人教版八年级数学上册第十四章：143《因式分解》习题.doc

用公式法进行因式分解一、填空题(本大题共20小题，共60.0分)1.分解因式：xy2+8xy+16x= ______ ．2.因式分解：4m2-36= ______ ．3.因式分解：2a3-8ab2= ______ ．4.将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是______ ．5.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______ ．6.因式分解：2x2-32x4= ______ ．7.因式分解：a2b-4ab+4b= ______ ．8.分解因式：mx2-4m= ______ ．9.分解因式a2b-a的结果为______ ．10.分解因式：2ax2-8a= ______ ．11.分解因式：2m2-8= ______ ．12.分解因式：ma2+2mab+mb2= ______ ．13.分解因式：a2b-b3= ______ ．14.分解因式：x（x-1）-y（y-1）= ______ ．15.分解因式：ax3y-1axy= ______ ．416.因式分解：3y2-12= ______ ．17.因式分解：m2n-6mn+9n= ______ ．18.因式分解：a2b-ab+1b= ______ ．419.分解因式-a3+2a2b-ab2= ______ ．20.分解因式：a2b+4ab+4b= ______ ．二、计算题(本大题共30小题，共180.0分)21.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1（3）-3a+12a2-12a3．22.把下列多项式分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．23.把下列各式因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4（3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．24.分解因式：x+xy+xy2（1）14（2）（m+n）3-4（m+n）25.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．26.把下列各式进行因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．27.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．28.分解因式（1）x3-16x（2）8a2-8a+2．（2）b4-4ab3+4ab2．30.分解因式：（1）2x2-4x（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．31.分解因式：（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．32.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2（3）（x+y）2+4（x+y+1）33.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．34.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．35.分解下列因式：（1）9a2-1（2）p3-16p2+64p．36.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）（x2+y2）2-4x2y2（4）9x4-81y4．37.将下列各式分解因式（1）16a2b2-1（2）12ab-6（a2+b2）38.把下列各式因式分解（1）4a2-16（2）（x2+4）2-16x2．39.把下列多项式因式分解：（1）x3y-2x2y+xy；（2）9a2（x-y）+4b2（y-x）．40.分解因式（1）x3-xy2（2）（x+2）（x+4）+1．41.因式分解：-3a3b+6a2b2-3ab3．42.把下列各式分解因式：①4m（x-y）-n（x-y）；②2t2-50；③（x2+y2）2-4x2y2．43.因式分解（1）x2-5x-6（2）2ma2-8mb2（3）a3-6a2b+9ab2．44.分解因式：2x2-12x+18．45.分解因式：（1）x3+2x2+x（2）x3y3-xy．46.因式分解：（1）ax2-2ax+a（2）24（a-b）2-8（b-a）47.因式分解：（1）4x2-16y2（2）x2-10x+25．48.分解因式（1）m（a-3）+2（3-a）（2）x2-6x+9．49.因式分解：6xy2-9x2y-y2．50.分解因式（1）x2（a+b）-a-b（2）a3b-2a2b2+ab3（3）y4-3y3-4y2（4）-（a2+2）2+6（a2+2）-9．用公式法进行因式分解答案和解析【答案】1.x（y+4）22.4（m+3）（m-3）5.a （2x +3y ）（2x -3y ）6.2x 2（1+4x ）（1-4x ）7.b （a -2）28.m （x +2）（x -2）9.a （ab -1）10.2a （x +2）（x -2）11.2（m +2）（m -2）12.m （a +b ）213.b （a +b ）（a -b ）14.（x -y ）（x +y -1）15.axy （x +12）（x -12）16.3（y +2）（y -2）17.n （m -3）218.b （a -12）219.-a （a -b ）220.b （a +2）221.解：（1）原式=a 2（a -b ）-4b 2（a -b ）=（a -b ）（a 2-4b 2）=（a -b ）（a +2b ）（a -2b ）；（2）原式=（m 2+1）（m 2-1）=（m 2+1）（m +1）（m -1）；（3）原式=-3a （4a 2-4a +1）=-3a （2a -1）2．22.解：（1）原式=3xy （2x -3）；（2）原式=（2a +1）（2a -1）；（3）原式=n （n 2-6n +9）=n （n -3）2．23.解：（1）原式=a （p -q +m ）；（2）原式=（a +2）（a -2）；（3）原式=（a -1）2；（4）原式=a （x 2+2xy +y 2）=a （x +y ）2．24.解：（1）原式=14x （1+4y +4y 2）=14x （1+2y ）2；（2）原式=（m +n ）[（m +n ）2-4]=（m +n ）（m +n +2）（m +n -2）．25.解：（1）原式=x （x -2）+3（x -2）=（x -2）（x +3）；（2）原式=（x -5）2．26.解：（1）原式=a （a 2-6a +5）=a （a -1）（a -5）；（2）原式=（x 2+x +x +1）（x 2+x -x -1）=（x +1）2（x +1）（x -1）；（3）原式=4（x 2-4xy +4y 2）=4（x -2y ）2．27.解：（1）原式=（x +y ）（x -y ）；（2）原式=-b （4a 2-4ab +b 2）=-b （2a -b ）2．28.解：（1）原式=x （x 2-16）=x （x +4）（x -4）；（2）原式=2（4a 2-4a +1）=2（2a -1）2．29.解：（1）原式=3（m 4-16）=3（m 2+4）（m +2）（m -2）；30.解：（1）原式=2x（x-2）；（2）原式=（x-y）（a2-9b2）=（x-y）（a+3b）（a-3b）；（3）原式=-b（b2-4ab+4a2）=-b（2a-b）2；（4）原式=（y2-1）2-6（y2-1）+9=（y2-4）2=（y+2）2（y-2）2．31.解：（1）原式=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2；（2）原式=[3（m+n）+m-n][3（m+n）-（m-n）]=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）．32.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=3a（x2-4y2）=3a（x+2y）（x-2y）；（3）原式=（x+y）2+4（x+y）+4=（x+y+2）2．33.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=16（x2-4）=16（x+2）（x-2）；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．34.解：（1）原式=4xy（x2-y2）=4xy（x+y）（x-y）；（2）原式=-（x2-4xy+4y2）=-（x-2y）2．35.解：（1）原式=（3a+1）（3a-1）；（2）原式=p（p2-16p+64）=p（p-8）2．36.解：（1）原式=（x-5y）2；（2）原式=3（a2-4ab+4b2）=3（a-2b）2；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2；（4）原式=9（a2+3y2）（x2-3y2）．37.解：（1）原式=（4ab+1）（4ab-1）；（2）原式=-6（a2-2ab+b2）=-6（a-b）2．38.解：（1）原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）；（2）原式=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2．39.解：（1）原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2；（2）原式=9a2（x-y）-4b2（x-y）=（x-y）（3a+2b）（3a-2b）．40.解：（1）原式=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）；（2）原式=（x+3）2．41.解：原式=-3ab（a2-2ab+b2）=-3ab（a-b）2．42.解：①4m（x-y）-n（x-y）=（x-y）（4m-n）；②2t2-50=2（t2-25）=2（t+5）（t-5）；③（x2+y2）2-4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．43.解：（1）原式=（x-6）（x+1）；（2）原式=2m（a2-4b2）=2m（a+2b）（a-2b）；（3）原式=a（a2-6ab+9b2）=a（a-3b）2．44.解：原式=2（x2-6x+9）=2（x-3）2．45.解：（1）原式=x（x2+2x+1）=x（x+1）2；（2）原式=xy（x2y2-1）=xy（xy+1）（xy-1）．（2）原式=24（a-b）2+8（a-b）=8（a-b）[3（a-b）+1]=8（a-b）（3a-3b+1）．47.解：（1）原式=（2x+4y）（2x-4y）；（2）原式=（x-5）2．48.解：（1）原式=m（a-3）-2（a-3）=（a-3）（m-2）；（2）原式=（x-3）2．49.解：原式=-y（9x2-6xy+y）．50.解：（1）原式=x2（a+b）-（a+b）=（a+b）（x2-1）=（a+b）（x+1）（x-1）；（2）原式=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2；（3）原式=y2（y2-3y-4）=y2（y-4）（y+1）；（4）原式=-[（a2+2）-3]2=-（a-1）2（a+1）2．。

