整体思想求代数式的值

《用整体代入法求代数式的值》教学设计课 题：《用整体代入法求代数式的值》［教学目标］1.了解整体思想，并能用整体代入法解决代数式的求值问题；2.能熟练判断条件式与结论式之间的关系，找到合适的变形方法；3.经历一题多解的探究，拓展学生思维，消除学生对代数值求值的畏惧感，增强学习信心。

［教学重难点］重点：能对条件代数式或结论代数式进行变形，从而用整体代入思想解决代数式的求值问题；难点：对代数式特征的判断，能对“非显性”关系的代数式进行构造整体的变形。

突破重难点的方法是：分解知识点，以点对点的方式逐层探究，引导学生一题多解，归纳解题方法，并逐步有成就感地解决问题。

［教学流程］（一）复习引入1.代数式化简求值的步骤：2.练习：（1）当2=a 时，求a a22+的值 （2）当5=+b a 时，求b a ++6的值学生归纳整体代入法定义：整体代入法：将一个代数式作为一个整体，用它的值直接代入另一个代数式参与运算的方法就叫整体代入法。

常见的整体代入类型有：已知一个代数式的值，求另一个代数式的值；已知两个代数式的值求另一个代数式的值；当然也许有已知有三个或更多代数式的值，求另一个代数式的值。

不过只要知道前两类，后面的情况也可用类似方法解决。

（二）例与练【例1】已知,32=+y x 求以下代数式的值： （看系数，找倍数）①y x 27++= ；③y x 427++= ②y x 27--= ；④y x ++217= 归纳：观察条件代数式与结论代数之间的特征，我们发现①式中字母部分与已知条件相等，如果我把这种整体代入类型称为“相等关系”型，那么有哪个乖娃娃能归纳其他几种类型？事实上，以上所有类型还有没有其他什么统一的方法能一眼就能看出结论与条件之间的大小关系？看系数，定倍数 ，提倍数，代入值。

另外，若条件是,32=+xyy x 那么y x xy 27+-的值是 ，这又是何种类型呢？总结:常见的整体代入类型有4中：相等关系型、相反关系型、倍分关系型、倒数关系型。

