2020-2021学年湖南省长沙市浏阳市九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。

而立之年督东吴，早逝英年两位数。

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2020-2021学年湖南省长沙市浏阳市九年级上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．关于反比例函数y =2x ，下列说法不正确的是（ ）
A ．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B ．它的图象在第一、三象限
C ．它的图象关于原点中心对称
D ．y 的值随着 x 的值的增大而减小
【解答】解：∵反比例函数y =2x ，
∴当x ＝﹣2时，y ＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A 正确； 它的图象在第一、三象限，故选项B 正确；
它的图象关于原点中心对称，故选项C 正确；
在每个象限内，y 的值随着x 的值的增大而减小，故选项D 不正确；
故选：D ．
2．如图，⊙O 的周长等于4πcm ，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是（ ）
A ．√3
B ．3√3
C ．6√3
D ．12√3
【解答】解：如图，连接OA 、OB ，作OG ⊥AB 于点G ，
∵⊙O 的周长等于4πcm ，
∴⊙O 的半径为：4π2π=2，
∵ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，。

湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．一元二次方程22023x x的两根之和是（-2022 2023．20242023．下列函数，y是的反比例函数的是（y=x2．20y=x的对称轴是直线（y-=3∠A．AC平分BAE=D．BC DE中，半径OA垂直于弦BC，点6．在O（）A ．．C ．．9．若方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）中，a +b +c =0和a ﹣b +c =0，则方程的根是（）A ．1，0B ．﹣11，﹣1D ．无法确定10．在平面直角坐标系xOy 中，点)23y ax =，，的图象如图所示，则值可以为（）A．0.7B．0.9C．2D．2.1二、填空题15．反比例函数y=则k的值为．16．某商场在“元旦”白色乒乓球各两个.顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖.那么顾客摸奖一次，得奖的概率是三、解答题=19．已知抛物线y ax(1)求a的值；x=时，求y的值．(2)当320．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有(1)求出两函数解析式；(2)根据图象，当x为何值时，对应的一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．22．现代互联网技术的广泛应用，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是月投递的快件总件数的增长率相同．()1求该公司投递快件总件数的月平均增长率；()2如果平均每人每月可投递快递成今年6月份的快递投递任务？24．关于x 的方程()22mx m x ++(1)求m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于存在，请说明理由．25．已知二次函数23y ax bx =+-物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 、DB ，判断BCD △(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得求出点P 的坐标及此时四边形PBCD。

2020-2021学年湖南省长沙市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数是无理数的是（）A．B．C．3.1415D．﹣52．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．3．（3分）近日，从探月工程在完成既定主任务后，嫦娥五号轨道器将开展拓展任务，启程飞往距离地球约1500000公里的日地拉格朗日L1点．将1500000用科学记数法表示为（）A．0.15×107B．1.5×107C．1.5×106D．15×105 4．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a3＝a9B．a6÷a3＝a2C．a3+a3＝2a6D．（a2）3＝a6 5．（3分）不等式组的整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°7．（3分）下列命题是真命题的是（）A．内错角相等B．旋转改变图形的形状和大小C．等边三角形是中心对称图形D．平行四边形对角线互相平分8．（3分）一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的函数值y随x增大而减小，那么该函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6＝（10﹣x）2B．x2﹣62＝（10﹣x）2C．x2+6＝（10﹣x）2D．x2+62＝（10﹣x）210．（3分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，AB上，AF＝DE，AF：FB＝1：2，DF与CE交于点M，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BC＝2BG，连接GM．有如：S四边形CNFB＝1：9；④∠ADF＝∠GMF．上下结论：①CE⊥DF；②；③S△ANF述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②④D．②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：2x2﹣8＝．12．（3分）平面直角坐标系中，将点A（3，﹣2）向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点A'的坐标是．13．（3分）小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的折线统计图．这6次成绩的中位数是．14．（3分）正十二边形每个内角的度数为．15．（3分）若圆锥的底面半径为4，高为3，则圆锥的侧面展开图的面积是．16．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，4），且与反比例函数的图象相交于B、C两点．若AB＝BC，则k1•k2的值为．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：，其中．19．（6分）如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60m．（1）求∠ACB的度数；（2）求线段CB的长度．20．（8分）为了解某校九年级全体男生100米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：成绩等级频数分布表成绩等级频数A24B10C xD2合计y（1）y＝，扇形图中表示C的圆心角的度数为度；（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若∠C＝60°，，求菱形ABEF的周长．22．（9分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？23．（9分）如图，点B是⊙C上的一点，点A是直径ED延长线上的一点，连接AB，EB，BD，且∠ABD＝∠E．（1）求证：直线AB是⊙C的切线；（2）当时，求tan E；（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝4，求⊙C的半径．24．（10分）定义：形如y＝|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做“翻折函数”．例如，函数y＝|x+1|，y＝||都是“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数．例如，可以将“翻折函数”y＝|x|写成分段函数的形式：y＝|x|＝．探索并解决下列问题：（1）将“翻折函数”y＝|2x﹣1|写成分段函数的形式；（2）若“翻折函数”函数y＝|﹣|的图象与直线y＝x+m恰有2个公共点，求m的取值范围；（3）已知函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．25．（10分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，AB＝4．（1）如图1，若点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，求证：△ABD≌△BCE；（2）在（1）问的基础上，当点D从点B运动到点C时，求点F的运动路径的长度；（3）如图2，点M在劣弧上运动（不与点A，B重合），四边形AMBC的面积S是线段MC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．2020-2021学年湖南省长沙市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：A、是无理数，故本选项符合题意；B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；C、3.1415是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D、﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：A、主视图是三角形，故不符合题意；B、主视图是矩形，故不符合题意；C、主视图是圆，故符合题意；D、主视图是正方形，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1500000用科学记数法表示为：1.5×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a3•a3＝a6，原式计算错误，故此选项不合题意；B、a6÷a3＝a3，原式计算错误，故此选项不合题意；C、a3+a3＝2a3，原式计算错误，故此选项不合题意；D、（a2）3＝a6，正确；故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，找出整数解即可．【解答】解：解不等式x+1≥2x﹣1，得：x≤2，解不等式4x+5＞2（x+1），得：x＞﹣1.5，则不等式组的解集为﹣1.5＜x≤2，所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，一共4个．故选：D．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°，∴∠3＝35°．∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝55°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．7．【分析】根据平行的性质、旋转变换的性质、中心对称图形的概念、平行四边形的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、旋转不改变图形的形状和大小，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、等边三角形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、平行四边形对角线互相平分，故本选项说法是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．【分析】根据题意和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的函数值y随x增大而减小，∴k＜0，∴一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选：A．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．9．【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．10．【分析】①证明△ADF≌△DCE即可判断；②利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可；③设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断；④作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴∠ADF＝∠DCE，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠DCE+∠CDF＝90°，∴CE⊥DF，故①正确；∵AB∥CD，∴，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴，∴，∵AC＝AB，∴AN＝AB，故②正确；设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，：S四边形CNFB＝1：11，故③错误；∴S△ANF作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，∴CH＝MH＝CM，∵GH⊥CM，∴GM＝GC，∴∠GMH＝∠GCH，∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，∴∠FMG＝∠DCE，∵∠ADF＝∠DCE，∴∠ADF＝∠GMF，故④正确，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明出以及MH＝CH．