯度 材料声 子 晶体 中存 在 弹性 波 带隙 ， 讨 了功能 梯度 材料 表面材 料 常数 、 探 指数 因子 和 组 分 比等 因数 对 带 隙 宽度 的影 响 ， 比较 了其 与常 规 材 料 构成 的声子 晶体 带 隙特征 的异 同 。所 得结 果对 功 能 梯度 材料 声子 晶体 在工程 实 际 中的设计 和应 用提 供 了
依据 和参 考 。
１ 引 言
功能梯 度材料 是 一 种 多相 材 料 ， 材 料 宏 观 特 性 其
在 空 间 位 置 上 呈 现 梯 度 变 化 ， 除 了材 料 的 物 理 性 能 消
突变现象 ， 较好 地避 免或 降低应 力集 中 ， 到优 化 结构 达 整 体使用 性能 的 目的 。功 能梯 度 材 料在 航 空 航 天 、 电 子器 件 、 造脏器 、 车发动 机等诸 多方 面都 有 广 泛 的 人 汽
等 方 面 展 开 了 一 系 列 的 研 究 。 １ ９ 。 ９ ５年 ， ａｒ ｅ— Ｍ ｔｉ ｚ ｎ
Ｓ ｌ ［ 第一 次 从 实 验 角 度 证 实 了弹 性 波 带 隙 的存 ａａ等 ３
材料 声子 晶体较 常规 材料 声子 晶体在相 同 范围 内能 够 出现 更 多阶带 隙结构 。这 些结果 为功 能梯 度材 料 声子
晶体在 工 程 实际 中的 广 泛 应 用提 供 了理 论 依 据 和 指
导。
关 键 词 ： 声 子 晶 体 ； 能 梯 度 材 料 ； 性 波 带 隙 功 弹
中图分 类号 ： Ｏ ８ ． ； Ｂ ３ ４ １ １ Ｔ ５
文献标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ １９ ３ （Ｏ Ｏ 增 刊 Ⅱ一３ ８０ １０—７１２ １ ） ０ ６ —３
计 算揭 示 了一维 功能 梯度 材料声 子 晶体 中存 在 弹性 波 带隙 ， 讨 了功能 梯度 材料 表面材 料 常数 、 探 指数 因子 和 组 分 比等 因数 对 带 隙 宽度 的影 响 ， 比较 了其 与常 规 材 料 构成 的声子 晶体 带 隙特征 的异 同 。所 得结 果对 功 能 梯度 材料 声子 晶体 在工程 实 际 中的设计 和应 用提 供 了
依据 和参 考 。
１ 引 言
功能梯 度材料 是 一 种 多相 材 料 ， 材 料 宏 观 特 性 其
在 空 间 位 置 上 呈 现 梯 度 变 化 ， 除 了材 料 的 物 理 性 能 消
突变现象 ， 较好 地避 免或 降低应 力集 中 ， 到优 化 结构 达 整 体使用 性能 的 目的 。功 能梯 度 材 料在 航 空 航 天 、 电 子器 件 、 造脏器 、 车发动 机等诸 多方 面都 有 广 泛 的 人 汽
等 方 面 展 开 了 一 系 列 的 研 究 。 １ ９ 。 ９ ５年 ， ａｒ ｅ— Ｍ ｔｉ ｚ ｎ
Ｓ ｌ ［ 第一 次 从 实 验 角 度 证 实 了弹 性 波 带 隙 的存 ａａ等 ３
一维杆状Thue-Morse(TM)准周期结构声子晶体带隙特性的研究
一维杆状Thue-Morse(TM)准周期结构声子晶体带隙特性的研究李雷;刘永寿;任建亭;税朗泉【摘要】提出了一维杆状TM准周期结构声子晶体模型,采用有限元法计算了其带隙特性并与周期结构进行了比较.研究表明,TM序列准周期结构声子晶体可以有效地拓宽带隙宽度且能降低起始频率,而且在带隙范围内产生了具有高品质因子的局域共振模；此外还发现,不同代次的TM序列、不同排序的材料组合都不影响其带隙范围,但改变材料参数(密度和弹性模量)却能改变其带隙范围.此研究可供其在减振降噪、滤波、波导等方面的设计和实际应用参考.%The model of the TM ID rod phononic crystal with quasi-periodic structure is proposed. Sections 1 and 2 of the full paper calculate its band gap characteristics using FEM, and compare them with those of periodic structure. Section 1 briefs the band gap characteristics of TM sequence. Section 2 discusses the various factors affecting band gap characteristics. The