整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。

“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。

运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。

下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。

“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。

解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。

例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。

分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。

解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。

分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。

解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。

这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。

代数式的值与合并同类项（3种题型）1.会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。

2.掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；3.掌握同类项的有关应用；4.体会整体思想即换元的思想的应用．一．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；二．同类项（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．（2）注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．三．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．一．代数式求值（共8小题）1．（2022秋•连云港期末）当x＝﹣3时，代数式2x+5的值是（）A．﹣7B．﹣2C．﹣1D．11【分析】将x＝﹣3，代入2x+5进行计算即可．【解答】解：当x＝﹣3时，2x+5＝2×（﹣3）+5＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查代数式求值．属于基础题型，正确的进行运算，是解题的关键．2．（2022秋•姑苏区校级期末）已知m，n满足3m﹣4n+1＝0，则代数式9m﹣12n﹣4的值为（）A．0B．﹣1C．﹣7D．﹣10【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵3m﹣4n+1＝0，∴3m﹣4n＝﹣1．∴原式＝3（3m﹣4n）﹣4＝3×（﹣1）﹣4＝﹣3﹣4＝﹣7．故选：C．【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．3．（2022秋•高邮市期末）如图，按图中的程序进行计算．（1）当输入的x＝30时，输出的数为；当输入的x＝﹣16时，输出的数为；（2）若输出的数为﹣52时，求输入的整数x的值．【分析】（1）根据图中的程进行列式计算，即可求解；（2）当输出的数为﹣52时，分两种情况进行讨论．【解答】解：（1）根据运算程序可知：当输入的x＝30时，得：|30|×（﹣2）＝﹣60＜﹣45，∴输入的x＝30时，输出的数为﹣60；根据运算程序可知：当输入的x＝﹣16时，得：|﹣16|×（﹣2）＝﹣32＞﹣45；再输入x＝﹣32，得：|﹣32|×（﹣2）＝﹣64＜﹣45，∴输入的x＝﹣32时，输出的数为﹣64；故答案为：﹣60，﹣64；（2）当输出的数为﹣52时，分两种情况：第一种情况：|x|×（﹣2）＝﹣52，解得：x＝±26；第二种情况：当第一次计算结果为﹣26时，再循环一次输入的结果为﹣52，则|x|×（﹣2）＝﹣26，解得：x＝±13，综上所述，输出的数为﹣52时，求输入的整数x的值为：x＝±26或±13．【点评】本题考查程序流程图与有理数的计算、绝对值，解题的关键是掌握有理数的运算法则和解绝对值方程．4．（2022秋•海安市期末）已知3x2﹣4xy+7y2＝2m﹣17，x2+5xy+6y2＝m+12，则式子x2﹣7xy﹣y2的值为（）A．﹣41B．﹣C．D．【分析】先利用等式的性质，再整体求解．【解答】解：第一个等式减去第二个等式的2倍，得x2﹣14xy﹣y2＝﹣41，∴x2﹣7xy﹣y2＝﹣，故选：B．【点评】本题考查了代数式求值，整体求解是解题的关键．5．（2022秋•宝应县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家300千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油60升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为50升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）该车平均每千米的耗油量是升，行驶x千米时的剩余油量是升（用含有x的代数式表示）；（2）当x＝260千米时，求剩余油量；（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，试问汽车最多行驶多少千米就自动报警？请说明理由．【分析】（1）单位耗油量＝耗油量÷行驶里程，剩余油量＝油箱内油的升数﹣行驶路程的耗油量；（2）把x＝260千米代入剩余油量公式，计算即可；（3）把剩余油量3代入（2）中求出x即可．【解答】解：（1）（60﹣50）÷100＝0.1（升）．行驶路程与耗油量的关系为：（0.1x）升．故答案为：0.1，（60﹣0.1x）．（2）当x＝260千米时，60﹣0.1×260＝60﹣26＝34（升）．答：剩余油量为34升．（3）由题意可知：60﹣0.1x＜3，解得：x＞570．故行驶距离大于570千米时会自动报警．【点评】本题考查了列代数式、求代数式的值．题目难度不大，列出代数式是关键．6．（2022秋•苏州期末）我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．（1）此长方体包装盒的体积为立方毫米（用含x，y的式子表示）．（2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当x＝30，y＝52时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？【分析】（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解；（2）由于长方体的表面积＝2（长×宽+长×高+宽×高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积＝（1+）×长方体的表面积．【解答】解：（1）由题意，知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，则长方体包装盒的体积为：65xy立方毫米．故答案为：65xy；（2）∵长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，∴长方体的表面积＝2（xy+65y+65x）平方毫米，又∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积S＝（1+）×2（xy+65y+65x）＝xy+143x+143y平方毫米，将x＝30，y＝52代入得：S＝15158平方毫米答：制作这样一个长方体共需要纸板15158平方毫米．【点评】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的体积与表面积公式，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．7．（2022秋•鼓楼区期末）某校要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示．（1）求阴影部分的面积（用含a的代数式表示）．（2）当a＝20时，π取3时，求阴影部分的面积．【分析】（1）先求出两个长方形的面积，再减去半圆的面积，即可得出阴影部分的面积；（2）把x＝20，π取3代入（1）中的结论，即可得出答案．【解答】解：（1）由图可知上面的长方形的面积为6×（a﹣2﹣4）＝6a﹣36，下面的长方形的面积为4×（a﹣2）＝4a﹣8，∴两个长方形的面积之和为10a﹣44，∵半圆的直径为4+6＝10，∴半圆的面积为π•52÷2＝12.5π，∴阴影部分的面积为10a﹣44﹣12.5π；（2）当a＝20，π取3时，10a﹣44﹣12.5π＝10×20﹣44﹣12.5×3＝200﹣44﹣37.5＝118.5，∴阴影部分的面积为118.5．【点评】本题主要考查代数式求值，关键是要牢记长方形和圆的面积公式．8．（2022秋•海门市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2023次输出的结果是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣3D．