不定积分的计算(凑微分法)
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7.1.2 不定积分的计算
7.1.2.1 换元积分法
1.第一类换元法（凑微分法） 2.小结、作业
1
利用积分的基本公式和积分法则所能计算的不定积
分是非常有限的。例如: cos 2xdx , 2x 18dx 就不能用积分
的基本公式和积分法则求出，因此，有必要进一步研究 不定积分的求法。本节我们将介绍换元积分法。
练习3
求
ln x x
dx.
解：
ln xdx x
பைடு நூலகம்
ln
xd
(ln
x)
1ln2 xC
2
凑微分等式
1 dx d (ln x ) x
练习4 求 2xe x2 dx .
解：
2xex2 dx= e x2 dx 2 = e x2 + C
凑微分等式
2xdx dx2
练习5 求 tan xdx .
解：
tan
3 5x
5 35x
35 x u
1
1 du
5 u
基本的积分公式
1
ln u C
5
u 35 x
1
ln 3 5x C
5
例3 求
1 x2
1
e x dx
.
解：
1
x2
1 凑微分
e x dx
1 u
1
ex
d
1
x
x
eu du
基本的积分公式
eu C
u1 x
1
ex C
方法熟练之后，可以不用写出换元过程，使计算简便。
xdx=
sin cos
x x
dx
=
1 cos
x
d
cos
x
sin xdx d cos x
凑微分等式
ln cos x C
练习6
求
1
e
x
e
x
dx
.
解：
1
e
x
e
x
dx
1
1 e
x
de
x
1 1 e
x
d
(e
x
1)
凑微分等式
exdx d (ex 1)
ln ex 1 C
2.小结、作业
小结
本节主要讲了不定积分的第一类换元积分法，也称 凑微分法。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos
2xdx
1 2
cos
2xd 2x
1 2
sin
2x
C
3
1 5x
dx
1 5
3
1 5x
d
3
5x
1 5
ln
3
5x
C
1
x2
e
1 x
dx
e
1 x
d
1
1
e x
C
x
由以上的例子可知，不定积分的第一类换元积分法 没有一个较统一的方法，但是其中有许多技巧。我们不 但要熟记不定积分的基本公式与性质，还需要掌握一些 常用的凑微分形式，
例如：
dx 1 d (ax) 1 d (ax b)
a
a
1 dx d ln x x
xdx 1 dx2 2
1 dx 2d x x
sin xdx d cos x
exdx d (ex 1)
cos xdx d sin x
xa1dx 1 dxa (a 0) a
第一类换元积分法主要用于复合函数的不定积 分，实质上是复合函数求导法则的逆运算。
1 2
cos 2xd (2x)
2x u
1
cos
基本的积分公式1 udu
sin
u
C
2
2
u 2x
1 sin 2x C 2
这样不定积分的基本积分公式的适用范围就更加广泛。
1.第一类换元法（凑微分法）
定理 若 f (u)du F(u)C ，且u ( x) 有连续函数，则
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x)) F ( (x)) C
练习1 求 sin 2xdx .
解：
sin 2xdx
1 2
sin
2
xd
(2
x)
1 cos 2x C 2
凑微分等式 dx 1 d ( 2 x ) 2
练习2
求
3
1 2
x
dx
.
解：
3
1 2
x
dx
1 2
3
1 2
x
d
(3
2
x)
1 ln | 3 2 x | C 2
凑微分等式 dx 1 d (3 2 x ) 2
f [ (x)] (x)dx 凑成 f ( (x))d ( (x))
例1 求 cos 2xdx .
解：
cos
2
xdx
凑微分
1
cos 2xd 2x
2
2 x u
1
cos udu
2
基本积分公式
1
sin
u
C
2
u2x
1
sin
2x
C
2
例2 求 3 15xdx .
解：
1
凑微分
dx
1
1 d (3 5x)
这种积分方法成为第一类换元积分法，也叫凑微分法， 可以用形象的式子表示如下：
凑微分
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x))
变量替换
变量替换
f (u )d (u ) F (u ) C F ( ( x)) C
(x)u
u ( x)
说明 使用此公式的关键在于将所求积分
第一类换元积分法的步骤：先凑微分，然后换元 （可省略换元过程），根据基本的积分公式计算结果。
熟练掌握常用的凑微分形式。
作业
求下列不定积分：
（1） 2x 18dx （2） x cos x2dx
（3）sin 2 x cos xdx （4） 1 23xdx
（5）
2
ex e
x
dx
（6） x x2 1dx
换元积分法简称换元法。
换元法的基本思路是：利用变量替换，使得被积表 达式变形为基本公式表中的积分形式，进而计算不定积 分。
换元法有两类：第一类换元法； 第二类换元法。
根据基本的积分公式，我们可以求出 cos xdx 。 如何求出 cos 2xdx ？
dx 1 d (2x)
2 改写成
cos 2xdx
7.1.2.1 换元积分法
1.第一类换元法（凑微分法） 2.小结、作业
1
利用积分的基本公式和积分法则所能计算的不定积
分是非常有限的。例如: cos 2xdx , 2x 18dx 就不能用积分
的基本公式和积分法则求出，因此，有必要进一步研究 不定积分的求法。本节我们将介绍换元积分法。
练习3
求
ln x x
dx.