人教版八年级上册 因式分解综合训练（含答案）1．分解因式：(1)(a 2＋2a －2)(a 2＋2a ＋4)＋9； (2)(b 2－b ＋1)(b 2－b ＋3)＋1.2．分解因式（1）20a 3-30a 2 （2）25（x+y ）2-9（x-y ）23．分解因式：x 2－y 2－4x ＋6y －5.4．因式分解：222()14()24x x x x ---+．5．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.6．因式分解(1) 2()3()x a b y b a -+- (2) 22222(16)64x y x y +-6．因式分解：22444x xy y --+．8．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+9．因式分解：c(a-b)-2(a-b)2c+(a-b)3c.10．因式分解：()()()219a x y y x -+- ()532288ax ax ax ++11．分解因式：(1)18a 3－2a ； (2)ab(ab －6)＋9； (3)m 2－n 2＋2m －2n.12．因式分解：x 2﹣5x+4；13．因式分解：（1）x 2﹣5x ﹣6 （2）9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）（3）y 2﹣x 2+6x ﹣9 （4）（a 2+4b 2）2﹣16a 2b214．把下列各式因式分解：（1）224a b - （2）32269x x y xy -+（4）2()()m m n n m -+- （4）222(4)16x x +-15．对下列多项式进行分解因式：（1）（x ﹣y ）2+16（y ﹣x ）． （2）1﹣a 2﹣b 2﹣2ab ．16．分解因式：(1)x 4﹣2x 2y 2+y 4； (2) 322a a a -+.17．分解因式：（1）()()36x a b y b a ---； （2）4224817216x x y y -+；18．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+19．因式分解：(1)－4(xy ＋1)2＋16(1－xy )2； (2)(x 2－3)2＋2(3－x 2)＋1；(3) x 2－ax －bx ＋ab .19．因式分解：2()16()a x y y x -+-20．因式分解：()()222x 2x 7x 2x 8+-+-21．分解因式：（1）81x 4﹣16；（2）8ab 3+2a 3b ﹣8a 2b223．分解因式.（1）-2a 2+4a （2）3349x y xy - （3）4x 2－12x ＋9 （4）2()6()9a b a b +-++24．因式分解：（1）-2m+4m2-2m3；（2）a2﹣b2﹣2a+1；（3）(x-y)2-9(x+y)2；25．把下面各式分解因式：（1）4x2﹣8x+4 （2）x2+2x（x﹣3y）+（x﹣3y）2．26．分解因式：（a2+2a）2﹣7（a2+2a）﹣8．27．（1）分解因式：22222a b-4a b+8ab（2）分解因式：9a2（x—y）+4b2（y—x）（3）分解因式：(x2＋y2)2－4x2y2（4）利用分解因式计算求值：2662-2342（5）利用分解因式计算求值：已知x-3y=-1，xy=2，求x 3y-6x 2y 2+9xy 3的值.28．分解因式：（1）222(4)16a a +-； （2）(2)(2)3a a a +-+．29．计算：32)(32)x y c x y c -+++（．30．分解因式：（1）－3x 2＋6xy －3y 2； （2）2216()25()a b a b +--．参考答案1．(1)(a＋1)4(2)(b2－b＋2)2【解析】试题分析:(1) 设a2＋2a＝m,原式转化为: (m－2)(m＋4)＋9,然后先利用整式乘法法则展开可得: m2＋4m －2m－8＋9,即m2＋2m＋1,利用完全平方公式因式分解可得(m＋1)2,最后将m替换为a2＋2a即可,(2)设b2－b＝n,原式转化为: (n＋1)(n＋3)＋1,然后先利用整式乘法法则展开可得: n2＋3n＋n＋3＋1,即n2＋4n＋4,利用完全平方公式因式分解可得(n＋2)2,最后将n替换为b2－b即可.试题解析:(1)设a2＋2a＝m,则原式＝(m－2)(m＋4)＋9,＝m2＋4m－2m－8＋9,＝m2＋2m＋1,＝(m＋1)2,＝(a2＋2a＋1)2,＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n,则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1,＝n2＋3n＋n＋3＋1,＝n2＋4n＋4,＝(n＋2)2,＝(b2－b＋2)2.2．（1）10a2（2a﹣3）（2）4(4x+y)(x+4y)【解析】分析：（1）利用提公因式法，找到并提取公因式10a2即可；（2）利用平方差公式进行因式分解，然后整理化简即可.详解：（1）解：20a 3﹣30a 2=10a 2（2a ﹣3）（2）解：25（x+y ）2﹣9（x ﹣y ）2=[5（x+y ）+3（x ﹣y ）][5（x+y ）﹣3（x ﹣y ）] =（8x+2y ）（2x+8y ）； =4(4x+y)(x+4y) .点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.3．(x ＋y －5)(x －y ＋1)【解析】试题分析: 把－5拆成4－9 “凑”成(x 2－4x ＋4)和(y 2－6y ＋9)两个整体,然后利用完全平方公式进行因式分解即可.试题解析:原式＝(x 2－4x ＋4)－(y 2－6y ＋9),＝(x －2)2－(y －3)2,＝(x ＋y －5)(x －y ＋1). 4．(x-2)(x+1)(x-4)(x+3) 【解析】分析：先把x 2－x 看做一个整体，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．详解：原式=（x 2－x ﹣2）（x 2－x ﹣12）=(x -2)(x +1)(x -4)(x +3)点睛：本题考查了十字相乘法分解因式，用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，难点在于要二次利用十字相乘法分解因式，整体思想的利用也比较关键． 5．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.6．(1) (2x-3y)（a ﹣b ）;(2)(x ＋4y)2(x －4y)2. 【解析】试题分析：（1）将b －a 转化为－(a －b )，然后提出公因式(a －b )即可； （2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解即可． 试题解析：（1）原式＝2x(a －b)－3y(a －b) ＝(2x －3y )(a ﹣b )（2）原式＝[(x 2＋16y 2)＋8xy ][(x 2＋16y 2)－8xy ]＝(x ＋4y )2(x －4y )2.7． (x-2y+2)(x-2y-2) 【解析】分析：将多项式第一、三、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解，即可得到结果．详解：原式=（x ﹣2y ）2﹣4=（x ﹣2y ﹣2）（x ﹣2y +2）．点睛：本题考查了因式分解﹣分组分解法，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．8．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x - 【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x - =()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x - 9．c(a-b)(a-b-1)2. 【解析】 【分析】首先提取公因式c(a-b)，再利用完全平方公式进行分解因式即可得答案. 【详解】c(a-b)-2(a-b)2c+(a-b)3c. =c(a-b)[1-2(a-b)+(a-b)2] =c(a-b)(a-b-1)2. 【点睛】本题考查了因式分解，本题需要二次分解，先提公因式，然后再利用完全平方公式分解，一定要做到不能再分解因式为止．熟练利用提公因式，完全平方公式是解题关键．10．(1)()()() 33x y a a -+-；(2)()222ax x +．【解析】 【分析】(1)先提取公因式()x y -，再用平方差公式继续分解即可；(2)先提取公因式2ax ，再用完全平方公式继续分解即可． 【详解】()()()2 19a x y y x -+-()()29x y a =--()()()33x y a a =-+-；()532288ax ax ax ++()42244ax x x =++ ()222ax x =+．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．11．（1）2a(3a ＋1)(3a －1)（2）(ab －3)2 （3）(m －n)(m ＋n ＋2)【解析】 【分析】（1）提公因式2a 后利用平方差公式二次分解即可；（2）整理后利用完全平方公式分解因式即可；（3）利用分组分解法分解因式即可. 【详解】(1)18a3－2a=2a（9a2－1）=2a(3a＋1)(3a－1)；(2)ab(ab－6)＋9=a2b2-6ab+9=(ab－3)2；(3)m2－n2＋2m－2n=(m+n)(m-n)+2（m-n）=(m－n)(m＋n＋2).【点睛】本题考查了因式分解，根据题目特点，灵活选用因式分解的方法是解本题的关键，解题时要分解到每一个因式都不能够再分解为止．12．(x﹣1)(x﹣4)【解析】【分析】利用“十字交叉”法因式分解；【详解】x2﹣5x+4=(x-1)(x-4)【点睛】考查了因式分解，对于mx +px+q形式的多项式,用a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c).13．（1）（x﹣6）（x+1）；（2）（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）（y+x﹣3）（y﹣x+3）；（4）（a+2b）2（a﹣2b）2．【解析】【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可；（3）直接将后三项分组进而利用公式法分解因式即可；（4）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）y2﹣x2+6x﹣9＝y2﹣（x2﹣6x+9）＝y2﹣（x﹣3）2＝（y+x﹣3）（y﹣x+3）；（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2＝（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）＝（a+2b）2（a﹣2b）2．【点睛】此题主要考查了公式法以及分组分解法和十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键，因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止.14．（1）(a+2b)(a-2b) ；（2）x(x-3y)2；（3）(m-n)(m+1)(m-1)；（4）(x+2)2(x-2)2【解析】分析：（1）直接利用平方差公式进行分解即可；（2）首先提取公因式x，再利用完全平方公式进行分解即可；（3）首先提取公因式（m-n），再利用平方差公式进行分解即可；（4）首先利用平方差公式进行分解，再完全平方公式进行分解即可.