study shows that the TM phononic crystal with quasi-periodic structure can increase the band gap width and lower the beginning frequency effectively. Most importantly, localized resonant modes appear in the band gap, as shown in Figs. 2 through 6. Neither different generations of the TM sequence nor combination of different materials in order can affect its band gap range. The band gap range can be changed with changing the material parameters, such as density and elastic modulus. This study we believe is useful in problems such as vibration and noise reduction, filter, waveguide, etc.【期刊名称】《西北工业大学学报》【年(卷),期】2012(030)002【总页数】6页(P245-250)【关键词】TM序列;准周期;声子晶体;带隙【作者】李雷;刘永寿;任建亭;税朗泉【作者单位】西北工业大学力学与土木建筑学院,陕西西安710072;西北工业大学力学与土木建筑学院,陕西西安710072;西北工业大学力学与土木建筑学院,陕西西安710072;西北工业大学力学与土木建筑学院,陕西西安710072【正文语种】中文【中图分类】TB53;O481.1由几种密度和弹性常数不同的材料按一定结构排列而成的复合功能材料就称为声子晶体。
一维杆状声子晶体的带隙特性
一
表 １ 材 料 参数
∞
印 ∞ 加 ０ 加 ∞ ∞ ∞ ∞
维杆状声子 晶体 与一维 声子 晶体 不 同之 处在 于 ，
罨 星
《
杆状声子 晶体 如 图 １在 方 向和 Ｙ方 向均存 在 边 界 约 束， 而一维声子 晶体不存 在 。用有 限元 法 求解 了一 维杆 状声子 晶体 的振 动带 隙及其 模态 振 形 ， 比了两者 的关 对 系， 从本 质上 阐述 了声 子 晶体相关参 数对带 隙的影响 。
ｌ ｆＨｚ
１ 一维 杆 状 声 子 晶体 的振 动 特 性
用有 限元 法计 算 了如 图 １所 示 的一 维 杆状 声 子 晶
图 ２ 声 子 晶 体 振 动 传 输 特 性
体 ３个周 期 和 ５个 周 期 的振 动 传 输 特 性 ， 面 为 正 方 截 形， 边长 ０ ０ ９０ 高度 ０ ０ ２ ｍ。材 料 为 金 属 材 料 ． １ ５ｍ； ． １
峰 的模 态 振 形 均 为橡 胶 部 分变 形 ， 而金 属 部分 有 ｚ向
移动， 因此任 何 有关 金 属 和 橡 胶 材 料 的相 关参 数 都 会
影 响带 隙 的起 始 频 率 ； 而带 隙 截 止 频 率 的 一 个 共振 峰
对 应振形 均为 橡胶部 分有 横 向错 动 而金 属 部分 没 有移
收稿 日期 ：２ ０ ０ ８—１ ２ 修改稿收到 日期 ：０ ９—０ ０ １— ５ ２０ ４— ９
第 一 作 者 宋 卓斐 男 ， 士 ，９ ８年 生 博 １７
（） ５ 期 ｂ 周
图 ３ 共 振 模 态 振 形
振 动 与 冲 击
２１ 第 ２ ０ ０年 ９卷
图 ３ ａ 为 ３周期 ， ３ ｂ 为 ５周期 ） 排列 顺序 为 （） 图 （） ，
表 １ 材 料 参数
∞
印 ∞ 加 ０ 加 ∞ ∞ ∞ ∞
维杆状声子 晶体 与一维 声子 晶体 不 同之 处在 于 ，
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杆状声子 晶体 如 图 １在 方 向和 Ｙ方 向均存 在 边 界 约 束， 而一维声子 晶体不存 在 。用有 限元 法 求解 了一 维杆 状声子 晶体 的振 动带 隙及其 模态 振 形 ， 比了两者 的关 对 系， 从本 质上 阐述 了声 子 晶体相关参 数对带 隙的影响 。
ｌ ｆＨｚ
１ 一维 杆 状 声 子 晶体 的振 动 特 性