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．12．【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．【解答】解：根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是3+2＝5，故点A′的坐标是（5，﹣2）．故答案为：（5，﹣2）．【点评】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．13．【分析】根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．即可得解．【解答】解：由6次成绩的折线统计图可知：这6次成绩从小到大排列为：9.5，9.6，9.7，9.8，10，10.2，所以这6次成绩的中位数是：＝9.75．故答案为：9.75．【点评】本题考查了折线统计图、中位数，解决本题的关键是掌握中位数的定义．14．【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．【点评】本题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于360度，正确理解内角与外角的关系是关键．15．【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．【解答】解：因为圆锥的底面半径为4，高为3，所以圆锥的母线长＝＝5，所以圆锥的侧面展开图的面积＝•2π•4•5＝20π．故答案为20π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．【分析】由A的坐标可知一次函数的解析式为y＝k1x+4，根据相交得出k1x2+3x﹣k2＝0，得到再由AB＝BC，点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2＝2x1，列出x1，x2关系等式，据此可以求出k1•k2的值．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，4），令k1x+4＝，整理得k1x2+4x﹣k2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵AB＝BC，∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2＝2x1，∴x1+x2＝3x1＝﹣，x1x2＝2x12＝﹣，∴﹣＝（﹣）2，整理得，k1k2＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是运用好AB＝BC 这一条件，此题有一定的难度，需要同学们细心领会．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先计算乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减法．【解答】解：原式＝﹣1+﹣1﹣2×﹣4＝﹣6+＝﹣6．【点评】考查了三角函数，实数的运算，负指数幂等知识点，属于基础题，熟记相关计算法则和特殊值即可解答．18．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝x+2，当x＝﹣2时，原式＝﹣2+2＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19．【分析】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，利用等腰直角三角形的性质求出BH，再根据BC ＝2BH，可得结论．【解答】解：（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，∴∠ACB＝75°﹣45°＝30°．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝60（m），∵∠BCH＝30°，∴BC＝2BH＝120（m）．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．【分析】（1）根据B等级的频数和所占的百分比求出y，再用360°乘以C所占的百分比即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出同时抽到甲，乙两名学生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°．故答案为：40，36；（2）画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中同时抽到甲，乙两名学生的有2种，则同时抽到甲，乙两名学生的概率是＝．【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．21．【分析】（1）根据作图的过程可知EA平分∠BAD，根据平行四边形的性质可得BE＝BA，根据作图可知BA＝FA，得BE＝FA，证明四边形ABEF是平行四边形，进而可得四边形ABEF是菱形；（2）连接BF交AE于点O，结合（1）根据菱形的性质和∠C＝60°，，即可求菱形ABEF的周长．【解答】解：（1）证明：根据作图的过程可知：EA平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝BA，∵BA＝FA，∴BE＝FA，∵BE∥FA，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABEF是菱形；（2）如图，连接BF交AE于点O，∵四边形ABEF是菱形，∴BF⊥AE，BO＝FO，AO＝EO＝4，∠BEF＝∠C＝60°，∴∠BEO＝30°，∴OB＝OE＝4，∴BE＝2OB＝8，∴菱形ABEF的周长为4BE＝32．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质．22．【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，根据数量＝总价÷单价结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，根据题意得：＝×，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，∴x﹣1＝5．答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，根据题意得：6y+5（2y+60）≤2100，解得：y≤112，∵y为整数，＝112∴y最大值答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．23．【分析】（1）连接CB，利用已知条件说明CB⊥AB即可；（2）过点D作DH⊥AB于点H，利用，设AB＝4x，则BC＝3x，则AC＝5x，由于DH∥BC，利用平行线分线段成比例定理得到比例式，求得DH．AH，BH，则tan∠ABD可求，利用∠ABD＝∠E，tan E可得；（3）过点F作FM⊥CE于M，利用角平分线的性质定理可得FE＝BE；利用勾股定理分别在Rt△BDE和Rt△FME中用x表示出线段BD，BEFM，EM．最后在Rt△AFM中利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求得x的值，⊙C的半径可求．【解答】证明：（1）连接CB，如图，∵ED为圆的直径，∴∠DBE＝90°．∴∠CBD+∠CBE＝90°．∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠CBD+∠CEB＝90°．∵∠ABD＝∠E，∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．∴直线AB是⊙C的切线；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图，则DH∥BC．∵，∴设AB＝4x，则BC＝3x．∵AB⊥BC，∴AC＝＝5x，∵CD＝CB＝3x，∴AD＝AC﹣CD＝2x．∵DH∥BC，∴＝．∴，．∴DH＝x，AH＝x．∴BH＝AB﹣AH＝x，在Rt△BHD中，tan∠HBD＝．∵∠ABD＝∠E，∴tan E＝tan∠HBD＝．（3）过点F作FM⊥CE于M，如图，∵tan E＝，∴．由（2）知：AB＝4x，BC＝3x，AC＝5x，AD＝2x，∵CE＝CB＝3x，∴AE＝AD+CD+CE＝8x．∵AF是∠BAC的平分线，∴．∴FE＝BE．在Rt△BDE中，tan E＝＝，则BE＝2BD．∵BD2+BE2＝DE2，∴BD2+（2BD）2＝（6x）2．∴BD＝，∴BE＝2BD＝x．∴FE＝x．在Rt△BDE中，tan E＝＝，则ME＝2MF．∵FM2+ME2＝FE2，∴．∴FM＝x．∴ME＝2FM＝x，∴AM＝AE﹣ME＝（8﹣）x＝x．在Rt△AFM中，∵AM2+FM2＝AF2，∴．解得：x＝±（负数不合题意，舍去）．∴x＝．∴⊙C的半径CE＝3x＝．【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理及其推论，平行线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的应用，一元二次方程的解法．连接经过切点的半径和构造恰当的直角三角形是解题的关键．24．【分析】（1）根据题意，首先求出函数与x轴的交点坐标，确定取值范围，再写成分段函数形式；（2）结合函数图象，分析两个函数由三个或一个交点时的情况，求出临界值，确定m的取值范围；（3）结合函数图象，分情况讨论相似时的对应线段成比例，再根据x的取值范围，确定是否可以取到．【解答】解：（1）根据题意得，令y＝|2x﹣1|＝0，解得x＝，∴y＝|2x﹣1|＝；（2）令函数y＝|﹣|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，根据题意得y＝|﹣|＝，当函数y＝|﹣|的图象与直线y＝x+m恰有2个公共点时，直线y＝x+m在l1上方或在l2与l3之间，当直线y＝x+m与l1重合时，有三个交点，联立方程得﹣x2++1＝x+m，整理得：x2+x+2（m﹣1）＝0，有两个相等的实数根，Δ＝1﹣4×2（m﹣1）＝0，解得m＝，故m，当直线y＝x+m与l2重合时，有三个交点，将（﹣1，0）代入直线y＝x+m解得m＝1，当直线y＝x+m与l3重合时，有一个交点，将（2，0）代入直线y＝x+m解得m＝﹣2，此时﹣2＜m＜1，综上所述，m的取值范围为﹣2＜m＜1或m；（3）当x＝0时，y＝|﹣x2+2x+3|＝3，即F点（0，3）；当y＝0时，|﹣x2+2x+3|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即点M（﹣1，0），点N（3，0），根据题意得y＝|﹣x2+2x+3|＝，设点P的横坐标为x，当x＜﹣1时，根据题意得P（x，x2﹣2x﹣3），若△PMH∽△FMO，则＝＝3，即＝3，解得x1＝﹣1，x2＝0，均不符合题意舍去，若△PMH∽△MFO，则＝＝，即＝，解得x1＝﹣1，x2＝，均不符合题意舍去，当﹣1＜x＜3时，由题意得P（x，﹣x2+2x+3），若△PMH∽△MFO，则＝＝，即＝，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴点P（，），若△PMH∽△FMO，则＝＝3，即＝3，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝0（舍去），当x＞3时，根据题意点P（x，x2﹣2x﹣3），若△PMH∽△FMO，则＝＝3，即＝3，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝6，∴点P（6，21），若△PMH∽△MFO，则＝＝，即＝，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴点P（，），综上所述，点P（，），（6，21），（，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了学生对翻折函数的理解感悟能力，解题关键是能够结合函数图象，利用数形结合思想求解问题，在本题中也考查了三角形相似，二次函数与一元二次方程之间的关系，函数交点问题等，是一道好题．25．【分析】（1）利用边角边定理判定即可；（2）由（1）结论可得∠AFB＝120°，可知点F的运动路径为以AB为弦，所含的圆周角为120°的弧，利用弧长公式可求结论；（3）延长MA到H，使AH＝BM，连接CH，通过证明△CAH≌△CBM，可得四边形AMBC 的面积S等于△HMC的面积，△HMC为等边三角形，利用三角形的面积公式，结论可求．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCA＝60°．在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）．解：（2）∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠EBC．∵∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°，∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠EBC＝60°．∴∠AFB＝180°﹣∠AFE＝120°．∴点F的运动路径为以AB为弦，所含的圆周角为120°的弧．设这条弧的圆心为O′，如图，则∠AO′B＝120°，过点O′作O′M⊥AB于点M，AM＝BM＝AB＝2．∵O′A＝O′B，∴∠AO′M＝60°．在Rt△AO′M中，∵sin∠AO′M＝，∴AO′＝．∴点F的运动路径的长为．（3）四边形AMBC的面积S是线段MC的长x的函数．延长MA到H，使AH＝BM，连接CH，如图，∵∠HAC为圆内接四边形AMBC的外角，∴∠HAC＝∠MBC．∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC＝4．在△HAC和△MBC中，，∴△HAC≌△MBC（SAS）．＝S△MBC，∠HCA＝∠MCB，CH＝CM．∴S△HCA∴∠MBC+∠ACM＝∠ACM+∠HCA＝∠ACB＝60°．∴△HMC为等边三角形．∴∠HMC＝60°，MH＝MC＝x．过点C作CG⊥MH于点G，则CG＝CM•sin∠HMC＝x．∴＝．＝S△BMC+S△AMC，∵S四边形AMBC＝S△HAC+S△AMC＝S△HMC＝．∴S四边形AMBC∴四边形AMBC的面积S是线段MC的长x的函数，函数解析式为S＝．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形，等边三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，三角形的面积，圆的弧长公式．延长MA构造全等三角形是解题的关键．。

