【成才之路】高中数学 1-4-1精品练习 新人教A版必修4

1.3 第2课时一、选择题u1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值为( )A.223 B ．－223C.13D ．－13[答案] D[解析] cos(π4＋α)＝sin(π4－α)．＝－sin(α－π4)＝－13.2．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45C ．±45D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B >90°，∴B >90°－A ，∴cos B <sin A ，sin B >cos A ，故cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，选B.4．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2[答案] C[解析] 解法一：由条件可知点P 到原点距离为2，∴P (2cos α，2sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2cos α＝2sin22sin α＝－2cos2，根据诱导公式及α为锐角可知，⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，∴α＝2－π2.解法二：点P 位于第一象限，且tan α＝－cot2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2，∵2－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝2－π2.5．(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32D.32[答案] A[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 6．已知cos(π2＋φ)＝32且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3[答案] C[解析] ∵cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，∴sin φ＝－32，∵－π2<φ<π2， ∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3.7．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( )①cos(A ＋B )＝cos C ②cosB ＋C2＝sin A2③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin A A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③[答案] C[解析] ∵cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， ∴①错，排除B 、D ； cosB ＋C2＝cos π－A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A 2，∴②正确，排除A ，∴选C.8．tan110°＝k ，则sin70°的值为( ) A ．－k1＋k2B.k1＋k2C.1＋k2kD ．－1＋k2k[答案] A[解析] 解法一：∵k <0，sin70°>0，∴排除C 、B ， 又|sin70°|<1，∴排除D ，选A.解法二：k ＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k >0，∴cos70°＝－1ksin70°代入sin 270°＋cos 270°＝1中得，sin 270°＝k 2k 2＋1，∵k <0，sin70°>0，∴sin70°＝－k1＋k2.二、填空题9．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． [答案]912[解析] ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N )∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝912. 10．化简1－2sin200°cos160°＝________.[答案] cos20°－sin20°[解析] 原式＝1－2(－sin20°)·(－cos20°) ＝sin 220°＋cos 220°－2sin20°cos20° ＝|sin20°－cos20°|＝cos20°－sin20°. 11．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 3αcos(π2－α)cos(π2＋α)＝________.[答案] 34[解析] 由已知得sin α＝－35.∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34.12．若P (－4,3)是角α终边上一点，则cos(α－3π)·tan (α－2π)sin 2(π－α)的值为________． [答案] －53[解析] 由已知得sin α＝35，原式＝－cos αtan αsin 2α ＝－cos α·sin αcos αsin 2α＝－1sin α＝－53. 13．式子cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.[答案] 1[解析] 原式＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1.14．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α·sin(π－α)的值为________．[答案] 2[解析] ∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2，∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α ＝2sin 2α－sin αcos α＝2tan 2α－tan α1＋tan 2α＝2×(－2)2－(－2)1＋(－2)2＝105＝2. 三、解答题15．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．[解析] ∵cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角， ∴75°＋α是第四象限角，且sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.∴sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋c os(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.16．已知x ∈R ，n ∈Z ，且f (sin x )＝sin(4n ＋1)x ，求f (cos x )．[解析] f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π2－(4n ＋1)x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(4n ＋1)x ＝cos(4n ＋1)x .17．若sin α，cos α是关于x 的方程3x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求实数m 的值．[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(6m )2－4×3(2m ＋1)≥0 ①sin α＋cos α＝－2m ②sin α·cos α＝2m ＋13③，由②③得4m 2＝1＋2(2m ＋1)3，∴12m 2－4m －5＝0.∴m ＝－12或m ＝56，m ＝56不适合①，m ＝－12适合①，∴m ＝－12.18．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63·cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β.[解析] 由已知得sin α＝2sin β① 3cos α＝2cos β②①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12.又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①得sin β＝12.故cos β＝±32. [点评] cos(π－α)＝63cos(π＋β)可化为3cos α＝2cos β，利用sin 2β＋cos 2β＝1求解，也可化为cos α＝63cos β，利用sin 2α＋cos 2α＝1求解．。