﹣6【分析】按运算程序先计算，通过计算结果找出规律，利用规律得结论．【解答】解：输入x＝3，∵3是奇数，∴输出3﹣5＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6．输入x＝﹣6，∵﹣6是偶数，∴输出﹣6×＝﹣3．输入x＝﹣3，∵﹣3是奇数，∴输出﹣3﹣5＝﹣8．输入x＝﹣8，∵﹣8是偶数，∴输出﹣8×＝﹣4．输入x＝﹣4，∵﹣4是偶数，∴输出﹣4×＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6..．依次类推，除去第一次输入，输出分别以﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8、﹣4循环．∴2023÷6＝337.....1．故第2023次输出的结果是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式的求值，通过输入输出的计算得到规律是解决本题的关键．二．同类项（共5小题）9．（2022秋•惠山区校级期末）请写出3ab2的一个同类项．【分析】根据题意，写出一个含有字母a，b且a的指数为1，b的指数为2的单项式即可求解．【解答】解：写出3ab2的一个同类项可以是ab2，故答案为：ab2（答案不唯一）．【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．10．（2022秋•句容市校级期末）已知两个单项式a3b m与﹣3a n b2是同类项，则m﹣n＝．【分析】根据同类项的定义直接可得到m、n的值．【解答】解：因为两个单项式a3bm与﹣3anb2是同类项，可得：m＝2，n＝3，所以m﹣n＝2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．11．（2022秋•高邮市期末）下列两个单项式中，是同类项的是（）A．3与x B．2a2b与3ab2C．xy2与2xy D．3m2n与nm2【分析】根据同类项的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、3与x不是同类项，故本选项不符合题意；B、2a2b与3ab2不是同类项，故本选项不符合题意；C、xy2与2xy不是同类项，故本选项不符合题意；D、3m2n与nm2是同类项，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了同类项的定义．熟练掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键．12．（2022秋•秦淮区期末）若代数式﹣2x2y m与x n y3是同类项，则代数式m n＝．【解答】解：代数式﹣2x2ym与xny3是同类项，可得m＝3，n＝2，所以mn＝32＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了同类县的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13．（2022秋•镇江期末）下列各组中，不是同类项的是（）A．2x与﹣x B．﹣5mn与nmC．0.2p2q与D．a3b5与7a5b3【分析】根据同类项的定义进行判断即可．【解答】解：根据“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”可知，a3b5与7a5b3不是同类项，因此选项D符合题意，故选：D．【点评】本题考查同类项，理解“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是正确判断的前提．三．合并同类项（共12小题）14．（2022秋•泰兴市期末）多项式x2﹣2kxy﹣3y2+6xy﹣8化简后不含xy项，则k＝．【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变可得：﹣2k+6＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：﹣2k+6＝0，解得：k＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了合并同类项，关键是掌握合并同类项法则．15．（2022秋•广陵区校级期末）合并同类项：（1）5m+2n﹣m﹣3n（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2【分析】根据合并同类项法则解答即可．【解答】解：（1）原式＝（5﹣1）（2﹣3）n＝4m﹣n；（2）原式＝（3﹣1）a2+（3﹣2）a﹣（1+5）＝2a2+a﹣6．【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．16．（2022秋•江阴市期末）计算7a﹣3a等于（）A．4a B．a C．4D．10a【分析】合并同类项即可．【解答】解：7a﹣3a＝4a，故选：A．【点评】本题考查合并同类项，掌握合并同类项法则是正确解答的前提．17．（2022秋•徐州期末）下列运算正确的是（）A．2x+x＝2x2B．2x+3y＝5xy C．4x﹣2x＝2D．3x2﹣2x2＝x2【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算即可．【解答】解：2x+x＝3x，故A选项不符合题意；2x+3y不能合并同类项，故B选项不符合题意；4x﹣2x＝2x，故C选项不符合题意；3x2﹣2x2＝x2，故D选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．18．（2022秋•邗江区期末）若﹣4x5y+4x2n+1y＝0，则常数n的值为．【分析】根据同类项“相同字母的指数相同”列式求解即可．【解答】解：根据题意可知，﹣4x5y与4x2n+1y是同类项，∴2n+1＝5，解得n＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握同类项的定义是解题关键．19．（2022秋•江都区期末）若单项式与7a x+5b2与﹣a3b y﹣2的和是单项式，则x y＝．【分析】利用同类项的定义求得x，y的值，再代入运算即可．【解答】解：∵单项式与7ax+5b2与﹣a3by﹣2的和是单项式，∴单项式与7ax+5b2与﹣a3by﹣2是同类项，∴x+5＝3，y﹣2＝2，∴x＝﹣2，y＝4．∴xy＝（﹣2）4＝16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了合并同类项，利用同类项的定义求得x，y的值是解题的关键．20．（2022秋•秦淮区期中）合并同类项：（1）2a﹣5b﹣3a+b；（2）3x2+6x+5﹣4x2+7x﹣6【分析】（1）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：（1）2a﹣5b﹣3a+b＝（2﹣3）a+（1﹣5）b＝﹣a﹣4b；（2）3x2+6x+5﹣4x2+7x﹣6＝（3﹣4）x2+（6+7）x+（5﹣6）＝﹣x2+13x﹣1．【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．21．（2022秋•射阳县校级期末）已知多项式﹣2x2+5kxy﹣3y2﹣15xy+10中不含xy项，则k＝【分析】先化简多项式，再根据“不含xy项”求k即可．【解答】解：﹣2x2+5kxy﹣3y2﹣15xy+10＝﹣2x2+（5k﹣15）xy﹣3y2+10，∵多项式﹣2x2+5kxy﹣3y2﹣15xy+10中不含xy项，∴5k﹣15＝0，∴k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了整式加减运算，熟练掌握运算法则是关键．22．（2022秋•广陵区校级期末）多项式x2﹣3mxy﹣3y2+6xy﹣8中不含xy项，则常数m的值是．【分析】先去掉括号，再合并同类项，根据已知得出﹣3m+6＝0，再求出即可．【解答】解：x2﹣3mxy﹣3y2+6xy﹣8＝x2﹣3mxy+6xy﹣3y2﹣8＝x2+（﹣3m+6）xy﹣3y2﹣8，∵多项式中不含xy项，∴﹣3m+6＝0，解得：m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，多项式等知识点，能根据题意得出﹣3m+6＝0是解此题的关键．23．（2021秋•滨湖区期末）定义：若x﹣y＝m，则称x与y是关于m的相关数．（1）若5与a是关于2的相关数，则a＝．（2）若A与B是关于m的相关数，A＝3mn﹣5m+n+6，B的值与m无关，求B的值．【分析】（1）根据相关数的定义得到5﹣a＝2，从而得到a的值；（2）根据相关数的定义得到A﹣B＝m，从而B＝（3n﹣6）m+n+6，根据B的值与m无关得到3n﹣6＝0，求出n的值，从而得到B的值．【解答】解：（1）∵5﹣a＝2，∴a＝3，故答案为：3；∴3mn﹣5m+n+6﹣B＝m，∴B＝3mn﹣5m+n+6﹣m＝3mn﹣6m+n+6＝（3n﹣6）m+n+6，∵B的值与m无关，∴3n﹣6＝0，∴n＝2，∴B＝2+6＝8．答：B的值为8．【点评】本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键．24．（2022秋•锡山区校级期中）已知整式﹣x2+2y﹣mx+5﹣nx2+6x﹣20y的值与字母x的取值无关．求m2﹣2mn﹣n3的值．【分析】代数式合并得到最简结果，令x的二次项与x的一次项系数为0，求出m与n的值，代入所求式子中计算即可得到结果．【解答】解：﹣x2+2y﹣mx+5﹣nx2+6x﹣20y＝（﹣1﹣n）x2+（6﹣m）x+5﹣18y，∵整式﹣x2+2y﹣mx+5﹣nx2+6x﹣20y的值与字母x的取值无关，∴﹣1﹣n＝0，6﹣m＝0，解得n＝﹣1，m＝6，∴m2﹣2mn﹣n3＝＝＝．