详解：（1）原式=（a+2b）（a-2b）；（2）原式=x(x2-6xy+9y2)= x(x-3y)2；（3）原式=（m-n）（m2-1）=(m-n)(m+1)(m-1)；（4）原式=（x2+4x+4）（x2-4x+4）=(x+2)2(x-2)2点睛：此题主要考查了平方差公式分解，关键是掌握平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．15．（1）（x﹣y）（x﹣y﹣16）；（2）（1+a+b）（1﹣a﹣b）．【解析】【分析】（1）先把第二项变形，然后把x﹣y看做一个整体，提取x﹣y即可；（2）先把后三项提取“-”号，并用完全平方公式分解，然后再用平方差公式分解即可. 【详解】解：（1）原式=（x﹣y）2﹣16（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y﹣16）；（2）原式=1﹣（a2+b2+2ab）=1﹣（a+b）2=（1+a+b）（1﹣a﹣b）．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.16．（1）（x ﹣y ）2（x+y ）2；（2）()21a a -【解析】分析：（1）先用完全平方公式，再用平方差公式即可.（2）先提取公因式，再用完全平方公式即可. 详解：（1）原式=()()()22222x y x y x y -=-+.（2）原式=()()222a 11a a a a -+=-.点睛：(1)考查了完全平方公式、平方差公式；（2）考查了提取公因式法、完全平方公式. 17．（1）()()32a b x y -+；（2）()()223232x y x y +-【解析】分析：（1）直接提取公因式3（a-b ）即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 详解：（1）原式=3x （a-b ）+6y （a-b ）=3（a-b ）（x+2y ）．（2）81x 4-72x 2y 2+16y 4，=（9x 2-4y 2）2，=（3x+2y ）2（3x-2y ）2．点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．（1） （2）22(3)(3)x x +-【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.试题解析：（1）3349x y xy - =xy （2x-3y ）（2x+3y ） （2）()()2226669x x ---+=（x 2-6-3）2 =（x+3）2（x-3）219．(1) 4(xy －3)(3xy －1)；(2) (x ＋2)2(x －2)2；(3) (x －a )(x －b )． 【解析】 【分析】（1）先提取公因式﹣4，再利用平方差公式因式分解即可； （2）先配方成完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可； （3）用提取公因式法因式分解即可. 【详解】(1)－4(xy ＋1)2＋16(1－xy )2＝－4[(xy ＋1)2－4(1－xy )2]＝－4[(xy ＋1)＋2(1－xy )][(xy ＋1)－2(1－xy )] ＝－4(xy ＋1＋2－2xy )(xy ＋1－2＋2xy ) ＝－4(－xy ＋3)(3xy －1) ＝4(xy －3)(3xy －1)； (2)(x 2－3)2＋2(3－x 2)＋1＝(x 2－3)2－2(x 2－3)＋1＝(x 2－3－1)2＝(x 2－4)2＝(x ＋2)2(x －2)2；(3)x 2－ax －bx ＋ab ＝x (x －a )－b (x －a ) ＝(x －a )(x －b )． 20．(x-y)（a+4）（a-4） 【解析】试题分析：根据因式分解的步骤和方法，根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），即解可求解.试题解析：原式=a²（x-y ）-16(x-y) =（x-y ）（a²-16） =(x-y)（a+4）（a-4）点睛：此题主要考查了因式分解，解题关键是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），即可求解. 21．()()()2x 2x 4x 1-++ 【解析】 【分析】根据因式分解的方法即可解答.【详解】解：原式()()222821x x x x -＝＋＋＋()()()2241x x x -＝＋＋【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式是解题关键.22．（1）（9x 2+4）（3x+2）（3x ﹣2）；（2）2ab （a ﹣2b ）2．【解析】 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）首先提取公因式2ab ，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】（1）原式=（9x 2+4）（9x 2﹣4）=（9x 2+4）（3x+2）（3x ﹣2）；（2）原式=2ab （4b 2+a 2﹣4ab ）=2ab （a ﹣2b ）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．23．（1）-2a （a-2）（2）xy （2x+3y ）（2x-3y ）（3）（2x-3）2（4）（a+b-3）2【解析】分析：（1）提取公因式-2a 即可；（2）提取公因式xy 后，再运用平方差公式； （3）运用完全平方公式，进行因式分解即可； （4）运用完全平方公式，进行因式分解即可．详解：（1）-2a2+4a=-2a(a-2);()33-x y xy249()22=-49xy x y()()=+-xy x y x y2323()2-+x x34129=（2x-3）2（4）原式=（a+b-3）2点睛：本题考查了公式法、分组分解法分解因式，熟练掌握公式结构是解题的关键.24．（1）-2m(m-1)²；(2) （a﹣1+b）（a﹣1﹣b）;(3) -4(2x+y)(x+2y).【解析】【分析】1、可将-2m提取出来即可得出.2、可以先将一个完全平方式提取出来，即可得出答案.3、可先将式子乘出来，再合并同类项，提出-4，即可得出答案.【详解】（1）原式=-2m(m-1)² .（2）解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．(3)原式=-4(2x+y)(x+2y).【点睛】本题考查了多项式化简合并，熟悉掌握多项式的花间合并是解决本题的关键.25．（1）4（x﹣1）2（2）（2x﹣3y）2【解析】分析：（1）首先提取公因式4，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式分解因式进而得出答案．详解：（1）4x2-8x+4=4（x2-2x+1）=4（x-1）2；（2）x2+2x（x-3y）+（x-3y）2=（x+x-3y）2=（2x-3y）2．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．26．（a+4）（a﹣2）（a+1）2．【解析】【分析】将a2+2a看成一个整体，可将（a2+2a）2-7（a2+2a）-8分解为（a2+2a-8）（a2+2a+1）的形式，进而根据十字相乘法和公式法，可继续分解.【详解】（a2+2a）2﹣7（a2+2a）﹣8=（a2+2a﹣8）（a2+2a+1）=（a+4）（a﹣2）（a+1）2．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解法中十字相乘法，公式法是解题的关键.27．（1）2ab（ab-2a+4b）(2)（x—y）（3a+2b）（3a—2b）（3）(x＋y)2(x-y)2（4）16000（5）2.分析：（1）直接提公因式2ab 即可分解；（2）首先提公因式（x-y ），然后利用平方差公式分解；（3）利用平方差方公式即可分解；（4）直接利用平方差公式分解，再计算即可；（5）首先提公因式xy ，然后利用完全平方公式分解后，把x-3y=-1，xy=2代入即可求值.详解：（1）原式=2ab （ab-2a+4b ）(2)原式=（x —y ）（3a+2b ）（3a —2b ）（3）原式=(x ＋y)2(x-y)2（4）原式=（266+234）（266-234）=16000（5）原式=()()22xy x 3y 2-1=2-=⨯点睛：此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.28．（1）22(2)(2)a a +-；（2）(1)(4)a a -+．【解析】试题分析：（1）先用平方差公式，再用完全平方公式分解即可；（2）先用整式乘法计算，再用十字相乘法分解即可．试题解析：解：（1）原式=22(44)(44)a a a a +++-=22(2)(2)a a +-； （2）原式=243a a -+=(1)(4)a a -+．29．x 2+4cx+4c 2-9y 2【分析】先提取公因式再去括号化简即可.【详解】解：原式=()()2323x c y x c y ⎡⎤⎡⎤+-++⎣⎦⎣⎦=()()2223x c y +-=222449x cx c y ++-.【点睛】本题考查了多项式，解题的关键是熟练的掌握多项式的运算法则.30．（1） -3（x-y ）2 ；（2）(9a-b)(9b-a) 【解析】【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式即可；（2）直接用平方差公式分解即可．【详解】（1）原式= -3（x 2-2xy+y 2）= -3（x-y ）2 ；（2）原式 =[4（a+b ）+5（a-b ）][4（a+b ）-5（a-b ）]=(9a-b)(9b-a)【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练的掌握提公因式法与公式法的综合运用.。

2021-2022学年度秋季八年级上学期人教版数学因式分解过关练习题(含答案)1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq（2）2x2+8x+82．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy（2）3a3﹣6a2b+3ab2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式：（1）2x2﹣x（2）16x2﹣1（3）6xy2﹣9x2y﹣y3（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）25．因式分解：（1）2am2﹣8a（2）4x3+4x2y+xy26．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y27．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）（x+2y）2﹣y28．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+19．分解因式：a2﹣4a+4﹣b210．分解因式：a2﹣b2﹣2a+111．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1（2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）（4）x4+2x3+3x2+2x+112．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2．