用有 限元 法计 算 了如 图 １所 示 的一 维 杆状 声 子 晶
图 ２ 声 子 晶 体 振 动 传 输 特 性
体 ３个周 期 和 ５个 周 期 的振 动 传 输 特 性 ， 面 为 正 方 截 形， 边长 ０ ０ ９０ 高度 ０ ０ ２ ｍ。材 料 为 金 属 材 料 ． １ ５ｍ； ． １
峰 的模 态 振 形 均 为橡 胶 部 分变 形 ， 而金 属 部分 有 ｚ向
移动， 因此任 何 有关 金 属 和 橡 胶 材 料 的相 关参 数 都 会
影 响带 隙 的起 始 频 率 ； 而带 隙 截 止 频 率 的 一 个 共振 峰
对 应振形 均为 橡胶部 分有 横 向错 动 而金 属 部分 没 有移
收稿 日期 ：２ ０ ０ ８—１ ２ 修改稿收到 日期 ：０ ９—０ ０ １— ５ ２０ ４— ９
第 一 作 者 宋 卓斐 男 ， 士 ，９ ８年 生 博 １７
（） ５ 期 ｂ 周
图 ３ 共 振 模 态 振 形
振 动 与 冲 击
２１ 第 ２ ０ ０年 ９卷
图 ３ ａ 为 ３周期 ， ３ ｂ 为 ５周期 ） 排列 顺序 为 （） 图 （） ，
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2013年3月重庆师范大学学报(自然科学版)M a r.2013第30卷第2期J o u r n a l o fC h o n g q i n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.30N o.2D O I:10.11721/c q n u j20130223一维三组元杆状结构声子晶体带隙研究*邱学云1,胡家光1,2(1.文山学院数理系,云南文山663000;2.云南大学物理系,昆明650091)摘要:采用集中质量法对一维三组元杆状结构声子晶体带隙特征进行计算,将其与一维二组元杆状结构声子晶体进行比较㊂研究表明,一维三组元结构声子晶体能有效拓宽带隙频率范围且能降低起止频率㊂在一维二组元(铝/塑料)声子晶体组份材料铝和塑料之间插入丁腈橡胶前后,保证2个模型的晶格常数a=0.3m㊁自由度总数300相同㊂当组份比t为1时,三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)声子晶体可以降低第1带隙的起始频率463.7H z㊁截止频率2108.1H z㊂当三组元声子晶体晶格常数a由0.03m增大到0.42m时,该声子晶体第1带隙起始频率由18943H z下降到1353.1H z,截止频率由37799H z下降到2699.9H z㊂如果取三组元声子晶体的晶格常数为0.3m,固定其中铝的长度为0.15m,将丁腈橡胶和塑料的长度之和固定为0.15m,调节丁腈橡胶的长度由0m增大到0.15m时,该声子晶体第1带隙起始频率由2 359.8H z下降到1664.7H z,截止频率由5888.0H z下降到4065.3H z㊂同时该声子晶体第1带隙宽度变化在低频率区存在一个峰值3043.6H z㊂这些变化规律对拓展一维杆状声子晶体的带隙特征具有积极意义㊂关键词:一维声子晶体;能带结构;带隙;集中质量法中图分类号:O321;T H113文献标志码:A 文章编号:1672-6693(2013)02-0102-06近年来,能带理论突破以固有材料为研究对象的限制,进入了通过能带设计周期性复合结构模拟实际晶格情形以获得新型功能材料和器件的新阶段㊂在这些材料中存在能够禁止某种经典波传播的频率范围,这些频率范围称为带隙㊂具有经典波带隙的周期性复合材料或结构统称波晶体㊂通常把存在电磁波带隙,介电常数周期分布的材料或结构称光子晶体[1-2],把存在弹性波带隙,弹性常数及密度周期分布的材料或结构称声子晶体[3-4]㊂已有部分文献对这两种周期性新型复合材料和器件进行过研究[5-10]㊂因为一维声子晶体构造简单,所以在实际应用中的可能性最大㊂对一维声子晶体的研究已经在理论计算㊁模拟仿真和实验研究3个方面取得阶段性成果[11-19]㊂一维声子晶体通常有3种基本结构,分别是一维层状(或板状)结构㊁一维杆状(或柱状)结构和一维管状(或环状)结构㊂已有研究者对一维二组元杆状(或柱状)声子晶体的带隙结构进行过研究,但是将一维三组元杆状(或柱状)声子晶体与一维二组元杆状(或柱状)声子晶体的带隙结构进行对比研究的较少㊂因此,笔者采用集中质量法对一维三组元杆状结构声子晶体带隙特征进行计算,将其与一维二组元杆状结构声子晶体进行比较,寻找2种结构之间的变化规律㊂1