模糊控制笔记
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引言
不相容原理（L.A.Zadeh）
随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到达到一个极限，一旦超过这个极限，精确和有意义二者将会相互排斥。
对不相容原理的理解：当复杂性增大时，精确描述就逐渐失去了意义，这时有意义的却是不精确的描述。也就是说，当系统变量和参数的个数多到我们没有办法通过建立精确的数学模型进行定量研究时，那就只能牺牲量的关系而建立定性模型。模糊数学就是描述复杂系统的一种数学工具，这是对传统数学的发展和补充。
人是怎样完成控制任务的呢？
开车：
“快”，“慢”，“左”，“右”，等。自然语言的一个重要特点就是具有模糊性。人可以根据不精确信息来进行推理而得到有意义的结果。（满意的结果不一定最优）
模糊控制就是模仿人的思维方式和人的控制经验来实现的一种控制。以模糊集合理论和模糊逻辑推理为基础，把用自然语言表达的知识和控制经验，通过模糊理论转换成数学函数，再用计算机处理。
模糊逻辑带来的好处
1、简化设计。模糊逻辑笔常规逻辑更接近于人直观理解的思考方式，避开了建立数学模型的困难，而是从一开始就依赖人们直觉上清楚的那些控制规则。允许用日常的自然语言去描述输入、规则和输出。倒立摆为例进行对比
2、编码减少，成本降低。
3、提供更好的性能。减少了系统的复杂性，可以用更少的时间去完成控制计算。模糊计算结构更适用于并行处理。
4、加快开发周期。模糊逻辑有可能只需要很少的信息就可以进行开发，一开始可以用某些近似的隶属集合和规则，然后对参数重新定义，并不断地对系统进行优化。模糊推理的各种成分都是独立地对函数进行处理，所以系统很容易被修改。
5、系统更可靠。模糊逻辑含有大量功能独立的规则，模糊输出是各个规则影响的合并，所以即使一个规则失效了，其他的规则往往可以补偿。
（也有不足的地方：
适用于：
由于太复杂而无法精确建立模型的系统；具有明显非线性的系统；输入或者定义具有结构不确定性的系统
模糊逻辑与概率的联系与区别
沙漠中的两瓶水：
第一瓶标签；纯净水的概率为90%
第二瓶标签：纯净水的隶属度为0.9
你选择拿一瓶？
这其中说明的问题
模糊控制的数学基础
模糊集合
论域U上的一个模糊集合A是指，对于论域U中的任一元素xU，都指定了[0,1]闭区间中的一个数()[0,1]Ax与之对应，它称为x对A的隶属度(degree of
membership)，这意味着定义了一个映射A：
[0,1]()AUxx
也就是说，模糊集合A可以用一组有序对来描述:{(,())|}AAxxxU
例：身高，年龄
模糊集合与经典集合：
几个概念：
支集，核，等
确定隶属函数的原则[2,p40]，常用的隶属函数
1、表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 1
0
模糊集合 经典集合
2、变量所取隶属函数通常是对称和平衡的
3、隶属函数要遵从语意顺序和避免不恰当的重叠
常用隶属函数：（matlab演示）
三角形
钟形
梯形
Sigmoid型
确认隶属函数的方法：模糊统计法，函数分段法，二元对比排序法，对比平均法，滤波函数法和专家经验法等。
模糊关系
,()ABUF，对于任意xU都有()()ABxx，那么AB
,()ABUF，对于任意xU都有()()ABxx，那么AB，或A是B的子集
直积：设有两个集合A，B，A和B的直积AB定义为：
{(,)|,}ABabaAbB
它是由序偶(,)ab的全体所构成的二维论域上的集合。一般来说ABBA
模糊关系：设X，Y是论域，以XY为论域定义的模糊集合R称为X和Y的模糊关系。也就是说，对XY的任一元素(,)xy，都指定了它对R的隶属度(,)Rxy。R的隶属函数可以看作是如下的映射：
[0,1](,)(,)RXYxyxy
模糊关系的运算
对于离散系统，模糊关系可以用矩阵来表示，称为F矩阵。F矩阵的运算：
设P和Q是相同规模的F矩阵，()ijPp，()ijQq，则F矩阵的交、并、补运算定义如下：
交：RPQ，()ijRr，ijijijrpq或者min(,)ijijijrpq
并：RPQ，()ijRr，ijijijrpq或者max(,)ijijijrpq
补：cRP，()ijRr，1ijijrp
合成运算：1R是X到Y的模糊关系，2R是Y到Z的模糊关系，那么1R和2R的合成是X到Z的模糊关系，记作：12RR，其隶属函数为：
1212(,)((,)(,))RRRRyYxzxyyz
以上合成运算称为极大-极小合成；也有其它的合成方法，极大乘积合成。
参考书
1212(,)max((,)(,))RRRRyYxzxyyz
模糊推理
语言变量：一个语言变量被表征为一个五元组(,(),,,)xTxXGM，其中：x是变量的名称；()Tx是x的术语集合；X为论域；G是产生()Tx中术语的语法规则；M是赋予每个语言值A以含义()MA的语法规则，()MA表示X中的模糊集合。
