辽宁省2023—2024学年度上学期12月份月考考试高二数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若m R ∈则方程221x y m +=所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线2.两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行3.直线1l ：310++=mx y ，2l ：()2520x m y +++=，若12l l //，则实数m 的值为（）A.6- B.1C.6-或1D.3-4.若直线1l ：230x y -+=关于直线l ：20x y -+=对称的直线为2l ，则2l 的方程为（）A.210x y ++=B.210x y +-=C.0x y += D.230x y -+=5.已知椭圆E:22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A.245x ＋236y ＝1B.236x ＋227y ＝1C.227x ＋218y ＝1D.218x ＋29y ＝16.在正四面体A BCD -中，其外接球的球心为O ，则AO =（）A.131244AD AB AC -+B.331444AD AB AC ++C.111444AD AB AC ++D.131444AD AB AC -+7.已知圆22:(2)()2()C x y a a -++=∈R 关于直线:1l y x =-对称，过点(2,)P a a 作圆C 的两条切线PA 和PB ，切点分别为A B 、，则||AB =（）A.3B.3C.5D.58.如图，在正方形中，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的动点，且AE BF =，AC 与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．现将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，在EF 从AB 滑动到CD 的过程中，AGC ∠的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知12,v v 分别为直线12,l l 的方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（）A.2121////v v l l ⇔B.111v n l α⊥⇔⊥C.12////n n αβ⇔D.12n n αβ⊥⇔⊥10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是（）A.22094x y -= B.220y x -= C.2491x y += D.222x y +=11.已知P 为双曲线2214x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A.I 的横坐标为2B.1212255PIF PIF IF F S S S -=△△△C.2OA =D.121255PF F IF F S S =△△12.已知点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，则（）A.抛物线C 的方程是24y x= B.124x x =C.当3AF FB = 时，323AB =D.AMF BMF∠=∠三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点()00,Mxy 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是_________.14.已知向量()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，若//a b ，则m ，n 满足的关系式为______．15.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则点B 到平面APC 的最大距离为______．16.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且3APB π∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是______．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点()4,4M 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 为C 的焦点，A 、B 是C 上两个动点．（1）直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值．（2）若直线MF ，MB 的倾斜角互补，MF 与C 的另一个交点为A ，求直线AB 的斜率．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面1,2,3ABC AC BC CC ===，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 中点．（1）求证：1C M //平面1B DE ；（2）若DE BC ⊥，求二面角1A DE B --的余弦值．19.设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C ，D ，且焦距为2.F 为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C ，D 两点.若直线MC 与MD 的斜率之积为34-.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()4,0P 作一条斜率不为0的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点（A 在B ，P 之间），直线BF 与椭圆E 的另一个交点为H ，求证：点A ，H 关于x 轴对称.20.已知点M 到直线l ：2x =的距离和它到定点()1,0F ．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形PAB 面积的最小值．（二次曲线220Ax By C ++=在其上一点()00,Q x y 处的切线为000Ax x By y C ++=）21.如图，四棱锥E ABCD -中，平面CBE ⊥平面ABE ，120ABE ∠= ，23AB DC ==，2BE =，//DC AB ，CB CE =．（1）求证：平面DAE ⊥平面ABE ；（2）若60DBA ∠= ，求BD 与平面ABE 所成角的正切值．22.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上．（1）点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；（2）点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．辽宁省2023—2024学年度上学期12月份月考考试高二数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若m R ∈则方程221x y m +=所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线【答案】C 【解析】【分析】讨论参数m 的取值，从而确定方程所代表的曲线，即可判断各项的正误.【详解】当0m =时，曲线方程为1x =±，即为两条直线；当10m =>时，曲线方程为221x y +=，即为原点为圆心，半径为1的圆；当10m =-<时，曲线方程为221x y -=，即为双曲线；而不论m 为何值时，都不可能为抛物线.故选：C2.两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行【答案】A 【解析】【分析】令m n λ=，利用空间向量的坐标运算判断即可.