高中数学 第一章 空间几何体单元测试题 新人教A版必修2-新人教A版高二必修2数学试题

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1 / 9 【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 第一章 空间几何体单元测试题 新人教A版必修2

(时间：120分钟 总分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．正方体的表面积是96，则正方体的体积为( )

A．486B．16

C．64 D．96

答案 C

2．直径为10 cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为( )

A．5 B．15

C．25 D．125

解析 设可铸n个小球，依体积相等，得43π×53＝n×43π×13，∴n＝125.

答案 D

3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )

A．一个圆台，两个圆锥 B．两个圆台，一个圆锥

C．两个圆台，一个圆柱 D．一个圆柱，两个圆锥

答案 D

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )

解析 由三视图知，原几何体是由一个圆柱和一个圆台组成的，因此选D.

答案 D

5．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，word

2 / 9 A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝1，则梯形ABCD的面积是( )

A．10 B．5

C．52D．102

解析 由直观图，知梯形ABCD是一个直角梯形，且AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，∴梯形ABCD的面积为2＋32×2＝5.

答案 B

6．如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是( )

A．①②B．①③

C．②③D．①④

答案 C

7．向高为H的容器中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如图所示，那么容器的形状应该是图中的( ) word 3 / 9

解析 由函数曲线，知水的体积随水深h的增大，体积增长的越来越快．

答案 D

8．一个直角三角形直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( )

A．15π B．20π

C．12π D．15π或20π

答案 D

9．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

A．9π B．10π

C．11π D．12π

解析 该几何体的上部是一个球，其表面积是4π×12＝4π；下部是一个圆柱，其表面积是2π×1×3＋2π×12＝8π，则该几何体的表面积是4π＋8π＝12π. word

4 / 9 答案

D

10．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )

A.23B.76

C.45D.56

解析

每一个小三棱锥的体积为13×12×12×12×12＝148.因此，所求的体积为1－8×148＝56.

答案 D

11．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )

A．4 B．3

C．2 D．1

解析 设两个球的半径分别为R、r，且R>r，依题意得

 4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，⇒ R2－r2＝12，R＋r＝6，∴R－r＝2.

答案 C

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为( )

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

解析 由三视图知，该几何体是一个组合体，其底部是一个半圆柱，上部是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋12·π×22×4＝16＋8π. word 5 / 9 答案 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．如图是一个正方体盒子的平面展开图，在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填________．

解析 将其平面展开图沿虚线还原成正方体，由右图，可看出A与2是相对面上的两数，故A处应填－2.

答案 －2

14．过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________．

解析 从上到下三个圆锥的高之比为1:2:3，∴侧面积之比为1:4:9，∴三部分面积之比为1:3:5.

答案 1:3:5

15．用相同的单位正方体搭一个几何体(如图)，其正视图(从正面看到的图形)、俯视图(从上面看到的图形)和侧视图(从左面看到的图形)分别如下：

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6 / 9 则该几何体的体积为________．

解析 由几何体的三视图，知该几何体由6个单位正方体构成．

答案 6

16．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底半径r′变化时，圆台体积的变化X围是________．

解析 当r′→0时，圆台趋近于圆锥．而V圆锥＝13πr2h，当r′→r时，圆台趋近于圆柱，而圆柱V圆柱＝πr2h.因此，当r′变化时，圆台的体积的变化X围是13πr2h，πr2h.

答案 13πr2h，πr2h

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．

解 几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，

∵S锥表＝πR2＋πRl＝4π＋8π＝12π，

S柱侧＝2πrl＝2π·DG·FG＝23π，

∴所求几何体的表面积为

S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋23π＝2(6＋3)π.

18．(12分)一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积． word

7 / 9 解 由三视图知正三棱柱的高为2 mm，由侧视图知正三棱柱的底面正三角形的高为23

mm.设底面边长为a，由三角形的面积相等，得32a＝23.

∴a＝4.

∴正三棱柱的表面积S＝S侧＋2S底

＝3×4×2＋2×12×4×23＝8(3＋3)(mm)2.

19．(12分)已知圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，试证明圆台的侧面积公式为：S圆台侧面积＝π(r＋R)l，表面积公式为S＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)．

证明 把圆台还原成圆锥，并作出轴截面，如图：

设AB＝x，BC＝l，∵△ABF∽△ACG.

∴rR＝xx＋l，∴x＝rlR－r.

∴S圆台侧＝S扇形ACD－S扇形ABE

＝12·2πR(x＋l)－12·2πr·x word

8 / 9 ＝πRl＋π(R－r)·rlR－r

＝π(R＋r)l

∴S圆台表面积＝π(R＋r)l＋πR2＋πr2

＝π(Rl＋rl＋R2＋r2)．

20．(12分)侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的体对角线分别为9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．

解 设底面两条对角线的长分别为a，b，则有a2＋52＝92，b2＋52＝152，∴a＝56，b＝102.

∴菱形的边长x＝ a22＋b22＝8.

∴S侧＝4x×5＝4×8×5＝160.

21．(12分)如图，BD是正方形ABCD的对角线，的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．

解 把题图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分分别绕直线AB旋转所得旋转体体积分别记为VⅠ，VⅡ，VⅢ，并设正方形的边长为a.因此，

VⅠ＝13πa2·a＝π3a3，VⅡ＝12·43πa3－VⅠ＝π3a3，

VⅢ＝πa2·a－VⅠ－VⅡ＝π3a3，

∴VⅠ：VⅡ：VⅢ＝1：1：1.

22．(12分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)． word

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(1)试画出它的直观图；

(2)求它的表面积和体积．

解 (1)直观图如图所示．

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的34.

在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，则AA1EB是正方形，

∴AA1＝BE＝1.

在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝2.

＝1＋2×12(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2

＝7＋2(m2)．

∴几何体的体积V1＝34×1×2×1＝32(m3)．

∴该几何体的表面积为(7＋2) m2，体积为32 m3.