解决几何体的外接球与内切球

内切球和外接球常见解法内切球和外接球是在几何学中常用的概念，它们分别指的是一个几何体内切或外接于另一个几何体的球。

在实际问题中，内切球和外接球常常用于优化问题和几何问题的求解，其解法也有多种。

以下将介绍一些常见的解法。

1. 解法一：利用勾股定理求解。

内切球和外接球都可以利用勾股定理求解。

以内切球为例，我们可以考虑任意三角形ABC，设其内切球的半径为r，以I为内切圆心，则：AB + AC = 2r；AC + BC = 2r；AB + BC = 2r。

整理可得：r = [ABC] / (s + a + b + c)，其中s为半周长，a、b、c为三角形ABC的三边长，[ABC]为三角形ABC的面积。

而外接球的半径r'则可用公式r'=[ABC] / (4S)，其中S为三角形ABC的外接圆半径。

欧拉定理是内切球和外接球求解的另一个重要工具。

欧拉定理有两种形式，分别为：对于任意四面体，其四个顶点、三条棱的中点和六面体质心共九个点在同一球面上。

对于任意三角形ABC，其外接圆心、垂足交点、垂心、重心四点在同一圆上，且圆心为外接球心。

利用欧拉定理可以求得内切球半径：点O为六面体质心，点I为内切圆心，则IO等于内切球半径r。

点O为三角形外心，点H为垂心，点G为重心，则OG等于外接球半径r'。

对于一些优化问题，内切球和外接球也可以通过线性规划求解。

例如，对于一个凸多面体，求其内切球或外接球的半径最大值，可以将问题转化为线性规划问题，即：max rs.t. A_i * x <= b_i, i=1,2,...,mx_i >= 0, i=1,2,...,n其中，A_i是多面体的几何信息，b_i是多面体中某一点到各个面的距离，x是优化变量，r就是所需要求的内切球或外接球半径。

可以使用线性规划求解器求解其最优解。

内切球与外接球常见解法在立体几何的学习中，内切球与外接球问题常常让同学们感到头疼。

其实，只要掌握了常见的解法，这类问题就能迎刃而解。

下面咱们就来详细探讨一下内切球与外接球的常见解法。

首先，咱们得明白什么是内切球和外接球。

内切球就是一个几何体内部恰好能够容纳一个球，并且这个球与几何体的各个面都相切；外接球则是指一个几何体恰好能够被一个球完全包围，并且几何体的各个顶点都在这个球面上。

对于常见的几何体，比如长方体、正方体、正四面体等，都有比较固定的求解方法。

先来说说长方体的外接球。

假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么其外接球的直径就是长方体的体对角线长度。

体对角线长度可以通过勾股定理求出，即\（＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼），所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼）。

正方体就更简单啦。

设正方体的棱长为 a，那么其外接球的直径就是正方体的面对角线长度的\（＼sqrt{3}＼）倍，所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{3}a}｛2}＼）。

再看看正四面体的外接球。

正四面体比较特殊，我们可以通过一些几何关系来求解。

设正四面体的棱长为 a，先求出正四面体的高\（h ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛3}a\），然后外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛4}a\）。