【详解】令m n λ=，即()()1,1,22,2,1λ-=-，则12122λλλ=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，此方程组无解，则直线1l ，2l 不平行，即相交或异面.故选：A ．3.直线1l ：310++=mx y ，2l ：()2520x m y +++=，若12l l //，则实数m 的值为（）A.6-B.1C.6-或1D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据已知得出2560m m +-=，求解得出m 的值，代入12,l l 的方程检验，即可得出答案.【详解】由12l l //可得，()5320m m +-⨯=，即2560m m +-=，解得6m =-或1m =.当6m =-时，1l 方程为6310x y -++=，2l 方程为220x y -+=不重合，满足；当1m =时，1l 方程为310x y ++=，2l 方程为2620x y ++=，即310x y ++=，与1l 重合，舍去.综上所述，6m =-.故选：A.4.若直线1l ：230x y -+=关于直线l ：20x y -+=对称的直线为2l ，则2l 的方程为（）A.210x y ++=B.210x y +-=C.0x y +=D.230x y -+=【答案】D 【解析】【分析】直线1l 与l 的交点在直线2l 上，并且直线1l 上任取一点，该点关于直线l 的对称点也在直线2l 上，根据两点坐标求出2l 斜率，即可求出直线2l 的方程.【详解】联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即1l 与l 的交点为()1,1-.又点()0,3A 在1l 上，设A 关于l 的对称点为()1,A a b ，则310032022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，即()11,2A ，所以直线2l 的斜率()211112k -==--，从而直线2l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=.故选：D5.已知椭圆E:22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A.245x ＋236y ＝1B.236x ＋227y ＝1C.227x ＋218y ＝1D.218x ＋29y ＝1【答案】D 【解析】【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，所以22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩，运用点差法，所以直线AB 的斜率为22b k a =，设直线方程为22(3)b y x a =-，联立直线与椭圆的方程222224()690a b x b x b a +-+-=，所以2122262b x x a b+==+；又因为22a b 9-=，解得229,18b a ==.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.6.在正四面体A BCD -中，其外接球的球心为O ，则AO =（）A.131244AD AB AC -+B.331444AD AB AC ++C.111444AD AB AC ++D.131444AD AB AC -+【答案】C 【解析】【分析】根据立体图形结合空间向量的线性运算即可.【详解】由题知，在正四面体A BCD -中，因为O 是外接球的球心，设三角形BCD 的中心为点,E BC 的中点为F ，则34AO AE =，121211111333322333AE AD AF AD AB AC AD AB ⎛⎫=+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭ ，111444AO AB AC AD =++ ．故选：C ．7.已知圆22:(2)()2()C x y a a -++=∈R 关于直线:1l y x =-对称，过点(2,)P a a 作圆C 的两条切线PA 和PB ，切点分别为A B 、，则||AB =（）A.3B.3 C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】圆心C 在直线l 上，求出a ，利用切线算出,,PC AC PA 的长度，再利用等面积法即可的.【详解】圆心(2,)C a -在直线:1l y x =-上，解得1a =-，因此22:(2)(1)2C x y -+-=，(2,1)P --，22218,PC AC r PA PC AC PA ===∴=-=∴=，111222PAC S PA AC PC AB =⋅=⋅ ,∴||5AB =故选:D8.如图，在正方形中，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的动点，且AE BF =，AC 与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．现将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，在EF 从AB 滑动到CD 的过程中，AGC ∠的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大【答案】C【解析】【分析】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，利用空间向量的数量积可判断.【详解】设正方形的边长为1，AE a =，(),0,0A a ，()0,1,1C a -，()0,,0G a ，()0,1,0F ，(),1,0B a ，(),,0AG a a =- ，()0,1,1GC a a =--，1cos 2AG GC AGC AG GC⋅∠===，由面面垂直关系可知120AGC ∠=︒，即角度不会发生变化，所以C 正确；故选：C.二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知12,v v 分别为直线12,l l 的方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（）A.2121////v v l l ⇔B.111v n l α⊥⇔⊥C.12////n n αβ⇔D.12n n αβ⊥⇔⊥【答案】ACD 【解析】【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.【详解】A ：由题设2121////v v l l ⇔，对；B ：由题设111//v n l α⇔⊥ ，111v n l α⊥⇔⊂或1//l α，错；C ：由题设12////n n αβ⇔，对；D ：由题设12n n αβ⊥⇔⊥，对.故选：ACD10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是（）A.22094x y -= B.220y x -= C.2491x y += D.222x y +=【答案】ACD 【解析】【分析】由()()(),,,,,x y x y x y --同时满足方程求得正确答案.【详解】(),x y 关于x 轴的对称点为(),x y -，关于y 轴的对称点为(),x y -，()()(),,,,,x y x y x y --同时满足方程22094x y-=、2491x y +=、222x y +=，ACD 选项正确.22120,2y x y x -==，是开口向上的抛物线，关于y 轴对称，不关于x 轴对称，B 选项错误.故选：ACD11.已知P 为双曲线2214x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A.I 的横坐标为2B.1212255PIF PIF IF F S S S -=△△△C.2OA =D.121255PF F IF F S S =△△【答案】ABC 【解析】【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得.