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3.1《两角和(差)的正弦、余弦、正切公式》教学设计

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3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式

（名师：余枝）

一、教学目标：

（一）核心素养

本节课是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线、诱导公式的延伸，通过本节课的学习，了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的重要性，通过公式的推导，培养学生探索精神，进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用.

（二）教学目标

1.两角和的余弦公式的推导及应用；

2.两角和与差的正弦公式的推导及应用；

3.两角和与差的正切公式的推导及应用；

4.运用公式进行化简、求值、证明.

（三）学习重点

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导；

2．熟练掌握公式的应用.

（四）学习难点

公式的推导及综合运用，合理选取公式，熟练掌握公式的逆用.

二、教学过程

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第128页至第131页．

（2）想一想：利用两角差的余弦公式如何推导两角和的余弦公式？如何熟记和角公式与差角公式？

2．预习自测

（1）sin(3045)________.

答案：264．

解析：【知识点】两角和的正弦公式的应用 2 / 17

【数学思想】逻辑推理

【解题过程】123226sin(3045)sin30cos45cos30sin4522224

点拨：熟记公式

（2）cos55cos5sin55sin5________.

答案：12．

解析：【知识点】两角差的余弦公式

【数学思想】逻辑推理

【解题过程】1cos55cos5sin55sin5cos(555)cos602

点拨：熟记公式

（3）若tan()24a，则tan_______a.

答案：3．

解析：【知识点】两角差的正切公式的应用

【数学思想】逻辑推理

【解题过程】tantantan14tan()241tan11tantan4，所以tan3

点拨：注意公式的逆用

（4）已知3sin5

a是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444的值.

答案：7210；7210；7

解析：【知识点】两角和与差的弦、切公式的应用

【数学思想】逻辑推理

【解题过程】因为3sin5 a是第四象限角，所以43cos,tan54，利用公式可得：72sin()410；72cos()410；tan()74

点拨：熟记公式. 3 / 17

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）两角差的余弦公式：sinsincoscos)cos(的推导；

（2）公式C的应用.

2．问题探究

探究一 从公式C出发，如何探求两角和的余弦公式C？

●活动 从公式C出发，引导学生推导余弦公式C

我们已经知道两角差的余弦公式sinsincoscos)cos(，其中、是任意角.大胆猜想两角和的余弦公式呢？从角与的关系进行联想，我们容易知道()+=，再根据诱导公式，所以cos()cos()coscos()sinsin()coscossinsin

于是我们得到了两角和的余弦公式，简记作C：

cos()coscossinsin

【设计意图】引导学生发现和探究新知，培养学生探索知识的能力．

探究二 如何用、的正、余弦来表示sin

●活动① 回顾两角和与差的余弦公式和诱导公式

C：sinsincoscos)cos(

C：cos()coscossinsin

sin()cos,cos()sin22

【设计意图】引导学生思维上的转变.

●活动② 利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式

sin()cos()cos()cos()cossin()sin2222 sincoscossin

sinsinsincoscossinsincoscossin 4 / 17

得到两角和与差的正弦公式，简记作()S；()S.

()S：sincoscossin)sin(

()S：sincoscossin)sin(

【设计意图】让学生掌握公式的推导过程.

探究三 探究如何推导两角和与差的正切公式

●活动① 怎样用、的正切表示tan

sinsincoscossintancoscoscossinsin

当coscos0时，分子和分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan

tantantantantantan1tantan1tantan

我们得到两角和与差的正切公式，简记作()T；()T.

()T：tantantan1tantan

()T：tantantan()1tantan

注意：)(2,2,2zkkkak

【设计意图】引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切.

●活动②

理解6个和、差角公式的内在联系

【设计意图】借助对公式的更深入的理解，是学生能更加灵活运用公式. 5 / 17

●活动③ 巩固基础，检查反馈

例1 ①已知3cos,(,)52，求sin()3的值

②已知12sin,13是第三象限角，求cos()6的值

【知识点】和角公式的正确使用

【数学思想】逻辑推理

【解题过程】①4sin1cos252（，）

4133433sin()sincoscossin()333525210

②是第三象限角，5cos1sin132

351121253cos()coscossinsin()()66621321326

【思路点拨】熟记公式

【答案】①433sin()310；②1253cos()626

同类训练 已知tan3，求tan()4的值.

