全国高中物理竞赛模拟题一
1.光子火箭从地球起程时初始静止质量（包括燃料）为M 0，向相距为R=1.8×1061.y.（光年）的远方仙女座星飞行。要求火箭在25年（火箭时间）后到达目的地。引力影响不计。
1）、忽略火箭加速和减速所需时间，试问火箭的速度应为多大？2）、设到达目的地时火箭静止质量为M 0ˊ，试问M 0/ M 0ˊ的最小值是多少？
分析：光子火箭是一种设想的飞行器，它利用“燃料”物质向后辐射定向光束，使火箭获得向前的动量。求解第1问，可先将火箭时间a 250=τ（年）变换
成地球时间τ，然后由距离R 求出所需的火箭速度。火箭到达目的地时，比值0
M M '是不定的，所谓最小比值是指火箭刚好能到达目的地，亦即火箭的终速度为零，所需“燃料”量最少。利用上题（本章题11）的结果即可求解第2问。
解：1）火箭加速和减速所需时间可略，故火箭以恒定速度υ飞越全程，走完全程所需火箭时间（本征时间）为a 250=τ（年）。利用时间膨胀公式，相应的地球时间为
22
1c υττ-
=
因
υτR
=
故
22
1c R
υτυ
-
=
解出
()
10
22
022
2021096.0111-⨯-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≈+
=
c R c c R
c c ττυ
可见，火箭几乎应以光速飞行。
（2）、火箭从静止开始加速至上述速度υ，火箭的静止质量从M 0变为M ，然
后作匀速运动，火箭质量不变。最后火箭作减速运动，比值0
M M '最小时，到达目的地时的终速刚好为零，火箭质量从M 变为最终质量0
M '。加速阶段的质量变化可应用上题（本章题11）的（3）式求出。因光子火箭喷射的是光子，以光速c 离开火箭，即u=c ，于是有
2
1011⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-=ββM M （1） c βυ=为加速阶段的终速度，也是减速阶段性的初速度。对减速阶段，可应
用上题（本章题11）的（4）式，式中的m 0以减速阶段的初质量M 代入。又因减速时必须向前辐射光子，故u=-c ，即有
2
1011⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-=ββM M （2） 由（1）、（2）式，得
1020
22
2022010441411⨯=≈-=-+='ττββc R c R M M
2.如图52-1所示，地面上的观察者认为在地面上
同时发生的两个事件A 和B ，在相对地面以速度u （u
平行于x 轴，且与正方向同向）运动的火箭上的观察者
的判断正确的是（ ）
A 、A 早于
B B 、B 早于A
C 、A 、B 同时发生
D 、无法判断
解：在地面（S 系）上，,A B x x x -=∆0=-=∆A B t t t ，在火箭（S '系）中，
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-='-'='∆22c ux t r c ux t r t t t A A B B A B
()()B A A
A B x x c ux t t r -+
-=2
()B A A
x x c ux -=
2
因0>r ，0>u ，0<-B A x x ，故0<'∆t 。即从火箭上观察，B 事件在前，A 事
件在后，选B 。
3. 如图11-195所示，正方形均质板重G ，用4根轻质杆铰链水平悬挂，外形构成边长为a 的立方体，现将方板绕铅垂对称轴旋转θ角度，再用一细绳围绕四杆的中点捆住，使板平衡于θ角位置。试求绳内的张力。
分析：初看此题，一般都会觉的比较复杂，因为题中铰链就
有8个，加上4根轻质杆与绳子有4个接触点，一共有12个受
力点，而且初看甚至想象不出木板旋转θ角度以后整个系统是什么样子，即使把
各个受力点的力逐个画出来也无济于事。应该先想一想哪些点都是对称的（等价
图
52-1
图11-195
的），找出最基本的部分，再把空间方向确定下来，然后好画出各个力点的受力情况。
解：把木板绕铅垂对称轴旋转θ角度以后，系统虽然不是一个很对称的立方体，但把系统绕铅直轴旋转90度的整数倍，系统的与自身重合，说明四根轻杆的受力情况是完全一样的。系统处于平衡状态，把四根轻杆，木板，绳组成的部分看成刚体，则刚体受四个铰接部分的力而平衡，重力方向的平衡可以得出，竖直方向对每根轻杆的拉力T 上为：
G T =上4 （1） 而铰接处是否对轻杆有水平方向的作用力，暂时还不好确定，不过可以为N //，从俯图来看四根轻杆的受力情况（如图11-196
所示）：
图中虚线表示正方形对角线的外延部分，如果N //不在对角线
方向上，则四个N //对O 点有一个力偶矩，将使得下面的部分旋转，与平衡假设相矛盾，因此水平弹力必然在对角线方向，要么都向外，要么都向里（设向外为正，这种设法不会影响结果）。
同样的道理，把木板隔离开来，可知木板对轻杆往下的拉力下T 为：
G T =下4 （2）
而水平方向的作用力必沿对角线方向（否则木板旋转），木板对杆的作用力向里向外的性质与上端铰链的方向相同，否则以绳对杆的作用点为支点，力矩无法平衡。
图
11-196
y
//
下面再看整个系统的俯视图（如图11-197所示），把轻杆隔离出来作为平衡的刚性杆，利用力的平衡条件和力矩的平衡条件可求出拉力T 的大小。
绳作用在每根转杆的中点，在俯视图上不难看出，绳子构成一个正方形，且在水平面内，因而可以知道绳对轻杆仅有水平面内，因而可以知道绳对轻杆仅有水平面内的拉力，轻杆在竖直方向上力的平衡是满足的：
下上T T = （3）
取一根轻杆为研究对象不难求出//N 与//
N '的关系，以及//N 与//T 的关系，设绳的张力为T ，则水平合力T T 2//=。
x 方向水平力平衡：
2sin
2
sin ////
θ
θ
N N =' （4）
y 方向水平力平衡：
T
T N N 22
cos
2
cos //////
==+'θ
θ
（5）
在过轻杆的竖直面内来分析力矩平衡（只研究平面内转矩），如图11-198。
对于A 点，力矩平衡
2sin
2cos 2
sin //
θ
θθ
a T a N ⋅=⋅'下 （6）
联合（2）、（4）、（5）、（6）式可得
θθ
cos 22
cos ⋅=
G T
2
θ图11-198