第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在[答案] A [解析] ∵π2<2<π，∴sin2>0，∵π2<3<π，∴cos3<0，∵π<4<3π2，∴tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.2．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D. 3[答案] B[解析] 由条件知，tan600°＝a－4，∴a ＝－4tan600°＝－4tan60°＝－4 3. 3．(08·全国Ⅰ文)y ＝(sin x －cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 [答案] D[解析] ∵y ＝(sin x －cos x )2－1＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x －1＝－sin2x ， ∴函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为π，且是奇函数． 4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )[答案] A[解析] x ＝0时，y <0，排除B 、D ，x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.5．为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π2＋π3)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，由y ＝sin2x 的图象得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．只需向左平移5π12个长度单位就可以．6．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π [答案] C[解析] 画出函数y ＝|sin x |的图象，如图所示．由函数图象知它的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，所以当k ＝1时，得到y ＝|sin x |的一个单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，故选C.7．(08·四川)设0≤α≤2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π3，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π3，4π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，3π2[答案] C[解析] ∵sin α>3cos α，∴⎩⎨⎧cos α>0tan α>3或⎩⎨⎧cos α<0tan α<3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0sin α＝1，∴π3<α<4π3. [点评] ①可取特值检验，α＝π2时，1＝sin π2>3cos π2＝0，排除A ；α＝π时，0＝sinπ>3cosπ＝－3，排除B ；α＝4π3时，sin 4π3＝－32，3cos 4π3＝－32，∴sin 4π3＝3cos 4π3，排除D ，故选C.②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sin α－3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3>0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3>0，∵0≤α≤2π，∴π3<α<4π3. 8．方程sinπx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] 在同一坐标系中分别作出函数y 1＝sinπx ，y 2＝14x 的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．9．已知△ABC 是锐角三角形，P ＝sin A ＋sin B ，Q ＝cos A ＋cos B ，则( )A ．P <QB ．P >QC ．P ＝QD ．P 与Q 的大小不能确定[答案] B[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，A ＋B >π2，∴A >π2－B ，B >π2－A ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A >cos B ，sin B >cos A ， ∴sin A ＋sin B >cos A ＋cos B ，∴P >Q .10．若函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)对任意的x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是( )A ．3或0B ．－3或0C ．0D ．－3或3[答案] D[解析] f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3为最大值或最小值．11．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(4x －π3)D ．y ＝cos(2x －π6)[答案] D[解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式．由图象知T ＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A 、C.又当x ＝π12时，y ＝1，而B 中的y ＝0，故选D.12．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 5 [答案] C[解析] ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， ∴y min ＝－1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若1＋sin 2θ＝3sin θcos θ则tan θ＝________. [答案] 1或12[解析] 由1＋sin 2θ＝3sin θcos θ变形得2sin 2θ＋cos 2θ－3sin θcos θ＝0⇒(2sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ)＝0，∴tan θ＝12或1.14．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为________． [答案] [－4，－π]∪[0，π][解析] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧16－x 2≥0sin x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤42k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，∴－4≤x ≤－π或0≤x ≤π.15．已知集合A ＝{α|30°＋k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }，集合B ＝{β|－45°＋k ·360°<β<45°＋k ·360°，k ∈Z }，则A ∩B ＝________.[答案] {α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z } [解析] 如图可知，A ∩B ＝{α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }．16．若a ＝sin(sin2009°)，b ＝sin(cos2009°)，c ＝cos(sin2009°)，d ＝cos(cos2009°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________．[答案] b <a <d <c[解析] ∵2009°＝5×360°＋180°＋29°， ∴a ＝sin(－sin29°)＝－sin(sin29°)<0，b ＝sin(－cos29°)＝－sin(cos29°)<0，c ＝cos(－sin29°)＝cos(sin29°)>0，d ＝cos(－cos29°)＝cos(cos29°)>0，又0<sin29°<cos29°<1<π2，∴b <a <d <c .[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ为第二象限角，求实数a的值．[解析] ∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0. ∴1－a 1＋a >0，3a －11＋a <0，解之得，－1<a <13. 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －11＋a 2＝1，解之，得a ＝19或a ＝1(舍去)．故实数a 的值为19.18．(本题满分12分)若集合M＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N . [解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N 和集合M 对应的部分，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M 、N . 作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示．