岩土工程非连续变形的数值分析方法

文章编号:1009-2269(2005)04-0044-05岩土工程非连续变形的数值分析方法Ξ王彦海1,郑　宏1,江　巍1,戚道国2(1.三峡大学土木水电学院,湖北宜昌　443002;2.德州市公路勘察设计院,山东德州　253005)摘要:以阐述岩土工程中数值分析方法的发展趋势为目的,回顾了非连续变形数值分析方法的发展历史,系统综述了节理单元法、离散单元法、刚体弹簧元法等具有代表性的几种方法的基本理论、求解过程、适用范围和优缺点,为今后的研究提供参考.关　键　词:岩土工程;非连续变形;数值分析方法中图分类号:T U 45文献标识码:A 在岩土工程中,常会遇到各种非连续变形力学问题,这是由工程岩土的特征决定的.岩土是在漫长的地质历史发展过程中形成的地质体的一部分,它的成因和构造复杂,岩性多样.为了综合研究岩土的工程特性,近年来人们提出了岩土结构这一概念,认为岩土是有结构的,岩土的力学作用主要受岩土结构面控制,岩土的变形与破坏一般都发生在结构面上.所谓结构面是在地质发展历史中,岩土内形成具有一定方向、一定规模、一定形态和特性的面、缝隙以及带状的地质界面,如层面、片理、节理、软弱夹层,以及断层破碎带等.岩土就是由结构面及所包围的结构体共同组成的.正是由于岩土的这种结构特点,在建筑物与岩土的交界面上、结构的分缝面上等均具有普遍的滑移或脱开等非连续变形特性,使应力或位移不连续,而这些交界面上,结构的分缝面上等均具有普遍的滑移或脱开等非连续变形特性,使应力或位移不连续,而这些交界面上的非连续力学行为极大地影响着结构的受力和变形,往往成为问题分析的关键.随着以有限元为代表的连续变形力学离散模型的日趋完善和广泛运用,学术界和工程界已不再满足在连续变形力学框架下得到上述问题的解答.因此,近年来,先后出现了不少的理论和模型来解决这些非连续变形力学问题.本文详细总结了这些理论和模型的基本理论和研究发展,提出了一些认识,为进一步研究起抛砖引玉的作用.1　非连续变形数值分析的发展历史 从整个数值分析的发展历史来看,对结构的分析有4种基本的方法.按它们的发展先后,解析法最早,其次是有限差分法,然后是以有限单元法为代表的连续变形分析,最近的是非连续变形分析方法.相对于前3种数值分析方法,非连续变形分析方法的提出还只有很短的历史.最初对非连续变形问题的数值分析也是从有限元法入手,在反映位移连续的有限单元模型中引入节理单元、薄层单元等特殊单元来模拟位移非连续变形情况.在70年代初期,Cundall 将岩土材料视为由软弱结构面切割而成的一系列刚性岩块组合体,运用牛顿运动定律对岩土材料进行非连续变形模拟.同年代,K awai 针对均质体静力问题提出了刚体———弹簧元模型.至此,对岩土变形的数值分析已从连续介质过渡到了非连续介质.80年代,Cundall 又提出快速拉格朗日法(F LAC 法)并将其程序化、实用化,其基本原理第12卷　第4期2005年12月 兰州工业高等专科学校学报Journal of Lanzhou P olytechnic C ollege V ol.12,N o.4Dec.,2005Ξ收稿日期:2005-09-26作者简介:王彦海(1980-),男,河南漯河人,硕士生.类同于离散单元法.80年代中期,石根华和G oodman 用块体理论进行岩土的稳定分析,由块体的平衡条件研究其滑动的可能性,块体理论的核心是找到临空面上的关键块体,以便对它采取工程处理措施,保持岩土稳定.河海大学任青文教授在关键块理论的基础上,提出了以弹塑性块体理论为基础的块体单元法.80年代后期,石根华创立了DDA 的理论和方法,DDA 是与有限元的连续变形分析方法相平行的一种新的非连续变形分析方法.90年代,河海大学卓家寿教授在刚体———弹簧元理论的基础上,以反映变形特性的界面元件取代弹簧而建立了界面元法.在完成DDA 研究的同时,石根华教授又提出了数值流形的概念,并在理论上证明了这一方法的可行性,它用流形的覆盖技术,建立了把连续变形和非连续变形分析方法包含在内的一种全新的统一计算方法.2　节理单元法[1,2] G oodman 在反映位移连续的有限元模型中引入节理单元,用以描述节理、断层和断层带、破碎带以及其他软弱结构面的不连续性质,创立了节理单元法,它的理论基础仍是弹性力学的最小势能原理,它也必须满足平衡律、本构律和协调律.平面四节点的节理单元可以看作是一平面矩形单元在厚度趋于零时的极限,该节理单元在每端各有一对节点,它们有相同的坐标,节点的位移为基本未知量.