2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy（2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；（2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．4．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．分析：（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．5．因式分解：（1）2am2﹣8a；（2）4x3+4x2y+xy2分析：（1）先提公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）2am2﹣8a=2a（m2﹣4）=2a（m+2）（m﹣2）；（2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2），=x（2x+y）2．6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．解答：解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2．7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3；（2）（x+2y）2﹣y2．分析：（1）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2；（2）（x+2y）2﹣y2=（x+2y+y）（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）．8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．分析：（1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n2（m﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2）（n+1）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．分析：本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a 的二次项a2，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解．解答：解：a2﹣4a+4﹣b2=（a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项．所以要考虑a2﹣2a+1为一组．解答：解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．11．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1；（2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1分析：（1）首先把﹣7x2变为+2x2﹣9x2，然后多项式变为x4﹣2x2+1﹣9x2，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2，然后利用公式法分解因式即可解；（3）首先把﹣2x2（1﹣y2）变为﹣2x2（1﹣y）（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解．解答：解：（1）x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=（x2+1）2﹣（3x）2=（x2+3x+1）（x2﹣3x+1）；（2）x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=（x2+1）﹣（x﹣a）2=（x2+1+x﹣a）（x2+1﹣x+a）；（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+[x2（1﹣y）]2=[（1+y）﹣x2（1﹣y）]2=（1+y﹣x2+x2y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2（x2+x+1）+x（x2+x+1）+x2+x+1=（x2+x+1）2．12．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．分析：（1）需把﹣31x拆项为﹣x﹣30x，再分组分解；（2）把2a2b2拆项成4a2b2﹣2a2b2，再按公式法因式分解；（3）把x5+x+1添项为x5﹣x2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解；（4）把x3+5x2+3x﹣9拆项成（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9），再提取公因式因式分解；（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底．解答：解：（1）4x3﹣31x+15=4x3﹣x﹣30x+15=x（2x+1）（2x﹣1）﹣15（2x﹣1）=（2x﹣1）（2x2+1﹣15）=（2x﹣1）（2x﹣5）（x+3）；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4=4a2b2﹣（a4+b4+c4+2a2b2﹣2a2c2﹣2b2c2）=（2ab）2﹣（a2+b2﹣c2）2=（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）=（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）；（3）x5+x+1=x5﹣x2+x2+x+1=x2（x3﹣1）+（x2+x+1）=x2（x﹣1）（x2+x+1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3﹣x2+1）；（4）x3+5x2+3x﹣9=（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9）=x2（x﹣1）+6x（x﹣1）+9（x﹣1）=（x﹣1）（x+3）2；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2=a3（2a﹣1）﹣（2a﹣1）（3a+2）=（2a﹣1）（a3﹣3a﹣2）=（2a﹣1）（a3+a2﹣a2﹣a﹣2a﹣2）=（2a﹣1）[a2（a+1）﹣a（a+1）﹣2（a+1）]=（2a﹣1）（a+1）（a2﹣a﹣2）=（a+1）2（a﹣2）（2a﹣1）．人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质： ①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.八年级上册练习题4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念： 1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()nm mn a a =⑶积的乘方：()nn nab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b ab -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：332()(a b a b a ab b+=+-+④立方差：332()(a b a b a ab b-=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念：整式乘法整式除法 因式分解乘法法则等边三角形的性质人教版数学2020-2021八年级上册题 1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cbb d bd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵()nm mnaa=（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。

人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　6　．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　3　．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值　75　．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是　等腰三角形　．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　2020　．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.3因式分解》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a﹣3）＝a2﹣3a B．（a+3）2＝a2+6a+9C．6a2+1＝a2（6+）D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）2．4a2b3与2ab4c的公因式为（）A．ab B．2ab C．2ab3D．2abc3．把多项式x2+2x﹣8因式分解，正确的是（）A．（x﹣4）2B．（x+1）（x﹣8）C．（x+2）（x﹣4）D．（x﹣2）（x+4）4．下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（）A．a2﹣1B．a2+2a+1C．a2+4D．9a2﹣6a+1 5．若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（）A．15B．7C．﹣7D．﹣86．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解7．a2（a2﹣1）﹣a2+1的值（）A．不是负数B．恒为正数C．恒为负数D．不等于08．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．99．已知a2+b2＝2a﹣b﹣2，则3a﹣b的值为（）A．4B．2C．﹣2D．﹣410．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）11．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：蜀、爱、我、巴、丽、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．巴蜀美C．我爱巴蜀D．巴蜀美丽12．如果△ABC的三边a、b、c满足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形13．（﹣8）2022+（﹣8）2021能被下列数整除的是（）A．3B．5C．7D．9二．填空题14．分解因式x2+ax+b，甲看错a的值，分解结果是（x+6）（x﹣1），乙看错b的值，分解的结果是（x﹣2）（x+1），则a＝，b＝．15．若实数x满足x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣5x2﹣5x﹣2020的值为．16．多项式8x2m y n﹣1﹣12x m y n中各项的公因式为．