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第五章圆2. 如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB. 直线 AB 是⊙O的切线吗？为什么？数学理解3. 如图，△ABC 内接于⊙O ，过点 A 作直线 EF .①②（第3题）（1）如图①，AB 为⊙O 的直径，要使直线 EF 是⊙O 的切线，还需要添加什么条件？（请写出三种不同的条件）（2）如图②，AB 不是⊙O 的直径，要使直线 EF 是⊙O 的切线，还需要添加什么条件？（请写出两种不同的条件）问题解决※4. 已知⊙O 外一点 P，你能用尺规过点 P 作⊙O 的切线吗？做一做如图5-42，△ABC 是一张三角形纸片，你能从它上面剪出一张面积最大的圆形纸片吗？图5-42图5-43设这个圆为⊙I，为使圆的面积最大，⊙I 应当与△ABC 的三边都相切，所以点I 到三角形三边的距离相等. 因此，点I 在这个三角形三个角的平分线上，半径等于圆心到三边的距离.6直线和圆的位置关系已知△ABC （如图 5-42），求作一个圆，使它与△ABC 的各边相切 .作法：（1）作∠B ，∠C 的平分线 BE 和 CF ，交点为 I （如图 5-43）.（2）过点 I 作 ID ⊥BC ，垂足是点 D .（3）以点 I 为圆心，以 ID 为半径作 ⊙I .⊙I 就是所求作的圆 .在上面的作图过程中，因为点 I 是∠B ，∠C 的平分线 BE 和 CF 的交点，所以点 I 到△ABC 三边的距离相等，因此点 I 也在∠A 的平分线上. 因为 BE 和 CF 有且只有一个交点 I ，所以与△ABC 三边都相切的圆能且只能作出一个.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle ）. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter ）.例 4 如图 5-44，在△ABC 中，∠A = 68°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数.解：∵ 点 I 是△ABC 的内心，∴ ∠1 = 12∠ABC ，∠2 = 12∠ACB.∴ ∠1 + ∠2 = 12（∠ABC +∠ACB ） = 12（180°-∠A ） = 12（180°- 68°）= 56°.∴ ∠BIC = 180°-（∠1 + ∠2）= 180°- 56°= 124°.如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 三角形的内心是否都在三角形的内部？随堂练习图 5-44锐角三角形直角三角形钝角三角形21第五章圆知识技能数学理解习题 5.121. 在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 70°，点 I 是△ABC 的内心，求∠AIB ，∠BIC 和∠AIC 的度数.2. 已知△ABC 的周长为 p ，内切圆的半径为 r ，求△ABC 的面积.过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看．3. 如图，点 I 是△ABC 的内心，AI 的延长线与 BC 相交于点 D ，与△ABC 的外接圆相交于点 E.找出图中相等的线段，并说明理由.（第 3题）*7切线长定理如图 5-45，PA ，PB 是 ⊙O 的两条切线，A ，B 是切点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．议一议图 5-45。
第五章圆没有条件约束是不能确定一个圆的．用什么样的条件就可以确定一个圆呢？相信通过本节课的学习你已经心中有数了．想在几何画板上试一试吗？知识技能数学理解习题 5.71. 草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得三个放牧点到定居点的距离相等．三个放牧点的位置如图所示，那么如何确定定居点的位置？2. 已知 AB = 4 cm ，以 3 cm 长为半径作圆，使它经过点 A 和点 B ．这样的圆能作出几个？3. 经过不在同一条直线上的四个点是否一定能作一个圆？举例说明．4. 如图，MN 所在的直线垂直平分线段 AB ，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？如图 5-32，四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，我们说四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆.一般地，如果一个多边放牧点 2放牧点 1放牧点 3（第 1题）（第 4 题）5确定圆的条件形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆. （1）如图 5-32，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A 与∠C ，∠B 与∠D 分别是它的两组对角. ∠A 所对的弧是哪条弧？∠C 所对的弧是哪条弧？（2）∠A 与∠C 所对的两条弧的度数之和是多少？由此你发现∠A 与∠C 有怎样的数量关系？∠B 与∠D 呢？已知：如图 5-32，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形.求证：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.证明：在图 5-32中，∵ ∠A 的度数 = B ⌒CD 的度数的一半， ∠C 的度数 = B ⌒AD 的度数的一半， B ⌒CD 的度数 + B ⌒AD 的度数 = 360°，∴ ∠A + ∠C = 180°.