假定位移沿节理长度方向是线性变化,节理单元的应力和相对位移之间有如下关系:τxyσy =k s 00　k n u υ(1)式(1)中,τxy 和σy 分别为节理面上的剪应力和正应力,k n 和k s 分别为节理法向及切向刚度,u 和υ是上下盘发生的相对位移矢量,可以通过对节点位移取形函数得到,用来描述节理的变形,[u ]可以看作是d [u ]沿厚度方向的积分在厚度趋近于零时的极限.相应的节理单元节点力[F]e 与节点位移[δ]e 在局部坐标系下有如下关系:[F]e =[K]e [δ]e (2)节理单元法的其他部分与有限单元法相同,此处不再重述.这种节理单元法的优点是,将其与其他常规的单元一样纳入有限元的一般表述之中,使含有间断面的变形体的有限元分析建立在一个严谨的数学与力学基础上,但是节理裂隙过多时,由于过多的节理单元会导致数值计算的不稳定,所以这种节理单元法不宜使用.3　离散单元法[3～5] 离散单元法是Cundall 于70年代初所提出的,该法将为弱面所切割的岩土视为复杂的块体的集合体,允许各个块体可以平移或转动,甚至相互分离.在离散单元法中,介质一开始就假定为离散块体集合,故块体与块体之间没有变形协调约束,但平衡方程一定要满足.对于某个块体,其上有邻接块体通过边、角作用于它的一组力,如果考虑自重,则还要加上自重.这一组力对块体的重心会产生合力和合力矩.如果合力和合力矩不等于零,则不平衡力和不平衡力矩使块体根据牛顿第二定律的规律运动.块体的运动是不自由的,会受到邻接块体的阻力,这种块体和力的作用规律就相当于物理方程,可以是线性的,也可以是非线性的.计算按照时步迭代并遍历整个块体集合,直到对每个块体都不再出现不平衡力和不平衡力矩为止.离散单元法的基本方程有两组:一组是本构方程;另一组是运动方程.假定块体之间法向力F n 正比于它们之间沿法向“叠合”u n 大小(见图1),则F n =k n u n (3)・54・第4期 王彦海,等:岩土工程非连续变形的数值分析方法 由于块体所受剪切力与加载的历史或路径有关,所以对于切向力要用增量(见图2)来表示,即△F s =k s △u s(4)式中,△u s 为切向变形. 离散单元法利用中心差分法进行动态松弛求解,是一种显式解法,不需要求解大型矩阵,计算比较简单,同时它允许单元发生很大的平移和转动,克服有限元法小变形的假设.但显式差分解法存在求解的稳定性问题,要求采用相当小的时步,使计算时间变长,也不易收敛.另外,松驰分析中产生的能量需加阻尼来吸收,而如何合理地确定阻尼系数也是离散单元法需要解决的问题.离散单元法适用于节理岩体的应力分析,其适用范围从采矿工程、露天和地下的开挖设计、地震工程、隧道工程到地下核废料处理系统,还可以模拟地下水流动的情况,并将固流两者的力学作用耦合起来,其缺点是在应力水平较高的情况下处理得不是太好.4　刚体———弹簧元法[6～9] 70年代,K awai 针对线性、均质体静力问题提出了刚体———弹簧元模型.三维问题考虑单元刚性,取单元形心位移q =[u 0　υ0　w 0 θ　ψ]T (5)为未知量,刚体上任一点的位移可由其形心处3个平动及3个方向转动通过插值函数来表示.弹簧元模型与其它不连续变形数值模拟方法的差别在于单元之间的力的处理,如图3所示建立局部坐标系(r ,s ,t ),记单元m 与单元n 交界面上面力为R ={σn τs τt }T (6)可以证明σn =Q T R(7)其中,Q 为局部坐标系rst 与整体坐标系xyz 之间的坐标变换矩阵.图3　三维刚体元交界面和局部坐标系交界面面力表述为单元m ,n 形心处位移q G 的函数,即R =1C DBq G (8)式(8)中,D 为弹性阵,即・64・ 兰州工业高等专科学校学报 第12卷D =E (1-μ)(1+μ)(1-2μ)10001-2μ2(1-μ)0001-2μ2(1-μ)(9)特征长度C 定义为两单元形心至交界面距离之和,即C =h m +h n (10)B 为几何阵,即B =Q G N G (11)式(11)中Q G =[-Q Q ](12)N G =N m 00　N n (13)q G 为相交单元位移阵,即q G =[q m q n ]T (14)将本关系式代入平衡方程中,而后离散化,最后得到以下形式刚体———弹簧元矩阵方程M ¨q G +Kq G =F B +F b (15)式(15)中,M 为质量阵,按单元组集;K 为刚度阵,按交界面组集;F B 为边界荷载阵,按已知外力边界组集;F b 为体力荷载阵,按单元组集.