研究模型与计算方法1.1一维三组元杆状结构声子晶体模型理想的一维声子晶体结构由无穷多个无限大平板组成,仅在一个方向上具有周期性,在另外2个非周期方向上无限大,这种模型在实际中是不存在的㊂但在实际工程中的有限杆状结构确具有很好的一维特性和纵向振动特性㊂针对一维杆状结构声子晶体,通常将周期方向取为x方向㊂假设弹性波仅沿着周期方向传播,于是介质中的弹性波仅与x方向有关,与y方向和z方向无关,这时可以采用质量法计算弹性波的传输特性㊂图1是一维三组元杆状结构声子晶体模型㊂该模型由A㊁B㊁C3种材料沿着x方向交替排列构成细长有限杆状复合结构,设3种弹性材料均匀㊁各向同性㊁截面相同,3种材料的材料参数和结构参数严格沿x方向周期性变化,它们的长度分别为a A㊁a B㊁a C,且a A+a B+a C=a,认为a是该声子晶体的1个晶格常数,对应1个周期结构㊂*收稿日期:2012-10-16修回日期:2012-11-13网络出版时间:2013-03-1613:37资助项目:国家自然科学基金项目(N o.10664006);云南省教育厅科研基金项目(N o.2010Y093)作者简介:邱学云,男,讲师,硕士,研究方向为声子晶体研究,E-m a i l:s h e l l y-80@163.c o m网络出版地址:h t t p://w w w.c n k i.n e t/k c m s/d e t a i l/50.1165.N.20130316.1337.201302.102_023.h t m l图1一维三组元杆状声子晶体结构示意图1.2集中质量法集中质量法的基本思想是通过将连续介质中的质量集中到多个节点或截面上,将连续系统问题转化为相应的离散问题进行求解㊂其本质是将无限自由度系统转化为有限自由度系统进行近似求解,这也是解决大多数实际工程问题的常用策略㊂采用集中质量法的基本思想,同时借鉴有限元法对离散单元刚度矩阵的计算方法,并引入周期边界条件,结合B l o c h定理,可以得到一种新的声子晶体能带结构计算方法,即集中质量法㊂具体是假设组成一维三组元杆状结构声子晶体的3种材料是理想弹性介质,可将其均匀地离散,且每个离散单元只有一种材料㊂那么,一维声子晶体的单个周期可以简化为很多个自由度的弹簧振子结构㊂如果每个离散单元的长度为d j,按质心不变原则,每个振子位于简化单元的中心,振子2侧为等刚度的弹簧,弹簧振子质量m j为m j=ρS d j,j=1,2,3, ,n(1) (1)式中ρ为离散单元的材料密度,S为声子晶体等截面面积㊂对于一维杆状结构声子晶体,当相邻两个离散单元为同种材料,沿周期方向的拉压刚度为2E S/(d j+1+ d j);不同种材料时,拉压刚度为2E A E B S/(E A d j+1+ E B d j),E为弹性模量㊂对于无限周期弹簧振子结构,用振子质量代替原子质量,用弹簧的刚度系数代替原子间的恢复力常数,容易得出j个振子的运动方程m j x㊆j=k j(x j+1-x j)-k j-1(x j-x j-1),j=1,2,3, ,n(2)该振子运动方程的解可写为振幅A j及角频率为ω的简谐振动表达式x j=A j e i(j q d-ωt)(3)将(3)式代入(2)式,结合B l o c h定理和引入的周期边界条件,可以得到一个线性方程组㊂求解该线性方程组即可得到上述无限周期弹簧振子结构的振动能带结构图㊂已有部分文献基于集中质量法对一维声子晶体的能带结构进行计算[8-13],集中质量法与平面波法相比,在相同精度下,集中质量法计算量明显减少,收敛性大大提高,能更加直观地描述声子晶体内部作用机理㊂温激鸿,王刚,刘耀宗,等[8]基于集中质量法对一维二组元声子晶体(铅/树脂)结构进行了原胞简化㊁理论推导和计算分析㊂而一维三组元声子晶体结构与一维二组元结构类似,因此笔者采用集中质量法计算分析一维三组元杆状声子晶体结构,寻找三组元结构与二组元结构的带隙特征,分析相关的变化规律㊂2理论计算结果及分析固体物理学的研究结果表明,在各向同性的均匀介质中只有2个独立的弹性系数λ㊁μ称为拉梅常数㊂由简单拉升实验和剪切实验可得到介质杨氏模量E 和与拉梅常数之间的关系,有E=(3λ+2μ)μλ+μ,λ=Eσ(1+σ)(1-2σ),μ=E2(1+σ)(4) (4)式中σ为介质的泊松比㊂由于集中质量法对纵波和横波都有效,而且计算方法及带隙结构也类似,因此根据本文选择的杆状结构,计算中仅考虑纵波带隙特性㊂所用材料参数如表1所示㊂表1声子晶体材料参数材料密度ρ/(k