17．已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为．18．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．19．若a＝12，b＝109，则ab﹣9a的值为．20．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b 的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为．21．已知多项式f（x）除以x﹣1，x﹣2，x﹣3的余数分别为1，4，5，则f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）所得余式的最大值为．三．解答题22．因式分解：（1）ax2﹣4ax+4a；（2）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（3）（x+2）（x+4）﹣3；（4）9（a+b）2﹣（a﹣b）2．23．把下列各式分解因式：（1）x2+3x﹣4；（2）a3b﹣ab；（3）3ax2﹣6axy+3ay2．24．因式分解：（1）﹣4x3+16x2﹣20x（2）a2（x﹣2a）2﹣2a（2a﹣x）3（3）（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3（4）x3+3x2﹣4（拆开分解法）25．如图是L形钢条截面，请写出它的面积公式．并计算：当a＝54mm，b＝54.5mm，c＝8.5mm时的面积．26．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．（2）若x2﹣2x﹣5＝0，求2x3﹣8x2﹣2x+2020的值．27．例题：已知二次三项式x2﹣4x+m中有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）．∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．28．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．问题：（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解；（2）请你模仿以上方法尝试计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．参考答案一．选择题1．解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．2．解：4a2b3与2ab4c的公因式为2ab3，故选：C．3．解：x2+2x﹣8＝（x﹣2）（x+4），故选：D．4．解：A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），可以运用公式法分解因式，不合题意；B、a2+2a+1＝（a+1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；C、a2+4，无法利用公式法分解因式，符合题意；D、9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；故选：C．5．解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），∴x2+px+q＝x2﹣8x+15，故p＝﹣8，q＝15，则p+q＝﹣8+15＝7．故选：B．6．解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．7．解：∵a2（a2﹣1）﹣a2+1＝a2（a2﹣1）﹣（a2﹣1）＝（a2﹣1）（a2﹣1）＝（a2﹣1）2，∴a2（a2﹣1）﹣a2+1的值不是负数．故选：A．8．解：∵c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，∴c2﹣（a2+2ab+b2）＝10，∴c2﹣（a+b）2＝10，∴（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，∵a+b+c＝﹣5，∴c﹣a﹣b＝﹣2，∴a+b﹣c＝2，故选：A．9．解：∵a2+b2＝2a﹣b﹣2，∴a2﹣2a+1+b2+b+1＝0，∴，∴a﹣1＝0，b+1＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴3a﹣b＝3+1＝4．故选：A．10．解：因为（x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b＝﹣6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a＝﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）故选：B．11．解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b），由已知可得：我爱巴蜀，故选：C．12．解：∵ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2，即该三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：D．13．解：∵（﹣8）2022+（﹣8）2021＝（﹣8）2021×（﹣8）+（﹣8）2021＝（﹣8）2021×（﹣8+1）＝（﹣8）2021×（﹣7）＝82021×7．∴能被7整除．故选：C．二．填空题14．解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错a的值，分解结果是（x+6）（x﹣1），∴x2+ax+b＝x2+5x﹣6，故b＝﹣6；∵乙看错b的值，分解的结果是：∴x2+ax+b＝（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，∴a＝﹣1则a＝﹣1，b＝﹣6．故答案为：﹣1，﹣6．15．解：∵x2﹣3x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝1，∴2x3﹣5x2﹣5x+2020＝2x3﹣6x2+x2﹣3x﹣2x+2020＝2x（x2﹣3x）+（x2﹣3x）﹣2x+2020＝2x+1﹣2x+2020＝2021，故答案为：2021．16．解：系数的最大公约数是4，各项相同字母的最低指数次幂是x m y n﹣1，所以公因式是4x m y n﹣1，故答案为：4x m y n﹣1．17．方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．又∵a+b＝1，∴原式＝10．18．解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，∴﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，∴m＝3﹣a∴3m﹣n＝3（3﹣a）﹣（﹣3a）＝9﹣3a+3a＝9，故答案为：9．19．解：因为a＝12，b＝109，所以ab﹣9a＝a（b﹣9）＝12×（109﹣9）＝12×100＝1200，故答案为：1200．20．解：根据图形得到长方形的面积为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2，也可以为（a+b）（a+2b），则根据此图，多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果为（a+b）（a+2b），故答案为：（a+b）（a+2b）．21．解：∵（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的结果是三次多项式，∴多项式f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）所得余式为二次多项式，设这个余式为ax2+bx+c，由题意得：，解得：．∴f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）所得余式为﹣x2+6x﹣4．∵﹣x2+6x﹣4＝﹣（x﹣3）2+5，∴f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）所得余式的最大值为5．故答案为：5．三．解答题22．解：（1）原式＝a（x2﹣4x+4）＝a（x﹣2）2；（2）原式＝x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（3）原式＝x2+6x+8﹣3＝x2+6x+5＝（x+1）（x+5）；（4）原式＝[3（a+b）+（a﹣b）][3（a+b）﹣（a﹣b]＝（4a+2b）（2a+4b）＝4（2a+b）（a+2b）．23．解：（1）x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）；（2）a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）；（3）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2；24．解：（1）﹣4x3+16x2﹣20x＝﹣4x（x2﹣4x+5）；（2）a2（x﹣2a）2﹣2a（2a﹣x）3＝a2（2a﹣x）2﹣2a（2a﹣x）3＝a（2a﹣x）2[a﹣2（2a﹣x）]＝a（2a﹣x）2[a﹣4a+2x]＝a（2a﹣x）2（﹣3a+2x）；（3）（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝[（x2+2x）﹣3][（x2+2x）+1]＝（x2+2x﹣3）（x2+2x+1）＝（x+3）（x﹣1）（x+1）2；（4）x3+3x2﹣4＝（x3+2x2）+（x2﹣4）＝x2（x+2）+（x+2）（x﹣2）＝（x+2）（x2+x﹣2）＝（x+2）（x+2）（x﹣1）＝（x+2）2（x﹣1）．25．解：L形钢条的面积＝ac+（b﹣c）c＝ac+bc﹣c2＝c（a+b﹣c）；当a＝54mm，b＝54.5mm，c＝8.5mm时，原式＝8.5×（54+54.5﹣8.5）＝850（mm2），即面积为850mm2．26．解：（1）（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2＝mn+3my﹣2ny﹣6y2+n+3y+ny2＝mn+n+（3m﹣2n+3）y+（n﹣6）y2∵代数式的值与y无关，∴，∴，①若等腰三角形的三边长分别为6，6，3，则等腰三角形的周长为15．②若等腰三角形的三边长分别为6，3，3，则不能组成三角形．∴等腰三角形的周长为15．（2）∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴2x3﹣8x2﹣2x+2020＝2x（2x+5）﹣8x2﹣2x+2020＝4x2+10x﹣8x2﹣2x+2020＝﹣4x2+8x+2020＝﹣4（2x+5）+8x+2020＝﹣8x﹣20+8x+2020＝2000．27．解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a），则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a，∴，解得a＝13，k＝65，故另一个因式为（2x+13），k的值为65．28．解：（1）①没有，设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）＝（x+1）4（第五步）．