基于数学史的高中概率与统计的教学案例综述 2019年文档

高中数学教案：概率与统计的应用实例概率与统计是高中数学中的重要内容，也是数学知识在实际生活中的应用之一。

本文将以概率与统计的应用实例为背景，从不同角度介绍其在现实生活中的具体运用，并探讨其对我们日常生活和决策的重要性。

一、汽车保险费率的确定首先，我们来看一个与汽车保险相关的应用实例。

概率与统计可以帮助保险公司确定汽车保险费率。

保险公司需要根据过去发生事故的数据和驾驶员个人情况等因素来评估保险合同风险，并根据风险程度来确定相应的保险费率。

例如，假设某保险公司要确定年龄在25至30岁之间、有两年以上驾龄且拥有豪华轿车的客户发生事故的概率。

通过搜集大量客户数据以及他们最近几年内发生事故次数和驾龄等信息，可以利用统计方法对这些数据进行分析，并得出频率和概率分布。

通过对数据进行适当处理后，假设得到了某一特定区间内发生事故次数的分布：25岁至30岁之间有两年及以上驾龄的客户发生事故次数符合正态分布，均值为2次，标准差为0.5次。

那么在获得这一分布之后，保险公司可以通过概率计算得出该客户群体在某一时期内发生事故的概率。

基于这个概率和对风险的评估，保险公司可以制定不同的保险费率。

比如，对于一个驾驶员来说，如果他属于所述年龄段、驾龄满足要求，并且其事故频率低于平均水平，则其保险费率将被设定在较低的水平；反之，如果该驾驶员的事故频率高于平均水平，则保险费率可能会相应增加。

二、市场调研与新产品开发其次，我们将介绍概率与统计在市场调研和新产品开发中的应用实例。

当企业开发新产品或服务时，了解目标市场需求和顾客喜好是至关重要的。

而这些信息往往需要通过市场调研得到，并借助概率与统计方法进行分析。

以某电子产品公司为例，它希望了解消费者对一款新型智能手机功能特性的喜好程度。

为达到这个目的，公司可以通过搜集大量消费者对不同特性的评价数据，并利用统计方法进行分析。

假设通过市场调研收集到了1000份消费者对不同功能的满意度评价数据，其中包括拍照质量、电池续航能力、操作系统流畅度等关键功能特性。

高中数学教学备课教案概率与统计概述：本教学备课教案是为高中《概率与统计》这门课程编写的。

本教案将针对该门课程的主要内容进行详细的介绍，包括概率的基本概念、条件概率、贝叶斯定理、离散随机变量、连续随机变量、正态分布等重要内容，以及如何在教学中进行实践操作等方面进行探讨。

第一部分：概率的基本概念概率是概率论的基础，也是实际应用中的重要部分。

教学中，学生可以通过分组讨论的方式来了解概率的概念，进一步掌握事件出现的概率计算方式，并通过随机事件进行实践操作。

第二部分：条件概率与贝叶斯定理在学生掌握基本概念的基础上，通过介绍条件概率和贝叶斯定理来进一步拓展学生对概率的理解，让学生能够灵活地处理问题，对实际问题有更好的把握。