2020-2021学年湖南省长沙市九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．下列各组数的大小关系正确的是（）A．+0.3＜﹣0.1B．0＜﹣|﹣7|C．−√2＜−1.414D．−13＞−14【解答】解：A、+0.3＞﹣0.1，故本选项不符合题意；B、0＞﹣|﹣7|，故本选项不符合题意；C、∵1.4142＝1.999396，∴−√2＜−1.414，故本选项符合题意；D、−13＜−14，故本选项不符合题意；故选：C．2．随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣7【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．故选：D．3．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．（a•b）2＝a2•b2D．√a+√b=√a+b【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a6，不符合题意；C、原式＝a2b2，符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选：C．4．下列说法正确的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查B．一组数据6，5，3，5，4 的众数是5，中位数是3C．“367 人中必有2 人的生日是同一天”是必然事件D．一组数据10，11，12，9，8 的平均数是10，方差是1.5【解答】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，因破坏性强，范围广，采用抽样调查方式，第1 页共20 页。

2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8 2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥34．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝3896．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝12．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处米．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8【解答】解：将方程3x2＝﹣7x+8化为一元二次方程的一般形式为：3x2+6x﹣8＝7，其二次项系数、常数项分别为3、6．故选：D．2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（2，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜5，∴该反比例函数经过第二、四象限．故选：C．3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣3×3×m＞0，解得m＜6．故选：A．4．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴反比例函数的两个分支在二、四象限，y随x的增大而增大，∵2＞0，∴y1＜4，∵﹣2＜﹣1＜8，∴0＜y2＜y6，∴y1＜y2＜y2，故选：A．5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝389【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元2元，由题意，得：389（6+x）2＝438．故选：B．6．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%【解答】解：该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数是：×100%＝60%；故选：C．7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝【解答】解：∵∠A＝∠A，∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或AC：AB＝AP：AC或AC2＝AB•AP时，△ACP∽△ABC．故选：D．8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝【解答】解：由图可知，AC＝2；AB＝＝；根据三角函数的定义，A、tan B＝＝；B、cos B＝＝＝；C、sin B＝＝＝；D、sin B＝＝＝．故选：D．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC＝，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴EF＝AF，∴EF＝AE，∵点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EF＝DE，则DE＝3x，∴DF＝＝2x，∴tan∠BDE＝＝＝；故选：A．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15【解答】解：∵AE：ED＝2：1，∴AE：AD＝6：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴S△ABE：S△ACD＝4：7，∴S△ACD＝S△ABE，∵AE：ED＝5：1，∴S△ABE：S△BED＝2：4，∴S△ABE＝2S△BED，∴S△ACD＝S△ABE＝S△BED，∵S△ABC＝S△ABE+S△ACD+S△BED＝8S△BED+S△BED+S△BED＝S△BED，∴S△BDE：S△ABC＝2：15，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是甲．【解答】解：∵s甲2＝3.3，s乙2＝4.8，∴s甲2＜s乙2，∴小麦长势比较整齐的是甲，故答案为：甲．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为﹣2．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣7，x1x2＝k﹣4，x12+x42﹣x1x2＝（x1+x2）7﹣3x1x7＝4﹣3（k﹣7）＝13，∴k＝﹣2，经检验，k＝﹣2符合题意，故答案为：﹣5．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为3+．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故答案为：3+．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝1210．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠D＝∠B＝90o，∵∠DOC＝∠BOA，∴△AOB∽△COD，∴，∵AB＝3，BO＝4，∴，∴CD＝5，在Rt△DOC中，OC＝＝＝10，故答案为：10．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处2米．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴，即，解得AP＝4，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴，即，解得ED＝5，故答案为：2．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为﹣3．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．∵∠AOB＝30°，AD⊥OD，∴＝cot∠AOB＝，∵∠AOB＝30°，AB＝BO，∴∠AOB＝∠BAO＝30°，∴∠ABD＝60°，∴＝cot∠ABD＝，∵OB＝OD﹣BD，∴＝，∴＝，∵S△ABO＝，∴S△ADO＝|k|＝，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣8故答案为：﹣3．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．【解答】解：（1）4x2﹣121＝5，x2＝，所以x8＝﹣，x2＝；（2）整理得，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+3＝﹣3+9，即（x﹣7）2＝6，x﹣4＝±，所以x1＝5+，x2＝8﹣．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．【解答】解：（1）原式＝﹣×+×（）5＝﹣+＝；（2）原式＝3﹣3+2﹣+3×＝﹣2+2﹣+＝0．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）把A（﹣3，2）代入，∴反比例函数解析式为；把B（n，﹣6）代入，解得n＝5，∴B点坐标为（1，﹣6），把A（﹣7，2），﹣6）代入y4＝kx+b，得，解方程组得，∴一次函数解析式为y＝﹣5x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣7x﹣4＝﹣4，﹣4），∴△AOB的面积＝．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：根据题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴CA＝CB，∵CB＝50×2＝100（海里），∴CA＝100（海里），在Rt△ADC中，∠ACD＝60°，∴CD＝AC cos60°＝100×＝50（海里），答：船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB2＝DB•CE∴∴∴△ADB∽△EAC．（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∵∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D+∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC＝70°+40°＝110°．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣4＝8，合格所占百分比：5÷40×100%＝20%，优秀人数：12÷40×100%＝30%，如图所示：（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：20%+10%＝30%，所以估计成绩未达到良好有600×30%＝180（名）．23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（4＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（8﹣x）cm，由，得，整理得：x5﹣5x+4＝4，解得：x＝1或x＝4（舍）；答：8秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）设经过t秒后，PQ的长度等于2＝BP2+BQ7，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或4．则3秒后，PQ的长度为；（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于5cm2，即，，整理得：t2﹣7t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜8，则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．【解答】（1）证明：∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，∴∠F AB＝∠DAE，∵∠ABF＝∠D＝90°，∴△ADE∽△ABF；（2）①如图1，过点G作GH⊥BF于H，∵∠GHF＝∠C＝90°，∴GH∥EC，∵点G为EF的中点，∴FG＝GE，∴FH＝HC，∴EC＝2GH＝7y，∵DE+EC＝CD＝AB＝20，∴x+2y＝20，∴；②∵，∴设EC＝8k，BG＝5k，∵EC＝6GH，∴GH＝4k，由勾股定理得：BH＝3k，∴FH＝CH＝4k+10，∴FB＝6k+10，∵△ADE∽△ABF，∴，∵，x＝20﹣8k，∴，∴，∴；（3）如图2，连接BE，CD＝BC＝b．∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，设DE＝a，CD＝BC＝b，∵∠F AB＝∠EAD，AD＝AB，∴△ADE≌△ABF，∴BF＝DE＝a，∴，∵S＝b2，S＝5S1，∴b2＝4b2﹣a2﹣ab，∴b3﹣ab﹣a2＝0，∴，解得：，∴．。

2019-2020学年湖南省长沙市浏阳市九年级上学期期末考试
数学试卷解析版
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）已知反比例函数y=k
x，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）
A．k＞0B．k＜0C．k≥1D．k≤1
【解答】解：∵反比例函数y=k
x中，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
故选：B．
2．（3分）边长等于6的正六边形的半径等于（）
A．6B．3√3C．3D．3√2
