1.1集合的概念与表示方法讲义

1.1集合的概念与表示方法讲义

1.1集合与集合的表示方法

一、知识点

1.1.1、集合的有关概念 1.1.2、集合的表示方法

考点1：集合的有关概念

知识点：

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

例1：下列各组对象不能组成集合的是( )。

A.大于6的所有整数

B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数

D.函数y=x 1

图象上所有的点

练习：

1.下列条件能形成集合的是( )

A.充分小的负数全体

B.爱好足球的人

C.中国的富翁

D.某公司的全体员工 2.下列对象能否组成集合:

(1)数组1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;

(3)满足3x-2>x+3的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国NBA 的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于6的数;

(7)所有绝对值小于3的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员;

知识点：

2.一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。 3.集合用大写字母来表示，元素用小写字母来表示。

4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情

况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复 出现同一元素。

（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。

例2：方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31

},则a=________,c=_______.

练习：

1.在数集{2x,x 2

-x}中,实数x 的取值范围是 2.数集{3,x,x 2

-2x}中,实数x 满足什么条件? 3.已知数集A=}{A a a

∈+16,7,3,2

且，求实数a 的值。

4.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2

-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值. 5.所有素质好的人能否表示为集合? 6.A={2,2,4}表示是否准确?

知识点：（学生易混淆点）

5.点集就是点的集合，点可以用坐标表示，所以点集的形式是{（x,y ）|x+y=2} 数集就是数的集合，数可以用变量表示，所以数集的形式是{ x |x 2=1}

方法对接:

解决集合问题时，首先将不明显的集合转化成明显的集合。然后根据一下三种集合类型，选择合适的方法。

1.抽象集合（元素个数很少时）————维恩图法

2.数集———------------------———画数轴法

3.点集——-—-----------------------画图像法

例1：试着说明下列集合中元素的含义 A={x |()1||x y x R x =-

∈+} B={y |()1||x y x R x =-∈+} C={(x ,y )|()1||

x

y x R x =-∈+} 练习：

1：下面三个集合：①{x|y ＝x 2＋1}；②{y|y ＝x 2＋1}；③{(x ，y)|y ＝x 2

＋1}．

(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？ 2：若

{}

|2A x x n n ==∈Z ，，

{}

|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等

3.已知集合

{

}3

2+==x y x A ，{}3

2

+==x

y y B ，(){}3

,2

+==x

y y x C 他们三个相等吗？试说明理由？

4.A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?

知识点：

6. 空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集的性质：空集是一切集合的子集。表示方法：用符号?表示。

7. 根据集合中元素的个数可以分为有限集，无限集，空集。

对集合元素个数的考查

主要是分清有限集，无限集以及空集的定义，以及他们的判断。

例1：自然数集，整数集，有理数集，实数集通常用那些符号来表示?:它们是有限集还是无限集？ 例2：集合A={

11

24,2

x x Z +<<∈},集合A 中元素个数为 知识点：

5.元素与集合的关系

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 。

例题4：A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示. 6.常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 1.用符号∈或?填空:

(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;

(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;

(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;

(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R. 2.判断正误:

(1)所有属于N 的元素都属于N*. ( ) (2)所有属于N 的元素都属于Z. ( ) (3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( ) (4)所有不属于Q 的实数都属于R. ( ) (5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )

考点2:集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

知识点：

列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x 2

，3x+2，5y 3 -x ，x 2

+y 2

}，…；

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

例题5：用列举法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x 的所有实数根组成的集合;

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合. (4)

∈-∈=N x N x A 916 (5)()

=-=+=24,y x y x y x B (6){

}

N y Z x x y x C ∈∈+-==,,52

(7)

{

}N y Z x x y y D ∈∈+-==,,52

(8)

(){}N

y Z x x y y x E ∈∈+-==,,5,2

练习：

1.用列举法表示下列集合:

(1)小于5的正奇数组成的集合; (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;

(3)方程x2-9=0的解组成的集合; (4){15以内的质数}; (5){x|x -36

∈Z,x ∈Z}.

2.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质. 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2

+1}，{直角三角形}，…。

例题6：用描述法表示下列集合

(1)二次函数y=x 2

图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集.

练习：

1.用描述法表示下列集合:

(1)方程2x+y=5的解集; (2)小于10的所有非负整数的集合;

(3)方程ax+by=0(ab ≠0)的解; (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;

(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合; (6)方程组??

==+1

y -x 1,y x 的解的集合;

(7){1,3,5,7,…}; (8)x 轴上所有点的集合; (9)非负偶数; (10)能被3整除的整数. 2.说出下面集合中的元素:

(1){大于3小于11的偶数}; (2){平方等于1的数}; (3){15的正约数}.

3.分别用列举法、描述法表示方程组

==+27

3y -2x 2,

y 3x 的解集.

3.文氏图法用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形。（Venn Diagram ，也称韦恩图或维恩图）

列举法和描述法的选择

⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。 如：集合},5,23,{2

232y x x y x x +-+；

⑵有些集合的元素不能一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。 如：集合}1|),{(2

+=x y y x ；集合{1000以内的质数} 例1：把描述法集合变为列举法集合

1.{|}x x 是21的约数

2.{|38}x x +=

3.{|}x x 为不大于9的正奇数

4.{|06,}a a a N ≤<∈

5.{(,)|03,02,,}x y x y x y N ≤<≤<∈

6.“students ”中字母组成的集合

7.若{2,1,0,1,2,3,4}A =--，2

{|,}B x x t t A ==∈，用列举法表示B = 。 综合练习：

1、已知A={a+2，（a+1）2，a 2

+3a+3}且1∈A ，则a=

2、已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2

}且M=N ，求a ，b 的值.

3、设集合{

}

0232

=+-=x x x A ，{

}

0)5()1(22

2=-+++=a x a x x B 若2∈A 并且2∈B ，

求a

4设{1,2,3,4,5,6}A =，{1,2,7,8}B =，定义A 与B 的差集为{|A B x

x A -=∈}x B ?，则()A A B --=

5.已知集合A=｛2,22

+-+a a a ｝，若4A ∈，求a 的值