同样地，教学中也要加强实践操作，让学生能够更好地理解和应用这些知识点。

第三部分：离散随机变量与连续随机变量在学生理解概率的基础上，为了更好地应用概率学，需要进一步学习离散随机变量与连续随机变量。

教学中，要对这两种变量的定义及其计算方法进行详细讲解，并提示学生在实际问题中应用这些知识点的方法。

在理论讲解结束后，应重点强调实践操作，以便学生更好地理解并掌握其中的实际应用。

第四部分：正态分布正态分布是概率学中最重要的分布之一，被广泛应用。

在本课程中，利用正态分布的知识可以进一步实现概率学的应用。

通过使用实际问题引导学生进行正态分布的计算，掌握正态分布的相关定理和应用，提高学生在实际问题中的应用能力，以及针对实际问题提出有针对性的解决方法。

总结：本教学备课教案从基础的概率概念，到条件概率和贝叶斯定理，再到离散随机变量与连续随机变量以及正态分布的知识点，逐步拓展了学生的概率学知识。

强调了学生在应用概率学的过程中进行实践操作的重要性，提高了学生解决实际问题的能力。

本教案的设计不仅可以使学生对概率学有全面的认识和理解，而且能够对学生的综合能力的培养也起到了积极的推动作用。

高中统计与概率数学教案在当今信息爆炸的时代，数据无处不在。

高中生掌握统计与概率的知识，不仅能够更好地适应未来的学习和工作，还能培养其逻辑思维和分析问题的能力。

因此，一个合理设计的高中统计与概率数学教案至关重要。

接下来，我们将深入探讨一份精心设计的高中统计与概率数学教案范本。

教案的核心目标是让学生理解统计与概率的基本概念、方法和应用场景。

为了达成这一目标，教案分为以下几个部分：第一部分是引入。

通过生活中的例子，如天气预报中的降水概率、体育比赛中的胜负统计等，激发学生对统计与概率知识的兴趣。

同时，教师可以提出一些引人深思的问题，比如“为什么保险公司能够通过概率计算来确定保费？”这样的问题能够引导学生主动思考统计与概率的实际意义。

第二部分是基础知识的讲解。

在这一部分，教师需要系统地介绍统计学的基础概念，包括数据的收集、整理、分析和解释，以及概率的基本概念，如随机事件、概率的计算方法等。

此外，教师应该结合实际案例，如选举投票的统计分析，来帮助学生理解这些概念。

第三部分是实践操作。

学生需要在教师的指导下，通过实际的数据收集和分析练习来巩固所学知识。

例如，可以让学生设计一个简单的调查问卷，收集数据，并进行基本的统计分析。

此外，还可以通过模拟实验来教授概率的计算，如掷骰子、抽签等活动。

第四部分是综合应用。

在学生掌握了基础知识和实践操作之后，教师可以设计一些综合性的问题或项目，让学生运用所学的统计与概率知识来解决实际问题。

例如，可以让学生分析某项社会问题的调查数据，或者预测某个事件的可能结果。

最后一部分是总结反思。

在课程的最后，教师应引导学生回顾整个学习过程，总结统计与概率的关键知识点，并鼓励学生分享他们在学习过程中的体会和收获。

同时，教师也应该对学生的表现进行评价，给予积极的反馈和建设性的建议。

在整个教学过程中，教师应该注意以下几点：首先，要确保教学内容既系统又有趣，以保持学生的学习兴趣；其次，要注重理论与实践的结合，让学生在实践中学习和理解统计与概率的知识；再次，要鼓励学生积极思考和提问，培养他们的批判性思维能力；最后，要关注学生的个体差异，提供适当的指导和支持。

基于数学史的高中概率与统计的教学案例综述G633.6 一、数学史融于数学教学的相关研究综述张国定（2007）设计了海伦公式，正弦定理，勾股定理，二次方程求解问题，“数学归纳法”五个结合数学史的教学案例。

以课前三分钟“数学史话”的方式教学，将案例进行课堂教学检验。

发现这种方式提高了学生学数学的兴趣，成绩也有显著变化。

由此得出了提出问题-引导阅读（课外）-讨论交流-教师的概括与提升-进一步的阅读的教学模式。

雷晓莉（2008）设计了变量与函数，平面向量的数量积及运算；正弦定理；两角和与差的三角函数；等差数列前n项和；图形的初步认识；一次不定方程、方程组的解决；一元二次方程组的解法（配方法）八个结合数学史的案例。

并将案例在课堂进行检验。

研究结果表明，结合数学史的课堂教学，加深了教师对教学内容的理解和研究，提高了教师对教育理念的应用。

刘兴华（2009）从教学实践出发，结合问卷调查中发现的普遍问题，选定“无理数”、“勾股定理”、“相似三角形”三部分内容，给出不同教学内容的数学史料开发形式；根据教材中数学知识的教学结构体系，给出了数学史与教材内容重新整合的不同方式；在不同教学目标下，针对问卷中出现的数学史渗入教学的难点问题，结合不同授课类型，开发出三个数学史融入课堂教从页展示数学史视角下的体现数学思想方法的教学的教学设计。