【解答】解：正6边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴边长为6的正六边形外接圆半径是6，
即正六边形的半径长为6．
故选：A．
3．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
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2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡集团九年级第一学期第三次限时训练数学试卷一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．8月上映的战争题材影片《八佰》取材自“八百壮士”奉命坚守上海四行仓库的真实历史，呈现出平凡的中国军民共同奋勇抗战的热血情怀．截止10月17日，累计票房达到了30.81亿，登顶2020年度票房全球冠军．其中，30.81亿用科学记数法表示为（）A．30.81×108B．30.81×109C．3.081×109D．3.081×1083．点M（3，﹣2）与Q（a，b）关于y轴对称，则a+b的值为（）A．5B．﹣5C．1D．﹣14．下列说法：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1；②若2a2与3a x+1的和是单项式，则x＝1；③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7；④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．45．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．B．C．D．6．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）7．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（）A．B．C．D．8．已知抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，则函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21B．28C．34D．4210．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（）A．（3，3）B．（3，2）或（﹣3，﹣2）C．（3，3）或（﹣3，﹣3）D．（2，3）或（﹣2，﹣3）11．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．12．如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）A．B．C．2D．二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．小明用s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+…+（x10﹣6）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝．15．如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x轴于C、D，则k的值为．16．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝．三、解答题（共9小题，满分72分）17．计算：+（）﹣1﹣|﹣5|+sin45°．18．先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣6＝0．19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．20．某校组织八年级部分学生开展庆“五•四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．等级频数频率A40.08B20aC b0.3D110.22请根据所给信息，解答下列问题：（1）参加此次演讲比赛的学生共有人，a＝，b＝．（2）请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；（3）已知A等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．21．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y＝（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．（1）求k和m的值；（2）请直接写出：当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值？（3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．24．定义：若一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝同时经过点P（x，y）则称二次函数y ＝ax2+bx﹣k为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数y＝x+2与反比例函数y＝，都经过（2，4），则y＝x2+2x﹣8就是两个函数的“关联函数”．（1）判断y＝2x﹣1与y＝是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；（2）已知：整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，并且一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝存在“关联函数”y＝（a+c）x2+（10a﹣c）x﹣2021，求a的值．（3）若一次函数y＝x+m和反比例函数y＝在自变量x的值满足的m≤x≤m+6的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴相于点C，连接BC，已知点A（﹣2，0），BO＝4AO，tan∠OCB＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，求出此时点P和点D 的坐标；若不存在，请说明理由；②当以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求点P的坐标．参考答案一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．解：﹣3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；无理数有，π共2个．故选：B．2．8月上映的战争题材影片《八佰》取材自“八百壮士”奉命坚守上海四行仓库的真实历史，呈现出平凡的中国军民共同奋勇抗战的热血情怀．截止10月17日，累计票房达到了30.81亿，登顶2020年度票房全球冠军．其中，30.81亿用科学记数法表示为（）A．30.81×108B．30.81×109C．3.081×109D．3.081×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：30.81亿＝3081000000＝3.081×109．故选：C．3．点M（3，﹣2）与Q（a，b）关于y轴对称，则a+b的值为（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而可得答案．解：∵点M（3，﹣2）与Q（a，b）关于y轴对称，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5，故选：B．4．下列说法：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1；②若2a2与3a x+1的和是单项式，则x＝1；③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7；④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别根据倒数的定义，单项式的定义，绝对值的定义以及相反数的定义逐一判断即可．解：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1，说法正确；②若2a2与3a x+1的和是单项式，则x＝1，说法正确；③若|x|＝|﹣7|，则x＝±7，故原说法错误；④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1，说法错误，0的相反数是0．所以其中正确有①②共2个．故选：B．5．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．解：由题意可得，，故选：A．6．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．7．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解：∵共4个数，数字为偶数的有2个，∴指针指向的数字为偶数的概率为＝．故选：D．8．已知抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，则函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，得方程x2+2x﹣k﹣2＝0没有实数根，可以得到Δ＜0，从而可以得到k的取值范围，然后即可得到函数y＝的图象在哪个象限．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，∴方程x2+2x﹣k﹣2＝0没有实数根，∴△＝22﹣4×1×（﹣k﹣2）＝4k+12＜0，解得k＜﹣3，∴函数y＝的图象在二、四象限，故选：B．9．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21B．28C．34D．42【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（）A．（3，3）B．（3，2）或（﹣3，﹣2）C．（3，3）或（﹣3，﹣3）D．（2，3）或（﹣2，﹣3）【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标为（2，2），根据位似变换的性质计算，得到答案．解：∵矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），点P是BC的中点，∴点P的坐标为（2，2），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，则P1的坐标为（2×1.5，2×1.5）或（﹣2×1.5，﹣2×1.5），即（3，3）或（﹣3，﹣3），故选：C．11．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝7米，∠BAC＝α，利用锐角三角函数的定义即可求出BC的高度．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，∴tanα＝，∴BC＝AC•tanα＝2tanα，故选：B．12．如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）A．B．C．2D．【分析】连接DP，根据直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE ×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值．解：如图，连接DP，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB＝，∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，∴DE＝DF，PE⊥DE，∵PE＝PF，PD＝PD，∴△PED≌△PFD（SSS），∵⊙P的半径为，∴DE＝，当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，∴四边形PEDF面积的最小值为．故选：A．二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．小明用s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+…+（x10﹣6）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝60．【分析】根据方差的计算公式得出这组数据的平均数，再由平均数的定义求解可得答案．解：由s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+…+（x10﹣6）2]知这10个数据的平均数为6，所以x1+x2+x3+…+x10＝6×10＝60，故答案为：60．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝8cm．【分析】先根据垂径定理可得出CE的长度，再在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE 的长度，然后利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4（cm）在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE＝＝＝3（cm），∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为：8cm．15．如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x轴于C、D，则k的值为﹣．【分析】利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD＝2，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝S△AOD＝，所以•|k|＝，然后根据反比例函数的性质确定k的值．