故答案为：（x+1）4；②设x2﹣4x＝y．原式＝y（y+8）+16＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；（2）设x＝1﹣2﹣3﹣...﹣2021，y＝2+3+ (2022)则1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，2+3+…+2021＝y﹣2022，x+y＝1+2022＝2023，所以原式＝xy﹣（x﹣2022）（y﹣2022）＝xy﹣xy+2022（x+y）﹣20222＝2022×2023﹣20222＝2022（2022+1）﹣20222＝2022．。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.3因式分解》解答题专题提升训练（附答案）1．分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）m3+6m2+9m．2．因式分解：（1）2a2b﹣a3﹣ab2；（2）9（a﹣b）2﹣（a+b）2．3．分解因式：（1）a2（b﹣2）+（2﹣b）；（2）2x2+2x+．4．把下列各式因式分解：（1）﹣6x2+4xy；（2）3a2+12a+12；（3）2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）；（4）4a4﹣16a2．5．因式分解（1）a3﹣2a2b+ab2（2）4（m+n）2﹣（m﹣n）2（3）x2﹣2x﹣15（4）1﹣a2﹣4b2+4ab6．已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．7．（1）因式分解：2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）；（2）利用因式分解简化计算：2002﹣400×199+1992．8．观察下面的因式分解过程：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）利用这种方法解决下列问题：（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．9．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝m原式＝（m+4）（m+6）+1（第一步）＝m2+10m+25（第二步）＝（m+5）2（第三步）＝（x2﹣3x+5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+6）+9进行因式分解．（3）因式分解：（x2﹣4x+6）（x2﹣4x+2）+4＝（在横线处直接写出因式分解的结果）．10．△ABC三边a、b、c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．11．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．（3）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．12．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝a，则原式＝（a+2）（a+6）+4（第一步）＝a2+8a+16（第二步）＝（a+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？.（填“彻底”或“不彻底”）若彻底，直接跳到第（3）问；若不彻底，请先直接写出因式分解的最后结果：．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．13．甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了b，分解结果为（x﹣2）（x+6）．求多项式x2+ax+b分解因式的正确结果．14．阅读下面材料完成分解因式．x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq＝x2+px+qx+pq＝（x2+px）+（qx+pq）＝x（x+p）+q（x+p）＝（x+P）（x+q）这样，我们得到x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式例把x2+3x+2分解因式分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．解：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法将下列多项式分解因式，（1）x2+10x+24；．（2）3a2﹣3ab﹣36b2．15．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x ＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值；（2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值．（3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解．16．把下列各多项式因式分解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；（6）16x4﹣72x2y2+81y4．17．先阅读，再分解因式x3﹣1＝x3﹣x2+x2﹣1＝x2（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+1）参考上述做法，将下列多项式因式分解（1）a3+1（2）a4+4．18．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝．19．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试将一个多项式分组后，再运用提取公因式或运用乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行分解：ax﹣ay﹣bx+by＝（）﹣（）＝（）（）；x2﹣y2+x﹣y＝（）+（）＝（）（）（2）分解下列因式：①ab﹣ac+b﹣c；②﹣4b2+9a2﹣6ac+c2．20．现有足够多的甲、乙、丙三种卡片，如图1所示．（1）选用其中若干张卡片拼成一个长方形（图2）．①请用两种不同的方法表示长方形（图2）的面积（用含有a，b的代数式表示）．②若b＝a，且长方形（图2）的面积是35，求一张乙卡片的面积．（2）若从中取若干张卡片拼成一个面积为4a2+4ab+b2的正方形，求出拼成的正方形的边长．参考答案1．解：（1）原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝m（m2+6m+9）＝m（m+3）2．2．解：（1）2a2b﹣a3﹣ab2＝﹣a（a2﹣2ab+b2）＝﹣a（a﹣b）2；（2）9（a﹣b）2﹣（a+b）2＝[3（a﹣b）+（a+b）][3（a﹣b）﹣（a+b）]＝（3a﹣3b+a+b）（3a﹣3b﹣a﹣b）＝（4a﹣2b）（2a﹣4b）＝4（2a﹣b）（a﹣2b）．3．解：（1）a2（b﹣2）+（2﹣b）＝（b﹣2）（a2﹣1）＝（b﹣2）（a+1）（a﹣1）；（2）2x2+2x+＝（4x2+4x+1）＝（2x+1）2．4．解：（1）﹣6x2+4xy＝﹣2x（3x﹣2y）；（2）3a2+12a+12＝3（a2+4a+4）＝3（a+2）2；（3）2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）＝2x（a﹣2）+y（a﹣2）＝（a﹣2）（2x+y）；（4）4a4﹣16a2＝4a2（a2﹣4）＝4a2（a+2）（a﹣2）．5．解：（1）原式＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2；（2）原式＝[2（m+n）+（m﹣n）][2（m+n）﹣（m﹣n）]＝（2m+2n+m﹣n）（2m+2n﹣m+n）＝（3m+n）（m+3n）；（3）原式＝（x+3）（x﹣5）；（4）原式＝1﹣（a2﹣4ab+4b2）＝1﹣（a﹣2b）2＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．6．解：a3b+2a2b2+ab3＝a3b+a2b2+a2b2+ab3＝a2b（a+b）+ab2（a+b）＝（a2b+ab2）（a+b）＝ab（a+b）（a+b）∵a+b＝，ab＝﹣，∴原式＝﹣××＝﹣；∴代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣．7．解：（1）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）＝2（a﹣b）（a2﹣4）＝2（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；（2）2002﹣400×199+1992＝2002﹣2×200×199+1992＝（200﹣199）2＝1．8．解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）＝（a+3b）（2﹣3m）；或2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）＝（2﹣3m）（a+3b）；（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC是等腰三角形．9．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．故答案为：C；（2）设x2+2x＝y，原式＝y（y+6）+9＝y2+6y+9＝（y+3）2＝（x2+2x+3）2；（3）设x2﹣4x+2＝z，原式＝z（z+4）+4＝z2+4z+4＝（z+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．10．解：∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．11．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）x2﹣y2﹣2y+2x＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）＝（x﹣y）（x+y+2）∵x+y＝7，x﹣y＝5，∴原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45；（3）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．12．解：（1）从第二步到第三步是两个数和的完全平方式，故选：C．（2）分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，而（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，故答案为：不彻底，（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝a，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．13．