g㊃m-3)杨氏模量E/1010P a剪切模量G/1010P a泊松比σ铅116004.081.490.3691铝27997.212.680.3437环氧树脂11800.4350.1590.3679丁腈橡胶13001.2e-34e-40.499塑料11900.220.080.375笔者采用集中质量法基于MA T L A B编写的程序计算一维二组元(铅/环氧树脂)声子晶体弹性波(纵波)带隙㊂该声子晶体晶格常数a为0.03m,材料组份比为2ʒ1(材料组份比=原胞中铅板厚度/环氧树脂厚度),所用材料特性参数(见表1)与文献[8]选取的一致㊂计算得知第1带隙的起始频率为597.6H z,截止频率为38751H z,第1带隙宽度为33053.4H z,第二带隙的起止频率分别为40501H z,60806H z,第二带隙宽度为20305H z㊂这个计算结果与文献[8]的结果一致,表明本文的计算方法和程序是正确的㊂基于此,笔者选择工程中的常用材料A铝㊁B丁腈橡胶㊁C塑料,在A与C之间插入B材料,周期性复合组成一维三组元杆状结构,通过计算寻找三组元结构与二组元结构的带隙特征,分析相关的变化规律㊂2.1实例计算图2是采用集中质量法计算得到的一维(铝/丁腈橡胶/塑料)三组元声子晶体弹性波带隙结构图,该声子晶体晶格常数a为0.3m,计算中每个原胞简化为301第2期邱学云,等:一维三组元杆状结构声子晶体带隙研究自由度数为300的弹簧振子结构,其中每个结构简化为相同自由度数的弹簧振子,3种材料厚度相同㊂基于MA T L A B编程计算画图就能得到图2所示结果,图中阴影部分从下到上分别为该声子晶体的第1㊁2带隙㊂图2一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)声子晶体能带结构图计算得知第1带隙的起始频率为1896.1H z,截止频率为3780.7H z㊂如果选择一维二组元(铝/塑料)声子晶体与一维(铝/丁腈橡胶/塑料)三组元声子晶体做比较,保证2个模型的原胞晶格常数a=0.3 m㊁总自由度数300相同㊂当组份比为1时,第1带隙起始频率为2359.8H z,截止频率为5888.8H z㊂比较可知,在材料铝和塑料之间插入杨氏模量相对较小的丁腈橡胶可以降低第1带隙的起始频率和截止频率,但是带隙宽度随之变窄㊂2.2计算结果分析笔者对3种材料复合成的一维二组元结构和三组元结构的声子晶体采用相同的晶格常数为0.3m,相同组份比为1,分别进行计算,结果见表2㊂另外,固定各材料的密度㊁弹性模量㊁泊松比,改变材料的晶格常数(或晶格尺寸)㊁组份比(或长度)来计算㊁分析其变化对带隙的影响情况㊂2.2.1二组元与三组元声子晶体带隙情况比较表2给出了4种一维杆状声子晶体结构模型的第1带隙起始频率㊁截止频率和第1带隙频率宽度的情况㊂通过此表可以看出:二组元(金属/非金属型)声子晶体结构带隙频率都较高,相应的带隙宽度也很大;一维三组元(金属/非金属/非金属型)声子晶体结构是在一维二组元(金属/非金属型)结构中插入一种杨氏模量和剪切模量都相对较小的非金属,这样可以很有效地降低结构的带隙频率,丰富三组元结构的带隙频率范围,理论上为灵活设计杆件的不同振动特性提供了一种可能㊂2.2.2晶格常数对带隙的影响图3给出了一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)声子晶体带隙与晶格常数的关系㊂该声子晶体材料组份比为1时,每种材料自由度数取100,晶格常数a由0.03m增大到0.42m,声子晶体带隙随着晶格常数a的增大,第1㊁2带隙的起始频率及截止频率逐渐减小,并且带隙的宽度也逐渐减小㊂减小的程度随着晶格常数的增大变化不一样:a 从0.03m变到0.09m时起始频率和截止频率下降较大;a从0.09m变到0.3m时起始频率和截止频率缓慢下降;a从0.3m变到0.42m时起始频率和截止频率下降趋稳并向低频率靠近㊂所以可通过调节声子晶体结构参数来获得所需的带隙㊂表23种声子晶体结构第1带隙情况声子晶体结构第1带隙起始频率/H z第1带隙截止频率/H z第1带隙宽度频率/H z 