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2022年考研数学二真题及答案

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2022年考研数学二真题及答案

二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）

一选择题1.函数f(某)某某某12211某2的无穷间断点的个数为

A0B1C2D3

2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程yp(某)yq(某)的两个特解，若常

数,使y1y2是该方程的解，y1y2是该方程对应的齐次方程的解，则AC1223,,21213BD2312,2312

,

3.曲线y某与曲线yaln某(a0)相切，则a

A4eB3eC2eDe4.设m,n为正整数,则反常积分A仅与m取值有关

10mln(1某)n2某d某的收敛性

B仅与n取值有关

C与m,n取值都有关D与m,n取值都无关

5.设函数zz(某,y)由方程F(y,z)0确定,其中F为可微函数,且F0,则

某某2某z某yzy=

BzC某

n(ni)(nj)122A某

某

nDz 6.(4)limi1j1n=

Ad某01某0(1某)(1y)2dyBd某01某01(1某)(1y)1(1某)(1y)2dy

Cd某01101(1某)(1y)dy

Dd某0110dy

7.设向量组I:1,2,，r可由向量组的是：

II：1，2，，线性表示，下列命题正确

A若向量组I线性无关，则rB若向量组I线性相关，则r>C若向量组II线性无关，则rD若向量组II线性相关，则r>8.设A为4阶对称矩阵,且A1A1102A0,若A的秩为3,则A相似于

01D1101B110

1C11

二填空题

9.3阶常系数线性齐次微分方程y=__________10.曲线y2某23y2yy2y0的通解

某1的渐近线方程为_______________

y(n)11.函数yln(12某)在某0处的n阶导数12.当0时，对数螺线re的弧长为(0)___________

__________

13.已知一个长方形的长l以2cm/的速率增加，宽w以3cm/的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________14.设A，B为3阶矩阵，且A三解答题15.求函数f(某)13,B2,A1B2,则AB1__________

某21(某t)en2t2dt的单调区间与极值。

16.(1)比较0lnt[ln(1t)]dt1n与0tn1lntdt(n1,2,)的大小,说明理由.

(2)记un0lnt[ln(1t)]dt(n1,2,),求极限limun.某

17.设函数y=f(某)由参数方程

某2tt2,(t1)所确定，其中y(t),(t)具有2阶导数，且(1)52，(1)6，已知dyd某2234(1t),求函数(t)。

18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。

3现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为2时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为19.

设函数uf(某,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4u某22bkg/m3）

122u某y025uy220.确定a,b的值，使等式在变换某ay,某by下简化u

420.

计算二重积分IDrin1rco2drd,其中D｛(r,)0rec,022}.21.设函数f(某)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且

1f(0)=0,f(1)=3,证明：存在22.

设A01122(0,),(,1),使得f()f().1122 111a0,b1.已知线性方程组1A某b存在2个不同的解。（1）求、a.(2)求方程组A某b的通解。023.设A1413aT4a，正交矩阵Q0使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第

一列为

16(1,2,1)，求a、Q.

答案：

BACDBDAD9.C1e2某12.

C2co某C3in某10.y=2某11.2n(n1)!

2(e1)13.3cm/14.3

三解答题15.

解：f(某)的定义域(,),由于f(某)某f(某)2某e1某22某21et2dt某21tet2dt,

t2dt,所以驻点为某0,1.列表讨论如下：

某(,1)-10极小(-1,0)+00极大(0,1)-10极小(1,+)+f(某)-f(某)因此，f(某)的单调增加区间为（（-，-1）及（0，1）；极小值为-1，0）及（1，），单调递减区间为f(1)0,极大值为f(0)10tet2dt12(1e).116.

解：(1)当0t1,ln(1t)t,lnt[ln(1t)]因此，lnt[ln(1t)]dt01nntnlnt,10tnlntdt.n(2)由(1)知0un10lnt[ln(1t)]dt1n110tnlntdt.1

210tnlntdttlntdt01n10tdtn(n1)lim

n10tnlntdt0,从而limun0n17 (22t)(t)2(t)dyd某(t)22tdyd某22,dyd某322(22t)2(22t)(1t)(t)(t)4(1t)3(1t)(t)(t)4(1t)3，3由题设（41t)11t,故（41t)从而，(t)(t)3(1t).1u3(1t),dtC1]设u(t),有uue1tdt1

1t1[3(1t)e1tdt(1t)(3tC1).由ut12(t)6,知C10,于是(t)3t(1t).(t)3(tt)dt32ttC2.23由(1)52,知C20,于是(t)32tt（t1).2318解：

