解析几何解题的思维策略

解析几何的解题思路(张克成）一、以方程为基础，找变量和方程个数的关系：例1、已知曲线22:1yC xa+=，直线:0l kx y k--=，O为坐标原点．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若直线l与x轴的交点为P，当0a>时，是否存在这样的以P为直角顶点的内接于曲线C的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由．例2、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。

若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点00(,)P x y 、(,)M m n 是圆锥曲线C 上不与顶点重合的任意两点，MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ．（1）试用00,,,x y m n 的代数式分别表示E x 和F x ；（2）若C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>（如图），求证：E F x x ⋅是与MN 和点P 位置无关的定值；解：（1）因为MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，所以(,)N m n -则00:()MP y n l y n x m x m--=--令0,y =则000E my nx x y n -=- 同理可得：000F my nx x y n+=+，（2）由（1）可知：222200220E F m y n x x x y n-⋅=- ,M P 在椭圆C ：22221x y a b +=上，2222220022(1),(1)x m n b y b a a ∴=-=-，则222222022202220222222200222(1)(1)()()(1)(1)E F x m m b b x b m x a a x x a x b m m x b b a a a----⋅===----（定值） E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值y E P N MxO F练习：1、已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点,A B 关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围。

考研数学解析几何解题思路解析几何是高数中的一大难点，涉及到平面和空间中的图形与方程的关系。

在考研中，解析几何题目占据了相当大的比重。

因此，熟练掌握解析几何的解题思路，对考研数学的高分至关重要。

本文将从平面解析几何和空间解析几何两个部分进行论述，帮助考生更好地应对考研数学解析几何题目。

一、平面解析几何解题思路平面解析几何是解析几何的基础，也是解析几何中的第一个重要部分。

在平面解析几何中，主要涉及到直线、圆、曲线等图形。

解析几何题目常常要求通过已知几何条件来确定某一图形的方程，或者通过已知方程来分析该图形的性质。

下面是一些平面解析几何解题的思路和方法。

1.直线的解析几何要确定直线的方程，可以采用两点式、点斜式、斜截式等方法。

根据已知的几何条件，选取其中适合的方法，推导直线的方程。

值得注意的是，不同的题目可能需要使用不同的方法，考生要根据题目特点进行灵活运用。

2.圆的解析几何对于圆的解析几何题目，可以通过已知条件得到圆心和半径的关系，进而得到圆的方程。

常用的方法有标准方程、一般方程等。

3.曲线的解析几何对于一些特殊的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，可以通过其几何定义和性质，求解其方程。

同时，还可以借助坐标轴平移到标准位置，简化问题的解析过程。

以上仅为平面解析几何的一些解题思路和方法，具体问题需要根据题目情况来确定解题方法。

下面我们来看看空间解析几何的解题思路。

二、空间解析几何解题思路空间解析几何是解析几何的拓展，涉及到了三维坐标系中的图形与方程的关系。

空间解析几何题目通常考察空间中的点、直线、平面等的位置关系和性质。

下面是一些空间解析几何解题的思路和方法。

1.点的解析几何对于空间中的点，可以通过已知条件推导出其坐标，或者通过已知坐标求解其性质。

在解题过程中，可以运用距离公式、中点公式等相关知识，辅助求解。

2.直线的解析几何要确定空间中直线的方程，可以采用点向式、两点式、两平面交线等方法。

同样，根据已知条件选择适合的方法，并结合相关公式和性质，求解直线方程。

一道解析几何题的几种解题思维庞士昌 淮南市职教中心数学是解决问题的学科，解决具体问题的时候，选择解题的方法是十分重要的，它直接关系到能否解决该问题或比较简单地解决该问题，在最近几年的高考中，解析几何问题往往是考试的重点，也是考试的难点，有相当大的难度，因此，对于解析几何题，选择适合的解题方法是非常重要的，解题的方法由解题的思维作为起点，所以思维过程的选择对解题起着关键的作用。

下面以一道解析几何题为例说明。

问题：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动，求y x +2的最值。

一：方程思想设t y x =+2，得到x t y 2-=，将其代人圆1)1(22=-+y x ，消去y ，化简我们得到02)1(4522=-+--t t x t x ，由0≥∆，得到5151+≤≤-t ，所以y x +2的最大值时51+，最小值是51-。

二：换元思想将圆的方程变为：)0(1sin ,cos πθθθ≤≤+==y x ，则1)sin(51sin cos 22++=++=+θθθt y x 其中：55cos ,552sin ==t t 。

所以y x +2的最大值时51+，最小值是51-。

三：解析几何思想因为),(y x P 同时满足t y x =+2与1)1(22=-+y x ，所以有圆与直线的位置关系得到：圆心到直线的距离112|1|2≤+-=t d ，所以5151+≤≤-t ，所以yx +2的最大值时51+，最小值是51-。

四：数形结合思想在同一个坐标系内分别画出t y x =+2与1)1(22=-+y x 的图象，如图1，而t y x =+2是一系列与直线02=+y x 平行的直线，而t 就是直线t y x =+2在y 轴上的截距，有图象可得，当直线t y x =+2为图中1l 时，t 最小，当直线t y x =+2为图中2l 时，t 最大。

此时都是与圆相切的时候，运用圆心到直线的距离等于半径，可得y x +2的最大值是51+，最小值是51-。

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。

解析几何中减少运算量的十种思维策略近几年的新课程高考数学试题，仍有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，这一点直接影响着考生的高考成绩。

事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”等思维策略，往往能够减少计算量。

下面举例说明。

一. 充分利用几何图形的几何性质解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。

解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。

又因为解析几何研究的就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

例1. 已知点P （5，0）和圆O ：x y 2216+=，过P 作直线l 与圆O 交于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程。

解： 点M 是弦AB 中点，∴∠=︒∴OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，此圆的圆心为(520，)，半径为52，所以其方程为()()x y -+=5252222，即x y x 2250+-=。

同时，点M 又在圆x y 2216+=的内部，∴+<x y 2216，即0516522≤=+<x x y ，所以所求的轨迹方程为x y x x 22500165+-=≤<()评注：此题若不能挖掘利用几何条件∠=︒OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

例2.设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求m 的值。

解： 圆x y x y 2220++-=过原点，并且OP OQ ⊥， ∴PQ 是圆的直径，圆心的坐标为M ()-121， 又M ()-121，在直线340x y m ++=上， ∴⨯-+⨯+=∴=-31241052()m m ，即为所求。

数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。

解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。

在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。

一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。

然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。

将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。

接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。

最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。

综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。

因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。

二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。