【详解】双曲线2214x y -=的实半轴长2a =，半焦距c =，设12PF F △的内切圆在1PF ，2PF ，12F F 上的切点分别为,,M N T ，切点(,0)T t ，显然1212122||||24a PF PF MF NF TF TF t =-=-=-==，即2t =，而12IT F F ⊥，则I 的横坐标为2，A 正确；设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212121521552PIF PIF IF F r PF PF S S a S c r F F --=== ，B 正确；延长2F A 交1PF 于E 点，由PA 平分12F PF ∠，2PA AF ⊥，得2||||PF PE =，A 为2F E 的中点，因此11224OA EF PF PF ==-=，即有2OA =，C 正确；12121212121212121()225521252PF F IF F r PF PF F F S PF PF F Fa c S F F c r F F +++++==>=⋅ ，D 错误.故选：ABC12.已知点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，则（）A.抛物线C 的方程是24y x= B.124x x =C.当3AF FB = 时，323AB =D.AMF BMF∠=∠【答案】BCD 【解析】【分析】求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，可判断A 选项；设直线l 的方程为2x my =+，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B 选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出2m 的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项；计算出直线AM 、BM 的斜率之和，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为2px =-，因为点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，则22p-=-，可得4p =，所以，抛物线C 的方程为28y x =，A错；对于B 选项，抛物线C 的焦点为()2,0F ，若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为2x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，可得28160y my --=，264640m ∆=+>，则1216y y =-，所以，()22212121648864y yx x -=⋅==，B 对；对于C 选项，因为3AF FB =，即()()11222,32,x y x y --=-，则123y y -=，因为12228y y y m +=-=，可得24y m =-，则()2221223344816y y y m m =-=-⨯-=-=-，则213m =，此时，()()21212124224881AB x x my my m y y m =++=++++=++=+1328133⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，111124AM y y k x my ==++，同理可得224BM y k my =+，所以，()()()()1221121212444444AM BMy my y my y y k k my my my my ++++=+=++++()()()()()1212121224323204444my y y y m mmy my my my ++-+===++++，所以，AMF BMF ∠=∠，D 对.故选：BCD.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点()00,Mx y 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是_________.【答案】相离【解析】r <，由点到直线的距离公式可得圆心到直线200x x y y r +=的距离d 2=，则有d r >，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】解：因为()00,Mxy 是圆222x y r +=内异于圆心的点，所以22200x y r +<r <，①又圆心到直线200x x y y r +=的距离d =2=，②联立①②可得的d r >，即直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是相离，故答案为相离.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及点到直线的距离公式，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题.14.已知向量()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，若//a b ，则m ，n 满足的关系式为______．【答案】6mn =（答案不唯一）【解析】【分析】根据//a b得到存在实数λ，使a b λ=，根据坐标运算列式可得答案.【详解】//a b ，()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，则存在实数λ，使a b λ=，即321nm λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，可得m ，n 满足的关系式为6mn =或1n m -=等故答案为：6mn =（答案不唯一）.15.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA=，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则点B 到平面APC 的最大距离为______．【答案】2【解析】【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，然后求其最值即可.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，则)()1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0,0,0,2A B C D ，则()11,1,2BD =-- ，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=-- ，()1,1,0AC =- ，()0,1,0AB =设平面APC 的法向量(),,n x y z =r，则()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，取2x λ=可得()2,2,21n λλλ=- ，则点B 到平面APC的距离为||||AB n n ⋅= ，当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当0λ≠时，2==.当且仅当12λ=时，等号成立，所以点B 到平面APC 的最大距离为22.故答案为：2.16.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且3APB π∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是______．【答案】,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】连接,,OA OP OB ，则,OA AP OB BP ⊥⊥，设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，分析可得||2OP b a =≥，可得ba范围，进而可得离心率的范围.