同理，∠B + ∠D = 180°.议一议图 5-32圆内接四边形的对角互补 .在图 5-32 中，延长 BC 到点 E ，便得∠DCE（如图 5-33）. ∠DCE 是四边形 ABCD 的一个外角，∠A 称为∠DCE 的内对角. ∠DCE 与∠A 的大小有什么关系？为什么？想一想图 5-33第五章圆知识技能习题 5.81. 在圆内接四边形 ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C = 2 ：3 ：4，求∠D 的度数.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.例 如图 5-34，△ABC 的外角∠BAM 的平分线与它的外接圆相交于点 E ，连接 BE ，CE. 试判断 BE 与 CE 是否相等，并说明理由.解：BE =CE. 理由如下：在图 5-34 中，∵ ∠EAM 是圆内接四边形 AEBC 的外角，∴ ∠EAM =∠EBC .∵ ∠ECB =∠EAB ，∠EAM =∠EAB ，∴ ∠ECB =∠EBC .∴ EB = EC.图 5-341. 如图，在 ⊙O 中，∠BOD = 80°，求 ∠BAD 和 ∠BCD 的度数．随堂练习2. 如图，AB 为半圆的直径，点 C ，D 在半圆上，且 AD = CD ，∠B = 50°，求∠A ，∠C 的度数 .3. 试说明圆内接平行四边形是矩形 .A BCDO （第 2 题）（第 1 题）。
5确定圆的条件数学理解4. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，G 是 A ⌒C 上的任意一点，AG ，DC 的延长线相交于点 F . ∠FGC 与∠AGD 的大小有什么关系？为什么？5. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A = 60°，∠B = 90°，AB = 2，CD = 1. 求 BC 的长 .6. 如图，⊙O 1 与 ⊙O 2 都经过 A ，B 两点，且点 O 2 在 ⊙O 1 上．点C 是 A ⌒O 2B 上的一点（点 C 不与 A ，B 重合），AC 的延长线交⊙O 2 于点 P ，连接 AB ，BC ，BP .（1）根据题意将图形补充完整；（2）当点 C 在 A ⌒O 2B 上运动时，图中大小不变的角有哪些？（将符合要求的角都写出来）（第 5题）（第 4 题）AB C FDO（第 3 题）2. 在圆内接四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD ，∠BCD = 80°，求四边形 ABCD 其他三个角的度数.3. 如图，分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边，延长线相交于点 E ，F ，若∠E = 40°，∠F = 60°，求∠A 的度数．（第 6 题）ABO 1O 2第五章圆（1）观察上面的三幅照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？（2）作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线．固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？可以发现，直线和圆有三种位置关系：（1）当直线和圆有两个公共点时（如图 5-35（1）），我们说直线和圆相交，两个公共点叫做交点 .6直线和圆的位置关系（2）当直线和圆有唯一公共点时（如图 5-35（2）），我们说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线（tangent line ），这个唯一的公共点叫做切点（point of tangency ）.（3）当直线和圆没有公共点时（如图 5-35（3）），我们说直线和圆相离.图 5-35议一议你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗？与同伴进行交流.（1）（2）（3）6直线和圆的位置关系如图 5-35，当直线 l 分别与 ⊙O 相交、相切、相离时， 圆心 O 到直线 l 的距离 d 与 ⊙O 的半径 r 的大小分别有什么关系？你能根据 d 与 r 的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？想一想当直线和圆相交时，d < r ；反过来，当 d < r 时，直线和圆相交.当直线和圆相切时，d _____ r ；反过来，当 d _____ r 时，直线和圆相切.当直线和圆相离时，d _____ r ；反过来，当 d _____ r 时，直线和圆相离.例 1 已知在 Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 8 cm ，AC = 4 cm .（1）以点 C 为圆心作圆，当半径的长为多少时，AB 与 ⊙C 相切？（2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系？解：（1）如图 5-36，过点 C 作 AB 的垂线段 CD.∵ AC = 4 cm ，AB = 8 cm ，∴ cos A = AC AB = 12 .∴ ∠A = 60°.∴ CD = AC · sin A = 4 sin 60°= 23（cm ）.因此，当半径的长为 23 cm 时，AB 与 ⊙C 相切.（2）由（1）可知，圆心 C 到 AB 的距离 d = 23 cm ，所以，当 r = 2 cm 时，d > r ，⊙C 与 AB 相离；当 r = 4 cm 时，d < r ，⊙C 与 AB 相交.对于例 1（1），你还有其他解法吗？图 5-36。
