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常微分方程ppt (8)

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常微分方程的一般概念.ppt

常微分方程的一般概念.ppt

条件为：
1 dP k P dt P t 0(1790 年 ) P0
20
从而得出人口按指数规律增加：
P P0e kt
评价 l相对增长率等于常数这一假设只在一
个较短的时间间隔对问题的模拟较好；
l按指数模型，人口将无限增长下去, 但这是不可能的。
21
2. Logistic 模型(人口增长模型 )
32
Ž C 0 情况，对应
R 2GM0 , R
设初:条 t0件 时 R0，
通过解这个一阶方程, 得
2R2 3 3
2GM 0 tC,
再利用初条件， R3 得 92G到M 0t2
33
这个公式被称为“扁平宇宙模型” (flat universe model) , 试问此 模型就宇宙膨胀可以给出什么预言？
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
请见以下各种微分方程：
(1) dy f(x) dx
(2) dd22 xtad dx tbx0
11
(3) m d d22 ythyd d y tk yF (t) ( 4 )y P (x )y Q (x ) (5 ) xd ys xixnd 0y
( 6 )x 3 y x 2 y 4 x y 3 x 2 (7 ) (y)2 4 y 3 x 0
dt
k
分离变量并积分
rdt
dx
x(1

常微分方程的基本概念ppt课件

常微分方程的基本概念ppt课件
其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2


m
d
dt

g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)

gt C1,
再积一次分得：S

1 2
gt2

C1t

C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.

高等数学 常微分方程PPT课件

高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx

常微分方程常见形式及解法课件PPT

常微分方程常见形式及解法课件PPT

2021/3/10
11
谢谢观看
2021/3/10
12
常微分方程常见形式及解法
2021/3/10
知行1301 13275001
毕文彬
1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是：
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
3
2021/3/10
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如 ： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/3/10
5
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
2021/3/10
6
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况 ，然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):

常微分方程 ppt课件

常微分方程 ppt课件

量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2

g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.

常微分方程总结 PPT

常微分方程总结 PPT
2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . y 3 .齐次方程的求解方法: 令 u , x
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
23
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx

常微分方程PPT

解 设降落伞下落速度为v(t) 时伞所受空气阻力为
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条

计算方法课件第八章常微分方程初值问题的数值解法


整体截断误差与局部截断误差的关系
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f(x ,y 1 )f(x ,y 2) L y 1y 2
且局部截断误差有界：
|R n|1 2h2M 2
(n1,2, )
则Euler法的整体截断误差n满足估计式：
ne(ba)L 0h 2L M 2(e(ba)L1)
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n ) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算y n 1 时，只用到x n 1 ,x n和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 y n 1 时，除用到 x n 1 ,x n 和 y n 以外，还要用 x n p 和 y n p (p1 ,2 k;k0) ,即前
其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，
M2 mayx(x) 。 axb
证明参见教材。
Remark：该定理表明，整体截断误差比局部截 断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。
收敛性与稳定性
收敛性定义：如果某一数值方法对于任意固定的
xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，
则称该方法收敛。 稳定性定义 定义 用一个数值方法，求解微分方程初值问 题时，对给定的步长h>0，若在计算 y n 时引入 误差 （n 也称扰动），但由此引起计算后面的 ynk(k1,2, )时的误差按绝对值均不增加，则 称这个数值方法是稳定的。
一般的显式rk方法可以写成型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多其中为常数选取这些常数的原则是要求第一式的右端在处泰勒展开后按h型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多上述公式叫做n级的rungekutta方法其局部截断误差为显然euler法是一级一阶rk方法