【详解】连接,,OA OP OB ，则,OA AP OB BP ⊥⊥，由切线长定理可得PA PB =，又OA OB =，PO PO =，所以AOP BOP ≅ 所以126APO BPO APB π∠∠∠===，则||2||2OP OA b==设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，且x a ≥，所以||2OP b a ====≥=所以12b a ≥，故2c e a ===.故答案为：,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点()4,4M 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 为C 的焦点，A 、B 是C 上两个动点．（1）直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值．（2）若直线MF ，MB 的倾斜角互补，MF 与C 的另一个交点为A ，求直线AB 的斜率．【答案】（1）4（2）12-【解析】【分析】（1）先代入点M 的坐标求出抛物线方程，设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式求解AB 的最小值；（2）先利用MF MA k k =求出A 坐标，再利用0MB MA k k +=求出B 点坐标，进而可得直线AB 的斜率．【小问1详解】点()4,4M为抛物线()2:20C y px p =>上一点∴168p =，得2p =，即抛物线方程为24y x =，设直线AB 的方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，216160t ∆=+>，∴12124,4y y t y y +==-，∴()2222121221212216811222444444y y y y y y t AB x x t +-++=+++=+=+=+=+≥.当0=t 时，等号成立，∴直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值为4【小问2详解】直线MF ，MB 的倾斜角互补，()1,0F ，则直线MF 的斜率2240444414443M A A A A MF M M M M A A y y y y k y y x x y y y ---======--++-解得1A y =-，则1,14A ⎛⎫-⎪⎝⎭，同理44BMB k y =+，44043B MB MA k k y ∴=++=+，解得7B y =-，则49,74B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线AB 的斜率7(1)6149112244AB k ----===--.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面1,2,3ABC AC BC CC ===，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 中点．（1）求证：1C M //平面1B DE ；（2）若DE BC ⊥，求二面角1A DE B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66-【解析】【分析】（1）取1A D 的中点N ，连接1,MN C N ，证明平面1MNC //平面1B DE 后可证得题中线面平行；（2）先证得BC AC ⊥，然后建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．【小问1详解】取1A D 的中点N ，连接1,MN C N ，因为1,2AD CE ==，11//AA CC ，所以1//C E DN 且1C E DN =，所以四边形1DEC N 为平行四边形，所以1//DE C N ，又1C N ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以1C N //平面1B DE ，因为M 为棱11A B 中点，所以1//MN DB ，又MN ⊄平面1B DE ，1DB ⊂平面1B DE ，所以MN //平面1B DE ，又11,,C N MN N C N MN ⋂=⊂平面1MNC ，所以平面1MNC //平面1B DE ，又1C M ⊂平面1MNC ，所以1C M //平面1B DE ；【小问2详解】因为1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥，又11,,,DE BC DE CC E DE CC ⊥⋂=⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，又AC ⊂平面11ACC A ，所以ACBC ⊥，如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,2,0,0,0,0,2,0,1,0,0,2,0,2,3B C D E B ，因为BC ⊥平面11ACC A ，所以()0,2,0CB =，即为平面11ACC A 的一个法向量，()()12,0,1,0,2,1DE EB =-=，设平面1DEB 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DE x z n EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则2,1z y ==-，所以()1,1,2n =- ，则cos ,6CB n CB n CB n ⋅===-，由图可知，二面角1A DE B --为钝二面角，所以二面角1A DE B --的余弦值为6-．19.设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C ，D ，且焦距为2.F 为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C ，D 两点.若直线MC 与MD 的斜率之积为34-.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()4,0P 作一条斜率不为0的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点（A 在B ，P 之间），直线BF 与椭圆E 的另一个交点为H ，求证：点A ，H 关于x 轴对称.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据直线MC 与MD 的斜率之积得到2222413x y a a+=，故2234b a =，结合焦距得到24a =，23b =，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出0FA FH k k +=，得到结论.【小问1详解】由题意有(),0C a -，(),0D a ，设(,)M x y ，34MC MD y y k k x a x a ⋅=⋅=-+-，化简得2222413x y a a+=，结合22221x y a b +=，可得2234b a =，由椭圆焦距为2，有2222231144a b a a a -=-==，得24a =，23b =，椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】显然直线AB 方程斜率不存在时，与椭圆方程无交点，根据椭圆的对称性，欲证A ，H 关于x 轴对称，只需证FA FH k k =-，即证0FA FH k k +=，设()22,A x y ，()11,B x y ，直线AB 方程为4x my =+，由2243412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=，()()2224436340m m ∆=-⨯+>，解得24m >，所以1222434my y m -+=+，1223634y y m =+.则()()()()()()()12211221121212121211111111FA FHk y x y x y x y x y y y y x x x x k x x -+-+-++==-=---+--，因为()()1221121212223624232303434my x y x y y my y y y m m m -+-+=++=⋅+⋅=++，所以0FA FH k k +=，即A ，H 关于x 轴对称.20.