《整式乘除与因式分解》知识点归纳总结
一、幂的运算：
1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•(n m ,都是正整数）
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如:532)()()(b a b a b a +=+•+
2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数)
幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253)3(=-
幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4==
3、积的乘方法则：n n n b a ab =)((n 是正整数)。积的乘方,等于各因数乘方的积。
如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-
4、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数,且)n m
同底数幂相除,底数不变，指数相减。
如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷
５、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
二、单项式、多项式的乘法运算:
6、单项式与单项式相乘，把他们的系数,相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：
=•-xy z y x 3232 。
7、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：
)(3)32(2y x y y x x +--= 。
8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相
加。
9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为
相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = １0、完全平方公式:2222)(b ab a b a +±=±
完全平方公式的口诀:首平方，尾平方，首尾２倍中间放,符号和前一个样。
公式的变形使用:(1)ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；ab b a b a 4)()(22-+=-
222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- ；222)()]([)(b a b a b a -=--=+-
(２）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
１1、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式,对于只
在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的
字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 如：b a m b a 242497÷-
１2、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单
项式，在把所的的商相加。即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(
三、因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1)会找多项式中的公因式;公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数;
②字母——各项含有的相同字母;
③指数——相同字母的最低次数；
(2)提公因式法的步骤:第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注
意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用
来检验是否漏项．
（3）注意点:
①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;
②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是:把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：
①平方差公式: a 2-b 2= （ａ＋b)(ａ-b ）
②完全平方公式：ａ2＋2a ｂ＋ｂ2＝（a ＋ｂ)２
a ２－2ａ
b ＋b 2=（a －b ）2
3、十字相乘法．
（一）二次项系数为１的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：(１)二次项系数是1;
(２)常数项是两个数的乘积;
(３)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:十字相乘有什么基本规律？
例1.已知0＜a ≤５,且a 为整数,若223x x a ++能用十字相乘法分解因式,求符合
条件的a .
解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >０而且是
一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数,1a =
例２、分解因式：652++x x
分析:将６分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于６=2×3＝(-2)×(-３）=1×6=（-１）×(-6)，从中可以发现只有
2×３的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：652++x x =32)32(2⨯+++x x １ 3
=)3)(2(++x x １×２＋１×３=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x １ －1
=)6)(1(--x x 1 －6