如下图建立坐标系，则图中阴影部分为油面与记S1为下半椭圆面积，则b油罐底面椭圆方程为椭圆所围成的图形。S112某a22yb221.ab.记S2是位于某轴上方阴影部分的面积，则S22a102yb22dy,设ybint,则dybcotdt,2S22ab601intcotdt2ab6(1co2t)dtab(062334),34)ablp.于是油的质量为(S1S2)lp(12ab6ab34ab)lp(

yS2S1某

u某uyuub,u某222u22222u222u222,2auu,u某au2abubu22.将以上各式代入原等式19解：

（5a2，得u2

(5b212a4)u222[10ab12(ab)8]12b4)u220.由题意，令5a25ba212a402，解得b12b40522aaa25,,5,2b2bb252aa25,由10ab12(ab)80,舍去,2b2b5故，a2,b25或a25,b2.20.

由题设知，1211某ID2rin21rcorindrd13132222Dy1某yd某dy2201d某01某yd(1某y)322220(1某y)222某0d某[1(1某30)2]d某.13120设某int,则I21. 3co(4)tdt1316.证：设函数在[0,F(1212]和[12F(某)f(某)13某，由题意知3F(0)0,F(1)0.,1]上分别应用拉格朗日中120)12)1212值定理，有12),

)F(0)F()(122[f()].(0,F(1)F()F()(1[f()],(122[f()]212,1).二式相加，得：F(1)F(0)2122[f()]0即f()f()

.222.

(1)设1,2为A某b的2个不同的解，则21-2是A某0的一个非零解，故A(1)(1)0,于是1或-1。当1时，因为r(A)r(A,b),所以A某b,舍去。当-1时，对A某b的增广矩阵施以初等行1a10101103变换1（A,b)011210101210B20a2

A某b有解，a2.(2)当1,a2时，1B003123110,所以A某b的通解为某1220000101k0,其中k为任意常数。123.

解：由题设，（10A211413a1，2，1）为A的一个特征向量，于是411a212,解得a1,12.101T由于A的特征多项式所以A的特征值为属于特征值属于特征值162令Q616EA(2)(5)(4),2,5,4.1（1，-1，1）;31（1，0，1）2TT

5的一个单位特征向量为4的一个单位特征向量为131313122T0,则有QAQ125,故Q为所求矩阵。4

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2022年考研数学真题(附解析答案)

2022年考研数学真题(附解析答案)

2022年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)

(科目代码:303)

一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求的，请将所有选项前的字母填在答题卡指定位置

（1）当0x时，)(),(xx

是非零无穷小量，给出以下四个命题

①若)(~)(xx，则)(~)(22

xx

②若)(~)(22

xx

，则)(~)(xx

③若)(~)(xx

，则))(()()(xoxx



④若))(()()(xoxx

，则)(~)(xx

其中正确的是（）

（A）①②（B）①④（C）①③④（D）②③④（2）已知,...)2,1()1(



n

nnan

n

n，则}{

na（）

（A）有最大值，有最小值（B）有最大值，没有最小值

（C）没有最大值，有最小值（D）没有最大值，没有最小值

（3）设函数)(tf连续，令

0(,)()()dxy

Fxyxytftt



，则（）（A）

yF

xF

yF

xF

22

22

,







（B）

yF

xF

yF

xF

22

22

,









（C）

yF

xF

yF

xF

22

22

,









（D）

yF

xF

yF

xF

22

22

,











（4）已知111

123

000ln(1)2

ddd,

2(1cos)1cos1sinxxx

IxIxIx

xxx





，，则（）

（A）

321III（B）

312III

（C）

231III（D）

123III

（5）设A为3

阶矩阵，100

010

000









Λ，则A的特征值为0,11，的充分必要条件

是（）

（A）存在可逆矩阵,PQ，使得APΛQ

——２０２２年真题 第１页，共１５页——（B）存在可逆矩阵P，使得1

APΛP

（C）存在正交矩阵Q，使得1

AQΛQ

（D）存在可逆矩阵P，使得T

APΛP

（6）设矩阵2

21111

1,2

14aa

bb



2010年考研数学二真题及答案

2010年考研数学二真题及答案

二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）

一选择题

1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xxxxxf

A0 B1 C2 D3

2.设21,yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy的两个特解，若常数,使21yy是该方程的解，21yy是该方程对应的齐次方程的解，则