由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19．(本题满分12分)已知cos x ＋sin y ＝12，求sin y －cos 2x 的最值．[解析] ∵cos x ＋sin y ＝12，∴sin y ＝12－cos x ，∴sin y －cos 2x ＝12－cos x －cos 2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋34， ∵－1≤sin y ≤1，∴－1≤12－cos x ≤1，解得－12≤cos x ≤1，所以当cos x ＝－12时，(sin y －cos 2x )max ＝34，当cos x ＝1时，(sin y －cos 2x )min ＝－32.[点评] 本题由－1≤sin y ≤1求出－12≤cos x ≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．20．(本题满分12分)已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x ； (2)判断其奇偶性．[解析] (1)∵y ＝a －b cos3x ，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ymax＝a ＋b ＝32ymin ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1，∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin3x . ∴此函数的周期T ＝2π3，当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式f (x )＝－2sin3x ，x ∈R ， ∴f (－x )＝－2sin(－3x )＝2sin3x ＝－f (x )， ∴y ＝－2sin3x 为奇函数．21．(本题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示．试依图推出：(1)f (x )的最小正周期；(2)f (x )的单调递增区间；(3)使f (x )取最小值的x 的取值集合．[解析] (1)由图象可知，T 2＝74π－π4＝32π，∴T ＝3π.(2)由(1)可知当x ＝74π－3π＝－54π时，函数f (x )取最小值，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54π＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )．(3)由图知x ＝74π时，f (x )取最小值，又∵T ＝3π，∴当x ＝74π＋3k π时，f (x )取最小值，所以f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝74π＋3k π，k ∈Z. 22．(本题满分14分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．[解析] (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x ) ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－a 22－2a －1.这里－1≤cos x ≤1. ①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f (x )min ＝－a 22－2a －1； ②若a 2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ； ③若a2<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1.因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a <－2)－a22－2a －1 (－2≤a ≤2)1－4a (a >2).(2)∵g (a )＝12.∴①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾；②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12，即a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3(舍)． ∴g (a )＝12时，a ＝－1.此时f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋12， 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为5.。

第一章 1.2.2基础巩固一、选择题1．已知cos α＝23，则sin 2α等于( )A.59 B ．±59C.53D ．±53[答案] A[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝59.2．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A.13 B ．53 C.73D ．55[答案] B[解析] cos α＝sin αtan α＝23×525＝53.3．(2013·全国大纲文)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213B ．－513C.513 D ．1213[答案] A[解析] 本题考查了三角函数定义，同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1. ∵α是第二象限角，∴cos α<0，又∵sin α＝513，∴cos α＝－1－(513)2＝－1213.4．(2015·山东济南一中期中)若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A.2tan α B ．－2tan αC.2sin αD ．－2sin α[答案] D [解析] 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α.5．(2015·琼海高一检测)若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[答案] B[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417. 6．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15 B ．－15C.513 D ．－513[答案] D[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝512，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝513， ∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513.二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝________. [答案] 60°[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°.8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________.[答案]－1＋52[解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52.又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52.三、解答题9．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝813.(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1＝49＋7＋349＋1＝5950.10．化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2(0<α<π2)．[解析] 原式＝(cos α2－sin α2)2＋(cos α2＋sin α2)2＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈(0，π2)，∴α2∈(0，π4)．∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0，∴上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.能力提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( )A.74B ．－916C ．－932D ．932[答案] C[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－932.2．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A 的值为( )A ．m ＋1nB ．m －n C.12(m ＋1n ) D ．