已知点M 到直线l ：2x =的距离和它到定点()1,0F．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形PAB 面积的最小值．（二次曲线220Ax By C ++=在其上一点()00,Q x y 处的切线为000Ax x By y C ++=）【答案】（1）2212x y +=；（2）22.【解析】【分析】（1）设(),M x y=（2）设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，写出切线AP 、BP 并将点代入得直线AB 为1x ty +=，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与2212x y +=，应用韦达定理、弦长公式求AB 的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形PAB 面积的最小值.【小问1详解】设(),M x y=E ：2212x y +=，所以点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.【小问2详解】设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，则切线AP 为1112x x y y +=，切线BP 为2212x xy y +=，将点P 分别代入得112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，所以直线AB 为:1m x ty +=，点P 到m的距离2d ==，当0=t 时，min 1d =．另一方面，联立直线AB 与22112x ty E x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty +--=，所以1221222212t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则)21222112122t AB y y t t +⎫=-==-⎪++⎭，当0=t时，min AB =122ABP S AB d =⋅≥△．故0=t 时，ABP S 最小值为22.21.如图，四棱锥E ABCD -中，平面CBE ⊥平面ABE ，120ABE ∠= ，23AB DC ==，2BE =，//DC AB ，CB CE =．（1）求证：平面DAE ⊥平面ABE ；（2）若60DBA ∠= ，求BD 与平面ABE 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明面面垂直即可；（2）利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】取BE 中点F ，连接CF ，因为CB CE =，则CF BE ⊥，又平面CBE ⊥平面ABE ，平面CBE 平面ABE BE =，CF ⊂平面CBE ，则CF ⊥平面ABE ，设CF h =，如图过B 作GB BE ⊥交AE 于G 点，建立空间直角坐标系B xyz -，则333,,022A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0B ，()2,0,0E ，()1,0,C h ，由题意23AB DC ==，则131,,0,,24444CD BA D h ⎛⎫⎛⎫==-⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以77,,,,,04422AD h AE ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面DAE 的一个法向量(),,m x y z =，则733004407022x y hz AD m AE m x y ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎪⎩，令7,0x y z =⇒==，即()m = ，又易知平面ABE 的一个法向量()0,0,1n =，因为0m n ⋅=，则m n ⊥ ，所以平面DAE ⊥平面ABE；【小问2详解】由（1）得3,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,44BD h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1cos 2DAB BA BD BA BD ⋅===⋅∠ ，解得32h =，则13,,442BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又平面ABE 的法向量()0,0,1n =，设BD 与平面ABE 所成角为θ，则332sin cos ,24BD n BD n BD nθ⋅====，所以37tan 7θ==．22.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上．（1）点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；（2）点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】（1）12;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）代入点(2,1)A ，得22a =，从而得双曲线方程及1A ，2A 的坐标，设P 点坐标为(),x y，则12PA PA k k ==，结合P 在双曲线C 上，即可得答案；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及12AM AN k k ⋅=，得()4210m k m +-=，舍去210k m +-=，从而得0m =，直线MN 过定点()0,0O ，ADO △为直角三角形，D ∠为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【小问1详解】解：因为点()2,1A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，所以双曲线22:12x C y -=，则())12,A A ．设P 点坐标为(),x y，则12PA PA k k ==，所以12222PA PA y k k x ⋅==-．因为点P 在曲线C 上，所以2212x y =-，所以122211222PA PA x k k x -⋅==-，所以12PA PA k k ⋅的值为12．【小问2详解】证明：依题意，直线MN 的斜率存在，故设其方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，显然2120-≠k ，否则不可能有两个交点，()()()22222(4)412228120km k mm k ∆=----=+->，由韦达定理得2121222422,1212km m x x x x k k--+==--，因为直线,AM AN 的斜率之积为12，所以()()()()121212121111122222y y y y x x x x ----⋅==----，所以()()()()121222211x x y y --=--，即()()()()121222211x x kx m kx m --=+-+-，所以有()()()221212212122(1)40k x x k m x x m ⎡⎤-+-+++--=⎣⎦，将韦达定理代入化简得()4210m k m +-=，而当210k m +-=，此时直线l 为()1221y kx k k x =+-=-+，易知l 恒过定点()2,1A ，故舍去，所以0m =，此时满足Δ0>且直线MN 过定点()0,0O ，（如图所示）又因为,AD MN D ⊥为垂足，所以ADO △为直角三角形，D ∠为直角，所以当点Q 为斜边AO 的中点11,2⎛⎫⎪⎝⎭时，DQ 为定值522AO =．综上所述，存在定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，使得DQ 为定值2．。