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．25．（2022秋•仪征市校级月考）合并同类项（1）5m+2n﹣m﹣3n；（2）a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2．【分析】（1）直接合并同类项进而得出答案；（2）直接合并同类项得出答案．【解答】解：（1）5m+2n﹣m﹣3n＝（5﹣1）m+（2﹣3）n＝4m﹣n；（2）a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2＝a2﹣a2+4ab﹣b2﹣4b2＝（1﹣1）a2+4ab+（﹣1﹣4）b2＝﹣5b2+4ab．【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．一．选择题（共6小题）1．（2022秋•邗江区校级期末）下列各式中，与x2y是同类项的是（）A．xy2B．2xy C．﹣x2y D．3x2y2【分析】根据：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项进行判断即可．【解答】解：x2y与﹣x2y所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项．故选：C．【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．2．（2022秋•苏州期末）按图示的程序计算，若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则x的值是（）A．1或4B．2或12C．1或4或13D．2或4或12【分析】根据运算程序列出方程求出x，然后把求出的x的值当作计算结果继续求解，直至x不是正整数为止．【解答】解：∵最后输出的结果为40，∴3x+1＝40，解得：x＝13，当3x+1＝13，解得：x＝4，当3x+1＝4，解得：x＝1，当3x+1＝1，解得：x＝0（舍去），综上，则x的值是1或4或13．故选：C．【点评】本题主要考查代数式求值，该题难点在于最后输出的结果40对应的x的值有可能不是第一次输入x的值．3．（2022秋•海门市期末）已知a﹣b＝2，则代数式2b﹣2a+3的值是（）【分析】先把2b﹣2a+3变形为﹣2（a﹣b）+3，然后把a﹣b＝2代入计算即可．【解答】解：当a﹣b＝2时，原式＝﹣2（a﹣b）+3＝﹣2×2+3＝﹣4+3＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．4．（2022秋•惠山区校级期末）下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．9a﹣3a＝6C．3a+a＝3a2D．3a2b+5a2b＝8a2b【分析】根据合并同类项的法则进行运算即可判断．【解答】解：A、3a与2b，不是同类项，不能进行加减运算，此选项错误，不符合题意；B、9a﹣3a＝6a，此选项错误，不符合题意；C、3a+a＝4a，此选项错误，不符合题意；D、3a2b+5a2b＝8a2b，此选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的运算法则，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．5．（2022秋•南京期末）计算3a2﹣a2的结果是（）A．3B．2C．2a2D．4a2【分析】根据合并同类项法则解答即可．【解答】解：3a2﹣a2＝2a2．故选：C．【点评】本题考查合并同类项，掌握同类项的定义以及合并同类项法则是正确解答的前提．6．（2022秋•玄武区校级期末）如果|m|＝2，n2＝36，|m﹣n|＝n﹣m．那么代数式m+n的值是（）A．4，8B．﹣4，﹣8C．﹣4，8D．4，﹣8【分析】根据|m|＝2，|m﹣m|＝n﹣m，求出m，n的值计算即可．【解答】解：∵|m|＝2，n2＝36，|m﹣n|＝n﹣m，∴m＝±2，n＝6，当m＝2时，m+n＝8，当m＝﹣2时，m+n＝4，【点评】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．二．填空题（共7小题）7．（2022秋•鼓楼区校级期末）若单项式与2x3y n的和仍是单项式，则m+n＝．【分析】根据和是单项式，可得它们是同类项，在根据同类项，可得m、n的值，根据有理数的加法法则，可得答案．【解答】解：∵单项式与2x3yn的和仍是单项式，∴单项式与2x3yn是同类项，∴m＝3，n＝2，m+n＝3+2＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．8．（2022秋•仪征市期末）若a2+3a＝﹣5，则2a2+6a﹣2的值为．【分析】先根据已知条件式得到2a2+6a＝﹣10，然后把2a2+6a＝﹣10整体代入所求式子中进行求解即可．【解答】解：∵a2+3a＝﹣5，∴2a2+6a﹣2＝2（a2+3a）﹣2＝﹣10﹣2＝﹣12，故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．9．（2022秋•兴化市期末）若3x m+1y3与﹣5x3y n是同类项，则﹣m n＝．【分析】根据同类项的定义得出m+1＝3，n＝3，求出m，n的值，再代入求出答案即可．【解答】解：∵3xm+1y3与﹣5x3yn是同类项，∴m+1＝3，n＝3，∴m＝2，∴﹣mn＝﹣23＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了同类项的定义，能根据同类项的定义求出m、n的值是解此题的关键．10．（2022秋•姜堰区期末）如果代数式x2﹣2x﹣5的值等于5，那么代数式﹣2x2+4x﹣3的值是．【分析】根据代数式x2﹣2x﹣5的值等于5，求出x2﹣2x的值，利用整体思想，代入﹣2x2+4x﹣3中进行计算即可．∴x2﹣2x＝10，∴﹣2x2+4x﹣3＝﹣2（x2﹣2x）﹣3＝﹣2×10﹣3＝﹣23；故答案为：﹣23．【点评】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，代入求值．11．（2022秋•常州期末）若3a m b2与﹣a2b n+3是同类项，则mn＝．【分析】根据同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案．【解答】解：由3amb2与﹣a2bn+3是同类项是同类项可得：m＝2，n+3＝2，解得m＝2，n＝﹣1，所以mn＝2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．12．（2022秋•兴化市期末）如果x2﹣3x﹣3＝0，那么代数式2x2﹣6x﹣8的值是．【分析】由题意可知；x2﹣3x＝3，然后由等式的性质可知2x2﹣6x＝6，然后代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣3x﹣3＝0，∴x2﹣3x＝3，∴2x2﹣6x＝6，∴2x2﹣6x﹣8＝6﹣8＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查的是求代数式的值，依据等式的性质求得2x2﹣6x＝6是解题的关键．13．（2022秋•玄武区校级期末）已知2a﹣3b＝﹣1，则1﹣4a+6b＝．【分析】根据2a﹣3b＝﹣﹣，求出4a﹣6b的值是多少，即可求出1﹣4a+6b的值．【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴1﹣4a+6b＝1﹣2（2a﹣3b）＝1﹣2×（﹣1）＝1+2＝3故答案为：3．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•宜兴市期中）若多项式mx3﹣2x2+4x﹣3﹣3x3+6x2﹣nx+6化简后不含x的三次项和一次项，【分析】先将关于x的多项式合并同类项．由于其不含三次项及一次项，即系数为0，可以先求得m，n，再代入（m﹣n）2021进行计算，即可得出答案．【解答】解：mx3﹣2x2+4x﹣3﹣3x3+6x2﹣nx+6＝（m﹣3）x3+4x2+（4﹣n）x+3，∵该多项式化简后不含x的三次项和一次项，∴m﹣3＝0，4﹣n＝0，∴m＝3，n＝4，∴（m﹣n）2021＝﹣1．【点评】此题考查了多项式及代数式求值，解答本题必须先合并同类项，在多项式中不含哪项，即哪项的系数之和为0．15．（2021秋•泗阳县期中）合并同类项：（1）4m﹣7n﹣2m+3n；（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2．【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：（1）4m﹣7n﹣2m+3n＝（4m﹣2m）+（3n﹣7n）＝（4﹣2）m+（3﹣7）n＝2m﹣4n；（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2．＝（3a2﹣a2）+（3a﹣2a）+（﹣1﹣5）＝（3﹣1）a2+（3﹣2）a﹣（1+5）＝2a2+a﹣6．【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．16．（2021秋•丹阳市期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整体思想”是一种重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣（a﹣b）2+7（a﹣b）2，其结果是；（2）已知x2﹣2y＝1，求﹣3x2+6y+5的值．