12(m －n )[答案] D[解析] ∵m －n ＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A ) ＝lg(1－cos 2A )＝lgsin 2A ＝2 lgsin A ， ∴lgsin A ＝12(m －n )．3．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－34[答案] A[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225，∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.4．若sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．0 [答案] B[解析] ∵sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，∴sin 2θ＋4＝2cos θ＋2. ∴sin 2θ－2cos θ＋2＝0. ∴－cos 2θ－2cos θ＋3＝0. ∴cos 2θ＋2cos θ－3＝0. ∴cos θ＝1或cos θ＝－3(舍)． 由cos θ＝1，得sin θ＝0. ∴(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4. 二、填空题5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan θ＝________.[答案] －34或－512[解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8. m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34；m ＝8时，sin θ＝513，cos ＝－1213，tan θ＝－512.6．(2011·上海春季高考)在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. [答案]2211[解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211. 三、解答题7．已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α1－sin α的值．[解析] ∵cos α＝－35，且tan α>0，∴α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan αcos 3α1－sin α＝sin αcos αcos 3α1－sin α＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α)＝－45×(1－45)＝－425.8．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1， 求(1)tan α； (2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解析] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α ＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α，则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－14或tan α＝1.(2)原式＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9，当tan α＝－14时，原式＝720；当tan α＝1时，原式＝15.。

能 力 提 升一、选择题1．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] D[解析] 由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.2．如果角α与x ＋45°具有同一条终边，角β与x －45°具有同一条终边，则α与β的关系是( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z )D ．α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )[答案] D[解析] ∵α＝(x ＋45°)＋k ·360°(k ∈Z )，β＝(x －45°)＋k ·360°(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )．3．(山东潍坊模块达标)已知α与120°角的终边关于x 轴对称，则α2是( ) A ．第二或第四象限角 B ．第一或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角[答案] A[解析] 由α与120°角的终边关于x 轴对称，可得α＝k ·360°－120°，k∈Z，∴α2＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0,1可确定α2终边在第二或第四象限．4．若角θ是第四象限角，则90°＋θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案] A[解析]如图所示，将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°＋θ的终边，则90°＋θ是第一象限角．5．下列说法中，正确的是()A．第二象限的角是钝角B．第二象限的角必大于第一象限的角C．－150°是第二象限角D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角[答案] D[解析]第二象限的角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°(k∈Z)的角，如460°是第二象限的角但不是钝角，故选项A错；460°是第二象限的角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，故选项B错；选项C中－150°应为第三象限角，故选项C错；选项D 中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同．6．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}[答案] C[解析]当k＝－1时，α＝－126°∈B；当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；当k＝2时，α＝144°∈B.二、填空题7．(2011～2012·黑龙江五校联考)与－2013°终边相同的最小正角是________．[答案]147°8．(2011～2012·镇江高一检测)将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为________．[答案]－60°9．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈________.[答案]{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}[解析]在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k ＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．三、解答题10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解析](1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．11．如图，已知直线l1：y＝33x及直线l2：y＝－3x，请表示出终边落在直线l1或l2上的角．[解析]由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝210°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．所以终边落在直线l1或l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，n∈Z}．12．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则α共有多少个？[解析](1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种，分别是与45°，135°，－135°，－45°终边相同的角．(2)令－360°<k·90°＋45°<360°，得－92<k<72.又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3. ∴满足条件的角共有8个．。