刚体———弹簧元法适用范围很广,在边坡稳定等岩土工程问题中取得了一定的成果,其缺点是视岩体为刚性材料,不符合工程实际情况,但是在国内外学者的改进下,表现了很好的工程应用前景.5　非连续变形分析和数值流形方法[10～12] 非连续变形分析和数值流形方法是石根华教授在80年代后期先后提出的,目前理论研究和工程运用研究十分活跃,虽然不是很成熟,但显示了强大的生命力.块体系统不连续变形分析(Discontinuous Deformation Analysis 简称DDA )是基于岩土介质非连续性提出的分析块体系统运动和变形的一种新的数值分析方法.DDA 理论的基本内容是:以自然存在的岩土被节理面或断层面等结构面切割形成不同的块体单元,块体的运动和变形由刚体位移、转动、正应变和剪应变组成;非连续变形分析以各个块体的位移为未知量,通过块体的接触和几何约束形成一个块体系统,块体单元受非连续面的控制,在块体运动的过程中单元之间可以接触也可以分离,在块体运动过程中,满足块体之间不侵入和不承受拉伸力的条件;总体平衡方程由系统的最小势能原理求得,求解方程组就可得到当前时步的位移场、应力场、应变场和块体间的作用力,反复形成和求解总体平衡方程式,即可得到多个时步后块体的变形、位移和应力情况,也可求得块体系统最终达到平衡时应力场、位移场等情况以及运动过程中各块体的相对位置和接触关系.在已知块体系统中知道每个块体的几何条件、边界条件及力学条件后,就可以采用非连续变形分析理论计算块体系统中每个块体的位移、应力和应变,从而确定块体间相对移动和滑动.因此,DDA 法可以模拟出岩石块体的移动、转动、张开、闭合等全部过程.据此,可以判断出岩土的破坏程度、破坏范围,从而对岩土整体和局部的稳定性作出正确评价.数值流形方法以拓扑流形和微分流形为基础,应用有限覆盖技术,吸收有限元和DDA 法各自的优点,通过在分析域内各物理覆盖上建立一般覆盖函数,从而把连续和非连续变形的力学问题统一到流形方法之中.这种方法包融了有限元与DDA 法,是岩石力学中一种新的较通用的数值分析方法.数值流形方法重・74・第4期 王彦海,等:岩土工程非连续变形的数值分析方法 大的意义是把连续和非连续变形的力学问题统一起来,指出了一个新的方向,昭示了现代数学手段和岩土数值模拟结合的必要性.6　结束语 本文就处理非连续变形问题的各种数值分析方法的发展历史和基本理论做了较全面的描述,从早期的节理单元法一直到数值流形方面,这些数值分析模型在处理岩土工程的实际问题方面都极具代表性,也各有优缺点.数值分析方法的发展趋势:1)节理面的力学特性问题仍然处于研究阶段,所以数值模型的模拟不够实际,而这是目前数值分析的结果不够好的重大原因.2)多种数值模型耦合.这个工作已经有不少学者在做,并取得了一定的成果.3)注重现代数学理论与岩土工程的结合,创造新的数值模拟方法.参考文献:[1]　殷有泉.固体力学非线性有限元引论[M].北京:北京大学出版社,1987.[2]　刘汉东,张　勇,贾金禄.岩土工程数值计算方法[M].郑州:黄河水利出版社,1995.[3]　王泳嘉,刑纪波.离散单元法及其在岩土力学中的应用[M].沈阳:东北工学院出版社,1991.[4]　王泳嘉.离散单元法———一种适用于节理岩石力学分析的数值方法[A].陈祖煜.第一届全国岩石力学数值计算及模型试验研讨会论文集[C].成都:西南交通大学出版社,1986.[5]　王泳嘉,刑纪波.离散单元法同拉格朗日元法及其在岩土力学中的应用[J ].,1995,16(2):1～14.[6]　K awai T.New element m odels in discrete structural analysis[J ].Journal of the s ociely of Naval Azchilicls of Japan ,1977,(4):174～180.[7]　卓家寿,赵　宁.不连续介质静、动力分析的刚体———弹簧元法[J ].河海大学学报,1993,21(5):34～43.[8]　方义琳,卓家寿,章　青.具有任意形状单元离散模型的界面元法[J ].工程力学,1998,15(2):27～37.[9]　张建海,范景伟,何江达.用刚体弹簧元法求解边坡、坝基动力安全系数[J ].岩石力学与工程学报,1999,18(4):387～391.[10]　刘锦华,吕祖珩.块体理论在工程岩体稳定分析中的应用[M].北京:水利电力出版社,1998.[11]　任青文.块体单元法及其在岩体稳定分析中的应用[J 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