解：如图，∵第一象限内的点A在反比例函数y＝上，BC、AD垂直于x轴于C、D，∴S△AOD＝×4＝2，∵OA⊥OB，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，∵∠BCO＝∠ODA＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△OBC，∵，∴＝（）2＝，∴S△OBC＝S△AOD＝×2＝，∴•|k|＝，而k＜0，∴k＝﹣．故答案为﹣．16．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝3．【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG ＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．解：如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，即此时顶点E在边CD延长线上时，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．三、解答题（共9小题，满分72分）17．计算：+（）﹣1﹣|﹣5|+sin45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质和立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣2+2﹣5+×＝﹣2+2﹣5+1＝﹣4．18．先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣6＝0．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据方程x2﹣x﹣6＝0，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．解：＝（）＝＝x+3，由方程x2﹣x﹣6＝0，可得x1＝3，x2＝﹣2，当x＝3时，原分式无意义，∴x＝﹣2，当x＝﹣2时，原式＝﹣2+3＝1．19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：20．某校组织八年级部分学生开展庆“五•四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．等级频数频率A40.08B20aC b0.3D110.22请根据所给信息，解答下列问题：（1）参加此次演讲比赛的学生共有50人，a＝0.4，b＝15．（2）请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；（3）已知A等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；解：（1）参加演讲比赛的学生人数为4÷0.08＝50人，a＝20÷50＝0.4，b＝50×0.3＝15，故答案为：50、0.4、15；（2）扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数为360°×0.4＝144°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为＝．21．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B 地比原来少走多少路程．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×（千米），AC＝（千米），AC+BC＝80+40（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40千米；（2）∵cos30°＝，BC＝80（千米），∴BD＝BC•cos30°＝80×（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：（AC+BC）﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y＝（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．（1）求k和m的值；（2）请直接写出：当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值？（3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．【分析】（1）连接AD，与x轴交于点E，由四边形AODC为菱形，得到AE＝DE，OE ＝CE，根据D坐标确定出DE的长，确定出AE与OE的长，进而求出A的坐标，将A 坐标代入直线解析式求出m的值，代入反比例解析式求出k的值．（2）联立两函数解析式求出B坐标，根据A与B横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x的范围即可．（3）根据OC与AD的长，求出菱形ABCD的面积，设P（0，p），由OP为底，A横坐标为高表示出△OAP面积，根据△OAP的面积等于菱形OACD的面积，列出关于p的方程，求出方程的解即可得到p的值．解：（1）连接AD，与x轴交于点E，∵D（2，﹣3），∴OE＝2，ED＝3，∵菱形AODC，∴AE＝DE＝3，EC＝OE＝2，∴A（2，3），将A坐标代入直线y＝mx+1得：2m+1＝3，即m＝1，将A坐标代入反比例y＝得：k＝6．（2）联立直线与反比例解析式得：，消去y得：x+1＝，解得：x＝2或x＝﹣3，将x＝﹣3代入y＝x+1得：y＝﹣3+1＝﹣2，即B（﹣3，﹣2），则当x＜﹣3或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数值；（3）∵OC＝2OE＝4，AD＝2DE＝6，∴S菱形AODC＝OC•AD＝12，∵S△OAP＝S菱形OACD，即OP•OE＝12，∴设P（0，p），则×|p|×2＝12，即|p|＝12，解得：p＝12或p＝﹣12，则P的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．【分析】（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；（2）先证明△FEA∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例求出AF＝5，BF＝20，BE ＝2AE．再根据圆周角定理得出∠AEB＝90°，利用勾股定理列方程，即可求出AE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE＝∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，∴∠FEA＝∠OEB．∵∠AEB＝90°，∴∠FEO＝90°．∴EF是⊙O切线．（2）解：在△FEA与△FBE中，∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，∴△FEA∽△FBE，∴＝＝，∴AF•BF＝EF•EF，∴AF×（AF+15）＝10×10，解得AF＝5．∴BF＝20．∴＝，∴BE＝2AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝152，∴AE2+（2AE）2＝225，∴AE＝3．24．定义：若一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝同时经过点P（x，y）则称二次函数y ＝ax2+bx﹣k为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数y＝x+2与反比例函数y＝，都经过（2，4），则y＝x2+2x﹣8就是两个函数的“关联函数”．（1）判断y＝2x﹣1与y＝是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；（2）已知：整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，并且一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝存在“关联函数”y＝（a+c）x2+（10a﹣c）x﹣2021，求a的值．（3）若一次函数y＝x+m和反比例函数y＝在自变量x的值满足的m≤x≤m+6的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．【分析】（1）由题意联立y＝2x﹣1与y＝，解方程组即可得出“关联点”和“关联函数”；（2）由题意根据一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝，得到它们的关联函数，利用已知得出a，b，c的关系式，再利用整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，列出不等式，即可得出结论；（2）先写出它们的关联函数，求得它的对称轴为直线x＝﹣m，然后根据已知的自变量x的取值范围分三种情况讨论，即可求得．解：（1）存在“关联点”和“关联函数”，理由如下：由题意得：，解得：，．∴“关联点”为（﹣1，﹣3）或（，2），它们的“关联函数”为：y＝2x2﹣x﹣3．（2）由“关联函数”的定义可知：一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝的“关联函数”为：y＝（1+b）x2+（2a+2）x﹣2021，∵一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝存在“关联函数”y＝（a+c）x2+（10a﹣c）x﹣2021，∴，∴．∵整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，∴8a﹣2＜9a﹣3＜8a，∴1＜a＜3．∵a为整数，∴a＝2．（3）由题意得：一次函数y＝x+m和反比例函数y＝的“关联函数”为：y＝x2+mx ﹣m2﹣13．∴该函数的对称轴为直线x＝﹣m．①当m+6＜m，即m＜﹣4时，当x＝m+6时，函数取得最小值为6，即（m+6）2+m（m+6）﹣m2﹣13＝6．解得：m＝﹣17或m＝﹣1（舍去）．∴m＝﹣17．∴其“关联函数”的解析式为：y＝x2﹣17x﹣302．②当m＜﹣m＜m+6，即﹣4＜m＜0时，当函数在x＝﹣m处取得最小值6，∴﹣13＝6．此方程无解．③当m≥﹣m，即m≥0时，当x＝m处函数取得最小值为6，∴m2+m•m﹣m2﹣13＝6，解得：m＝±（﹣舍去）．∴m＝．∴其“关联函数”的解析式为：y＝x2+x﹣32．综上，其“关联函数”的解析式y＝x2﹣17x﹣302或y＝x2+x﹣32．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴相于点C，连接BC，已知点A（﹣2，0），BO＝4AO，tan∠OCB＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，求出此时点P和点D的坐标；若不存在，请说明理由；②当以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求点P的坐标．【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，利用待定系数法即可求得答案；（2）①如图1，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，运用待定系数法求得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（t，t2+t+4），则K（t，﹣t+4），可得PK＝t2+2t，由△PKD∽△BCO，可求得PD＝﹣（t﹣4）2+，利用二次函数的性质可得最值及此时t的值，即可求出答案；②如图2，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，交x轴于点H，设P（t，t2+t+4），则H（t，0），K（t，﹣t+4），利用△KBH∽△CBO，求得CD＝t2+t，再分两种情况：当△CPD∽△ACO时，当△CPD∽△ACO时，分别运用相似三角形性质即可求得答案．解：（1）∵点A（﹣2，0），∴AO＝2，∵BO＝4AO，∴OB＝8，B（8，0），∵＝tan∠OCB＝2，∴OC＝4，∴C（0，4），设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），将C（0，4）代入，得：﹣16a＝4，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝x2+x+4，故该抛物线解析式为y＝x2+x+4；（2）①存在．如图1，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，在Rt△BCO中，BC＝＝＝4，设直线BC解析式为y＝kx+d，∵B（8，0），C（0，4），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（t，t2+t+4），则K（t，﹣t+4），∴PK＝t2+t+4﹣（﹣t+4）＝t2+2t，∵PK∥y轴，∴∠PKD＝∠BCO，∵∠PDK＝∠BOC＝90°，∴△PKD∽△BCO，∴＝，即＝，∴PD＝﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+，∴当t＝4时，PD取得最大值，∴P（4，6），∴PD＝，设D（x，﹣x+4），∴（x﹣4）2+（﹣x+4﹣6）2＝（）2，解得：x1＝x2＝，∴D（，）；②如图2，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，交x轴于点H，设P（t，t2+t+4），则H（t，0），K（t，﹣t+4），∴BH＝8﹣t，KH＝﹣t+4，∵∠BHK＝∠BOC＝90°，∠KBH＝∠CBO，∴△KBH∽△CBO，∴＝，即＝，∴BK＝（8﹣t），由①知，PK＝t2+2t，PD＝﹣t2+t，∵△PKD∽△BCO，∴＝＝，∴DK＝﹣t2+t，∴CD＝BC﹣BK﹣DK＝4﹣（8﹣t）﹣（﹣t2+t）＝t2+t，当△CPD∽△ACO时，∴＝，∴OC•CD＝OA•PD，即4（t2+t）＝2（﹣t2+t），解得：t＝0（舍去）或t＝3，∴P（3，）；当△CPD∽△CAO时，∴＝，∴OA•CD＝OC•PD，即2（t2+t）＝4（﹣t2+t），解得：t＝0（舍去）或t＝6，∴P（6，4）；综上所述，点P的坐标为（3，）或（6，4）．。