1.1 第2课时一、选择题1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1[答案] C[解析] 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交A B 于D .∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.∴选C.[点评] 本题是据弧长公式l ＝|α|r 求弧长，需先求半径． 2．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2 B.3π2cm 2 C ．πcm 2D ．3πcm 2[答案] B[解析] ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．3．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 [答案] B[解析] 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.4．圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C.3 D ．2 [答案] C[解析] 设圆内接正三角形边长为a ，则圆的半径r ＝33a ，所以a ＝3r ，因此α＝ar＝ 3. 5．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．B ．C ．D ．[答案] B[解析] 如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，∴S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26， ∴S 圆S 扇＝23. 6．集合{α|α＝k π2－π5，k ∈Z }∩{α|－π<α<π}等于( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－103π，310πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－710π，45πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π5，310π，45π，－710πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫310π，－710π [答案] C[解析] 由－π<k π2－π5<π及k ∈Z 知，k ＝－1,0,1,2，故选C.7．若扇形的面积是1cm 2，它的周长是4cm 2，则扇形圆心角的弧度数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，弧长为l ，由已知条件可知⎩⎪⎨⎪⎧12lR ＝12R ＋l ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ＝1，所以扇形的圆心角度数为lR＝2.8．集合P ＝{x |2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}．则P ∩Q ＝( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} [答案] B[解析] 令k ＝0，±1，在数轴上标注出P 与Q 如图所示可知选B. 二、填空题9．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，该弧所对的圆心角是原来的________倍．[答案] 2[解析] ∵L ＝r ·θ，∴θ＝Lr ，∵半径变为原来的12，弧长不变，∴圆心角变为θ′＝L r 2＝2·Lr ＝2θ.10．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．[答案]22[解析] 设圆半径为r ，正方形边长为a ，则a 2＋a 2＝(2r )2，∴a ＝2r ，设圆周角弧度数为α，则2α＝l r ＝2r r ＝2，∴d ＝22.[点评] 圆弧所对的圆周角的弧度数等于圆心角弧度数的一半． 11．已知2k π＋2π3<α<2k π＋5π6(k ∈Z )，则α2为第________象限角．[答案] 一或三12．已知角α、β的终边关于x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则β＝________.[答案] {β|β＝2k π－π6，k ∈Z }[解析] 如图，－π3角的终边关于y ＝－x 对称的射线对应角为－π4＋π12＝－π6，∴β＝－π6＋2k π，k ∈Z .三、解答题13．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k ·π4，k ∈Z }，判断θ所在的象限．[解析] (1)当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋π4，α为第一象限角．(2)当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝2n π＋34π，α为第二象限角，∴θ为第一或第二象限角．14．已知α是第二象限的角，(1)指出α2所在的象限，并用图形表示其变化范围．(2)若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取值区间． [解析] (1)依题意，2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<α2<k π＋π2，若k 为偶数，则α2是第一象限的角；若k 为奇数，则α2是第三象限的角；其变化范围如右图中阴影部分所示(不含边界)．(2)因为|α＋2|≤4，所以－6≤α≤2， 即α∈(2k π＋π2，2k π＋π)∩[－6,2]，由上图不难知道，α∈(－3π2，－π)∪(π2，2]．[点评] 除象限角、终边相同的角以外，还要注意理解区间角的概念，并能掌握好α角的取值范围与2α、α2角的取值范围间的相互关系．15．解答下列各题：(1)已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，求扇形圆心角的弧度数． (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm ，求扇形的面积．(3)已知一扇形的周长为40cm ，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[解析] (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ< 2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4. ②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解之得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8rad>2πrad 舍去． 当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.(2)设扇形弧长为l ，∵72°＝72×π180＝2π5(rad)，∴l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)．∴S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40， ∴l ＝40－2r ，∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝(20－r )r ＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10cm 时，扇形的面积最大．这个最大值为100cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2rad.16．圆上一点A 依逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析] ∵0<θ≤π，∴0<2θ≤2π， 又∵2θ在第三象限，∴π<2θ<32π，∴14θ＝2k π，k ∈Z ，∴2θ＝27k π，k ∈Z .当k ＝4,5时，2θ＝87π，107π，它们都在⎝⎛⎭⎫π，32π内． 因此θ＝47πrad 或θ＝57πrad.。

2.3 第1课时一、选择题1．(08·广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] 由E 是线段OD 的中点，∴BE →＝3ED →，由平行四边形ABCD ， ∴|AB ||DF |＝|EB ||ED |，∴|DF |＝13|AB | ∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .故选B.2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形[答案] A[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →， ∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|， 故四边形是梯形．3．(08·湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直[答案] A[解析] AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋BD →＋BC →＋CE →＋BF →－BC →＝AB →＋13BC →＋BC →－23AC →－13AB →－BC →＝23(AB→－AC →)＋13BC →＝23CB →＋13BC →＝－13BC →，故选A.4．