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第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。
差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。
经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。
假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。
如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。
在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。
可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφt t =：t t t w y y ++=-110φφ依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-i ti i t t i it w y y ∑∑=-=++=011110φφφφ (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。
金融科技中的时间序列分析算法使用教程引言时间序列分析是金融领域中一项重要的技术，它可用于预测未来金融市场趋势、分析金融数据的相关性以及发现隐藏的模式。
随着金融科技的迅速发展，时间序列分析算法在金融科技中的应用也变得日益重要。
本文将为您介绍金融科技中常用的时间序列分析算法及其使用方法。
一、移动平均法移动平均法是一种简单而有效的时间序列分析算法，适用于平滑时间序列数据。
它通过计算数据点的移动平均值来减少数据中的噪音，并识别数据中的趋势。
移动平均法有两种常见的类型：简单移动平均法（SMA）和指数移动平均法（EMA）。
1. 简单移动平均法（SMA）简单移动平均法是最基本的移动平均法，它计算一段时间内数据的平均值。
可以通过以下步骤来使用简单移动平均法：a) 选择一个时间段（如10天）作为移动窗口大小。
b) 将窗口内的数据相加，然后除以窗口大小，得到平均值。
例如，我们有一组股票价格的时间序列数据，我们可以使用简单移动平均法来平滑数据并找到价格的中长期趋势。
2. 指数移动平均法（EMA）指数移动平均法是一种给予最近数据点更高权重的移动平均法，它能够更迅速地反映出最新的市场趋势。
使用指数移动平均法的步骤如下：a) 选择一个适当的平滑因子（如0.2）。
b) 计算当前数据点的指数移动平均值。
指数移动平均法在金融科技领域常用于预测股票价格的短期趋势。
二、自回归移动平均模型（ARIMA）自回归移动平均模型（ARIMA）是一种用于分析和预测时间序列数据的更复杂的算法。
ARIMA模型包括三个主要组成部分：自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）。
1. 自回归（AR）自回归是指将当前数据点与以前的数据点进行比较，以确认它们之间的关系。
自回归可以用数学公式表示为 Y(t) = m + b1Y(t-1) + b2Y(t-2) + ... + bnY(t-n)。
2. 差分（I）差分是指通过将数据点减去前一个数据点，得到一系列差分值。
时间序列分析是一种用于处理和分析时间序列数据的方法，它可以帮助我们理解数据的变化趋势、周期性、随机性等特征。
以下是在时间序列分析中常用的8种方法：
1. 描述性统计：这是最基本的数据分析方法，包括平均值、中位数、标准差、极值等。
2. 趋势图：将数据以图表的形式展示出来，可以直观地看到数据的变化趋势。
3. 季节性分析：如果数据具有季节性特征，可以使用季节性指数、移动平均法等方法来分析。
4. 回归分析：通过建立回归模型，对时间序列数据进行拟合，以预测未来的数据。
5. 滑动平均模型（SMA）：这是一种常用的时间序列分析方法，可以平滑短期波动，反映价格或指数的长期变化趋势。
6. 指数平滑：这是一种基于时间序列数据的平滑方法，可以处理时间序列数据的非平稳性问题。
它有多种形式，如一次指数平滑、二次指数平滑等。
7. ARIMA模型：这是一种常用于时间序列分析的模型，可以自动处理时间序列数据的平稳性和季节性变化。
8. 时间序列预测的神经网络方法：这种方法利用神经网络对时间序列数据进行训练，以预测未来的数据。
这些方法各有优缺点，具体使用哪种方法取决于数据的特征和需求。
在应用这些方法时，需要注意数据的清洗和预处理，以及对结果的解读和分析。
另外，随着数据科学技术的不断发展，可能还会出现新的方法和工具来应对时间序列分析中的问题。