．学设计。

在三个数学史融入课堂教学的设计中，给出数学史料在数学课堂中三个渗入形式。

由此，体现一定的课堂标准的教学理念，实现教材设置的教学目标。

朱凤琴，徐伯华（2010）在数学教育的整体框架下，综合考虑数学史与教学要素的关系，建构了许多融入模式，如诠释学模式、资源联络模式、历史―心理的认识论模式、三面向模式、“为何―如何”模式.这些模式对于我国的 HPM 本土化建设有以下多方面的启示：教师是数学史融入的主体；课程目标是数学史融入的方向；多角度分析是数学史融入的关键；数学史资源急待开发；HPM 应成为教师教育的重要内容。

高中数学教案: 概率论与统计介绍数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它不仅仅是一种工具和计算方法，更是一种思维方式和逻辑分析能力的培养。

在高中数学的课程中，概率论与统计是一门重要的分支，它在实际生活和学术研究中有着广泛的应用。

概率论与统计能帮助我们理解和解决随机事件和不确定性问题，提供了一种客观、科学的方法来处理信息和做出决策。

在这篇文章中，我将为您介绍高中数学教案中概率论与统计的主要内容和教学方法，希望能为您提供一些有用的指导和思路。

概率论的基础概念1. 什么是概率？概率是描述事件发生可能性的数学概念，它可以用一个介于0和1之间的数来表示。

当事件不可能发生时，概率为0；当事件必然发生时，概率为1。

在实际应用中，我们常常使用百分比或小数来表示概率。

2. 事件与样本空间在概率论中，我们将随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间。

样本空间中的元素被称为事件，而事件的概率就是事件所包含的样本点的数量与样本空间总样本点数目的比值。

3. 互斥事件与独立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况，即它们没有公共的样本点。

例如，掷一枚硬币的正面朝上和反面朝上就是互斥事件。

独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响的情况，即一个事件的发生概率不受另一个事件的发生与否的影响。

例如，两次掷骰子的结果就是独立事件。

概率计算方法1. 经典概型经典概型是指所有样本点出现的概率是相等的概率模型。

在经典概型中，可以通过事件发生的次数与总次数的比值来计算概率。

例如，一枚均匀硬币掷掷时，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。

2. 相对频率概率相对频率概率是通过实际试验来估计事件发生的概率。

通过多次试验，统计事件发生的频率，并将频率作为概率的估计。

例如，掷一个骰子，通过大量试验统计出每个点数出现的频率，可以得到每个点数的概率。

3. 随机事件的加法与乘法法则加法法则适用于互斥事件，即两个事件不能同时发生的情况。

加法法则表明，两个互斥事件的概率之和等于各自事件的概率之和。

高中数学概率与统计教案范本第一节：引言数学概率与统计是高中数学课程的重要组成部分，它能提供学生将现实问题转化为数学问题并进行有效分析的能力。

本教案的目标是通过讲授概率与统计的基本概念和方法，提高学生对数据的理解和应用能力。

第二节：教学目标1. 理解概率和统计的基本概念；2. 掌握概率计算的基本方法；3. 能够运用统计方法对数据进行分析；4. 培养学生的数据处理和解决实际问题的能力。

第三节：教学内容1. 概率的基本概念和性质；2. 概率计算的常用方法；3. 随机变量和概率分布；4. 统计的基本概念和方法；5. 数据的收集和整理。

第四节：教学方法1. 教师讲解法：通过讲解概念、定理和方法，向学生传授基本知识；2. 案例分析法：通过分析实际案例，引导学生运用所学知识解决问题；3. 讨论互动法：通过师生互动讨论，培养学生的思维能力和分析问题的能力。

第五节：教学重点1. 理解概率计算的基本方法；2. 掌握统计分析的基本过程；3. 运用所学知识解决实际问题。

第六节：教学步骤1. 导入：通过提问和举例的方式，引起学生对概率和统计的兴趣；2. 概念讲解：介绍概率和统计的基本概念，并说明其在现实生活中的应用；3. 理论学习：通过示意图和实例，讲解概率计算和统计分析方法；4. 案例分析：选取一些实际案例，引导学生运用所学方法进行分析和解决问题；5. 讨论互动：组织学生进行小组讨论，分享解决问题的思路和方法；6. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结和归纳，并提醒学生课后复习重点。

