中考压轴题动态几何之动点形成的四边形存在性

中考压轴题动态几何之动点形成的四边形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动态几何之动点形成的四边形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，动态几何之动点形成的四边形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA= °；（2）求抛物线的函数表达式；（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】（1）90；（2）21584y x x=-+；（3）16．【解析】试题解析：（1）∵OA 是⊙O 的直径，∴∠OBA=90°，故答案为：90；（2）连接OC ，如图1所示，∵由（1）知OB ⊥AC ，又AB=BC ，∴OB 是AC 的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt △OCD 中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C （6，8），B （8，4），∴OB 所在直线的函数关系为12y x =，又∵E 点的横坐标为6，∴E 点纵坐标为3，即E （6，3），抛物线过O （0，0），E （6，3），A （10，0），∴设此抛物线的函数关系式为(10)y ax x =-，把E 点坐标代入得：3=6a （6﹣10），解得18a =-．∴此抛物线的函数关系式为1(10)8y x x =--，即21584y x x =-+； （3）设点P （p ，21584p p -+），①若点P 在CD 的左侧，延长OP 交CD 于Q ，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：15()84y p x =-+，∴当x=6时，y=31542p -+，即Q 点纵坐标为31542p -+，∴QE=315342p -+-=3942p -+， S 四边形POAE=S △OAE+S △OPE=S △OAE+S △OQE ﹣S △PQE=12•OA•DE+12QE•OD ﹣12•QE•Px=12×10×3+12×（3942p-+）×6﹣12•（3942p-+）•（6﹣p）=2391584p p-++；②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，P（p，21584p p-+），A（10，0），∴设AP所在直线方程为：y kx b=+，把P和A坐标代入得，21001584k bpk b p p+=⎧⎪⎨+=-+⎪⎩，解得：1854k pb p⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AP所在直线方程为：1584y px p=-+，∴当x=6时，15684y p p=-⨯+=12p，即Q点纵坐标为12p，∴QE=132p-，∴S四边形POAE=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE﹣S△PQE=12•OA•DE+12•QE•DA﹣12•QE•（Px﹣6）=12×10×3+12•QE•（DA﹣Px+6）=15+12•（12p﹣3）•（10﹣p）=2144p p-+=21(8)164p--+，∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令239151684p p-++=，解得，p=573±，∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．学。