【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，根据合并同类项的法则化简即可；（2）把x2﹣2y＝1看成一个整体，整体代入求值即可．故答案为：9（a ﹣b ）2；（2）∵x2﹣2y ＝1，∴原式＝﹣3（x2﹣2y ）+5＝﹣3+5＝2．【点评】本题考查了合并同类项，代数式求值，考查整体思想，把x2﹣2y ＝1看成一个整体，整体代入求值是解题的关键．17．（2021秋•广陵区校级月考）化简：（1）﹣3x 2y +3xy 2﹣2xy 2+2x 2y ；（2）2a 2﹣5a +a 2+6+4a ﹣3a 2．【分析】合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可．【解答】解：（1）﹣3x2y+3xy2﹣2xy2+2x2y ＝（﹣3x2y+2x2y ）+（3xy2﹣2xy2）＝﹣x2y+xy2；（2）2a2﹣5a+a2+6+4a ﹣3a2＝（2a2+a2﹣3a2）+（4a ﹣5a ）+6＝﹣a+6．【点评】本题考查了合并同类项法则的应用，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．一、单选题【分析】根据同类项的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、3与x 不是同类项，故本选项不符合题意；B 、22a b 与23ab 不是同类项，故本选项不符合题意；C 、2xy 与2xy 不是同类项，故本选项不符合题意；D 、23m n 与2nm 是同类项，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题考查了同类项的定义．熟练掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键． 2．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）计算73a a −等于（ ）【答案】A【分析】合并同类项即可得出结果．【详解】解：734−=a a a ；故选A ．【点睛】本题考查合并同类项．熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键． 3．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）下列计算正确的是（ ）A ．2527a a a +=B ．22287x y yx x y −=C ．32y y −=D ．235a b ab +=【答案】B【分析】结合选项进行合并同类项，然后选择正确选项．【详解】解：A 、527a a a +=，原式计算错误，故本选项错误；B 、22287x y yx x y −=，计算正确，故本选项正确；C 、32y y y −=，计算错误，故本选项错误；D 、2a 和3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．【答案】A【分析】先把方程233a b c +−=的左右两边同乘以3得到3699a b c +−=，然后再同方程5675a b c −+=相减即可得到答案．【详解】解：∵233a b c +−=，∴3699a b c +−=①，又∵5675a b c −+=②，∴②-①得：212164a b c −+=−，∴682a b c −+=−，【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是运用所给的代数式变换并进行四则运算得出所求的代数式．二、填空题【答案】5【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出,a b 的值，代入计算即可．【详解】解：∵2a x y −与312b x y 的和是单项式，∴2a x y −与312b x y 是同类项， ∴32a b ==，，∴325a b +=+=．故答案为：5．【点睛】本题考查了同类项的定义，出,a b 的值是解题的关键．【答案】4【分析】根据单项式223m x y 与322n x y 的差仍是单项式，可知223m x y 与322n x y 是同类项，由此确定m ，n 的值，即可求解．【详解】解：由题意知223m x y 与322n x y 是同类项， 由同类项相同字母的指数相同可得3m =，22n =，即3m =，1n =，所以314m n +=+=，故答案为：4．【点睛】本题考查单项式、同类项、代数式求值等，解题的关键判断出223m x y 与322n x y 是同类项．7．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）若224m x y −与32n x y −是同类项，则m n −=_____．【分析】根据同类项定义得到3m =，2n =，代入计算可得．【详解】解：∵224m x y −与32n x y −是同类项， ∴23m −=，2n =，∴5m =，∴523m n −=−=，故答案为：3．【点睛】此题考查了同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项，熟记同类项的定义是解题的关键．8．（2023秋·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）请写出23ab 的一个同类项______．【答案】2ab （答案不唯一）【分析】根据题意，写出一个含有字母,a b 且a 的指数为1，b 的指数为2的单项式即可求解．【详解】解：写出23ab 的一个同类项可以是2ab ，故答案为：2ab （答案不唯一）．【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指9．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）若23x y −=，则代数式249x y −−的值等于______．【答案】3−【分析】将代数式249x y −−整理为2(2)9x y −−，然后代入求值即可．【详解】解：∵23x y −=，∴2492(2)92393x y x y −−=−−=⨯−=−．故答案为：3−．【点睛】本题主要考查了代数式求值，将代数式249x y −−整理为2(2)9x y −−是解题关键． 10．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）若关于x 的多项式223247x mx x +−+与多项式32351x x x −+−相加后不含x 的二次项，则m 的值为______．【答案】１【分析】将两个多项式相加后，然后合并同类项，令含2x 的项的系数化为0即可．【详解】223247x mx x +−++32351x x x −+− =−+−+32232236x x m x x()=−−−+3232236x x m x令220m −=，解得：1m =故答案为：1．【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法进行求解是解题的关键． 11．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x 的整系数二次三项式2ax bx c ++，当x 取1、6、8、12时，某同学算得这个二次三项式的值分别是0、15、35、100．经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是____________．【答案】15【分析】根据所给的值，6x =和12x =具有倍数关系，由此可知，这两个结果是解题的突破，因此6x =和12x =的结果中必有一个是错误的，假设当6x =的结果是正确的，36615a b c ++=①，1a b c ++=②，可得1475a b +=，不符合题意，由此即可求解．【详解】∵6x =时215ax bx c ++=，12x =时2100ax bx c ++=，∴36615a b c ++=，14412100a b c ++=，∴4(366)460a b c ++=，∴4043b c +=−，∵二次三项式2ax bx c ++的系数是整数，∴6x =和12x =的结果中必有一个是错误的，当6x =时，215ax bx c ++=，∴36615a b c ++=①，当1x =时，21ax bx c ++=时，∴1a b c ++=②，−①②得，35514a b +=， ∴1475a b +=，∵二次三项式2ax bx c ++的系数是整数，∴6x =时，215ax bx c ++=的结果是错误的．故答案为：15【点睛】本题考查整数的运算，熟练掌握代数式求值的方法，观察所给的数可知6x =和12x =的结果是解题的关键．三、解答题 12．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）合并同类项：（1）523m n m n +−−（2）2231253a a a a −−−+−【答案】(1)4m-n;(2) 226a a +−【分析】（1）合并同类项即可得到答案；（2）将多项式合并同类项.【详解】（1）5234m n m n m n +--=，（2）2223125326a a a a a a ---+-=+-.【点睛】此题考查整式的加减法计算，将多项式中的同类项合并. 13．（2023秋·七年级单元测试）如图，一块长方形铁片，从中挖去直径分别为x cm ，y cm 的四个半圆．(1)用含x 、y 的式子表示剩下的面积．(2)当x ＝6，y ＝2时，剩下铁片的面积是多少平方厘米？（结果保留π）。