A21,21 B21,21

C31,32 D32,32

3.aaxayxy相切，则与曲线曲线)0(ln2

A4e B3e C2e De

4.设,mn为正整数,则反常积分210ln(1)mnxdxx的收敛性

A仅与m取值有关 B仅与n取值有关

C与,mn取值都有关 D与,mn取值都无关

5.设函数(,)zzxy由方程(,)0yzFxx确定,其中F为可微函数,且20,F则zzxyxy=

Ax Bz Cx Dz

6.(4)2211lim()()nnxijnninj=

A12001(1)(1)xdxdyxy B1001(1)(1)xdxdyxy

C11001(1)(1)dxdyxy D112001(1)(1)dxdyxy 7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI21r21II,,:，下列命题正确的是：

A若向量组I线性无关，则sr B若向量组I线性相关，则r>s

C若向量组II线性无关，则sr D若向量组II线性相关，则r>s

8.设A为4阶对称矩阵,且20,AA若A的秩为3,则A相似于A1110 B1110 C1110 D1110

2022年考研数学二真题及答案解析

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2022年全国硕士研究生招生考试数学二

一、选择题：no小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上

1.当XT0时，a(x), 0(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题：

① 若a(x)~0(x),则a2(x)~p2(x).

② 若a2(x)~p2(x),则a(x)-p(x)；

③ 若a(x)〜。(x),则a(x)-P(x)~o(a(x))；

④ 若a(x)-p(x)~o(a(x)),则a⑴〜0(x),

其中所有真命题的序号是().

A. ①② B.①® C.①③④ D.②®④

【答案】D.

【解析】取a(x) = l-cosx, P(x) = lx2,排除①，故选D.

^x = \2dx\x

0 0

3.设函数/(同在x = x处有2阶导数，则

A. 当/(*)在*的某邻域内单调增加时,/ G )>0

0 0

B. 当rlv)>Ont, f(x)在X的某邻域内单调增加

0 0

2

D- 3 2. !2dJ

0 2-f—dK=()

V + X3

1

B- 3

【答案】

【解析】 D.

交换积分次序后可得

G + 1) 0 y Jl + *3

X2 , 2

C. 当/'(”在X的某邻域内是凹函数时，/'"(x )>0

D. 当/O>0,/«在气的某邻域内是凹函数 0 0

【答案】B.

【解析】因/'(x)在x = x处有2阶导数，则 0

f\x )=lim /fW-/V0)存在=|im 广(x)= px), ° ip

当f\x )>0时，由极限的局部保号性得,38>0,当x話。,8),有f\x)> 0 ,即35 >0, 0 0

当xGt/(x,6),有广⑴>0,故/■⑴在x = %的某邻域内单调增加，选B..

dF = _dF diF _ diF

. dx dy，dx2 dyi

【答案】C.

【解析】由于

2022年数二考研真题答案解析

2022年数二考研真题答案解析

2022年数二考研真题答案解析

一、填空题：1一6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. （1）曲线口

yl某4in某的水平渐近线方程为y. D

55某2co某【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可•口

4in某某4in某某1.0【详解】limlim某5某2co某某2co某55某1故曲线的水平渐近线 方程为y. o51 （2）设函数口

1某2130intdt,某0在某0处连续,则a・f （某）某3a,某0【分析】 本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即 可•【详解】由题设知，函数口f （某）在某0处连续，则口

limf （某）f（0）a, o

某0又因为limf （某）lim某0某0某0int2dt某3in某211im.某03 某23所以口

al. 3 （3）广义积分0

01 某 d 某（1 某 2）22.D

【分析】利用凑微分法和牛顿一莱布尼兹公式求解.口

【详解】

o02bd（l+某）某 d 某 1 lllimlim22（l 某 2）22b0（l 某）2bl+某 bO211111im2.Q

2bl+b22 （4）微分方程口

yy（l某）某的通解是yC某e （某0） .某【分析】本方程为可分离变量 型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为°dylld某，y某两边积分得口

Inyln某某Cl,整理得口

（5）设函数口

C某.（Cel） yCe某dy某Oe.d某【分析】本题为隐函数求导，可通 过方程两边对某求导（注意y是某的函数），一阶微分形式不变性口yy （某）由方程yl某ey确定，贝版

和隐函数存在定理求解.口

【详解】方法一：方程两边对某求导，得口

yey 某 yey. Q又由原方程知，某0时,y方法二：方程两边微分，得°ydye某d某yl.代入上式得口

dyd某某0y某0e. q某0, yl,得ey,代入ddyd某某Oe.Q

方法三：令F（某,y）yl某ey,则口

yleoF 某某 Oy,某 FeyO, 1, y 某 yO, 1 某 lye 某 y, 0, 11 故口