科。

网考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；压轴题．原创模拟预测题2．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：12 2y x =+经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线2y x bx c=-++顶点E在直线l上．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S 与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），D（﹣3，0），256y x x=---；（2）114S m=+（4m≠）；（3）E（1-，32）或E（1，52）．【解析】学科网试题分析：（1）通过直线l的解析式求得B的坐标，由正方形的边长即可求得A、D的坐标，再利用待定系数法即可求得抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）由一次函数图象上点的坐标特征求得E的纵坐标为122m+，然后由三角形的面积公式即可求得S与m之间的函数解析式；（3）由平行四边形的性质得出AC=EG，AC∥EG，可证明△EHG≌△CDA，从而得出E 的横坐标为﹣1，代入直线l的解析式即可求得E的坐标．试题解析：（1）∵直线l：122y x=+经过点B（x，1），∴1122x=+，解得2x=-，∴B（﹣2，1），∴A （﹣2，0），D （﹣3，0），∵抛物线经过A ，D 两点，∴420930b c b c --+=⎧⎨--+=⎩，解得：56b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线经过A ，D 两点时的解析式为256y x x =---；[来源:学科网] （2）∵顶点E （m ，n ）在直线l 上，∴122n m =+，∴S =111(2)22m ⨯⨯+=114m +，即114S m =+（4m ≠）；（3）如图，若以A ，C ，E ，G 为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG ，AC ∥EG ，作EH ∥y 轴交过G 点平行于x 轴的直线相交于H ，则EH ⊥GH ，△EHG ≌△CDA ，∴GH=AD=1，∴E 的横坐标为±1，∵顶点E 在直线l 上，∴13(1)222y =⨯-+=，或151222y =⨯+=，∴E （1-，32）或（1，52）．考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题3．如图，已知二次函数的图象M 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （2，﹣6）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；（3）设图象M 的对称轴为l ，点D （m ，n ）（(12)m -<<）是图象M 上一动点，当△ACD的面积为278时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）234y x x=--；（2）G（23，103-）；（3）（72，94-）或（12-，94-）或（32，254-）．【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，﹣2k﹣2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标；（3）可设出D点坐标，从而表示出△ACD的面积，由条件求得D点坐标，可求得DE的长，分两种情况讨论：①当DE为边时，则PQ∥DE且PQ=DE=2，从而可求得P点坐标；②当DE为对角线时，则可知点P为抛物线的顶点，即可得出P的坐标．试题解析：（1）∵二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴可设二次函数的解析式为(1)(4)y a x x=+-，∵二次函数的图象M经过C（2，﹣6）点，∴6(21)(24)a-=+-，解得a=1．∴二次函数的解析式为：(1)(4)y x x=+-，即234y x x=--；（3）能．理由如下：如图，过D 点作x 轴的垂线交AC 于点H ，∵D （m ，n ）（(12)m -<<），∴H （m ，﹣2m﹣2），∵点D （m ，n ）在图象M 上，∴D （m ，234m m --），∵△ACD 的面积为278，∴2127[22(34)][(1)(2)]28m m m m m -----++-=，即24410m m -+=，解得12m =．∴D （12，214-）．∵234y x x =--=2325()24x --，∴图象M 的对称轴l 为32x =，∵点D 关于l 的对称点为E ，∴E （52，214-），∴DE=5122-=2，若以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：①当DE 为边时，则PQ ∥DE 且PQ=DE=2．∴点P 的横坐标为37222+=或31222-=-，∴点P 的纵坐标为273259()2244--=-，∴点P 的坐标为（72，94-）或（12-，94-）；[来源:学科网]②当DE 为对角线时，则可知点P 为抛物线的顶点，即P （32，254-）．综上所述，存在满足条件的点P ，其坐标为（72，94-）或（12-，94-）或（32，254-）．考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；压轴题．原创模拟预测题4．如图1，已知直线3y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线kyx=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=﹣3；3 (3)3 (3)x xyx x+≥-⎧=⎨--<-⎩；（2）①258；②四边形PAEC不能为平行四边形．【解析】试题分析：（1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，利用待定系数法求解；（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），可求出反比例函数解析式为4yx=．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1，那么P（43m+，m+3），PD=43mm-+，得出△PAD的面积为S=14()(3)23m mm-⨯++=21325()228m-++，然后利用二次函数的性质即可求解；②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=1+3=4．∵点C（1，4）在双曲线k yx =上，∴k=1×4=4，∴4yx=．∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴P（43m+，m+3），∴PD=43mm-+，∴△PAD的面积为S=14()(3)23m mm-⨯++=213222m m--+=21325()228m-++，∵a=12-＜0，∴当m=32-时，S有最大值，为258，又∵﹣3＜32-＜1，∴△PAD的面积的最大值为258；②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形．考点：反比例函数综合题；分段函数；动点型；最值问题；二次函数的最值；探究型；综合题；压轴题．原创模拟预测题5．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）212(2)33y x=-+；（2）1或52；（3）M1（2，1），N1（4，2）或M2（2，3），N2（0，2）或M3（2，13），N3（2，23）．【解析】学科网试题分析：（1）根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO，PDCD=DFOD，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；（3）分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．[来源:学科网]（2）①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC=OD=1，∴t=1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，PDCD=DFOD，∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF，∴PC=PD，∴DF=12CD，∵2222221CD OD OC=+=+，∴CD=5，∴DF=5，∵PDCD=DFOD，∴PC=PD=52×5=52，t=52，综上所述：t=1或t=52时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；[来源:]四边形NDME是平行四边形时，M3（2，13），N3（2，23）．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题6．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD 的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）证明见试题解析；（2）①AE=3.5；②AE=2．【解析】（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∵BM=DE，∠B=∠CDA，AB=CD，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2．考点：平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；动点型．原创模拟预测题7．如图，直线334y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线23 4y ax x c=++经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）233384y x x=-++；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，218-）、（5，218-）、（﹣1，158）．【解析】试题分析：（1）由直线334y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标，点C的坐标；然后根据抛物线经过B、C两点，即可求出抛物线的解析式．（2）过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，233384x x-++），则点M的坐标是（x，334x-+），求出EM的值；再求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值即可．[来源:]（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标即可．试题解析：（1）∵直线334y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），∵抛物线234y ax x c=++经过B、C两点，∴3164043a cc⎧+⨯+=⎪⎨⎪=⎩，解得：383ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴233384y x x=-++；学。