立体几何公式定理大全

⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）

（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。

2.画法：借助辅助平⾯。

1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。

2.范围：(0°，90°】

(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)

（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。 1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。2.范围【0°，90°】

（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）

（三）⼆⾯⾓1.定义：

（1） 半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。 （3） ⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。 （4） ⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。

（5） ⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。 （6） 直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。

2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q

3.范围为【0°，180°】

（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。

2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。

3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。 两条平⾏线的距离

4.线到线的距离：

异⾯直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则 线段PQ 的长。

立体几何定理总结

一、三类关系

1、线线关系：

不垂直

异面

垂直（异面直线ba）

直线与直线 不垂直

相交

共面 垂直（ba）

平行（ba//）

2、线面关系：

直线与平面平行

直线与平面 直线与平面相交

直线在平面内

3、面面关系：

平行（//）

平面与平面 不垂直

相交

垂直（）

二、平行

定义：在同一个平面内没有公共点

1、直线与直线 三角形中位线定理

判定：平行四边形

面面平行

定义：直线与平面没有公共点

2、直线与平面

判定定理：

性质定理：

定义：两平面没有公共点

3、平面与平面 判定定理：ababAab

性质定理：abab

三、垂直

勾股定理

相交垂直 三线合一定理

菱形

1、直线与直线 正方形

异面垂直线面垂直线面垂直

定义：一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线

2、直线与平面 判定定理：

性质定理：

定义：两平面成直二面角

1 立体几何的八大定理

1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b，

∴l∥b

2． 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α，

b⊂α，∴α∥β

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a，

β∩γ＝b，

∴a∥b 2 3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

lalbabOab⊥⊥=

⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行

a⊥αb⊥α⇒a∥b

4． 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

l⊂βl⊥α⇒α⊥β

性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒

l⊥α

立体几何中的八大定理

1.直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言 符号语言

判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

(线线平行⇒线面平行) ////laall

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

(简记为“线面平行⇒线线平行”) ////lllbb

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

(简记为“线面平行⇒面面平行”) //,////,ababPaB

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

////aabb

3.直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b ⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行

a⊥αb⊥α⇒a∥b

4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 l⊂βl⊥α⇒α⊥β

性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α