【知识点】两角和的正切公式的应用

【数学思想】逻辑推理

【解题过程】tantan314tan()241311tantan4

点拨：熟记公式

答案：tan()24

例2 求下列各式的值：

（1）sin72cos42cos72sin42

（2）cos20cos70sin20sin70 6 / 17

（3）1tan151tan15

【知识点】公式的逆用

【数学思想】归纳推理

【解题过程】（1）sin72cos42cos72sin42=1sin(7242)sin302

（2）cos20cos70sin20sin70=cos(2070)cos900

（3）1tan151tan15=tan45tan15tan(4515)tan6031tan45tan15

【思路点拨】正确认识公式的正用和逆用

【答案】12，0，3

同类训练 计算：

（1）sin7cos37sin83sin37

（2）21tan75tan75 

答案：12；23

解析：【知识点】和、差角公式

【数学思想】归纳推理

【解题过程】

（1）sin7cos37sin83sin37=

1sin7cos37cos7sin37sin(737)sin(30)2

（2）313tan75tan(4530)23313

原式=21(23)2323

点拨：利用公式可求特殊角的三角函数值

例3 化简： 7 / 17

（1）13cossin22xx

（2）3sincosxx

【知识点】和、差角公式的逆用

【数学思想】转化思想

【解题过程】13cossincoscossinsincos()22333xxxxx

313sincos2(sincos)2(cossinsincos)2sin()22666xxxxxxx

点拨：从题目所给是结构可以看出，它们呈现和（差）角公式的部分形态，所以可以考虑对公式进行变形使用，事实上，此处只需要进行逆用公式即可.

答案：cos()3x；2sin()6x

同类训练 化简（1）2(sincos)xx

（2）2cos6sinxx

【知识点】公式的逆用

【数学思想】转化思想

【解题过程】2(sincos)2sin()4xxx

2cos6sin22cos()3xxx

点拨：对和（差）角公式进行正确地逆用.事实上，对公式正确逆用，这是学好任何一个数学公式的必经之路.

答案：2sin()4x；22cos()3x

●活动5 强化提升、灵活应用

例4 已知3123,cos(),sin()24135，求cos2的值

答案：3365

解析：【知识点】使用和差角公式时，利用角的关系化异角为同角

【数学思想】化归思想

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3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式+练习

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式+练习

第三章 三角恒等变换

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题

1．cos750cos150 - sin750sin150 的值是（ ）

A．21 B．-21

C．23 D．0

2．在△ABC中，已知5cos13A，3sin5B，

则cosC的值为（ ）

A． 1665 B． 5665

C． 1665或5665 D． 1665

3． 已知02，4cos()65，则

sin()（ ）

A.33410 B.33410

C.33410 D.33410

4．已知∈(2,)，sin=53,则tan(4)等于（ ）

A.71 B.7

C. -71 D. -7

5．若2≤x≤2，则()3sincosfxxx

的取值范围是（ ）

A．[1,2] B．[1,1]

C．[3,2] D．[3,3]

6．已知tan2，则 22sinsincos2cos（ ）

A.43 B.54

C.34 D.45

7．下列各式中值等于12的是（ ）

A．sin15cos15

B.2tan22.51tan22.5

C.22cossin1212

D.1cos32

8. 已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈（－π2，π2），则α＋β等于（ ）

A．－23π B．－23π或π3

C．－π3或23π D．π3

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．

1．两角和与差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.

C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.

2．两角和与差的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.

S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.

3．两角互余或互补

(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与________互余．

(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与______________互补，____________与23π－α互补．

一、选择题

1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(

)

A.12B.33C.22D.32

2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )

A．－32

B．－12

C.12

D.32

3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )

A.1725 B.35 C.725 D.15

4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为(

)

A．－1 B．0 C．1 D．±1

5．若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x

§3.1.1两角差的余弦公式教学设计

§3.1.1两角差的余弦公式教学设计

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§3.1.1两角差的余弦公式教学设计

作者：王悦

来源：《读写算·基础教育研究》2016年第06期

一、概述

本节课选自人教版必修四，第三章第一节，其中心任务是通过已知的《平面向量》和《三角函数》的知识，探索推导出两角差的余弦公式。并通过简单的运用，使学生初步理解公式的由来，结构，功能及其运用，分一课时完成。三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。所以，从知识的结构和内容上看都具有承上启下的作用。

二、教学目标分析

由于新课程要求要让学生经历数学知识的形成与应用过程，要鼓励学生自主探索合作交流，因此三维目标主要体现在：

知识与技能目标： 1、理解两角差余弦公式的推导过程；

2、掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题。

过程与方法目标： 1、通过对公式的推导，让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论的思想；

2、通过对公式的推导提高学生分析问题，解决问题的能力，让学生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律；

情感态度与价值观目标：通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。

（二）教学重、难点

重点：两角差的余弦公式及公式的灵活应用；

[设计意图]：课标要求要让学生经历数学知识的形成与应用过程；

难点：余弦公式的探索，推导和证明； 龙源期刊网

[设计意图]：高一学生逻辑思维能力还比较薄弱，对于公式的证明还存在很大的问题。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

河北武中·宏达教育集团教师课时教案

备课人 授课时间

课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）

课标要求 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

教

学

目

标 知识目标 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

技能目标 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

情感态度价值观 使学生体验科学探索的过程

重点 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

难点 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：coscoscossinsin． （2）cos？

（3）cossin？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sincoscoscoscossinsin2222 sincoscossin．

sinsinsincoscossinsincoscos探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

sinsincoscossintancoscoscossinsin．

探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？

学生完成

1 河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan．

注意：,,()222kkkkz