铝/塑料2359.85888.03528.2铝/丁腈橡胶/塑料1894.33779.91885.6铝/丁腈橡胶1664.74065.32400.6丁腈橡胶/塑料2241.32690.9449.6图3一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)声子晶体晶格常数与带隙的关系2.2.3组份比与声子晶体带隙关系一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)声子晶体中的组份比(或长度)变化有3种情况,第一种是固定铝的组份比改变丁腈橡胶㊁塑料组份比;第二种是固定塑料的组份比改变铝㊁丁腈橡胶的组份比;第三种是3种材料组份比都变化情况,具体是增加丁腈橡胶的组份比,等量减少铝㊁塑料的组份比㊂1)固定铝的组份比,改变丁腈橡胶㊁塑料组份比㊂如果将一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体结构的晶格常数固定为0.3m,固定组份材料铝的长度为0.15m,将组份材料丁腈橡胶和塑料的长度之和401重庆师范大学学报(自然科学版)h t t p://w w w.c q n u j.c n第30卷固定为0.15m㊂调节丁腈橡胶的长度由0增大到0.15m,对应调节塑料的长度由0.15m减小到0㊂将每个结构的带隙情况计算出来,选择第1带隙的起始频率㊁截止频率以及第1带隙宽度画图,结果见图4㊂图4固定铝的长度时丁腈橡胶长度变化与第1带隙的关系由图4知,一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体结构中:1)当丁腈橡胶长度为0时,该结构复合成一维二组元(铝/塑料)杆状声子晶体,该声子晶体的第1带隙起始频率和截止频率相对较高,带宽最大为3528.2H z;2)当丁腈橡胶长度为0.15m时,该结构复合成一维二组元(铝/丁腈橡胶)杆状声子晶体,该声子晶体的第1带隙起始频率和截止频率相对较低,带宽最小为2400.6H z;3)固定丁腈橡胶与塑料长度和为0.15m时,在增加丁腈橡胶的长度,减少塑料的长度过程中,可以明显降低一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体第1带隙的频率,其中对第1带隙的起始频率影响较小,对截止频率影响较大;4)整体来看,随着丁腈橡胶插入并在结构中长度不断增加,带隙宽度先变窄后变宽然后又变窄,出现一个峰值,这个带隙特性为一维三组元杆状声子晶体获得低频㊁宽带带隙提供了理论依据㊂2)固定塑料的组份比,改变铝㊁丁腈橡胶的组份比㊂同上所述,固定结构总的晶格常数为0.3m,再固定其中塑料的长度为0.15m,将铝和丁腈橡胶的长度之和固定为0.15m㊂调节丁腈橡胶的长度由0增大到0.15m,对应调节铝的长度由0.15m减小到0㊂将每个结构的带隙情况计算出来,选择第1带隙的起始频率㊁截止频率以及第1带隙宽度画图,结果见图5㊂由图5知,一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体结构中:1)当丁腈橡胶长度为0时,该结构复合成一维二组元(铝/塑料)杆状声子晶体;2)当丁腈橡胶长度为0.15m时,该结构复合成一维二组元(丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体;3)当固定丁腈橡胶与铝的图5固定塑料的长度时丁腈橡胶长度变化与第1带隙的关系长度和为0.15m时,在增加丁腈橡胶的长度,减少铝的长度过程中,一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体第1带隙的起始频率变化不大,但存在一个先减小后增大的情况,在铝和丁腈橡胶的组份比为1时有一个最小值2088.0H z㊂同时,丁腈橡胶长度增加过程中对截止频率影响较大;4)随着丁腈橡胶长度增加,铝长度减少,带隙宽度由宽变窄呈下降趋势㊂3)同时改变3种材料的组份比㊂图6是一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)声子晶体中集中质量分数与带隙关系曲线㊂该曲线是保持总的集中质量分数不变,调节各组份的集中质量分数变化,从而影响声子晶体第1㊁2带隙变化的曲线㊂该声子晶体总的集中质量分数为300,晶格常数固定为0.3m㊂从大到小同时减少材料A铝㊁C塑料的集中质量分数,增大材料B丁腈橡胶的集中质量分数,即等量减小铝和塑料的组份比,增加丁腈橡胶的组份比㊂由图6可见:增加丁腈橡胶的组份比对各声子晶体第1带隙的起始频率影响较小;对第1带隙的截止频率和第二带隙的起始频率影响较大;对第二带隙的截止频率影响最大㊂整体来看,图6各组份中集中质量数与声子晶体带隙关系曲线501第2期邱学云,等:一维三组元杆状结构声子晶体带隙研究随