此外，要注意这些方法只是帮助我们理解和预测时间序列数据的一种手段，它们不能替代我们对于数据背后问题的深入思考和探讨。
在应用这些方法时，我们需要结合实际问题和背景知识，进行合理的分析和解释。
同时，也需要不断地学习和探索，以应对不断变化的数据和分析需求。
时间序列分析教程（四）AR与MA模型详细分析（公式推导慎入）时间序列分析中，AR模型（Autoregressive Model）和MA模型（Moving Average Model）是两种常用的模型类型。
本教程将详细介绍AR和MA模型的公式推导，让读者更好地理解其原理和应用。
首先，我们先来解释AR和MA模型的概念。
AR模型是一种基于时间序列过去的值来预测未来值的模型。
AR模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的值相关，即当前值是过去值的加权和。
AR模型的表示形式为AR(p)，其中p表示过去时间点的数量。
MA模型是一种基于时间序列过去的误差项来预测未来值的模型。
MA 模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的误差项相关，即当前值是过去误差的加权和。
MA模型的表示形式为MA(q)，其中q表示过去误差的数量。
下面我们将对AR和MA模型的公式进行推导。
一、AR模型的公式推导假设我们有一个时间序列{Y_t}，其中Y_t表示时间点t的值。
AR(p)模型的一般形式为：Y_t=c+ϕ₁Y_(t-1)+ϕ₂Y_(t-2)+...+ϕ_pY_(t-p)+ε_t其中c是常数项，ϕ₁、ϕ₂、..、ϕ_p是过去时间点的权重系数，ε_t 是一个白噪声误差项。
为了方便推导，我们将AR(p)模型简化为AR(1)模型，即只考虑过去一个时间点的值。
即：Y_t=c+ϕY_(t-1)+ε_t我们首先假设时间序列{Y_t}是平稳的，即均值和方差不随时间变化。
然后，我们将AR(1)模型代入Y_(t-1)的表达式中，得到：Y_t=c+ϕ(c+ϕY_(t-2)+ε_(t-1))+ε_t展开后整理得：Y_t=c(1+ϕ)+ϕ²Y_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t再次代入Y_(t-2)的表达式中，得到：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²)+ϕ³Y_(t-3)+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t以此类推，我们可以得到AR(1)模型的一般表达式：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)+ϕ^pY_(t-p)+ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)+...+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t其中，c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)是常数项，ϕ^pY_(t-p)是过去p个时间点的加权和，ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)、..、ϕ²ε_(t-2)、ϕε_(t-1)和ε_t是误差项。
经济学研究中时间序列分析的技术要点总结时间序列分析是经济学研究中的重要工具之一，它能够帮助我们理解经济现象的演变规律和趋势，并对未来的走势进行预测。
本文将对时间序列分析的技术要点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解并应用这一分析方法。
1. 数据的平稳性测试与处理平稳性是进行时间序列分析的前提条件之一，它指的是在时间维度上的均值和方差不发生明显变化。
为了确保数据的平稳性，需要进行平稳性测试，常用的方法包括ADF检验、单位根检验等。
如果数据不平稳，需要通过差分、对数化、季节性调整等方法进行处理，使其变成平稳序列。
2. 自相关与偏自相关分析自相关（Autocorrelation）分析是确定序列中自身相互依赖关系的方法，用于寻找数据之间的线性关系。
自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是常用的自相关分析工具，可以通过绘制相关函数图形来判断序列的相关性。
ACF表示当前观测值与前几个滞后观测值之间的相关性，而PACF则表示当前观测值与之前滞后值之间的相关性，PACF可以帮助我们确定时间序列模型的阶数。
3. 白噪声检验白噪声是指随机序列，其中各个观测值之间没有任何相关性。
在时间序列分析中，我们通常认为残差序列应该是白噪声。