解：∵甲看错了a，分解结果为（x+2）（x+4），但b是正确的，（x+4）（x﹣8）＝x2﹣4x﹣32，∴b＝﹣32，∵（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，乙看错了b，但a是正确的，∴a＝4，∴x2+ax+b＝x2+4x﹣32＝（x+8）（x﹣4）．14．解：（1）x2+10x+24＝（x+4）（x+6）；（2）3a2﹣3ab﹣36b2＝3（a2﹣ab﹣12b2）＝3（a﹣4b）（a+3b）．15．解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式∴x＝3时，x2+kx+12＝0∴9+3k+12＝0∴3k＝﹣21∴k＝﹣7∴k的值为﹣7．（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0∴解得∴m、n的值分别为﹣7和0．（3）∵m＝﹣7，n＝0，∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x ∴x3﹣7x2+12x＝x（x2﹣7x+12）＝x（x﹣3）（x﹣4）16．解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）＝﹣3xy2（x﹣y）2；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3＝18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3＝6（a﹣b）2[3b﹣2（a﹣b）]＝6（a﹣b）2（3b﹣2a+2b）＝6（a﹣b）2（5b﹣2a）；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16＝（m2﹣5+4）2＝（m2﹣1）2＝[（m+1）（m﹣1）]2＝（m+1）2（m﹣1）2；（6）16x4﹣72x2y2+81y4＝（4x2﹣9y2）2＝[（2x+3y）（2x﹣3y）]2＝（2x+3y）2（2x﹣3y）2．17．解：（1）原式＝a3+a2﹣a2﹣1＝a2（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）＝（a+1）（a2﹣a+1）；（2）原式＝a4+4a2+4﹣4a2＝（a2+2）2﹣（2a）2＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a）．18．解：（1）设x﹣y＝a，原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；（2）设a﹣1＝m，原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；（3）设y2﹣4y＝a，原式＝a（a+8）+16＝a2+8a+16＝（a+4）2，将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．19．解：（1）ax﹣ay﹣bx+by＝（ax﹣ay）﹣（bx﹣by）＝（a﹣b）（x﹣y）；x2﹣y2+x﹣y＝（x﹣y）（x+y）+x﹣y＝（x+y+1）（x﹣y）故答案为：ax﹣ay；bx﹣by；（a﹣b）；（x﹣y）；x2﹣y2；x﹣y；（x+y+1）；（x﹣y）．（2）①ab﹣ac+b﹣c＝a（b﹣c）+（b﹣c）＝（a+1）（b﹣c）；②﹣4b2+9a2﹣6ac+c2＝9a2﹣6ac+c2﹣4b2＝（3a﹣c）2﹣（2b）2＝（3a﹣c+2b）（3a﹣c﹣2b）20．解：（1）①大长方形的长是（2a+b），宽是（a+b），面积为（2a+b）（a+b）；大长方形面积等于图中6个图形的面积和为2a2+3ab+b2；②根据题意得，（2a+b）（a+b）＝35，∵b＝a，∴a（a+a）＝35，∴a＝2或﹣2（舍弃）∴b＝3，∴ab＝6，∴一张乙卡片的面积为6；（2）∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴拼成的正方形的边长为2a+b．。

第十四章14.3整式的乘法因式分解练习1．因式分解：a2＋2a＋1＝．2．因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y2=．3．分解因式：a2b+4ab+4b=______．4．分解因式：2x2﹣8=_____________5．因式分解：4ax2﹣4ay2=_____．6．计算：20182﹣2018×2017=_____．7．把多项式9x3﹣x分解因式的结果是_____．8．把16a3﹣ab2因式分解_____．9．已知x2﹣4x+3=0，求（x﹣1）2﹣2（1+x）=_____．10．已知a,b,c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc－2b2，则△ABC是_____三角形. 11．多项式3x﹣6与x2﹣4x+4有相同的因式是_________.12．已知m²-n²=16，m+n=5，则m-n=5 ___________________．二、解答题13．因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2．14．因式分解（x﹣2y）2+8xy．15.利用因式分解计算：2022+202×196+98216．把下列多项式分解因式：（1）3a2﹣12ab+12b2 （2）m2（m﹣2）+4（2﹣m）17．分解因式：（1）3x2﹣12x （2）（3）18．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2一定能被20整除．19．已知a=2017x+2016，b=2017x+2017，c=2017x+2018．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．20．已知a，b，c是三角形ABC的三边的长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，试判断此三角形三边的大小关系．21．先化简，再求值：4xy+（2x ﹣y ）（2x+y ）﹣（2x+y ）2，其中x=2016，y=1．22.先化简，再求值：2(x-y)2-(2x+y)(x-3y)，其中x=1，y=51-．23化简，求值（1）已知代数式（x ﹣2y ）2﹣（x ﹣y ）（x+y ）﹣2y 2①当x=1，y=3时，求代数式的值；②当4x=3y ，求代数式的值．（2）已知3a 2+2a+1=0，求代数式2a （1﹣3a ）+（3a+1）（3a ﹣1）的值．24．已知x 4+y 4+2x 2y 2﹣2x 2﹣2y 2﹣15=0，求x 2+y 2的值参考答案1．(a＋1)2 2．﹣3（x﹣y）2 3．b（a+2）24．2（x+2）（x﹣2）5．4a（x﹣y）（x+y）6．2018 7．x（3x+1）（3x﹣1）8．a（4a+b）（4a﹣b）9．-4 10．等边11．x﹣212． 16/513．3（x+y）（x﹣y）．14．（x+2y）2．15．9000016．（1）3（a﹣2b）2；（2）（m﹣2）2（m+2）．17．(1)3x(x-4) (2)-2(m-2n)2 (3)(x-1)(a+b)(a-b)18．∵（n+7）2﹣（n﹣3）2=[（n+7）+（n-3）][（n+7）﹣（n﹣3）]=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2一定能被20整除．19．3.∵a=2017x+2016，b=2017x+2017，c=2017x+2018，∴a﹣b=-1，b﹣c=-1，a﹣c=-2，则原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=×(1+1+4)=3．20．a=b,c=b21．﹣2y2，﹣2．22．,023．（1）①15；②0；（2）﹣2．24．x2+y2=5．。

人教版八年级数学上册《14.3因式分解》练习题-附带答案一、单选题1．因式分解：=（）A．B．C．D．2．多项式分解因式时应提取的公因式是（）A．B．C．D．3．下列各式从左到右的变形因式分解正确的是（）A．B．C．D．4．若则的值为（）A．13 B．18 C．5 D．15．当为自然数时一定能（）A．被5整除B．被6整除C．被7整除D．被8整除6．已知则代数式的值是（）A．9 B．18 C．20 D．247．篮子里有若干苹果可以平均分给名同学也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数）用代数式表示苹果数量不可能的是（）A．B．C．D．8．小东是一位密码爱好者在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学现将因式分解其结果呈现的密码信息可能是（）．A．勤学B．爱科学C．我爱理科D．我爱科学二、填空题9．在实数范围内分解因式：.10．分解因式：．11．若多项式有两个因式和则．12．已知x+y=4 x+3y=2则代数式x2+4xy+4y2的值为.13．将一个二次三项式分解因式一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x-1）（x-9）另一位同学因看错了常数项而分解成3（x-2)（x-4) 那么这个二次三项式正确的分解应是．三、计算题14．因式分解：（1）（2） .15．把下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）16．已知：求下列多项式的值．（1）（2）17．先阅读下列材料再解答下列问题：分解因式：将：将看成整体设则原式再将换回去得原式上述解题用到的是“整体思想”“整体思想"是数学解题中常用的一种思想方法请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）（2）．参考答案：1．A2．C3．D4．A5．D6．C7．B8．C9．10．11．-312．913．3（x﹣3）2 14．（1）解：＝（6＋x）（6−x）（2）解：＝-2a（）＝-2a（a−3）2. 15．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：.16．（1）解：原式（2）解：将代入原式17．（1）解：设则原式将换回去得：原式（2）解：设则原式将换回去得：原式。