第七节：教学评价1. 课堂表现评价：根据学生的参与度、回答问题的准确性和与他人的互动评价学生在课堂上的表现；2. 作业评价：布置相关作业，检验学生对概率和统计的理解和应用能力；3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的积极性和合作能力。

第八节：延伸拓展为了提高学生学习概率与统计的兴趣，可以安排一些延伸活动，如参观相关企业或机构，举办数学模型设计比赛等，拓宽学生的数学视野。

高三数学教案学习概率与统计教案学习概率与统计概率与统计是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的考点之一。

为了提高高三学生对概率与统计的理解和应用能力，我们需要设计一份有效的数学教案。

本教案将围绕概率与统计的基本概念、计算方法以及相关应用展开。

一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.理解概率与统计的基本概念；2.掌握概率的计算方法，包括事件的概率计算、互斥事件和独立事件的概率计算等；3.掌握统计的基本方法，包括频数、频率和统计图的绘制等；4.了解概率与统计在现实生活中的应用。

二、教学准备1.教师准备：教案、教材、多媒体设备、统计学相关的实例、学生作业等。

2.学生准备：课本、笔记本、作业本。

三、教学过程1.引入（10分钟）教师通过设计问题，引导学生思考概率与统计在日常生活中的应用。

例如，“你们有没有在购物中遇到打折的情况？如何判断打折的商品真的划算？”2.知识讲解（30分钟）2.1 概率的基本概念教师通过简单的实例，引导学生了解概率的基本概念。

例如，“抛掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率是多少？为什么？”2.2 事件的概率计算教师介绍事件的概率计算方法，包括理论概率和频率概率的计算方法，并通过具体的问题进行演示。

2.3 互斥事件与独立事件教师讲解互斥事件与独立事件的概念和判定方法，并通过实例让学生进行探究。

2.4 统计的基本概念教师介绍统计的基本概念，包括频数、频率和统计图的绘制方法，并通过实际数据进行讲解。

3.练习（30分钟）教师设计一系列练习题，让学生独立或小组合作完成。

题目应包含概率的计算、互斥事件和独立事件的判断、统计图的绘制等。

教师可以提供不同难度的题目，以满足不同的学生学习需求。

4.扩展应用（20分钟）教师设计一些与现实生活相关的问题，引导学生将所学的概率和统计知识应用到实际问题中。

例如，“你们所在班级同学的身高分布是否符合正态分布？”学生可以通过调查收集数据并绘制统计图进行分析。

一、数学史融于数学教学的相关研究综述张国定(2007)设计了海伦公式,正弦定理,勾股定理,二次方程求解问题,“数学归纳法”五个结合数学史的教学案例。

以课前三分钟“数学史话”的方式教学,将案例进行课堂教学检验。

发现这种方式提高了学生学数学的兴趣,成绩也有显著变化。

由此得出了提出问题-引导阅读(课外)-讨论交流-教师的概括与提升-进一步的阅读的教学模式。

雷晓莉(2008)设计了变量与函数,平面向量的数量积及运算;正弦定理;两角和与差的三角函数;等差数列前n 项和;图形的初步认识;一次不定方程、方程组的解决;一元二次方程组的解法(配方法)八个结合数学史的案例。

并将案例在课堂进行检验。

研究结果表明,结合数学史的课堂教学,加深了教师对教学内容的理解和研究,提高了教师对教育理念的应用。

刘兴华(2009)从教学实践出发,结合问卷调查中发现的普遍问题,选定“无理数”、“勾股定理”、“相似三角形”三部分内容,给出不同教学内容的数学史料开发形式;根据教材中数学知识的教学结构体系,给出了数学史与教材内容重新整合的不同方式;在不同教学目标下,针对问卷中出现的数学史渗入教学的难点问题,结合不同授课类型,开发出三个数学史融入课堂教学的教学设计。