2020—2021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项）1．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=. 使△ADE与△ACB一定相似的是A．①②B．②③C．①③D．①②③2. 如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点. 如果∠ACB=45°，那么AB的长为A．πB．2πC．3πD．4π3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为A．1 B．12C．14D．154．如图，数轴上有A、B、C三点，点A、C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，如果点A、B、C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，那么原点O的位置应该在A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点5. 如图，P A和PB是⊙O的切线，点A和点B为切点，AC是⊙O的直径. 已知∠P=50°，那么∠ACB的大小是A．65°B．60°C．55°D．50°6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为80米．如果设河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是A．1802xx=+B．180xx=+C．802xx=+D．803xx=+cCBA7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛， 要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同. 上述说法中，正确的序号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x 是 A ．4 B ．4.5C ．5D ．6二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB =4，AD =2，DE =1.5， 那么BC 的长为_________．10.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()214y x =--+的图象如图，将二次函数()214y x =--+的图象平移，使二次函数()214y x =--+的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________.11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm ，则直尺的宽度为____cm.12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a = ，b = ．13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y 美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是________________________. 图书种类 频数 频率 科普常识 210 b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他360.06x s ()y m ()182014O yx4O 1EDBCA二班一班成绩/分109876109876543201514. 如图，直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，AC 边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm 的矩形纸条， 如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC 的长 度是____cm ．15. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a ，b 的值：a =______，b =________.16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ． 作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接P A ； （2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径 作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交P A 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________． 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：(4cos30π1︒+--.18. 已知:如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC . 求证：点D 平分BC .19．如图，在□ABCD 中，连接DB ，F 是边BC 上一点，连接DF 并延长，交AB=∠A ． （1）求证：△BDF ∽△BCD ；（2）如果BD =9BC =，求ABBE的值． 图1aaP20. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是菱形外一点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形DECO 是矩形；（2）连接AE 交BD 于点F ，当∠ADB =30°，DE=2时，求AF 的长度．21．如图，直线2y x =+与反比例函数()00ky k x x=>>，的图象交于点A （2，m ），与y 轴交于点B .（1）求m 、k 的值；（2）连接OA ，将△AOB 沿射线BA 方向平移，平移后A 、O 、B 的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数()0ky k x=>的图象上时，求点O' 的坐标； （3）设点P 的坐标为（0，n ）且04n <<，过点P 作平行于x 轴的直线与直线2y x =+和反比例函数()0ky k x=>的图象分别交于点C ，D ，当C 、D 间距离小于或等于4时，直接写出n 的取值范围．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长．23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，30CAB ∠=︒，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点E （点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB =6 cm ，设A 、D 两点间的距离为x cm ，C 、D 两点间的距离为1y cm ，E 、C 两点间的距离为2y cm ． 小雪根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整； x /cm 0 1 2 3 4 5 61y /cm5.20 4.36 3.60 2.65 2.65 2y /cm5.204.564.224.244.775.606.00 （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y ），（x ，y ），并画出函数y 的图象；y 2cm6543学生选修课程条形统计图学生选修课程扇形统计图25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2. （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)；（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接 写出a 的取值范围．26. 如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG .（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________；（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF .①在图2中，依据题意补全图形； ②求证:DF =.图2图127. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在⊙C上存在一点M，使30MPC∠=︒，则称点P为⊙C的特征点．（1）当⊙O的半径为1时，如图1.①在点P1（-1，0），P2（1，P3（3，0）中，⊙O的特征点是______________．②点P在直线y b=+上，若点P为⊙O的特征点，求b的取值范围．（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A（-2，0），B（0，．若线段AB上的所有点都是⊙C的特征点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．2020—202021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 312. 150，0.3513. ()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411+-， ………………… 4分 =11+-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分 ∵OD ∥AC ，∴OD ⊥CB ，. …………………5分 ∴点D 平分BC . ………………… 6分 另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . ………………… 1分 ∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. ………………… 2分 ∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD . ………………… 3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BF BDBD BC =. ………………… 4分9=.∴5BF=. …………………5分∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB.∴CF DCBF BE=.∴45ABBE=. …………………6分20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ………………1分∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DECO是平行四边形.∴四边形DECO是矩形. ………………2分（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO OC=.∵四边形DECO是矩形，∴DE OC=.∴2DE AO==. ………………3分∵DE∥AC，∴OAF DEF∠=∠.∵AFO EFD∠=∠，∴△AFO≌△EFD.∴OF DF=. ………………4分在Rt△ADO中，tanOAADBDO∠=.∴2DO=.∴DO=………………5分∴FO=∴AF===. ………………6分方法二：∴△AFO≌△EFD.在Rt △ACE 中，AC =4，CE =OD=∴AE=∴AF =12AE. 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. ……………… 1分 ∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数ky x=中， ∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O'的坐标为（. ……………… 5分（3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .在Rt △ABD 中， ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB =. ∴6AB =. ……………… 5分 ∴3OC =. 在Rt △COF 中， ∴3sin 5OC F OF ==. ∴335OF =. ∴5OF =. ……………… 6分 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G .23. 解：（1）40，108︒； ……………… 2分 （2）条形统计图补充正确； ……………… 4分 （3）列表法或画树状图正确： ……………… 5分∴P （AC ）=126=. ……………… 6分 24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧，∴A ()10,，B ()30, 把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，y 2cm 65432∴3m a =. ……………… 2分（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ……………… 3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分 （3）32a -<-≤或2<3a ≤. ……………… 6分26. （1）BF =． ……………… 1分（2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠. ∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ……………… 5分 ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ……………… 6分 ∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF =.∴DF =. ……………… 7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F . ∴E （0，b ），F，0），OC ⊥EF .∴3tan OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==，∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分 ∴b 的取值范围是44b -≤≤． ……………… 6分 （2）∴m 的取值范围为22m -<≤. ……………… 7分。