为了验证残差序列的白噪声特性，可以进行白噪声检验，常用的方法有Ljung-Box检验和ARCH检验。
如果残差序列不是白噪声，说明模型存在缺陷，需要进一步进行修正。
4. ARMA模型选择ARMA模型（AutoRegressive Moving Average Model）是指自回归移动平均模型，它是根据时间序列的自相关性和偏自相关性构建的。
在选择ARMA模型时，需要分析序列的ACF和PACF图，根据截尾性和拖尾性来确定AR和MA的阶数。
通常采用信息准则，如AIC （Akaike Information Criterion）和BIC（Bayesian Information Criterion）来评估模型的拟合优度和复杂度，选择最优的模型。
时间序列分析技巧例题和知识点总结时间序列分析是一种用于研究数据随时间变化规律的重要方法，在众多领域都有着广泛的应用，如经济学、金融学、气象学、工程学等。
通过对时间序列数据的分析，我们可以预测未来的趋势、发现周期性模式、识别异常值等。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解时间序列分析的技巧，并对相关知识点进行总结。
一、时间序列的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一组数据点。
它可以是等间隔的，比如每小时、每天、每月的观测值，也可以是不等间隔的。
时间序列数据通常具有趋势性、季节性、周期性和随机性等特征。
二、常见的时间序列模型1、自回归模型（AR）自回归模型假设当前值与过去若干个值存在线性关系。
例如，一阶自回归模型 AR(1)可以表示为：＄Y_t ＝＼phi_1 Y_{t-1} ＋＼epsilon_t$，其中$＼phi_1$是自回归系数，＄＼epsilon_t$是随机误差项。
2、移动平均模型（MA）移动平均模型则认为当前值是由过去若干个随机误差项的线性组合构成。
一阶移动平均模型 MA(1)表示为：＄Y_t ＝＼epsilon_t ＋＼theta_1 ＼epsilon_{t-1}＄。
3、自回归移动平均模型（ARMA）ARMA 模型是 AR 模型和 MA 模型的组合，即同时考虑了序列的自相关性和随机性。
例如，ARMA(1,1)模型为：＄Y_t ＝＼phi_1 Y_{t-1} ＋＼epsilon_t ＋＼theta_1 ＼epsilon_{t-1}＄。
4、自回归整合移动平均模型（ARIMA）对于非平稳的时间序列，需要先进行差分使其平稳，然后再应用ARMA 模型，这就是 ARIMA 模型。
三、时间序列分析的步骤1、数据可视化首先，绘制时间序列的折线图或柱状图，直观地观察数据的趋势、季节性和异常值。
2、平稳性检验平稳性是时间序列分析的重要前提。
常用的检验方法有单位根检验（如 ADF 检验），如果检验结果拒绝存在单位根，则序列是平稳的；否则，需要进行差分处理使其平稳。
数据挖掘中时间序列分析的使用教程时间序列分析是数据挖掘领域中一种重要的技术，它主要应用于对一系列按时间顺序排列的数据进行趋势分析、周期性分析以及预测。
时间序列数据具有时间相关性、连续性和时序性等特点，因此对其进行分析和预测可以帮助我们了解数据的发展趋势，并做出合理的决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念和常用方法，并以具体的案例来说明如何使用时间序列分析来解决实际问题。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按时间顺序收集并记录的一连串数据观测值。
常见的时间序列数据包括股票价格、气温、销售量等。
时间序列分析的目的是通过对现有的时间序列数据进行统计建模、检验假设和预测未来值。
在进行时间序列分析之前，首先需要对数据进行可视化，以了解数据的趋势、周期性和异常值等特征。
在可视化之后，可以使用各种时间序列分析方法来研究数据的特点和规律。
二、时间序列分析的常用方法1. 平稳性检验平稳性是时间序列分析的基本假设之一，它要求时间序列的均值、方差和自协方差函数都与时间无关。
在进行时间序列分析之前，首先需要对数据进行平稳性检验。
常用的平稳性检验方法包括ADF检验、单位根检验和KPSS检验等。
平稳性检验的目的是确保数据可以按照一定的规律进行建模和预测。
2. 建模与预测建模是时间序列分析的重要步骤之一，它主要包括选择合适的模型和估计参数。
常用的时间序列模型包括AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型等。
这些模型可以用来捕捉数据的趋势和周期性，并进行未来值的预测。
在选择模型之前，需要对数据进行平稳化处理，以满足模型的要求。
3. 季节性分解时间序列数据通常具有明显的季节性变动，季节性分解可以帮助我们分离出趋势、周期和季节性等成分。