代数式化简求值的三种考法类型一、整体代入求值【答案】【分析】根据一元一次方程的解的定义，将3x =代入2mx n −=，得出32n m −=−，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵3x =是关于x 的一元一次方程2mx n −=的解， ∴32m n −=，即32n m −=− ∴265n m −+=()()2352251n m −+=⨯−+=，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，整体代入解题的关键． 例2.已知代数式232a b −+的值为4，则代数式 2628b a −+的值为（ ） A ．4 B ．8−C ．12D ．4−【答案】A【分析】由代数式232a b −+的值为4，可知23a b −的值，再观察题中的两个代数式23a b −和2628b a −+，可以发现226282(3)8b a a b −+=−−+，代入即可求解．【详解】解：∵代数式232a b −+的值为4，∴2324a b −+=，即232a b −=，∴2628b a −+22(3)8a b =−−+228=−⨯+4=，故选：A ．【点睛】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．例3.已知535y ax bx cx =++−，当3x =时，7y =，那么3x =−时，y =（ ） A ．－3 B ．－7 C ．－17 D ．7【答案】C【分析】把3x =，7y =代入计算得5333312a b c ++=，然后把3x =−代入原式化简，利用整体代入法即可得到答案.【详解】解：∵535y ax bx cx =++−中，当3x =时，7y =，∴5333357a b c ++−=， ∴5333312a b c ++=，把3x =−代入535y ax bx cx =++−，得 533335y b c a =−−−−， 53(333)5a b c =−++−125=−− 17=−；故选择：C.【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是利用整体代入法进行解题.【分析】根据绝对值的性质，求出,a b 可能取得值，根据0a b −<确定,a b 的值，再代数求值． 【详解】解：5a =，18b −=，5a ∴=±，18b −=±， 5a ∴=±，9b =或7−， 0a b −<Q ，∴当5a =，9b =时，5914a b +=+=；当5a =−，9b =时，594a b +=−+=． 故a b +的值为4或14．【点睛】本题考查了绝对值与代数式求值，解决本题的关键在于根据绝对值的性质求出,a b 的值，然后分情况讨论．【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则，将括号展开，再将2a b −=，5ab =代入进行计算即可． 【详解】解：()()()444416416a b ab a b ab a b −+=+−−=+−−，∵2a b −=，5ab =， ∴原式5421619=−⨯−=−．故答案为：19−．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式，把前面一个多项式的每一项分别乘以后面一个多项式的每一项． 【变式训练3】已知a +b =2ab ，那么232a ab ba ab b++−+＝（ ）A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】B【详解】解：∵2a b ab +=，∴232a ab b a ab b ++−+＝2()3a b ab a b ab +++−＝2232ab ab ab ab ⨯+−＝43ab ab ab +＝7abab ＝7，故选：B ．类型二、特殊值法代入求值例1.已知关于x 的多项式4323ax bx cx dx e ++++，其中a ，b ，c ，d 为互不相等的整数． (1)若4abcd =，求+++a b c d 的值；(2)在（1）的条件下，当1x =时，这个多项式的值为27，求e 的值；(3)在（1）、（2）条件下，若=1x −时，这个多项式4323ax bx cx dx e ++++的值是14，求a c +的值． 【答案】(1)0 (2)3e = (3) 6.5−【分析】（1）由a b c d 、、、是互不相等的整数，4abcd =可得这四个数由1−，1，2−，2组成，再进行计算即可得到答案；（2）把1x =代入432327ax bx cx dx e ++++=，即可求出e 的值；（3）把=1x −代入432314ax bx cx dx e ++++=，再根据0a b c d +++=，即可求出a c +的值．【详解】（1）解：4abcd =，且a b c d 、、、是互不相等的整数， ∴a b c d 、、、为1−，1，2−，2，0a b c d ∴+++=；（2）解：当1x =时，4323ax bx cx dx e ++++ 43231111a b c d e =⨯+⨯+⨯+⨯+ 3a b c d e =++++ 30e =+27=，3e ∴=；（3）解：当=1x −时，4323ax bx cx dx e ++++()()()()43231111a b c d e =⨯−+⨯−+⨯−+⨯−+3a b c d e =−+−+14=，13a b c d ∴−+−=−， 0a b c d +++=， 6.5a c ∴+=−．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出a b c d 、、、这四个数以及a b c d 、、、之间的关系．【变式训练1】已知()20211232021012320211x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，则20212020201920181a a a a a −+−+⋅⋅⋅+的值为 ．【答案】1【分析】分别令=1x −、0x =代入，求得对应代数式的值，求解即可．【详解】解：令=1x −，则()202101232020202110x a a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅−=+，令0x =，则()2021011x a +==，∴2021202020192018100a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+−=， ∴2021202020192018101a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+==．故答案为：1．【点睛】此题考查了求代数式的值，解题的关键是给x 赋值，得到对应代数式的值． 【变式训练2】若()665432654321021x a x a x a x a x a x a x a −=++++++，则5310a a a a ++−=______． 【答案】365−【详解】解：令x=0，代入等式中得到：()61−=a ，∴0=1a ， 令x=1，代入等式中得到：65432101①=++++++a a a a a a a ， 令x=-1，代入等式中得到：66543210(3)②−−−−=+++a a a a a a a ，将①式减去②式，得到：65311(3)2()−−+=+a a a ，∴536113)3642(−+=+=−a a a ，∴53103641365++−=−−=−a a a a ， 故答案为：365−．【变式训练3】特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：432432106a x a x a x a x a x ++++=，则（1）取0x =时，直接可以得到00a =；（2）取1x =时，可以得到432106a a a a a ++++=； （3）取1x =−时，可以得到432106a a a a a −+−+=−；（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到4222a a +020+=a ，结合（1）00a =的结论，从而得出420a a +=．请类比上例，解决下面的问题：已知654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x −+−+−+−+−+−+=．求：(1)0a 的值；(2) 6543210++++++a a a a a a a 的值； (3) 642a a a ++的值． 【答案】(1)4；(2)8；(3)0 【解析】(1)解：当1x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴0414a =⨯=；(2)解：当2x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+；(3)解：当2x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+①；当0x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴65432100+−++=−−a a a a a a a ②；用①+②得：406282222++=+a a a a ，∴642040a a a a ++=−=． 类型三、降幂思想求值例．若2230x x −+=，则3227122020x x x −++=_____； 【答案】2029【详解】解：∵2230x x −+=, ∴223x x −=−,∴3227122020x x x −++=x(2x2-4x -3x+12)+2020=x[2(x2-2x)-3x+12]+2020= x[2×（-3）-3x+12]+2020=x(-3x+6)+2020=-3(x2-2x)+2020=-3×（-3）+2020=9+2020=2029 故答案为：2029．【分析】根据已知得到2232022x x −=，再将所求式子变形为()()22232320222020x x x x x x =−+−−−，整体代入计算即可．【详解】解：∵22320220x x −−=， ∴2232022x x −=， ∴32220252020x x x −−−322232*********x x x x x =−+−−−()()22232320222020x x x x x x =−+−−−2022202220222020x x =+−−2=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 【变式训练2】如果2233x x −+的值为5，则2695x x −−的值为______． 【答案】1【详解】∵22335x x −+=，∴2232x x −=∴2695x x −−()23235x x =−−325=⨯−1=，故答案为：1． 【变式训练3】已知21x x +=，求43222023x x x x +−−+的值． 【答案】2022【分析】把所求式子变形成含已知的代数式，结合整体代入的思想解答即可．【详解】解：∵21x x +=， ∴43222023x x x x +−−+()22222023x x x x x =+−−+2222023x x x =−−+ 22023x x =−−+()22023x x =−++12023=−+2022=．【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法，正确变形，灵活应用整体思想是解题的关键． 【变式训练4】已知210x x −−=，则3222021x x −++的值是______． 【答案】2022【详解】解：∵210x x −−=，∴230x x x −−=， ∴32210x x −+−=，∴3221x x −+=，∴3222021120212022x x −++=+=，故答案为：2022．课后训练1.已知2|1|(2)0x y −++=，a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，求32()()33x y ab c d +−−++的值． 【答案】-2 【详解】解：()2120x y −++=，()21020x y −≥+≥，.10x ∴−=，20y += 1x ∴=，2y =−因为a 与b 互为倒数，所以1ab = 因为c 与d 互为相反数，所以0c d += ∴原式()()()321213c d =−−−++()311=−−=-2．2．已知23a bc +=，222b bc −=−．则22543a b bc +−的值是（ ） A ．23− B ．7C ．13D ．23【答案】B【分析】将所求式子变形为()()22542a bc b bc ++−，再整体代入计算．【详解】解：∵23a bc +=，222b bc −=−， ∴22543a b bc +−225548a bc b bc =+−+()()22254a bc b bc =+−+()5342=⨯+⨯−158=−7=故选B ．【点睛】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的灵活运用． 3．已知21a a +=，那么3222023a a ++的值是（ ） A ．2021 B ．2022 C ．2023 D ．2024【答案】D【分析】先将3a 降次为2a a −+，然后代入代数式，再根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵21a a +=，∴21a a =−+，则32a a a =−+，∴3222023a a ++2222023a a a =−+++ 22023a a =++12023=+2024=，故选：D ．【点睛】本题考查了已知代数式的值求代数式的值，解决本题的关键是要将未知代数式进行降幂．【分析】根据2330a a −−=得出233a a ∴−=，然后整体代入求解；【详解】2330a a −−=Q ，233a a ∴−=，∴()222021262320212320212015a a a a −+=−−+=−⨯+=，故答案为：2015．【点睛】本题考查了求代数式的值，根据已有的等式整体代入求值是解题的关键．【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，得到0m n +=，2c 与d 互为倒数得到21c d ⋅=，b 是最大的负整数得1b =-，代入求值．【详解】解：由题意可知，互为相反数的两个数的和为零，得到0m n +=，2c 与d 互为倒数得到21c d ⋅=，b 是最大的负整数得1b =-，故原式20200(11)=−−．0=．故答案为：0．【点睛】本题考查相反数的性质，倒数的性质以及最大的负整数，熟练掌握知识点是解题的关键．【答案】【分析】先把1x =代入531ax bx cx +++，可得a b c ++的值,再把1x =−代入531ax bx cx +++得1a b c −−−+,变形后再次把a b c ++的值代入计算即可．【详解】把1x =代入531ax bx cx +++得，12023a b c +++=∴2022a b c ++=，再把1x =−代入531ax bx cx +++得()11a b c a b c −−−+=−+++20221=−+ 2021=−．【点睛】此题考查代数式求值，解题关键在于把x 的值代入和整体思想的应用．【答案】（1）37；17；（2）2n+【分析】（1）根据题意代入求值即可；（2）分别计算1(),()f n f n 的值，找到规律再求解【详解】（1）()2263661637f ==+； 221114417114f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）22222111(),()1111n n f n f n n n n ===+++1()()1f n f n \+=∴()()()()1111231231f f f f f f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1111231231f f f f f f n f n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦11122n n =+⨯=+．【点睛】本题考查了代数式求值，分式的计算，理解题意，找到1()()1f n f n +=是解题的关键．【答案】【分析】把2x x +当整体代入求值，通过两次代入即可得出最后结果．【详解】解：230+−=x x ，23∴+=x x ，32225x x x +−+ 32225x x x x =++−+()2225x x x x x =++−+23x x +=，∴原式2325x x x =+−+25x x =++ 35=+8=，故答案为：8．【点睛】本题考查分解因式的应用，同时也要熟练运用整体代入的方法，快速分析出所需代入的整体是解题的关键．9.已知24a +=，()214b −=，且0ab <，则a b +=______．【答案】1或－3【详解】∵24a +=，()214b −=，∴a+2=±4，b−1=±2，∴a=2或a=−6，b=3或b=−1；∵0ab <，∴a=2，b=−1或a=−6，b=3，当a=2，b=−1时，则2(1)1a b +=+−=；当a=−6，b=3时，则633a b +=−+=−；故答案为：1或－3．。