第十四章测试卷一、选择题1.计算(a³)²÷a² 的结果是 ( )A. a³B. a⁴C. a⁷D. a⁸2.若(x−4)⁰=1,则x的取值范围是 ( )A. x≠4B. x>4C. x<4D. x≥43.下列因式分解正确的是( )A.2ax²−4ax=2a(x²−2x)B.−ax²+4ax−4a=−a(x−2)²C.x²+2xy+4y²=(x+2y)²D.−m²+n²=(−m+n)(−m−n)4.已知x+1x =5, 那么x2+1x2=( )A.10B.23C.25D.275.化简(a+b+c)²−(a−b+c)² 的结果为( )A.4ab+4bcB.4acC.2acD.4ab--4bc6.不等式(x+1)(x-2)>x(x+2)的解集是( )A.x>23 B.x>−23C.x<23 D.x<−237.已知((10x-31)(13x-17)-(13x-17)(3x-23)可因式分解成( ax+b)(7x+c),其中a,b,c均为整数,则a-b+c的值为( )A.-12B.-4C.22D.388.长方形的面积是9a²−3ab+6a³,一边长是3a，则它的另一边长是( )A.3a²−b+2a²B.b+3a+2a²C.2a²+3a−bD.3a²−b+2a9.已知a²−2a−1=0, 则a⁴−2a³−2a+ 1 等于( )A.0B.1C.2D.310.如图,两个正方形的边长分别为a、b,如果a+b=18, ab=60,则图中阴影部分的面积为( )A.144B.72C.68D.36二、填空题11.计算: (18x3y2−12x2y3+x2y2)÷(−6x2y2)=12.分解因式：a²b+ab²-a-b= .13.若规定 a⊗b=10ᵃ×10ᵃ,如 2⊗3=10²×10³=10⁵,则 4⊗8为 .14.若a-b=2,a-c=1.则(2a−b−c)²+(c−a)²=.15.多项式 x²+y²−4x+6y+15的最小值是 .三、解答题16.(8分)计算:(1)[(m+n)(m−n)+(m−n)2−4m(m−n)]÷(2m);(2)(m+n+2)(m+n-2)-m(m+4n).17.(9分)把下列各式分解因式：(1)(x−1)+b²(1−x);(2)−3x⁷+24x⁵−48x³;(3)(x+3)(x+4)+(x²−9).18.(9分)化简并求值:(2a−b)²−(4a+b)(a−b)−2b²,其中 a=12,b=−13.19.(9分)如图，一块长为 (6a²+4b²)m,宽为 5a ⁴m 的长方形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为 2a³m的小正方形，然后将剩余部分折成一个无盖的盒子，则这个盒子的表面积是多少?20.(9分)已知 2ⁿ=a,5ⁿ=b,20ⁿ= c.试探究a ，b ，c 之间有什么关系.21.(10分)已知 2⁴⁸−1可以被 60 至 70 之间的某两个数整除，求这两个数.22.(10分)阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法是无法分解的，如 x²−4y²+2x −4y,细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程：x²−4y²+2x −4y=(x²−4y²)+(2x −4y )=(x+2y)(x-2y)+2(x-2y)=(x-2y)(x+2y+2).这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式： x²−6xy +9y²−3x +9y;(2)△ABC 的三边长a,b,c 满足 a²−b²−ac +bc =0,判断 △ABC 的形状.^23.(11分)在《乘法公式》中我们学习了完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab +b².类比此公式，我们把( (a+b)ⁿ写成如下形式：(a+b)n=Ca n b0+C1a n−1b1+C2a n−2b2+⋯+C n−1ab n−1+C n a0b n,右边的多项式叫做(a+b)ⁿ的二项展开式.把C0,C1,C2,⋯,Cn−1,Cn叫做二项式的系数，C+C1+C2+⋯+Cn−1+Cn的和叫做二项式的系数之和.(1)仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：①(a+b)¹的二项式的系数之和为，((a+b)²的二项式的系数之和为，((a+b)³的二项式的系数之和为；②请写出(a+b)¹⁰的二项式的系数之和： .(2)设(x+1)17=a17x17+a16x16+⋯+a1x+a0,求a1+a2+a3+⋯+ a₁₆+a₁₇的值；(3)你能在(2)的基础上求出a2+a4+a6+⋯+a14+a16的值吗? 若能，请写出过程，若不能，请说明理由.第十四章测试卷1、B2、A3、B4、B5、A6、D7、C8、C9、C 10、B11、-3x+2y-1612、（a+b)(ab-1）13、101214、10 15、216、（1）解：原式=(m²−n²+m²−2mn+n²−4m²+4mn)÷(2m)=(−2m²+2mn)÷(2m)=-m+n.（2）解：原式= (m+n)²−2²−m²−4mn=m²+2mn+n²−4−m²−44mn =n²−2mn−4.17、（1）解：原式= (x−1)−b²(x−1)=(x−1)(1−b²)=(x−1)(1−b)(1+b).（2）解：原式=−3x³(x⁴−8x²+16)=−3x³(x²−4)²=−3x³(x+2)(x−2)².(3)解：原式= (x+3)(x+4)+(x+3)(x−3)=(x+3)(x+4+x−-3) =(x+3)(2x+1). 18、解：原式=4a²−4ab+b²−(4a²−3ab−b²)−2b²=−ab,当 a=12,b=−13时，原式=−12×(−13)=16.19、解：由题意，得这个盒子的表面积为(6a²+4b²)⋅5a⁴−4×(2a³)²=30a⁶+20a⁴b²−16a⁶=(14a⁶+20a⁴b²)(m²).20、解：因为 c=20ⁿ=(4×5)ⁿ=4ⁿ×5ⁿ=(2²)ⁿ×5ⁿ=(2ⁿ)²×5ⁿ=a²b,所以a，b，c之间的关系是 c=a²b.21、解：248−1=(224+1)(224−1)=(224+1)(2¹²+1)(2¹²−1)=(224+1)) (2¹²+1)(2⁶+1)(2⁶−1)=(224+1)(2¹²+1)×65×63,所以这两个数为63和65.22、解：(1)x²−6xy+9y²−3x+9y=(x²−6xy+9y²)−(3x−9y)=(x−3y)²-3(x-3y)=(x-3y)(x-3y-3).(2)∵a²−b²−ac+bc=0,(a²−b²)−(ac−bc)=0,∴(a+b)(a−b)−c(a−b)=0,∴(a−b))[(a+b)-c]=0,∵a,b,c是△ABC的三边长，∴(a+b)−c>0,∴a− b=0,得 a=b,∴△ABC是等腰三角形.23.解:(1) ①2¹、 2²、2³ ② 2¹⁰ .(2)由(1)①得( (x+1)¹⁷的二项式的系数之和为2¹⁷，即 a₀+a₁+a₂+a3+⋯+a16+a17=217,当x=0时, 1=a0,∴a1+a2+a3+⋯+a16+a17=2¹⁷−1.(3)当x=1时, (1+1)17=217=a17×1+a16×1+⋯+a1×1+a=a17+a16+⋯+a1+a①,当x=-1 时, (−1+1)¹⁷=0=−a17+a16−⋯+a2−a1+a0②,①+②)得 2(a0+a2+a4+a6+⋯+a14一a16=1,∴a2+a4+a6+⋯+a14+a16=216−1.。

初中数学人教版八年级上册第十四章14.3因式分解一、单选题（共9题；共18分）1. ( 2分) 方程x2﹣x＝0的解为（）A. x1＝x2＝1B. x1＝x2＝0C. x1＝0，x2＝1D. x1＝1，x2＝﹣12. ( 2分) 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A. （x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9yB. x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）C. 3x2+6x﹣1＝3x（x+2）﹣1D. （x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y23. ( 2分) 已知，，则的值为A. 12B.C.D. 244. ( 2分) 某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy•（4y-__）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（）A. 2xB. -2xC. 2x-1D. -2x-l5. ( 2分) 多项式2a2-18与3a2-18a+27的公因式是( )A. a-3B. a+3C. a-9D. a+96. ( 2分) 多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A. x+2y+1B. x+2y﹣1C. x﹣2y+1D. x﹣2y﹣17. ( 2分) 已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（）A. ﹣1B. 7C. ﹣1或7D. 以上全不正确8. ( 2分) 把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（）A. （a-1）（b-1）B. （a+1）（b+1）C. （a+1）（b-1）D. （a-1）（b+1）9. ( 2分) 若a ，b ，c是三角形的三边之长，则代数式a-2ac+c-b的值（）A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 以上三种情况均有可能二、填空题（共6题；共6分）10. ( 1分) 分解因式2（y – x）2+ 3(x – y)=________.11. ( 1分) 多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是________．12. ( 1分) 有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，分解因式的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：________ 写出一个即可．13. ( 1分) 若mn = 1，m - n = 2，则m2n - mn2的值是________．14. ( 1分) 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为________三角形．15. ( 1分) 因式分解：x3-5x2+4x=________．三、计算题（共3题；共20分）16. ( 10分) 把下列各式因式分解:（1）（2）17. ( 5分) 先因式分解，再求值：(2x－3y)2－(2x＋3y)2，其中x＝，y＝.18. ( 5分) 若|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，求－a3b－2a2b2－ab3的值．四、解答题（共4题；共30分）19. ( 5分) 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．20. ( 5分) 数257－512能被120整除吗?请说明理由.21. ( 10分) 已知：多项式A=b3﹣2ab（1）请将A进行因式分解：（2）若A=0且a≠0，b≠0，求的值．22. ( 10分) 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案为：C．【分析】通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．2.【答案】B【考点】因式分解的定义【解析】【解答】A、（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）是因式分解，故本选项符合题意；C、3x2+6x﹣1＝3x（x+2）﹣1结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．故答案为：B．【分析】根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断．3.【答案】D【考点】因式分解的应用【解析】【解答】∵，，∴．故答案为：D．【分析】先提取公因式，整理后把已知条件整体代入计算即可．4.【答案】C【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故答案为：C．【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．5.【答案】A【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】2a2-18=2（a2-9）=2（a+3）（a-3）3a2-18a+27=3（a2-6a+9）=3（a-3）2所以多项式的公因式为（a-3）故答案为：A【分析】对多项式进行提取公因式进行因式分解，即可找到公因式。