常微分方程全册ppt课件


z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程

常微分方程PPT课件


8.1 常微分方程的基本概念
例
【例8-2】列车在平直线路上以20 m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为 -0.4 m/s2 时，问开始制动后多长时间列车才能停住?在这段时间内列车行驶了多少路程? 解 设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s（t）是困 难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4 两端积分,得ds/dt=∫（-0.4）dt=-0.4t+C1 两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2 其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s（t）满足 s0=0,v（0）=s′0=20 代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t 由于列车刹住时的速度为零,即s′(t)=-0.4t+20=0 求得t=50 s,于是列车所走的路程为s（50）=-0.2×502+20×50=500（m）
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题.
定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方 程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别 微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常 系数、齐次与非齐次等.
8.1 常微分方程的基本概念
例如 可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中 y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2 中的通解为s（t）=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t. 在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个 数减少.例如,函数y=C1sin x+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并 不是独立的,事实上它可以写成y=（C1+C2）sinx=Csinx（其中C=C1+C2）,因此 本质上它只含有一个任意常数. 显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某 个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.
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用maple 7求解系统的微分方程得
Maple语句为
k1:=1;k2:=1;k3:=1; m1:=1; m2:=1; m3:=1; x10:=2;x20:=3;s10:=0;s20:=0; deq1:=m1*diff(x1(t),t$2)-k2*(x2(t)-x1(t))=k1*x1(t); deq2:=m2*diff(x2(t),t$2)=-k2*(x2(t)-x1(t))k3*x2(t); init:=x1(0)=x10,D(x1)(0)=s10,x2(0)=x20,D(x2)(0) =s20: sol:=dsolve({deq1,deq2,init},{x1(t),x2(t)});
(4.1.10)
质点的空间运动
已知在空间运动的质点 及点的坐标 的关系为 的速度与时间 t
且质点在时刻 运动轨迹.
经过点
求该质点的
Hale Waihona Puke 个问题其实就是求微分方程组满足初始条件 的解
事实上, 在第3 章中的高阶微分方程
令
则上式可以化为方程组
例 池水含盐量问题
某水池中有2000 3 m的水，其中含盐2kg。 m 以每分钟6 的速度向水池内注入含盐率 m 为0.5kg/ 的盐水，同时又以每分钟4 3 m 的速度从水池中流出搅拌均匀的盐水。使 用计算机仿真该水池里盐水的变化过程， 并每隔10分钟计算水池中水的体积、含盐 量、含盐率，欲使池中盐水的含盐率到达 m 0.2kg/ ,需经过多少时间？
用maple 7所得到的解是:
5 1 1 5 1 1 xk1 := t cos t 6 2 t 3 cos 2 t t 6 3 10 6 2 2 6 2 2
t5 cos 1 2 t1 t 6 5 cos 1 t 6 1 2 t 5 cos( 2 t ) 20 xk2 := 2 6 2 3 6 2 2
restart: dsolve({diff(x(t),t)=3-4*x(t)/(2000+2*t),x(0)=2},x(t)); simplify(%);
运行后得到的结果为
解和图形
x( t ) 2 3 2000000 3000000 3000t t t ( 1000 t )
500 0.2
2
400 0.15 300 0.1 200 0.05
100
50
100
150
200
50
100
150
200
含盐量
含盐率
Computer simulation
理论分析需要较多的数学基础，计算 机只需要四则运算和简单的编程。 输入初始值，取定步长 在每一个循环内 计算水的体积，含盐量，含盐率 判断是否达到给定的浓度 输出需要的结果 进行比较
的电流， 是通过
的电流，由基尔霍夫定律可建立以下方程组.
上面方程组第二式两边对t求导得
解得 (4.1.3)
3个弹簧连接2个物体运动的动画演示
两个物体之间连有弹簧，两个物体两端又分 别连接1个弹簧，两个弹簧的另一端又分别固 定在墙上。
将两个物体分别拉伸一段距离后放开物体， 弹簧-质量系统就会做往复运动，观察它们的 运动情况，列出它们的运动方程。
5 1 1 5 1 1 5 xk3 := t cos 2 t t 6 cos t 6 2 t cos( 2 t ) 30 2 6 2 3 6 2 2
5 1 1 5 1 1 xk4 := t cos t 6 2 t 3 cos 2 t t 6 3 40 2 2 6 2 6 2
(4.1.6)
上式左端表示被捕食者的相对增长率; 右端的常数 是其出生率 减去死亡率 当 因此 称为内禀增长率,
为环境的容纳量, 由 (4.1.6) 可以看出, 时,种群规模增长, 时, 种群规模减小. 反映了环境能保证食饵个体数量变化时最
合适的容量, 把(4.1.6) 改写形式 (4.1.7)
其中项
3
3
3
池水含盐量随时间变化的示意图
理论分析法 当系统开始运行后，池中的水和含盐量均随时间 变化。记x(t)为t时刻池水中含盐量，考察[ t, t+Δt]时间区间内盐的变化，这些变化是由于流入 的盐水和流出的盐水所引起的，于是有平衡方程: x(t+Δt)-x(t)=[6×0.5-4×x(t)/(2000+2t)]Δt 两边同时除以Δt,再令Δt趋于0得下面微分方程的 初始值问题。 dx(t)/dt=3- 4x(t)/(2000+2t) , x(0)=2. 利用Maple 求解此问题,指令为