整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及重要性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。

代数式的值【要点梳理】要点一：代数式的值★定义：用数代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果，叫代数式的值. ★求代数式的值的步骤：（1）用具体数值代替代数式里的字母，简称“代入”；（2）按照代数式指明的运算计算出结果，简称“计算”.即一代入，二计算. 【例1】当1-=x 时，求数式13+x 的值. 【变式】当2-=a ，b ＝时，代数式a 2＋b 2－3的值是( )． A ．B ．C ．D ． 【变式】当时,求下列代数式的值: (1) (2) (3)【变式】根据下面所给a 的值，求代数式a 2－2a ＋1的值。

（1）a ＝1 （2）a ＝－1 （3）a ＝0 （4）a ＝－0.5 【变式】根据给出的数据,分别求代数式和的值.(1) (2) (3) 【变式】当x ＝1，y ＝－6时，求下列代数式的值。

（1）x 2＋y 2 （2）（x ＋y ）2 （3）x 2－2xy ＋y 2【变式】当时，代数式。

【变式】当4=x 时,代数式的值是0,则的值为___________。

【变式】小张在计算31＋a 的值时，误将“＋”号看成“－”号，结果得12，那么31＋a 的值应为_____________。

【变式】已知3=a ，162=b ，且b a b a +≠+，则代数式b a -的值为（ ） A ．1或7B ．1或﹣7C ．﹣1或﹣7D ．±1或±7【变式】当a ＝5时，下列代数式中值最大的是（ ）12114112114-112-32,211==y x y x 32-22y xy x +-yx yx -+()2b a +222b ab a ++4,2==b a 2,3=-=b a 56,54-=-=b a 2=x _________132=-+x x a x x +-22aA.2a ＋3B.12a -C.212105a a -+ D.271005a -【变式】求下列代数式的值，计算正确的是（ ） A. 当x ＝0时，3x ＋7＝0 B. 当x ＝1时，3x 2－4x ＋1＝0 C. 当x ＝3，y ＝2时，x 2－y 2＝1 D. 当x ＝0.1，y ＝0.01时，3x 2＋y ＝0.31 【变式】填表（1）随着值的逐渐增大，两个代数式的值怎样变化？（2）当代数式的值为25时，代数式的值是多少？ 【例2】先阅读下面例题的解题过程，再解决后面的题目． 例：已知9﹣6y ﹣4y 2＝7，求2y 2+3y +7的值．解：由9﹣6y ﹣4y 2＝7，得﹣6y ﹣4y 2＝7﹣9，即6y +4y 2＝2，所以2y 2+3y ＝1，所以2y 2+3y +7＝8．题目：已知代数式14x +5﹣21x 2的值是﹣2，求6x 2﹣4x +5的值． 【变式】已知0322=-+a a ，则代数式3422-+a a 的值是（ ） A ．﹣3B ．0C ．3D ．6【变式】已知，则代数式。