着丁腈橡胶的组份比的增加,带隙向低频率区靠近,带隙宽度变窄㊂同时还看到当三组元结构的材料组份比相同时,带隙宽度并不是最大㊂这为不同带隙频率要求,包括低频带隙情况提供了一种调节思路,就是调节中间结构的长度㊂3结论在一维二组元(金属/非金属型)结构中插入一种杨氏模量和剪切模量都相对较小的非金属,可以复合成一维三组元(金属/非金属型/非金属型)声子晶体结构㊂以一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)声子晶体结构为例,当三组元结构中铝㊁丁腈橡胶㊁塑料3种材料的密度㊁弹性模量㊁泊松比不变时,仅改变材料的晶格常数㊁组份比来调节复合材料的带隙情况,可以得到一些有意义的结果㊂研究表明:1)一维二组元(金属/非金属型)杆状声子晶体结构带隙频率都较高,相应的带隙宽度也很大,可实现高频振动控制;一维三组元(金属/非金属/非金属型)杆状声子晶体结构可以降低结构的带隙频率,丰富三组元结构的带隙频率范围,理论上为灵活设计杆件的不同振动特性提供了一种可能㊂2)针对一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体的带隙调控,可通过调节声子晶体结构参数来获得所需的带隙㊂晶格常数较小时带隙可调控到高频区,晶格常数较大时带隙可调控到低频区㊂3)一维三组元(铝/丁腈橡胶/塑料)杆状声子晶体中,当固定声子晶体总的晶格常数,又固定其中材料A 铝的组份比,逐渐增加材料B丁腈橡胶组份比(长度变长),减少材料C塑料组份比(长度变短)时,该声子晶体第1带隙宽度变化存在一个峰值,这个带隙特性为一维三组元杆状声子晶体获得低频㊁宽带带隙提供了理论依据㊂4)另外,改为固定材料C塑料的组份比,逐渐增加材料B丁腈橡胶组份比(长度变长),减少材料A铝组份比(长度变短)时,该声子晶体第1带隙起始频率在两种材料组份比为1时存在一个最小值㊂同时,随着丁腈橡胶长度增加,铝长度减少,带隙宽度由宽变窄呈下降趋势㊂总之一维三组元(金属/非金属型/非金属型)杆状声子晶体结构能有效改变一维二组元(金属/非金属型)杆状结构的带隙特征,以满足一维杆状声子晶体对弹性波振动控制的要求㊂同时要获得低频㊁宽域带隙可考虑调节声子晶体的晶格常数和组元组分比来实现㊂参考文献:[1]J o h nS.S t r o n g l o c a l i z a t i o no f p h o t o n s i nc e r t a i nd i s o r d e r e dd ie l e c t r i c[J].P h y sR e vL e t t,1987,58(23):2486.[2]Y a b l o n o v i t c h E.I n h i b i t e ds p o n t a n e o u se m i s s i o ni ns o l i d-s t a t e p h y s i c sa n de l e c t r o n i c s[J].P h y sR e vL e t t,1987,58 (20):2059.[3]S i g a l a s M M,E c o n o m o u E N.E l a s t i ca n da c o u s t i c w a v eb a n d s t r uc t u r e[J].J o u r n a l o fS o u n da n dV i b r a t i o n,1992, 158(2):377-379.[4]K u s h w a h a M S,H a l e v iP,D o b r z y n s k iL,e ta l.A c o u s t i cb a n d2s t r uc t u r eo f p e r i od i ce l a s t 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c r y s t a l i s e f f i c i e n t i nb r o a d e n i n g t h e f r e q u e n c y r a n g e o f b a n d g a p s a n d r e d u c i n g t h e s t a r t s t o p p i n g f r e q u e n c y .B e f o r e a n d a f t e r i n -s e r t i