常用的季节性分解方法包括经典分解、移动平均分解和小波分解等。
通过季节性分解，我们可以更加准确地了解数据的变动规律，并进行更精确的预测。
4. 模型评估与优化在建立模型之后，需要对模型进行评估和优化。
时间序列分析教材本教材将介绍时间序列分析的基本概念、常用方法和应用示例，帮助读者了解和掌握时间序列分析的基本原理和操作方法。
一、时间序列分析的基本概念1、时间序列的特点：时间序列数据具有趋势性、季节性和周期性等特点，可以通过分析这些特征来预测未来的数据变化。
2、平稳时间序列：平稳时间序列是指时间序列数据的统计特性在时间上保持恒定，如均值、方差和自相关系数等。
平稳时间序列可以使用各种统计方法进行分析和预测。
3、非平稳时间序列：非平稳时间序列是指时间序列数据的统计特性在时间上发生变化，如趋势变化、季节变化和周期变化等。
非平稳时间序列需要进行差分或转化处理，使其变为平稳时间序列再进行分析。
二、时间序列分析的基本方法1、时间序列的图形表示：通过绘制时间序列的折线图、散点图和自相关图等，可以观察数据的分布、趋势和季节性等特征。
2、时间序列的分解：时间序列的分解是将时间序列数据分解为趋势、季节和随机成分三个部分，以便更好地对数据进行分析和预测。
3、时间序列的平滑方法：平滑方法包括移动平均法和指数平滑法，可以减少数据的随机波动，更好地揭示数据的趋势性。
4、时间序列的预测方法：预测方法包括线性回归模型、ARIMA模型和季节性ARIMA模型等，可以基于历史数据对未来数据进行预测。
5、时间序列的评估方法：评估方法包括残差分析、均方误差和平均绝对误差等，可以评估预测模型的准确性和可靠性。
三、时间序列分析的应用示例1、经济学中的时间序列分析：时间序列分析可以应用于宏观经济指标的预测和监测，如国内生产总值、通货膨胀率和失业率等。
2、金融学中的时间序列分析：时间序列分析可以应用于股票价格、汇率和利率等金融数据的分析和预测，帮助投资者进行投资决策。
3、气象学中的时间序列分析：时间序列分析可以应用于气象数据的分析和预测，如气温、降雨量和风速等，帮助预测天气变化和灾害风险。
四、时间序列分析的实际案例1、某股票价格的时间序列分析：通过对某只股票价格的时间序列数据进行分析，预测未来股票价格的走势，指导投资决策。
利用计算机软件进行时间序列分析的教程第一章：时间序列分析概述时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据点的集合。
时间序列分析则是对这些数据点进行统计和数学建模的过程，以揭示数据背后的模式和趋势。
时间序列分析在经济、金融、气象、销售预测等领域有着广泛的应用。
利用计算机软件进行时间序列分析可以提高分析的效率和准确性。
第二章：常用的时间序列分析软件目前，市面上有许多专业的时间序列分析软件。
其中比较常用的软件包括R、Python、MATLAB等。
这些软件提供了丰富的时间序列分析工具和函数库，可以进行数据导入、数据可视化、分析建模等。
第三章：数据准备与导入在进行时间序列分析之前，需要先准备好相应的数据。
数据可以来自于各类数据库、文本文件或者CSV文件。
在导入数据时，需要注意数据格式和数据质量。
常见的导入数据的函数有read.csv()、read.table()等。
第四章：时间序列的可视化可视化是时间序列分析的重要工具，可以帮助我们观察数据的趋势、季节性、异常值等。
利用计算机软件进行时间序列数据的可视化可以使用各种绘图函数，如plot()、ggplot()等。
常见的可视化方法有线图、散点图、直方图等。
第五章：时间序列模型的选择时间序列模型是对数据进行建模和预测的基础。
常用的时间序列模型包括ARIMA模型、ARCH模型、GARCH模型等。
选择合适的时间序列模型需要结合数据的特点和目标进行综合考虑。
利用计算机软件进行时间序列模型选择可以使用相应的函数，如auto.arima()、arch.test()等。
第六章：时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性是进行时间序列分析的前提条件。
平稳性检验可以帮助我们判断时间序列是否具有稳定的均值和方差。
常用的平稳性检验方法包括ADF检验、KPSS检验等。
利用计算机软件进行时间序列的平稳性检验可以使用相应的函数，如adf.test()、kpss.test()等。
第七章：时间序列的建模与拟合时间序列建模是根据数据的特点和目标选择合适的模型，并进行参数估计和拟合的过程。
一》identify
1.分析变量的描述性统计
名称，均值，标准差，观察值个数
2．样本自相关图
3.样本逆相关图
4.样本偏自相关图
5.纯随机性检验结果
二》相对最优定阶
Identify var=x nlag=8 minic p=(0:5) q=(0:5);
自相关延迟阶数小于等于5，移动平均延迟阶数小于等于5的ARMA(p，q)模型的BIC信息量；