2024年上学期九年级调研考试数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项、本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数中绝对值最小的是（ ）A ．2B ．C ．0D2．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）A ． B． C ． D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．方程x （x +2）＝0的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝﹣2D ．x 1＝0，x 2＝25．已知，将一块直角三角板如图放置，使直角顶点位于直线和之间，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，直线y1=mx 经过P （2，1）和Q （-4，-2）两点，且与直线y2=kx+b 交于点P ，则不等式kx+b ＞mx 的解集为（ ）3-2-=()2211a a +=+()325a a =2322a a a ⋅=AB CD ∥AB CD 1∠=α2∠=90α︒-180α︒-α45a -︒A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞-4D ．x ＜-47．如图，O 为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）AB ．C ．D ．8．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）A ．15B．12πC ．15πD ．30π9．我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为4的圆与y 轴交于点B ，点A （8，4）是圆外一点，直线AC 与⊙O 切于点C ，与x 轴交于点D ，则点C 的坐标为（ ）A ．（）B ．（，）ABCD AC ACE △2AB =OE x 24015012240x x +=⨯24015012240x x -=⨯24015012150x x +=⨯24015012150x x -=⨯-12585-C ．（，）D ．（-2）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：a 2﹣16b 2＝ ．12．计算： ．13．低空经济作为战略性新兴产业，中商产业研究院分析师预测，2024年市场规模将达5035亿元．请将5035亿元用科学记数法表示为 元．14．以下命题：（1）如果，那么（2）等弧所对的圆周角相等（3）对应角相等的两个四边形是相似四边形（4）方程有两个不相等的实数根（5）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．真命题共有 个．15．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是米．16．如图：在平面直角坐标系中，的顶点，，对角线与相交于点，函数经过点，则 ．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算： .18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．165125-()()()a a b a b a b ab +-+--=22a b =a b =2310x x +-=y x 20.51038y x x =-+-OABC (5,0)A (1,3)C AC OB D k y x=D k =()1013tan 3032π-⎛⎫+︒+- ⎪⎝⎭31432x x x ->-⎧⎨<+⎩19．先化简，再求值：，其中．20．如图，在中，，是通过如图的作图痕迹作图而得，，交于点．(1)求证：．(2)若，求的度数．21．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，）b ：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m 八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭2023x =ABC AB AC =CD DE BC ∥AC E DE CE =32CDE ∠=︒A ∠5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤080x ≤<(1)七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图；(2)表中m 的值为______；(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．22．为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？23．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．③可得到．老师请同学们讨论说明理由．三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．24．如图，锐角内接于，，射线经过圆心并交于点，连接，，与的延长线交于点．6090x ≤<30︒ABCD AD BC EF A EF B BM BN l 2330∠∠∠===︒AN ABN MN NH =EBN △12330∠=∠=∠=︒ABC O AB AC =BE O O D AD CD BC AD F(1)求证：平分．(2)若，的长．(3)若，半径为4，直接写出阴影部分的面积．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB 面积是△PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，交AB 于点D ．记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．DF CDE ∠1tan 2ACD ∠=O DF 30F ∠=︒O 2y ax bx =+PD BO ∥1S 2S 3S 1223S S S S +参考答案与解析1．C 【分析】本题主要考查了绝对值、实数比较大小等知识，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先确定各数的绝对值，比较大小即可获得答案．【解答】解：∵，，又∵，∴绝对值最小的是0．故选：C ．2．D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，故选:D．【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．D【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．【解答】解：A.B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D.【点拨】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．4．C【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：x （x +2）＝0，∴x ＝0或x +2＝0，解得x 1＝0，x 2＝﹣2．故选：C ．21=33-=00=012<<<()22112a a a +=++()326a a =2322a a a ⋅=【点拨】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．5．A【分析】设直角三角板的三个顶点分别为E ，G ，H ，过点E 作，可得，根据平行线的性质可得，即可求解．【解答】解：如图，设直角三角板的三个顶点分别为E ，G ，H ，过点E 作，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．6．B【分析】从图象确定kx+b ＞mx 时，x 的取值范围即可．【解答】解：从图象可以看出，当x ＜2时，kx+b ＞mx ，故选B ．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x 的值，是解答本题的关键．7．A【分析】如图，，则；由等边三角形，得，，得．【解答】如图，，则∵是等边三角形，O 是中点EF AB ∥AB EF CD ∥∥1,2GEF FEH ∠=∠∠=∠EF AB ∥AB CD ∥AB EF CD ∥∥1,2GEF FEH ∠=∠∠=∠1290GEF HEF GEH ∠+∠=∠+∠=∠=︒1∠=α290α∠=︒-2AB =AC ==EO AC ⊥OA =Rt AOE △OE =2AB =AC ==ACE △AC∴， 中，故选A ．【点拨】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形；根据图形性质识别直角三角形，进而运用解直角三角形知识是解题的关键．8．C【分析】求出底面周长，即为侧面展开图的弧长，利用扇形面积公式即可求解．【解答】解：圆锥侧面积为，故选：C ．【点拨】本题考查求圆锥侧面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．9．D【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设快马天可以追上慢马，根据“天快马行走路程天慢马行走路程慢马先走12天行走路程”，列出方程即可．【解答】解：设快马天可以追上慢马，可列方程为．故选：D ．10．C【解答】解：作 AE ⊥x 轴于 E ，CH ⊥x 轴于 H ，连接 OC ，如图，∵B （0，4），A （8，4），∴AB ＝8，AE ＝OB ＝4，AB ⊥y 轴，∴AB 为⊙O 的切线，EO AC ⊥OA =Rt AOE △tan 60OE OA =⋅︒==12S lr =1235152ππ⨯⨯⨯=12S lr =x x -x =x 24015012150x x -=⨯∵直线 AC 与⊙O 切于点 C ，∴OC ⊥AC ，AC ＝AB ＝8，在△OCD 和△AED 中，∴△OCD ≌△AED ，∴OD ＝AD ，设 OD ＝x ，则 AD ＝x ，DE ＝8﹣x ，在 Rt △ADE 中，（8﹣x ）2+42＝x 2，解得 x ＝5，∴OD ＝5，DE ＝CD ＝3，∵ CH •OD ＝OC •CD ，∴CH ＝＝，在 Rt △OCH中，OH ，∴C 点坐标为（，）．故选C ．【点拨】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质．11．（a +4b ）（a -4b ）【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（a +4b ）（a -4b ）．故答案为：（a +4b ）（a -4b ）．【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据单项式乘多项式法则、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可．【解答】解：．==ODC ADE OCD AED OC AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩1212345⨯125165165125-2b ()()()a a b a b a b ab+-+--222a ab a b ab=+-+-2b =故答案为：．13．【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此即可获得答案．【解答】解：5035亿．故答案为：．14．3【分析】本题主要考查了判断命题真假，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平方根的性质、圆周角定理、相似多边形的判定条件、一元二次方程的根的判别式、菱形的判定条件，逐一分析判断即可．【解答】解：（1）如果，那么或，故原命题是假命题；（2））等弧所对的圆周角相等，是真命题；（3）对应角相等，且对应边成比例的两个四边形是相似四边形，故原命题是假命题；（4）对于方程，因为，所以该方程有两个不相等的实数根，该命题是真命题；（5）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，该命题是真命题．综上所述，真命题共有3个．故答案为：3．15．12【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案．【解答】解：∵，又∵，∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米．故答案为：12．16．4.5【分析】本题主要考查了待定系数法则求反比例函数解析式、平行四边形的性质、坐标与图形等知识，确2b 115.03510⨯a n 10n a ⨯110a ≤<n n a n 10≥n 1<n 11503500000000 5.03510==⨯115.03510⨯22a b =a b =a b =-2310x x +-=()23411130∆⨯-=-=⨯>()220.510380.51012y x x x =-+-=--+0.50a =-<10x =定点的坐标是解题关键．根据平行四边形“对角线相互平分”的性质可得，进而可得，将点的坐标代入反比例函数解析式并求解即可．【解答】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵，，∴，∵函数经过点，即有，解得．故答案为：4.5．17．【分析】将二次根式化为最简二次根式，再用幂的运算公式及特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则及特殊角的三角函数值是解题的关键．