n g N B Ri n t o t w o -c o m p o n e n t c r y s t a l (A l u m i n u m /p l a s t i c s ),g u a r a n t e e i n g l a t t i c e c o n s t a n t a o f t w om o d e l s i s 0.3ma n d f r e ed e -g r e e i s 300.T h e b a n d 1g a p s t a r t i n g f r e q u e n c y 463.7H z a n d s t o p p i n g f r e q u e n c y 2108.1H z c a nb e r e d u c e db y t h r e e -c o m p o n e n t (A -l u m i n u m /N B R /p l a s t i cm a t e r i a l )p h o n o n i c c r y s t a lw h e n c o m p o s i t i o n r a t i o i s o n e .W h e n t h r e e -c o m p o n e n t p h o n o n i c c r y s t a l l a t t i c e c o n s t a n t a i n c r e a s e s f r o m0.03mt o 0.42m ,t h e b a n d 1s t a r t i n g f r e q u e n c y r e d u c e s f r o m18943H z t o 1353.1H z a n d s t o p p i n g f r e -q u e n c y r e d u c e s f r o m37799H z t o 2699.9H z .W h e n l a t t i c e c o n s t a n t i s 0.3m ,t h e l e n gt ho fA l u m i n u mi s f i x e dv a l u e 0.15m ,t h e t o t a l l e n g t h o fN B Ra n d p l a s t i c s i s f i x e d v a l u e 0.15ma n d i n c r e a s i n g N B R l e n g t h f r o m0mt o 0.15m ,t h e b a n d 1s t a r t i n g f r e q u e n c y r e d u c e s f r o m2359.8H z t o 1664.7H z a n d s t o p p i n g f r e q u e n c y r e d u c e s f r o m5888.0H z t o 4065.3H z .M e a n w h i l e ,t h e r e i s a p e a k o f 3043.6H z i n l o wf r e q u e n c y z o n e o f t h e v a r i a t i o no f t h eb a n d1g a p s ,a n d t h i s i s o f p o s i t i v e s i g n i f i c a n c e f o r b r o a d e n i n g t h e b a n d p r o p e r t y o f o n e -d i m e n s i o n a l p h o n o n i c c r y s t a l .K e y w o r d s :o n e -d i me n s i o n a l p h o n o n i c c r y s t a l ;b a n d s t r u c t u r e ;b a n d g a p ;l u m p e dm a s sm e t h o d (责任编辑 欧红叶)701V o l .30N o .2 J o u r n a l o fC h o n g q i n g N o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e ) h t t p ://w w w.c q n u j.c n。