模型为MA（4）；
三》参数估计
Estimate q=4 METHOD=CLS;
METHOD=ML(极大似然估计方法)
METHOD=ULS(最小二乘估计)
METHOD=CLS(条件最小二乘估计)（默认）
1.参数名称，MU常数，MA1,1是
1
2.各参数估计值
3.各参数估计值标准差
4.各参数t检验统计量的值
5.t统计量的P值
6.各参数对应延迟阶数；
7.从上到下方差估计值，标准差估计值，AIC信息量，SBC信息量，残差个数
显示中常数不显著则输入noint
系数相关矩阵
残差自相关检验结果
拟合模型
12340.91780.831980.5597890.623t t t t t t x ξξξξξ----=++++12340.91780.831980.5597890.623t t t t t t x ξξξξξ----=++++ 四》序列预测
Forecast lead=5 id=time out=results;
Lead 预测期数，id 身份标识，out 结果存入数据集中
预测序列 ，预测值 ，预测值的标准差值信上下限。
20个教程，掌握时间序列的特征分析（附代码）【导语】时间序列是指以固定时间为间隔的序列值。
本篇教程将教大家用Python对时间序列进行特征分析。
一、什么是时间序列？时间序列是指以固定时间为间隔的、由所观察的值组成的序列。
根据观测值的不同频率，可将时间序列分成小时、天、星期、月份、季度和年等时间形式的序列。
有时候，你也可以将秒钟和分钟作为时间序列的间隔，如每分钟的点击次数和访客数等等。
为什么我们要对时间序列进行分析呢？因为当你想对一个序列进行预测时，首先要完成分析这个步骤。
除此之外，时间序列的预测也具有极大商业价值，如企业的供求量、网站的访客量以及股票价格等，都是极其重要的时间序列数据。
那么，时间序列分析都包括哪些内容呢？要做好时间序列分析，必须要理解序列的内在属性，这样才能做出更有意义且精准的预测。
二、如何在Python中引入时间序列？关于时间序列的数据大都存储在csv文件或其他形式的表格文件里，且都包含两个列：日期和观测值。
首先我们来看panda包里面的read_csv()函数，它可以将时间序列数据集（关于澳大利亚药物销售的csv文件）读取为pandas数据框。
增加一个parse_dates=['date']字段，可以把包含日期的数据列解析为日期字段。
时间序列数据框此外，你也可以将文件读取为pandas序列，把日期作为索引列，只需在pd.read_csv()中指定index_col参数。
pandas 序列注意，在pandas 序列中，'value' 列的位置高于'date' 列，这表明它是一个pandas 序列而非数据框。
三、什么是面板数据？面板数据同样是基于时间的数据集。
不同之处是，除了时间序列，面板数据还包括一个或多个相关变量，这些变量也是在同个时间段内测得的。
面板数据中的列包括有助于预测y值的解释变量，这些特征列可用于之后的预测。
以下是关于面板数据的例子：面板数据四、时间序列可视化接下来，我们用matplotlib对序列进行可视化。
3.3时间序列分析3.3.1时间序列概述1.基本概念(1)一般概念：系统中某一变量的观测值按时间顺序（时间间隔相同）排列成一个数值序列，展示研究对象在一定时期内的变动过程，从中寻找和分析事物的变化特征、发展趋势和规律。
它是系统中某一变量受其它各种因素影响的总结果。
(2)研究实质：通过处理预测目标本身的时间序列数据，获得事物随时间过程的演变特性与规律，进而预测事物的未来发展。
它不研究事物之间相互依存的因果关系。
(3)假设基础：惯性原则。
即在一定条件下，被预测事物的过去变化趋势会延续到未来。
暗示着历史数据存在着某些信息，利用它们可以解释与预测时间序列的现在和未来。
近大远小原理（时间越近的数据影响力越大）和无季节性、无趋势性、线性、常数方差等。
(4)研究意义：许多经济、金融、商业等方面的数据都是时间序列数据。
时间序列的预测和评估技术相对完善，其预测情景相对明确。
尤其关注预测目标可用数据的数量和质量，即时间序列的长度和预测的频率。
2.变动特点(1)趋势性：某个变量随着时间进展或自变量变化，呈现一种比较缓慢而长期的持续上升、下降、停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不等。
(2)周期性：某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。
(3)随机性：个别为随机变动，整体呈统计规律。
(4)综合性：实际变化情况一般是几种变动的叠加或组合。
预测时一般设法过滤除去不规则变动，突出反映趋势性和周期性变动。
3.特征识别认识时间序列所具有的变动特征，以便在系统预测时选择采用不同的方法。
(1)随机性：均匀分布、无规则分布，可能符合某统计分布。