18．，见解答【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后将其表示在数轴上即可．【解答】解：，解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，∴该不等式的解集为 ，将解集在数轴上表示出来如下图：D OA OC =()3,1.5D D OABC OA OC =(5,0)A (1,3)C ()3,1.5D k y x =D 1.53k = 4.5k =3231=+-3=+-3=11x -<<31432x x x ->-⎧⎨<+⎩①②1x >-1x <11x -<<19．，．【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算即可．【解答】，当时，原式．20．(1)见解答(2)【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）由作图可知，为的平分线，易得，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，进而可得，即可证明结论；（2）首先证明，结合为的平分线，易得，再根据可得，然后根据三角形内角和定理求解即可．【解答】（1）证明：由作图可知，为的平分线，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，11x +120242221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()()2111111x x x x x x x +-⎛⎫=-÷ ⎪--+-⎝⎭()()()211111x x x x +-=⨯-+11x =+2023x =1111202312024x ===++52︒CD ACB ∠BCD ACD ∠=∠EDC BCD ∠=∠EDC ACD ∠=∠32BCD CDE ∠=∠=︒CD ACB ∠264ACB BCD ∠=∠=︒AB AC =64ABC ACB ∠=∠=︒CD ACB ∠BCD ACD ∠=∠DE BC ∥EDC BCD ∠=∠EDC ACD ∠=∠DE CE =32CDE ∠=︒32BCD CDE ∠=∠=︒∵为的平分线，∴，∵，∴，∴．21．(1)38，理由见解析(2)77(3)甲(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；（2）根据中位数的计算方法求解即可；（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．【解答】（1）解：由题意可得：70≤x <80这组的数据有16人，∴七年级抽取成绩在60≤x <90的人数是：12+16+10=38人，故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；（2）解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，∴七年级中位数在70≤x <80这组数据中，∴第25、26的数据分别为77，77，∴m=，故答案为：77；CD ACB ∠264ACB BCD ∠=∠=︒AB AC =64ABC ACB ∠=∠=︒()18052A ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒7777772+=（3）解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，故答案为：甲；（4）解：（人）答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．【点拨】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．22．（1）购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；（2）这所中学最多可购买20副羽毛球拍．【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x 元，一副羽毛球拍y 元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．（2）设可购买a 副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a ）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．【解答】（1）设购买一副乒乓球拍x 元，一副羽毛球拍y 元，由题意得，，解得：．答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．（2）设可购买a 副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a ）副，由题意得，60a+28（30﹣a ）≤1480，解得：a≤20，答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．23．(1)(2)选择小彤的方法说明，理由见解答【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；（2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线84006450⨯=211632204x y x y +=⎧⎨+=⎩2860x y =⎧⎨=⎩13l 2330∠∠∠===︒、、A B C AN AE BE =90AEN BEN ∠=∠=︒BA BN =12∠=∠的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论．【解答】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；（2）选择小彤的方法说明，理由如下：连接，如下图，由折叠的性质可得，，，，，∴垂直平分，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形．24．(1)见解答(2)6AN BN =ABN 112302ABN ∠=∠=∠=︒90ABC ∠=︒330ABC ABN ∠=∠-∠=︒、、A B C 3193P ==l 2330∠∠∠===︒AN AE BE =90AEN BEN ∠=∠=︒BA BN =12∠=∠EN AB AN BN =BA BN AN ==ABN 60ABN ∠=︒112302ABN ∠=∠=∠=︒ABCD 90ABC ∠=︒330ABC ABN ∠=∠-∠=︒l 2330∠∠∠===︒ABN(3)【分析】（1）首先根据圆内接四边形的性质证明，再证明，易得，即可证明结论；（2）首先根据三角形函数定义以及“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，易得，在中，由勾股定理解得，，，证明，由相似三角形的性质解得，然后由求解即可；（3）连接，过点作于点，证明，进而可证明为等边三角形，然后由求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形为的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴平分；（2）∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，又∵83π-CDF ABC ∠=∠ADB CDF ∠=∠CDF EDF ∠=∠1tan tan 2AD ACD ABD AB ∠=∠==2AB AD =Rt △ABD 2AD =4AB =BAD FAB ∽8AF =DF AF AD =-OA O OH AD ⊥H 60AOD ∠=︒OAD △AOD OAD S S S =- 阴影扇形ABCD O 180ABC ADC ∠+∠=︒180CDF ADC ∠+∠=︒CDF ABC ∠=∠ AB AB =ACB ADB Ð=ÐAB AC =A ABC CB =∠∠ADB CDF ∠=∠ADB EDF ∠=∠CDF EDF ∠=∠DF CDE ∠BD O 90BAD ∠=︒ AD AD =ABD ACD ∠=∠1tan tan 2AD ACD ABD AB ∠=∠==2AB AD =O∴∴在中，，解得，∴，由 （1）可知，，，∴，∴，即，解得，∴；（3）如下图，连接，过点作于点，∵是的直径，，∴，即，∴由（1）可知，，又∵，∴，∴，又∵，半径为4，∴为等边三角形，∴，，∵，∴，BD =Rt △ABD ()(22222222520BD AD AB AD AD AD =+=+===2AD =24AB AD ==ADB ACB ABC ∠=∠=∠BAD FAB ∠=∠BAD FAB ∽AB AD AF AB=424AF =8AF =826DF AF AD =-=-=OA O OH AD ⊥H BD O 30F ∠=︒90BCD ∠=︒CD BF ⊥9060CDF F ∠=︒-∠=︒60ADB EDF CDF ∠=∠=∠=︒90BAD ∠=︒9030ABD ADB ∠=︒-∠=︒260AOD ABD ∠=∠=︒OA OD =O OAD △4OA OD AD ===60OAD ∠=︒OH AD ⊥sin 4sin 60OH OA OAD =⨯∠=⨯︒=∴，∴【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键．25．(1)(2)存在，或（3，4）(3)存在，【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂足为E ．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．【解答】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代入，得，解得．所以抛物线的解析式为．（2）设直线AB 的解析式为，11422OAD S AD OH =⋅=⨯⨯= 260843603AOD OAD S S S ππ︒=-=⨯⨯-=-︒ 阴影扇形241633y x x =-+162,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9841633y x =-+PAB PNB PNA S S S =+△△△32PN =()()2416,1433P m m m m -+<<()416,33N m m -+()()2416416833333PN m m m =-+--+=m OBC PDC ∽1223S S CD PC S S BC OC +=+2PD OB=,B P x ,F E PE AB Q D x PE G DPG OBF ∽()()2416,1433P m m m m -+<<()416,33D n n -+416,33G m n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭PD DG OB OF =244n m m =-+1223S S CD PC S S BC OC +=+2DG OF =2159228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2y ax bx =+16404a b a b +=⎧⎨+=⎩43163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩241633y x x =-+()0y kx t k =+≠将A （4，0），B （1，4）代入，得，解得．所以直线AB 的解析式为．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂足为E ．所以．因为A （4，0），B （1，4），所以．因为△OAB 的面积是△PAB 面积的2倍，所以，．设，则．所以，即，解得，．y kx t =+404k t k t +=⎧⎨+=⎩43163k t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩41633y x =-+PAB PNB PNAS S S =+△△△1122PN BE PN AM =⨯+⨯()12PN BE AM =⨯+32PN =14482OAB S =⨯⨯=△3282PN ⨯=83PN =()()2416,1433P m m m m -+<<()416,33N m m -+()()2416416833333PN m m m =-+--+=24201683333m m -+-=12m =23m =所以点P 的坐标为或（3，4）．（3）记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为，，．则如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，，设直线AB 的解析式为．设，则162,3⎛⎫ ⎪⎝⎭PD BO∥OBC PDC∴ ∽CD PD PC BC OB OC∴==1S 2S 3S 1223S S CD PC S S BC OC +=+2PD OB =,B P x ,F E PE AB Q D x PE G()1,4B ()1,0F ∴1OF ∴=,PD OB DG OF∥∥ DPG OBF∴ ∽PD PG DG OB BF OF∴==()()2416,1433P m m m m -+<< 41633y x =-+()416,33D n n -+416,33G m n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24164163333PG m m n =-++-()24443m m n =--+整理得时，取得最大值，最大值为【点拨】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．DG m n=-24(44)341m m n m n +∴---=244n m m =-+∴1223S S CD PC S S BC OC +=+2PD OB=2DGOF=()2m n =-2424m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭()21542m m =--+2159228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭52m ∴=1223S S S S +98。