从页展示数学史视角下的体现数学思想方法的教学设计。

在三个数学史融入课堂教学的设计中,给出数学史料在数学课堂中三个渗入形式。

由此,体现一定的课堂标准的教学理念,实现教材设置的教学目标。

朱凤琴,徐伯华(2010)在数学教育的整体框架下,综合考虑数学史与教学要素的关系,建构了许多融入模式,如诠释学模式、资源联络模式、历史—心理的认识论模式、三面向模式、“为何—如何”模式.这些模式对于我国的HPM 本土化建设有以下多方面的启示:教师是数学史融入的主体;课程目标是数学史融入的方向;多角度分析是数学史融入的关键;数学史资源急待开发;HPM 应成为教师教育的重要内容。

崔海燕(2011)在“数学史选讲”部分设计了两个案例,分别是周髀算进与勾股定理,欧拉与高斯,在数学必修内容中对函数概念,等比数列求和,平面直角坐标系中的基本公式进行了数学史的案例设计。

概率与统计【2019年高考考纲解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．【重点、考点剖析】一、排列组合与计数原理的应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2.名称排列组合相同点都是从n 个不同元素中取m (m ≤n )个元素，元素无重复不同点①排列与顺序有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同①组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同二、二项式定理1．通项与二项式系数T r ＋1＝C a n －r b r ，其中C (r ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．rn r n 2．各二项式系数之和(1)C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n .0n 1n 2n n (2)C ＋C ＋…＝C ＋C ＋…＝2n －1.1n 3n 0n 2n 三、古典概型与几何概型1．古典概型的概率公式P(A)＝＝.m n 事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数2．几何概型的概率公式P(A)＝.构成事件A 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 四、相互独立事件和独立重复试验1．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率：P(B|A)＝.P ABP A2．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．独立重复试验、二项分布如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k)＝C p k(1－p)n －k ，k ＝0,1,2，…，n.k n 五、离散型随机变量的分布列、均值与方差1．均值与方差的性质(1)E(aX ＋b)＝aE(X)＋b ；(2)D(aX ＋b)＝a 2D(X)(a ，b 为实数)．2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E(X)＝p ，D(X)＝p(1－p)；(2)若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)．【题型示例】题型一　排列组合与计数原理例1、(1)[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)(2)[2018·浙江卷]从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)【解析】不含有0的四位数有＝720(个)．含有0的四位数有＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.【答案】1 260【方法技巧】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.【变式探究】(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18C．16 D．103解析：分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则1223122有C·A种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.选D.答案：D【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A．120种 B．156种C．188种 D．240种解析：解法一　记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，42323122313231323232312和5号，5和6号，其排法种数分别为A A，A A，C A A，C A A，C A A，故总编排方案有A A＋A A＋C A 2313231323A＋C A A＋C A A＝120(种)．解法二　记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，14231323则有C A A＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C A A＝36(种)；③当甲在31323号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C A A＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．答案：A【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A．120种B．156种C．188种D．240种(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为( )A．9 B．10 C．11 D．12答案　D解析　根据题意个位数需要满足要求：n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴个位数可取0,1,2三个数，∵十位数需要满足：3n<10，∴n<3.3，∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．【变式探究】　(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案　C223解析　若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A A＝12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A A ＝12(种)抢法；223若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A C ＝6(种)抢法； 223若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A ＝6(种)抢法．23根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )1234A.9种 B ．18种 C ．12种 D ．36种答案　B解析　若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．题型二 二项式定理例2、(1)[2018·全国卷Ⅲ]5的展开式中x 4的系数为( )(x 2＋2x )A ．10 B ．20C ．40 D ．80【解析】　5的展开式的通项公式为Tr ＋1＝C 5·(x 2)5－r ·r＝C 5·2r·x10－3r ，令10－3r ＝4，(x 2＋2x )r (2x )r得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 5·22＝40.2故选C.【答案】C【变式探究】(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案　16　4解析　a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C ·C ·2＋C ·C ·22＝16.31223232a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.【变式探究】(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案　660【变式探究】若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为( )A．22 018－1 B．82 018－1C．22 018 D．82 018【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.【答案】B【方法技巧】(1)利用二项式定理求解的两种常用思路①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．(2)【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②T r＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．【解析】　(1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ，13(4，13)∴P(X＝0)＝C ·4＝，P(X ＝1)＝C ··04(23)168114133＝，P(X ＝2)＝C ·2·2＝，P(X ＝3)＝C ·3·＝，P(X ＝4)＝C ·4＝.(23)328124(13)(23)248134(13)238814(13)181∴X 的分布列为X 01234P168132812481881181设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则n 01234P(X≤n)16814881728180811∵＜90%≤，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修72818081的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P(Y ＝18)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝，P(Y ＝13)＝P(X ＝3)＝，P(Y ＝8)＝P(X ＝4)＝，7281881181∴Y 的分布列为Y 18138P7281881181则E(Y)＝18×＋13×＋8×＝(万元)．7281881181 1 40881故该厂每月获利的均值为万元．1 40881【方法技巧】(1)求复杂事件概率的两种方法①直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．②间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．【变式探究】某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，23，，他们出线与未出线是相互独立的．3435(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.解析：(1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P(D)＝1－P()＝1－××＝.A －B －C － 1314252930所以ξ的分布列为ξ0123P1301360920310Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.130136092031012160题型五 离散型随机变量的分布列、均值与方差例5、[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【解析】(1)解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为＝0.025.502 000(2)解：设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P(A ＋B)＝P(A )＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．B A B A 由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解.【变式探究】(2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的期望达到最大值？解　(1)由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，P (X ＝200)＝＝0.2，2＋1630×3P (X ＝300)＝＝0.4，3630×3P (X ＝500)＝＝0.4.25＋7＋430×3则X 的分布列为X 200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n ≤500.当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ，因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n .当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ，因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n .所以当n ＝300时，Y 的期望达到最大值，最大值为520元．【变式探究】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A ，X≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示：X 15678P 0.4a b 0.1且X 1的数学期望EX 1＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：　3　5　3　3　8　5　5　6　3　4　6　3　4　7　5　3　4　8　5　3　8　3　4　3　4　4　7　5　6　7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为＝1，66∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为＝1.2，4.84又1.2＞1，∴乙厂的产品更具可购买性．。