(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性，大多数服从正态分布。
)(2)平稳性：样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动，即方差和数学期望稳定为常数。
样本序列的自相关函数只是时间间隔的函数，与时间起点无关。
其具有对称性，能反映平稳序列的周期性变化。
特征识别利用自相关函数ACF：ρk =γk/γ其中γk 是y t的k阶自协方差，且ρ=1、-1<ρk<1。
平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋近于0，前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度，后者是在控制其它先前序列的影响后，测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。
实际上，预测模型大都难以满足这些条件，现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的，但通过数据处理可以变换为平稳的。
4.预测类型(1)点预测：确定唯一的最好预测数值，其给出了时间序列未来发展趋势的一个简单、直接的结果。
但常产生一个非零的预测误差，其不确定程度为点预测值的置信区间。
(2)区间预测：未来预测值的一个区间，即期望序列的实际值以某一概率落入该区间范围内。
区间的长度传递了预测不确定性的程度，区间的中点为点预测值。
(3)密度预测：序列未来预测值的一个完整的概率分布。
根据密度预测，可建立任意置信水平的区间预测，但需要额外的假设和涉及复杂的计算方法。
5.基本步骤(1)分析数据序列的变化特征。
(2)选择模型形式和参数检验。
(3)利用模型进行趋势预测。
(4)评估预测结果并修正模型。
3.3.2随机时间序列系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。
(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt =φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt 不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。
式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；y t 当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；y t-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达y t依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。
(2)识别条件当k>p时，有φk =0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk |>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。
实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。
(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。
二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。
φ越大，自回归过程的波动影响越持久。
(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
2．移动平均MA(q)模型(1)模型形式yt =εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p(2)模型含义用过去各个时期的随机干扰或预测误差的线性组合来表达当前预测值。
AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此形式。
总满足平稳条件，因其中参数θ取值对时间序列的影响没有AR模型中参数p的影响强烈，即这里较大的随机变化不会改变时间序列的方向。
(3)识别条件当k>q时，有自相关系数rk =0或自相关系数rk服从N(0,1/n(1+2∑r2i )1/2)且(|rk|>2/n1/2(1+2∑r2i)1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的自相关系数rk 为q步截尾，偏相关系数φk逐步衰减而不截尾，则序列是MA(q)模型。