整体思想在初中数学代数式求值问题中的应用在研究和解决有关数学问题时，我们不是从问题的局部着手，而是从问题的整体观点出发，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到化繁为简、变难为易的目的，这就是整体思想．其主要表现形式有：整体代换、整体把握、整体设元、整体变形、整体补形、整体联想、整体合并、整体转化等．用整体观点分析认识数学公式、法则，用整体观点计算、证明数学问题，可以培养学生思维的灵活性、敏捷性，进而提高解决问题的效率．因而，整体思想是学习数学必备的思想方法．每年的数学中考中出现了有创意、新颖的涉及整体思想的试题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用．初中数学中代数式求值问题一般可以直接将字母的值代入计算便可解决问题，但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到整体思想方法．一、在整式中的应用（1）在幂的运算中的应用例1 计算：（x+y）9÷（x+y）5分析：此题将x+y看作一个整体，即看成一个字母，则可以较简便地进行计算．此题若拘泥常规，则举步维艰；若整体考虑，则畅通无阻．解：（x+y）9÷（x+y）5=（x+y）9-5=（x+y）4说明：此题若改成（x+y）9·（x+y）5 ，也可以将x+y看作一个整体进行计算．例2 已知3x=25，3y=15，求32x-y的值．分析: 此题先运用同底数幂除法的逆运算将所求代数式进行变形,再运用整体代入进行计算．解: 32x-y=32x÷3y=(3x)2÷3y=252÷15125=3例3 若3x+5y-4=0,求8x·32y的值．分析：此题中所求的代数式中相乘的两个幂都可以改写成以2为底数的幂，变形后出现3x+5y，再将已知条件中的3x+5y作为一个整体代入即可．解：∵3x+5y-4=0∴3x+5y=4∴8x·32y=（23）x·（25）y=23x·25y=23x+5y=24=16（2）在整式乘除中的应用例4 计算：（a+b+c）（a-b-c）分析：此题运用多项式乘多项式的法则可以计算出结果，但运用整体思想将b+c 看成一个字母，即看成一个整体，那么就能套用平方差公式进行计算．解：（a+b+c ）（a-b-c ）=［a+(b+c)］［a-(b+c)］=a 2-(b+c)2=a 2-b 2-2bc-c 2说明：类似的方法也可用于计算：（a-2b+3c ）（a-2b-3c ）．只要将a-2b 看作一个整体就能用平方差公式进行计算．例5计算：（a+b+c ）2分析：同例4，此题运用多项式乘多项式的法则可以计算出结果，若将b+c(或a+b)看成一个字母，即看成一个整体，那么就能套用完全平方公式(两数和的平方)进行计算．解：（a+b+c ）2=［a+(b+c)］2=a 2+2a(b+c)+(b+c)2=a 2+2ab+2ac+b 2+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac说明：类似的方法也可用于计算：（a+2b-3c ）2．只要将a+2b 看作一个整体就能用完全平方公式(两数差的平方)进行计算．例6 已知x(x+1)-(x 2+y)=-3,求xy y x -+222的值． 分析：此题的已知条件化简可得到x-y=-3,而所求代数式结合乘法公式变形后会出现x-y ，然后将x-y=-3整体代入即可求值．解：由已知条件化简得：x-y=-3 ∴xy y x -+222=2222xy y x -+ =2)(2y x + =2)3(2- =29 例7 已知5x+y=6,求y 2+5xy+30x 的值．分析：此题可以运用“整体代入法”求解．解: y 2+5xy+30x=y(5x+y)+30x=6y+30x=6(y+5x)=6×6=36说明：在代数式求值时,如果字母的值没有明确给出或非常难求,无法直接代入计算,这时,应根据题目的特点,将所求代数式作适当的变形,再将已知条件(一个代数式)整体代入,往往能得到简捷的解答．如:已知a+2b=6,求a 3+2ab(a+b)+4b 3的值．例8 求值：（2a+b ）［10（2a+b ）-9］,其中a=-43,b=21． 分析：此题若将代数式先展开化简再把字母的值代入求值，则非常繁琐．而将2a+b 看作一个整体，先将2a+b 得值计算出来，再整体代入，则可以达到事半功倍的效果．解: ∵a=-43,b=21 ∴2a+b=-1∴（2a+b ）［10（2a+b ）-9］=-1×［10×（-1）-9］=-1×（-19）=19例9 计算：［4（x-2）2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)］÷［4（x-2）］．分析：此题可以将4（x-2）看作整体，运用多项式除以单项式的法则进行计算． 解：［4（x-2）2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)］÷［4（x-2）］=［4（x-2）2+4(x-2)·3(x+2)-4(x-2)·2(x-1)］÷［4（x-2）］=（x-2）+3(x+2)-2(x-1)= 2x+6（3）在因式分解中的应用例10 分解因式（x 2+x+1）（x 2+x+2）-12分析：为解较复杂的单项式因式分解问题，我们可以把某一单项式（或多项式）看作一个整体．此题中将x 2+x+1看作一个整体，原式可变为x 2+x+1的二次三项式．解：（x 2+x+1）（x 2+x+2）-12=（x 2+x+1）［（x 2+x+1）+1］-12=（x 2+x+1）2+（x 2+x+1）-12=（x 2+x+1+4）（x 2+x+1-3）=（x 2+x+5）（x 2+x-2）=（x 2+x+5）（x+2）（x-1）说明：运用整体观点对较复杂的单项式进行因式分解，思路清晰，目标明确．如对x n+3-7x n+2-8x n+1进行因式分解时应将x n+1整体地看作公因式．例11 分解因式（z 2-x 2-y 2）2-4x 2y 2分析：此题若用常规解法，即先去括号，再分解，势必造成分解上的困难；若运用整体的观点，将z 2-x 2-y 2和2xy 分别看成两个整体，则可以简便地用平方差公式进行因式分解． 解：（z 2-x 2-y 2）2-4x 2y 2=（z 2-x 2-y 2）2-（2xy ）2=（z 2-x 2-y 2+2xy ）（z 2-x 2-y 2-2xy ）=［z 2-（x-y ）2］［z 2-（x+y ）2］=(z+x-y)(z-x+y)(z+x+y)(z-x-y)例12 分解因式（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-3分析：此题若将几个因式的乘积计算出来后再进行分解因式，则解答相当麻烦和困难．但采用整体思想方法，此问题将能化难为易．解：（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-3=［（x-1）（x-4）］［（x-2）（x-3）］-3=（x 2-5x+4）（x 2-5x+6）-3=（x 2-5x ）2+10（x 2-5x ）+21=（x 2-5x+3）（x 2-5x+7）例13（4）在整式加减中的应用已知x+y=4,求x 3+12xy+y 3的值．分析：此题运用常规代入法解答较繁，若先将所求代数式中的x 3+y 3用立方和公式进行分解因式得到（x+y ）（x 2-xy+y 2）,再将x+y 看作一个整体，代入计算．解：x 3+12xy+y 3=(x+y)(x 2-xy+y 2) +12xy=4·(x 2-xy+y 2) +12xy=4x 2+8xy+4y 2=4(x 2+2xy+y 2)=4(x+y)2=4·42=64若a+8=b+4=c+5,求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值．分析:由已知条件可得到a-b 、b-c 、a-c 的值，再将所求代数式配方整理后可以将a-b 、b-c 、a-c 的值分别作为一个整体代入即可求值．解：由题可得: a-b=-4, b-c=1 , a-c=-3a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=21(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac) =21( a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2 +a 2-2ac+c 2) =21［（a-b ）2+( b-c)2+( a-c)2］ =21［（-4）2+12+(-3)2］ =13说明：在进行条件求值时，可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握方向和策略，从而简化问题．二、在分式中的应用（1） 在分式乘除中的应用例 计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++832921932821111111111111a a a a a a a a a a a a（2）在分式加减中的应用（3）在分式方程中的应用三、在数的开方和二次根式中的应用例 计算：（2-23+6）（2+23-6）分析：此题应将23-6看作一个整体，运用平方差公式进行计算即可．解：（2-23+6）（2+23-6）=［2-（23-6）］［2+（23-6）］=（2）2-（23-6）2=2-（12-418+6） =122-16例 已知x 2-5x-1=0,求11122-+x x 的值． 分析：由已知条件求出x 的值，再代入求值，计算比较复杂．若由条件得出x x 1-的值，再整体代入，则可化繁为简．解：由题可得x≠0将x 2-5x-1=0两边同时除以x 得x x 1-=5 ∴11122-+xx =112)1(2-+-x x =11252-+=4 例 已知x=2521-,求4x 2-4x-7的值． 分析：此题按照常规的解法可以把x 的值直接代入，通过二次根式的计算求出代数式的值．若运用整体思想，则可以化繁为简．解：∵x=2521- ∴2x=1-25即（2x-1）2=（-25）2∴4x 2-4x+1=20∴4x 2-4x=19∴4x 2-4x-7=19-7=12说明：对于次数较高的关于某一字母的多项式求值问题，我们常利用等式的性质，将已知条件转化为一元二次方程的形式，然后整体代入，达到迅速降次的目的．例 已知x-1=3，求x 3-x 2-x+1的值．分析：此题按照常规的解法可以把x 的值直接代入，通过二次根式的计算求出代数式的值很复杂．可将x-1看成整体代入求值．解：x 3-x 2-x+1=x 2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 2-1)=(x-1) 2(x+1)=(3)2(3+1+1)=33+6由于初中代数研究从数扩充到字母，由具体上升到抽象，在利用公式、法则时，运用整体观点解题，常能使自己全面观察、合理考察数学问题，养成在复杂的数学问题中透过现象看本质、化繁为简的良好解题习惯．。

代数式求值的方法一、概念：代数式求值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照 代数式中指明的运算计 算的结果叫做代数式求值。

二、代数式求值的几种方法：1.直接代入求值；2.化简代入求值；3.求值带入法；4..整体代入求值1、直接代入法例1.当2,2-==y x 时，则代数式)1(+-y x x = .分析：当2,2-==y x 时，原式=[]1222+--⨯）（=2×5=10.点评：直接代入求值法就是把条件中给出的字母的值直接代入所求的代数式中，计算出其结果，这是代数式求值的最基本，最常见的方法。

2、化简代入法例 2.当x=-2时，则代数式（3x 2-2）-(4x 2-2x-3)+(2x 2-1)的值为 。

分析：这里如果使用上面的直接代入法一定很麻烦，所以我们可以先化简，再代入，这样既可以节省时间，准确率也能提高.原式=3x 2-2-4x 2+2x 2+3+2x 2-1=(3x 2-4x 2+2x 2)+2x-2+3-1=x 2+2x=(-2)2+2×(-2)=0.点评：先把要求的代数式进行化简，然后将所给字母的值代入化简后的代数式，计算出结果，一般情况下，求代数式的值多按此步骤进行。

3、求值代入法例 3.若(x-y+1)2+1y x ++=0,则代数式x 2+xy+y 2的值是 。

分析：观察题目，可知可以先求出x ，y 的值，在代入求解即可。

由非负数的性质可知，⎩⎨⎧=++=+-0101y x y x 解之得：⎩⎨⎧=-=01y x ， 故原式=(-1)2+（-1）×0+02点评：常见的求值条件中，除了应用非负数的性质外，还会结合一些基本概念，如a ，b 互为相反数，x,y 互为倒数，解答时可以现根据条件求出字母的值或部分和与积得值，再代入计算。

4、整体代入法例 4.已知2a-b=3,则代数式(b-2a)2-4a+2b+2000的值是 。

分析：将2b-a 当做一个整体，将所求的代数式变形后，代入计算即可。