接下来，咱们说说一般多面体的外接球求解方法。

其中一种常用的方法是补形法。

比如说，如果一个三棱锥的对棱相等，那么我们可以把它补成一个长方体，然后利用长方体的外接球求解方法来解决。

还有一种方法是找球心。

球心到几何体各个顶点的距离都相等，我们可以通过一些已知条件，比如垂直关系、距离关系等来确定球心的位置。

对于内切球的求解，通常会用到体积分割的方法。

比如说，对于一个三棱锥，如果知道了它的表面积和体积，那么内切球的半径 r 就可以通过体积分割来求。

设三棱锥的体积为 V，表面积为 S，那么\（V ＝＼frac{1}｛3}Sr\），从而可以求出内切球的半径 r 。

外接球内切球题型总结和内切球是高中数学中常见的几何题型。

它们看似简单，但实际上需要一定的思维和推理能力。

在这篇文章中，我将总结和内切球的题型，并提供一些解题思路和方法。

一、题型是指一个球完全地包围住一个几何体，即几何体的各个顶点都在球的表面上。

以下是一些常见的题型：1. 外接圆题型外接圆是指一个圆正好切合于一个三角形的三条边上。

在解决外接圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式来简化问题。

例如，假设一个三角形的三个顶点分别是A、B、C。

若存在一个外接圆，那么圆心必然在三角形的垂直平分线的交点处。

因此，我们只需要求出垂直平分线的交点即可确定圆心的位置。

2. 题型与外接圆类似，也可以用类似的思路来解决。

我们可以通过求出几何体的垂直平分面的交线来确定球心的位置。

举个例子，假设我们有一个四面体ABCD，我们需要求出其。

首先，我们可以通过连接四面体的两个对角线来得到一个交点E。

然后，我们找出四面体的垂直平分面，分别与对角线DE、CE、BE、AE相交，这些相交点的集合就是球心所在的平面。

最后，我们通过球心与四面体任意一个顶点的距离就可以确定球的半径。

二、内切球题型内切球是指一个球正好与一个几何体的各个面相切。

以下是一些常见的内切球题型：1. 内切圆题型内切圆是指一个圆正好与一个三角形的三边内切。

解决内切圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式。

例如，假设我们有一个三角形ABC，其内切圆的半径为r，圆心为O。

根据内切圆的性质，我们可以知道三角形的三个角都是圆心O的切点。

因此，我们可以利用三角函数的关系式来求解r。

2. 内切球题型内切球题型相对来说会更加复杂一些。

我们需要找到几何体的内切面以及球心的位置。

举个例子，假设我们有一个四面体ABCD的内切球。

我们可以通过连接四面体相对面的交点的连线找到内切球的球心。

然后，我们继续找到相应的内切面，通过求解距离或者长度的关系还可以进一步确定内切球的半径。

外接球和内切球的方法总结一、前言在数学中，球是一个非常重要的几何概念。

它的应用非常广泛，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的应用。

其中，外接球和内切球是两种常见的球，本文将对它们的求法进行总结。

二、外接球1. 定义外接球是指一个几何体（如三角形或四面体）最小的球，能够包含住这个几何体。

例如，在三角形ABC中，外接圆就是能够通过三个点A、B、C的圆。

2. 求法（1）对于三角形ABC：a. 首先求出三角形ABC的垂心H（即三条高线交点），并求出AH、BH、CH的长度。

b. 然后根据勾股定理得到$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$等式。

c. 最后根据公式$R=\dfrac{abc}{4\Delta}$计算出外接圆半径R。

（2）对于四面体ABCD：a. 首先求出四面体ABCD所在平面的法向量N。

b. 然后求出四个顶点A、B、C、D到平面N的距离hA, hB, hC, hD。

c. 最后根据公式$R=\dfrac{hA+hB+hC+hD}{4}$计算出外接球半径R。

三、内切球1. 定义内切球是指一个几何体（如三角形或四面体）最大的球，能够被这个几何体所包含。

例如，在三角形ABC中，内切圆就是与三边相切的圆。

2. 求法（1）对于三角形ABC：a. 首先求出三角形ABC的半周长s=$\dfrac{a+b+c}{2}$。

b. 然后根据海伦公式$\Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$计算出三角形面积$\Delta$。

c. 最后根据公式$r=\dfrac{\Delta}{s}$计算出内切圆半径r。

（2）对于四面体ABCD：a. 首先求出四面体ABCD所在平面的法向量N。

b. 然后求出四个顶点A、B、C、D到平面N的距离hA, hB, hC, hD。

c. 最后根据公式$r=\dfrac{3V}{4\pi(hA+hB+hC+hD)}$计算出内切球半径r，其中V为四面体体积。

空间几何体的外接球与内切球问题高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝32a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝2a(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)．求外接球问题常用方法：1.补体法。

将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。

题型一：柱体的外接球1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________．3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π4题型二：锥体的外接球5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________．6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( )A.16R 381B.32R 381C.64R 381 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是_________．8.已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A.B.C. 1D.9.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1－ABB 1A 1的外接球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π12.已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E,F ,G 分别为为侧棱AB,AC,AD 的中点.若O 在三棱锥A -BCD 内，且三棱锥A -BCD 的体积是三棱锥O -BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为微专题 球与几何体的切接问题——内切球1.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_________，体积为_________．2.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为_________．3.已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( ) A ．18 B ．12 C ．6 3 D ．434.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 5.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π题型三 最值问题6.已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为_________．7.四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π38.已知SAB 是边上为2的等边三角形，045ACB ∠=，则三棱锥体积最大时，CA = ;其外接球的表面积为。

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究(完美版)探究立体几何中“内切”与“外接”问题在立体几何中，我们经常遇到“内切”和“外接”的问题。

在研究这些问题之前，我们需要先明确球心的定义。

如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。

根据上述性质，我们可以得出以下多面体外接球的结论：1.正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。

2.正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

3.直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

4.正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算得到。

5.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。

接下来我们来探究一下正方体和长方体的外接球的问题。

根据结论1，正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。

我们可以利用构造法（补形法）来解决这类问题。

例如，对于一个长方体，如果从一个顶点出发的三条棱长分别为a、b、c，则体对角线长为√(a^2+b^2+c^2)，几何体的外接球直径2R为体对角线长l，因此R=√(a^2+b^2+c^2)/2.举个例子，如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可以将这个三棱锥补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球。

设其外接球的半径为R，则有(2R)^2=3^2+3^2+3^2=27.因此，其外接球的表面积为S=4πR^2=36π。

另外，对于一个矩形ABCD，如果AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为(125π)/(1296)。

最后，如果出现正四面体外接球的问题，我们可以利用构造法（补形法），联系正方体。

一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为多少？解析：由于所有棱长都相等，所以可以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体。

如图2所示，四面体ABDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE=BE=2.由此可求得正方体的棱长为1，对角线为$\sqrt{3}$，从而外接球的直径也为$\sqrt{3}$，所以此球的表面积为$4\pi$，故选B。