实际中，一般MA过程的PACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用ACF函数判别(从q阶开始的所有自相关系数均为0)。
(4)可逆条件一阶：|θ1|<1。
二阶：|θ2|<1、θ1+θ2<1。
当满足可逆条件时，MA(q)模型可以转换为AR(p)模型3．自回归移动平均ARMA(p,q)模型(1) 模型形式yt =φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p式中符号： p和q是模型的自回归阶数和移动平均阶数；φ和θ是不为零的待定系数；εt独立的误差项；yt是平稳、正态、零均值的时间序列。
(2) 模型含义使用两个多项式的比率近似一个较长的AR多项式，即其中p+q 个数比AR(p)模型中阶数p小。
前二种模型分别是该种模型的特例。
一个ARMA过程可能是AR与MA过程、几个AR过程、AR与ARMA 过程的迭加，也可能是测度误差较大的AR过程。
(3) 识别条件平稳时间序列的偏相关系数φk 和自相关系数rk均不截尾，但较快收敛到0，则该时间序列可能是ARMA(p,q)模型。
实际问题中，多数要用此模型。
因此建模解模的主要工作是求解p、q和φ、θ的值，检验εt 和yt的值。
(4) 模型阶数AIC准则：最小信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适用于样本数据较少的问题。
目的是判断预测目标的发展过程与哪一随机过程最为接近。
因为只有当样本量足够大时，样本的自相关函数才非常接近母体的自相关函数。
具体运用时，在规定范围内使模型阶数从低到高，分别计算AIC值，最后确定使其值最小的阶数是模型的合适阶数。
模型参数最大似然估计时AIC=(n-d)logσ2+2(p+q+2)模型参数最小二乘估计时AIC=nlogσ2+(p+q+1)logn式中：n为样本数，σ2为拟合残差平方和，d、p、q为参数。
其中：p、q范围上线是n较小时取n的比例，n较大时取logn的倍数。
实际应用中p、q一般不超过2。
4．自回归综合移动平均ARIMA(p,d,q)模型(1)模型识别平稳时间序列的偏相关系数φk 和自相关系数rk均不截尾，且缓慢衰减收敛，则该时间序列可能是ARIMA(p,d,q)模型。
(2)模型含义模型形式类似ARMA（p,q）模型，但数据必须经过特殊处理。
特别当线性时间序列非平稳时，不能直接利用ARMA（p,q）模型，但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化，实际应用中d一般不超过2。
若时间序列存在周期性波动，则可按时间周期进行差分，目的是将随机误差有长久影响的时间序列变成仅有暂时影响的时间序列。
即差分处理后新序列符合ARMA(p,q)模型，原序列符合ARIMA(p,d,q)模型。
3.3.3建模解模过程1.数据检验检验时间序列样本的平稳性、正态性、周期性、零均值，进行必要的数据处理变换。
(1)作直方图：检验正态性、零均值。
按图形Graphs—直方图Histogram的顺序打开如图3.15所示的对话框。
图3.15将样本数据送入变量Variable框，选中显示正态曲线Display normal curve项，点击OK 运行，输出带正态曲线的直方图，如图3.16所示。
图3.16从图中看出：标准差不为1、均值近似为0，可能需要进行数据变换。
(2)作相关图：检验平稳性、周期性。
按图形Graphs —时间序列Time Series —自相关Autocorrelations 的顺序打开如图3.17所示的对话框。
图3.17将样本数据送入变量Variable 框，选中自相关Autocorrelations 和偏自相关Partial Autocorrelations 项，暂不选数据转换Transform 项，点击设置项Options ，出现如图3.18所示对话框。
图3.18因为一般要求时间序列样本数据n>50，滞后周期k<n/4，所以此处控制最大滞后数值Maximum Number of Lags 设定为12。
点击继续Continue 返回自相关主对话框后，点击OK 运行系统，输出自相关图如图3.19所示。
图3.19从图中看出；样本序列数据的自相关系数在某一固定水平线附近摆动，且按周期性逐渐衰减，所以该时间序列基本是平稳的。
(3)数据变换：若时间序列的正态性或平稳性不够好，则需进行数据变换。
常用有差分变换(利用transform —Create Time Series)和对数变换(利用Transform —Compute)进行。
一般需反复变换、比较，直到数据序列的正态性、平稳性等达到相对最佳。
2. 模型识别分析时间序列样本，判别模型的形式类型，确定p 、d 、q 的阶数。