例：语言变量和语言值
“年纪”是一个语言变量，设它的术语集合()T年纪为：{年轻，中年，年老}。按照一般规律，“年纪”的论域[0,100]X。()T年纪中的每个术语都可表征为论域X上的模糊集合。用“年纪轻”来表示给语言变量“年纪”赋以语言值“年轻”。语法规则为术语集合中每个语言值定义的隶属函数。
语言值的压缩（很，非常）与扩张（或多或少有几分）
模糊if-then规则
if x是A then y是B
其中：A和B分别是论域X和Y上的模糊集合定义的语言值。
广义前向推理(GMP)
前提1：if x是A then y是B
前提2：x是'A
结 论：y是'B
广义反向推理(GMT)
前提1：if x是A then y是B
前提2：y是'B
结 论： x是'A
由前向推理导出的模糊集合'B定义为：
'''()maxmin((),(,)) [()(,)]BARxARxyxxyxxy
'[()()]()AABxxxy
或者等价地： '''()BARAAB
具有单个前件的单一规则
（上面的公式）
具有多个前件的单一规则
问题表示：
前提1：if x是A and y是Bthen z是C
前提2：x是'A and y是'B
结 论：z是'C
'('')('')()CABRABABC
','',''''()[()()][()()()]{[()()][()()]}(){[()()]}{[()()]}()CxyABABCxyABABCxAAyBBCzxyxyzxyxyzxxyyz
具有多个前件的多条规则
问题表示:
前提1：if x是1A and y是1Bthen z是1C
前提2：if x是2A and y是2Bthen z是2C
前提3：x是'A and y是'B
结 论：z是'C
1212'('')()[('')][('')]CABRRABRABR
条件命题：if x是A then y是B else z是C
解模糊
面积中心法，面积平分法，最大隶属度法，系数加权平均法（matlab例）
模糊控制
精确输入量的模糊化
1、论域变换。将真实论域变换到基本论域上，一般地，基本论域可以取[-1,1]，也可以取{6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6}
2、模糊化。论域变换后的输入变量仍然是精确的普通变量，对他们分别定义若干个模糊集合，如“负大，负小，零，正小，正大”，并在基本论域上规定各个模糊集合的隶属函数，将精确量模糊化处理就得到了相应的模糊变量。
知识库中存储着有关模糊控制器的一切知识，他们决定着模糊控制器的性质，是模糊控制器的核心。知识库又分为两部分：
1、数据库：贮存着各个变量的隶属函数，比例因子以及模糊化、模糊推理算法、解模糊算法等一切知识。
2、规则库：包含了用模糊语言变量表示的一系列控制规则，即以“if…then…”形式表示的模糊条件语句，它反映了控制专家的经验和知识。
解模糊
解模糊过程也叫做清晰化，是模糊化过程的逆过程。将模糊推理结果产生的模糊控制量变换成实际用于控制的精确量，它包括：
1、将模糊的控制量经解模糊变换成基本论域上的精确量。
2、将基本论域上的精确量经过比例因子变换成真实论域上的控制量。
解模糊计算通常有以下几种方法：
最大隶属度法；中位数法；加权平均法；重心法
典型模糊控制器的结构
考虑单输入单输出的被控对象，输入为tu，输出为ty，参考输入为ts。模糊控制器的输入为误差te及误差的差分tr，输出为tuV，即：
tttesy=-
1ttttreee-==-V
1tttuuu-=+V
引入比例因子ek，rk，uk，使模糊控制器的输入输出变量归一化，即：
eteke*=?
rtrkr*=?
tuuku*=?VV
e*，r*，u*V[1,1]?。这里，对典型模糊控制器的设计参数作以下规定：
1、输入变量e*，r*均采用三角形、均匀分布、全交迭的隶属函数，如图所示。输出变量u*V采用均匀分布的单点隶属函数，如图所示。
2、采用线性模糊控制规则。模糊控制规则的一般式为：
3、AND 用最小；OR用有界和；
4、加权平均法解模糊
从自动控制理论和技术的角度看，典型模糊控制器的结构具有以下特点：
１、 分析结构：典型模糊控制器的解析式可分解为两部分，其中一部分是全局性的二维多值继电器，而另一部分是局部的非线性PI控制器
２、 极限结构：当输入变量的模糊数的数目趋于无穷时，典型模糊控制器中全局性的二维多值继电器将成为线性PI控制器，而局部性的非线性PI控制器将消失。
３、 非线性度：当输入变量的模糊数由3增加到无穷时，典型模糊控制器的非线性度由0.5衰减到零。
４、 在小工作范围内的结构：当输入很小时，典型模糊控制器近似于线性PI控制器。
这些特点的含义：
张乃尧 典型模糊控制器结构分析[J] 模糊系统与数学 1997年 11(2)