计算机数值求解程序:Euler折线法(Maple)
restart: h:=1.; s[1]:=2.; w[1]:=2000.; r[1]:=s[1]/w[1]; t[1]:=h; y[1]:=(2000000+3000000*h+3000*h^2+h^3)/(1000+h)^2; for j from 2 to 200 do t[j]:=j*h; s[j]:=s[j-1]+0.5*6*h-4*h*r[j-1]; w[j]:=w[j-1]+2*h; r[j]:=s[j]/w[j]; y[j]:=(2000000+3000000*t[j]+3000*t[j]^2+t[j]^3)/(1000+t[j])^2; m:=floor(j/10); if (j/10-m<0.1) then tm[m]:=m; wm[m]:=w[j]; sm[m]:=s[j]; rm[m]:=r[j];ym[m]:=y[j]; end if; if (r[j]>0.2) then t02:=j*h; r02:=r[j]; break; end if; end do: for m from 1 to 18 do print("time",10*tm[m],"water",wm[m],"salt",sm[m],"salty", ym[m],"saltr",rm[m]); end do; print("time",j,"water",w[j],"salt",s[j],"salty",y[j],"saltr",r[j]);
5 1 1 5 1 1 5 xk5 := t cos 2 t t 6 cos t 6 2 t cos( 2 t ) 50 2 3 2 3 3 2 2
用maple 7 编写的动态演示图
Volterra 捕食-被捕食模型
设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中, 建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的 变化趋势. 设 t 时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为 假设个体不区分大小, 而且没有个体向环境输入或 从环境输出, 当环境中不存在捕食者时, 食饵种群的 增长规律用下述Logistic方程来描述
用maple 7 编写的系统的动态演示图
2个弹簧连接2个物体竖直运动的方程
用maple 7 编写的动态演示图
6个弹簧连接5个物体水平运动的方程
2 x1 ( t ) 2 x1 ( t ) x2 ( t ) 2 t
2 x2 ( t ) x3 ( t ) 2 x2 ( t ) x1 ( t ) 2 t 2 x3 ( t ) x4 ( t ) 2 x3 ( t ) x2 ( t ) 2 t 2 x4 ( t ) x5 ( t ) 2 x4 ( t ) x3 ( t ) 2 t 2 x5 ( t ) 2 x5 ( t ) x4 ( t ) 2 t
于是(4.1.7) 变为
对于捕食种群, 当不存在食饵种群时, 仍用Logistic 方程来描述增长规律, 即
当存在食饵种群时, 被捕食者吃掉的食饵将转化为 能量去生育后代, 设转化系数为 则捕食种群的
增长规律为
其中 捕食者仅以食饵 为生.
式中项
反映了
这样我们得到一个Volterra 捕食-食饵系统
计算结果
达到给定含盐率的时间：186分
0.20026
"time" , "water"2018. "salt"28.75063839"salty"31.66454269"saltr".01424709534 , 10 , , , , , , , "time" , "water"2038. "salt"57.92376168"salty"60.75355632"saltr".02842186540 , 20 , , , , , , , "time" , "water"2058. "salt"86.53981413"salty"89.28928268"saltr".04205044418 , 30 , , , , , , , "time" , "water"2078. "salt"114.6201693"salty"117.2928994"saltr".05515888802 , 40 , , , , , , , "time" , "water"2098. "salt"142.1851856"salty"144.7845805"saltr".06777177579 , 50 , , , , , , , "time" , "water"2118. "salt"169.2542631"salty"171.7835529"saltr".07991230552 , 60 , , , , , , , "time" , "water"2138. "salt"195.8458980"salty"198.3081492"saltr".09160238447 , 70 , , , , , , , "time" , "water"2158. "salt"221.9777314"salty"224.3758573"saltr".1028627115 , 80 , , , , , , , "time" , "water"2178. "salt"247.6665980"salty"250.0033667"saltr".1137128549 , 90 , , , , , , , "time" , "water"2198. "salt"272.9285684"salty"275.2066116"saltr".1241713232 , 100 , , , , , , , "time" , "water"2218. "salt"297.7789911"salty"300.0008116"saltr".1342556317 , 110 , , , , , , , "time" , "water"2238. "salt"322.2325311"salty"324.4005102"saltr".1439823642 , 120 , , , , , , , "time" , "water"2258. "salt"346.3032059"salty"348.4196100"saltr".1533672302 , 130 , , , , , , , "time" , "water"2278. "salt"370.0044195"salty"372.0714066"saltr".1624251183 , 140 , , , , , , , "time" , "water"2298. "salt"393.3489944"salty"395.3686200"saltr".1711701455 , 150 , , , , , , , "time" , "water"2318. "salt"416.3492017"salty"418.3234245"saltr".1796157039 , 160 , , , , , , , "time" , "water"2338. "salt"439.0167892"salty"440.9474761"saltr".1877745035 , 170 , , , , , , , "time" , "water"2358. "salt"461.3630080"salty"463.2519391"saltr".1956586124 , 180 , , , , , , ,