解：
ln xdx x
பைடு நூலகம்
ln
xd
(ln
x)
1ln2 xC
2
凑微分等式
1 dx d (ln x ) x
练习4 求 2xe x2 dx .
解：
2xex2 dx= e x2 dx 2 = e x2 + C
凑微分等式
2xdx dx2
练习5 求 tan xdx .
解：
tan
3 5x
5 35x
35 x u
1
1 du
5 u
基本的积分公式
1
ln u C
5
u 35 x
1
ln 3 5x C
5
例3 求
1 x2
1
e x dx
.
解：
1
x2
1 凑微分
e x dx
1 u
1
ex
d
1
x
x
eu du
基本的积分公式
eu C
u1 x
1
ex C
方法熟练之后，可以不用写出换元过程，使计算简便。
xdx=
sin cos
x x
dx
=
1 cos
x
d
cos
x
sin xdx d cos x
凑微分等式
ln cos x C
练习6
求
1
e
x
e
x
dx
.
解：
1
e
x
e
x
dx
1
1 e
x
de
x
1 1 e
x
d
(e
x
1)
凑微分等式
exdx d (ex 1)
ln ex 1 C
2.小结、作业
小结
本节主要讲了不定积分的第一类换元积分法，也称 凑微分法。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos
2xdx
1 2
cos
2xd 2x
1 2
sin
2x
C
3
1 5x
dx
1 5
3
1 5x
d
3
5x
1 5
ln
3
5x
C
1
x2
e
1 x
dx
e
1 x
d
1
1
e x
C
x
由以上的例子可知，不定积分的第一类换元积分法 没有一个较统一的方法，但是其中有许多技巧。我们不 但要熟记不定积分的基本公式与性质，还需要掌握一些 常用的凑微分形式，
例如：
dx 1 d (ax) 1 d (ax b)
a
a
1 dx d ln x x
xdx 1 dx2 2
1 dx 2d x x
sin xdx d cos x
exdx d (ex 1)
cos xdx d sin x
xa1dx 1 dxa (a 0) a
第一类换元积分法主要用于复合函数的不定积 分，实质上是复合函数求导法则的逆运算。
1 2
cos 2xd (2x)
2x u
1
cos
基本的积分公式1 udu
sin
u
C
2
2
u 2x
1 sin 2x C 2
这样不定积分的基本积分公式的适用范围就更加广泛。
1.第一类换元法（凑微分法）
定理 若 f (u)du F(u)C ，且u ( x) 有连续函数，则
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x)) F ( (x)) C
练习1 求 sin 2xdx .
解：
sin 2xdx
1 2
sin
2
xd
(2
x)
1 cos 2x C 2
凑微分等式 dx 1 d ( 2 x ) 2
练习2
求
3
1 2
x
dx
.
解：
3
1 2
x
dx
1 2
3
1 2
x
d
(3
2
x)
1 ln | 3 2 x | C 2
凑微分等式 dx 1 d (3 2 x ) 2
f [ (x)] (x)dx 凑成 f ( (x))d ( (x))
例1 求 cos 2xdx .
解：
cos
2
xdx
凑微分
1
cos 2xd 2x
2
2 x u
1
cos udu
2
基本积分公式
1
sin
u
C
2
u2x
1
sin
2x
C
2
例2 求 3 15xdx .
解：
1
凑微分
dx
1
1 d (3 5x)
这种积分方法成为第一类换元积分法，也叫凑微分法， 可以用形象的式子表示如下：
凑微分
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x))
变量替换
变量替换
f (u )d (u ) F (u ) C F ( ( x)) C
(x)u
u ( x)
说明 使用此公式的关键在于将所求积分
第一类换元积分法的步骤：先凑微分，然后换元 （可省略换元过程），根据基本的积分公式计算结果。
熟练掌握常用的凑微分形式。
作业
求下列不定积分：
（1） 2x 18dx （2） x cos x2dx
（3）sin 2 x cos xdx （4） 1 23xdx
（5）
2
ex e
x
dx
（6） x x2 1dx
换元积分法简称换元法。
换元法的基本思路是：利用变量替换，使得被积表 达式变形为基本公式表中的积分形式，进而计算不定积 分。
换元法有两类：第一类换元法； 第二类换元法。
根据基本的积分公式，我们可以求出 cos xdx 。 如何求出 cos 2xdx ？
dx 1 d (2x)
2 改写成
cos 2xdx