高中数学备课教案概率与统计高中数学备课教案：概率与统计正文：1. 引言概率与统计是高中数学中的重要内容之一，对于学生的数学素养和实际问题的解决能力具有重要的影响。

为了帮助学生更好地掌握概率与统计的知识，本教案将围绕该主题展开，通过合理的教学安排和教学方法，提升学生的学习兴趣和成绩。

2. 教学目标2.1 知识目标通过本节课的学习，学生应该能够：- 了解概率与统计的基本概念和原理；- 掌握概率计算和统计分析的方法；- 运用概率与统计的知识解决实际问题。

2.2 能力目标- 培养学生的数学思维和逻辑推理能力；- 发展学生的数据分析和解决问题的能力；- 培养学生的合作学习和表达能力。

3. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 概率的基本概念和性质；- 概率计算的方法和技巧；- 统计数据的收集和整理；- 统计分析的方法和应用。

4. 教学步骤4.1 导入与引导在导入环节，教师可以通过展示一些有趣的概率问题或统计数据，引起学生的兴趣，激发他们学习的欲望。

例如，可以谈论某个明星的演唱会门票销售情况以及观众的性别比例等。

4.2 概念讲解与示例分析在这一步骤中，教师向学生讲解概率和统计的基本概念，并通过具体的示例分析，帮助学生理解和掌握相关知识。

例如，可以通过抛硬币的实验介绍概率的计算方法，以及通过调查问卷的方式收集统计数据。

4.3 计算练习与解析通过练习题的形式，让学生进行概率计算和统计分析的练习，并及时给予解析和指导。

例如，可以设计一些关于生日概率、抽奖问题等的计算题，让学生灵活运用所学知识。

4.4 实际问题的探究与解决通过引入一些实际问题，让学生应用概率与统计的知识解决问题。

例如，可以讨论彩票中奖概率、交通事故的统计分析等，培养学生的实际问题解决能力。

5. 教学评价通过作业、小组讨论、课堂练习等方式，对学生的学习情况进行评价和反馈。

例如，可以设计一些综合性的案例分析题，考察学生对概率和统计的综合应用能力。