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AM →＝4MC →，P 为AD 的中点，则MP →＝( ) A.45a ＋310b B.45a ＋1310b C ．－45a －310b D ．－34a －14b[答案] C[解析] 如图，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45AC →＝12AD →－45(AB →＋BC →)＝12b －45(a ＋b ) ＝－45a －310b .5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6[答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.6．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3D ．0[答案] D[解析] ∵CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°[答案] B[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴〈a ，b 〉＝120°.8．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1[答案] D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A 、B 、D 三点共线知，存在实数λ，使2a ＋p b ＝2λa －λb ，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.9．(2010·全国卷Ⅱ文，10)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若C B →＝a ，C A →＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则C D →＝( )A.13 a ＋23 bB.23 a ＋13b C.35 a ＋45b D.45 a ＋35b [答案] B[解析] 如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴|BD ||DA |＝|CB ||CA |＝12， ∴BD →＝13BA →＝13(CA →－CB →)＝13b －13a ，∴CD →＝CB →＋BD →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －13a ＝23a ＋13b .10．(2010·合肥市)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 [答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 二、填空题11．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋(1－52k )e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________.[答案] －2或13[解析] 由题设知k 22＝1－52k 3，∴3k 2＋5k －2＝0.解得k ＝－2或13.12．如图所示，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为______．[答案] 6[解析] 以OC 为对角线，OA 、OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝2 3∴|OD →|＝|OC →|cos30°＝4，在R t△OCE 中，|OE →|＝|OC →|·tan30°＝2， ∴OD →＝4OA →，OE →＝2OB →， 又OC →＝OD →＋OE →＝4OA →＋2OB →， 故λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且AE →＝14AD →，F 为BE 与AC 的交点．设AB→＝a ，BC →＝b ，若BF →＝kBE →，AF →＝hAC →，则k ＝________，h ＝________.[答案] 45 15[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，∴AF →＝hAC →＝h a ＋h b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋h a ＋h b ＝(h －1)a ＋h b ，又BF →＝kBE →＝k (BA →＋AE →)＝k (－a ＋14b )＝－k a ＋k4b ，显然a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧h －1＝－kh ＝k 4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝45h ＝15.三、解答题14．如图，已知△ABC 中，M 、N 、P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，试用e 1，e 2表示CM →、CN →、CP →.[解析] CM →＝14e 1＋34e 2；CN →＝12e 1＋12e 2； CP →＝34e 1＋14e 2.15．在▱ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝a ，BC →＝b ，试用a 、b 表示GK →、AH →.[解析] 如图所示，GF →＝CF →－CG →＝－12b ＋12a ，因为K 为DF 的中点，所以GK →＝12(GD →＋GF →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －12b ＋12a ＝－14b . DF →＝CF →－CD →＝－12b ＋a .因为A 、H 、G 三点共线，所以存在实数m ，使AH →＝mAG →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ；又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b因为AD →＋DH →＝AH →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 2b ＋n a ＝m b ＋m 2a 因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n2＝m n ＝m2，解得m ＝45，即AH →＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25(a ＋2b )．16．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.[分析] 将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向量．如待求OC →，已知OA →、OB →，即知BA →，因为BC →可用BA →线性表示，故可用OB →和BC →来表示OC →. [解析] 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .17．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°. (1)求|a ＋b |，|a －b |.(2)求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角． [解析] 如图，以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，∵|OA →|＝|OB →|＝4，∠AOB ＝60°， ∴四边形OACB 为菱形．(1)a ＋b ＝OA →＋OB →＝OC →，a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a ＋b |＝|OC →|＝2|OD →|＝2×32×4＝43，|a －b |＝|BA →|＝4.(2)在△OAC 中，∠OAC ＝120°， ∴∠COA ＝∠OCA ＝30°，a ＋b 与a 所成的角，即∠COA ＝30°，a －b 与a 所成的角，即BA →与OA →所成的角，等于∠CBA＝60°.18．在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a 、b 为基底表示OM →.[分析] 显然a 、b 不共线，故可设OM →＝m a ＋n b ，由A 、M 、D 三点共线及B 、M 、C 三点共线利用向量共线条件求解．[解析] 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a因为A 、M 、D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1 又CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝－14a ＋b ，因为C 、M 、B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝14m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .。