中科院研究生院2007年硕士研究生入学考试数学分析

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18）11)3+ （19）略（20）11011(1)()()(1),(1,3)532n nn n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑（21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]Tx k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]Tx =-（22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数）（Ⅱ）011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2(2),01,()(2),12,0,Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他（24）（Ⅰ）1ˆ=22X θ-;（Ⅱ）24()X 不是2θ的无偏估计量 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ） 【解析】利用当0x →时的等价无穷小关系ln(1)x x +:，即知当0x +→时ln(1:故选B..（2）【答案】 (D)【解析】方法1:论证法，由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以00()(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x→→===（A ）正确；由于00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有00()()lim lim 00x x x x f x f x x x→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ）【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而323223(3)()()(),288(2)(),2F f t dt f t dt f t dt F f t dt ππππ==+=-===⎰⎰⎰⎰所以(3)F - 3(2)4F =，选择C （4）【答案】（B ）【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P PP P Q P P P-===--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D)（6）【答案】（D ） 【解析】001lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫=++=∞⎪⎝⎭所以0x =是一条垂直渐近线；1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)1lim lim lim lim 1,xx x x x x x x e y e e e x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+++=+== ⎪⎝⎭洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,xx x x x e e e-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （7）【答案】(A)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. （8）【答案】（B ）【解析】2111111111211210311211203E A λλλλλλλλλλ--=-=-=----()230λλ=-=因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）.（9）【答案】(C)【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -=-g 所以应选（C ）.（10）【答案】(A)【解析】由于二维正态的(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此()().X X Y f x y f x = 应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）【答案】 0【解析】方法1：由洛必达法则，()32223213262lim lim lim 22ln 232ln 26x x xx x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞++++==+++ ()36lim0,2ln 26xx →+∞==+而(sin cos )x x +是有界变量，所以3231lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ 方法2：32133311lim(sin cos )lim (sin cos )221x x x x x x x x x x x x x x ---→+∞→+∞+++++=+++ 而 233222ln 22(ln 2)lim 2lim lim lim 36x x x xx x x x x x x x-→+∞→+∞→+∞→+∞===32(ln 2)lim 6x x →+∞==+∞， 所以 3231lim(sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+（12）【答案】1(1)2!3n n n n +-【解析】()()()1232123,'(1)223,''(1)(2)223,,23y x y x y x x ---==+=-+=--++L由数学归纳法知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （13）【答案】''122()y x f f x y-+【解析】12122211'';'',z y z x f f f f x x y y x y ⎛⎫∂∂⎛⎫=⋅-+⋅=⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭''122()z z y xxy f f x y x y∂∂-=-+∂∂ （14）【解析】典型类型按标准解法.命,y ux =有,dy duu x dx dx=+原方程化为 31,2du u x u u dx +=- 即 32,du dx u x =-积分，得 21ln x C u=+化为y ，得 22ln x y x C=+解出y =再以(1,1)代入，1,C =所以得特解y =.（15）【答案】 1 【解析】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然()31.r A=(16) 【答案】34【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，12X Y -<。

2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～10小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．(1)当0x +→时,( )(A) 1-ln1. (D) 1-答案： (B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.答案： (D).(3)如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( )(A) (3)F 3(2)4F =--. (B) (3)F 5(2)4F =. (C) (3)F -3(2)4F =. (D) (3)F -5(2)4F =--.答案： (C).(4)设函数()f x 在0x =处连续,则下列命题错误．．的是( ) (A) 若0()lim x f x x →存在,则(0)0f =. (B) 若0()()lim x f x f x x→+-存在,则(0)0f =.(C) 若0()lim x f x x →存在,则(0)f '存在. (D) 若0()()lim x f x f x x→--存在,则(0)f '存在.答案： (D).(5)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数,且()0f x ''>,令()n u f n = (1,2,)n = ,则下列结论正确的是( )(A) 若12u u >,则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >,则{}n u 必发散. (C) 若12u u <,则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <,则{}n u 必发散. 答案： (D).(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ,Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列积分小于零．．．的是( ) (A) (,)f x y dx Γ⎰. (B) (,)f x y dy Γ⎰.(C)(,)f x y ds Γ⎰. (D) (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ''+⎰.答案： (B).(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关．．．．的是( ) (A) 12αα-2331,,αααα--. (B) 12αα+2331,,αααα++. (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. 答案： (A).(8)设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 与B ( ) (A) 合同,且相似. (B) 合同,但不相似.(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同,也不相似. 答案： (B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )(A) 23(1)p p -. (B) 26(1)p p -. (C) 223(1)p p -. (D) 226(1)p p -. 答案： (C).(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =条件下,X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . 答案： (A).二、填空题：11～16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (11)12311x e dx x=⎰.答案：2. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,),y x z f x y =则zx∂=∂ . 答案：zx∂=∂112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''+ .(13)二阶常系数非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的通解为y = . 答案：非齐次线性微分方程的通解为32122x x x y C e C e e =+-. (14)设曲面:1x y z ∑++=,则()x y dS ∑+=⎰⎰ .答案：1()3x y dS y dS ∑∑+==⋅⎰⎰⎰⎰ (15)设距阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为 . 答案：()31.r A =(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于12的概率为 . 答案： 3.4三、解答题：17～24小题,共86分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2,f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.答案：函数在D 上的最大值为(0,2)8f =,最小值为(0,0)0f =. (18) (本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰ 其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.答案： I π=.(19) (本题满分11分)设函数()f x ,()g x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值,又()f a ＝()g a ,()f b ＝()g b ,证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=证明：设()()()x f x g x ϕ=-,由题设(),()f x g x 存在相等的最大值,设1(,)x a b ∈, 2(,)x a b ∈使12[.][.]()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===.若12x x =,即()f x 与()g x 在同一点取得最大值,此时,取1x η=,有()()f g ηη=； 若12x x ≠,不妨设12x x <,则111()()()0x f x g x ϕ=->,222()()()0x f x g x ϕ=-<,且()x ϕ在[],a b 上连续,则由零点定理得存在(,),a b η∈使得()0ϕη=,即()()f g ηη=；由题设()f a ＝()g a ,()f b ＝()g b ,则()0()a b ϕϕ==,结合()0ϕη=,且()x ϕ在[],a b 上连续,在(,)a b 内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知：存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得12()()0ϕξϕξ''=＝0,.在12[,]ξξ再由罗尔定理,存在12(,)ξξξ∈，使()0ϕξ''=.即()()f g ξξ''''=. (20) (本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,y xy y ''--=(0)0,y =(0)1y '=.(I) 证明22,1,2,1n n a a n n +==+ . (II) 求()y x 的表达式.答案： (I) 证明：对0nnn y ax∞==∑,求一阶和二阶导数,得1212,(1),n n nn n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=,得21210(1)240n n n nn n n n n n n a xx na xa x ∞∞∞--===---=∑∑∑.即21(1)(2)240nnn n n n n n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑.于是202240(1)20,n n a a n a a +-=⎧⎨+-=⎩1,2,,n = 从而22,1,2,.1n n a a n n +==+ (II)2x y xe =. (21) (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ (1) 与 方程12321x x x a ++=- (2)有公共解,求a 得值及所有公共解.答案：当1a =时,()A b =1110010000000000⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,所以方程组的通解为(1,0,1)T k -,k 为任意常数,此即为方程组(1)与(2)的公共解.当2a =时,()A b =1110011000110000⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,此时方程组有唯一解(0,1,1)T -,此即为方程组(1)与(2)的公共解.(22) (本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵B . 答案：(I)由11A αα=,可得 111111()k k k A A A A αααα--==== ,k 是正整数,则5311(4)B A A E αα=-+531114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-,于是1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-特征向量.所以B 的所有的特征向量为：对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α,其中1k 是非零任意常数,对应于231λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+,其中23,k k 是不同时为零的任意常数.(II)1200010001B P P --⎡⎤⎢⎥=⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他,(I) 求{}2P X Y >；(II)求Z X Y =+的概率密度()Z f z . 答案： (I){}112002(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724=. (II) 222,01,()44,12,0,Z z z z f z z z z ⎧-<≤⎪=-+<≤⎨⎪⎩其他.(24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他其中参数(01)θθ<<未知,12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.(I) 求参数θ的矩估计量 θ； (II) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由. 答案：(I) 122X θ=-； (II)只须验证2(4)E X 2θ=是否成立即可.22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n==+=+,11()42E X θ=+,221()(12)6E X θθ=++,22251()()()481212D XE X EX θθ=-=-+,代入得222533131(4)1233n n n E X n n nθθθ+-+=++≠,所以24X 不是2θ的无偏估计量.。

中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1. （15分）求幂级数∑∞=+02!21n n n x n n 的收敛域，并求其和。

2. （15分）讨论积分dx x x e px ∫∞+0sin 2sin 的绝对收敛和条件收敛。

3. （15分）计算曲面积分∫∫，其中Σ为曲面Σ+++xydxdy ydzdx z x yzdydz )(22224z x y +=−在xoz 平面的右侧部分的外侧。

4. (20分，每小题10分）证明下列不等式：（1）nex x n 1)1(<− 10(<<x ，为正整数）； n （2）。

)0,(1>>+y x y x x y 5. （15分）设级数收敛，且绝对收敛。

证明：级数收∑∞=1n n b ∑∞=−−11)(n n n a a ∑∞=1n n n b a 敛。

6. （15分）假设)(x f 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数x ，满足1)(≤x f 且满足4))2=。

证明存在实数0x ，满足0)('。

0('())0((2+f f ')(00=+x f x f科目名称：数学分析第1页 共2页 good7. （15分）假设 1|)(和1|)(''||≤x f ≤x 对一切]2,0[f ∈x 成立，证明：在]2,0[上有2|)('。

|≤x f8. （15分）设),(],1,0[]1,0[y x f D ×=是定义在上的二元函数，，且在处可微。

求极限：D 0)0,0(=f ),(y x f )0,0(400421),(lim x x t x x edu u t f dt −+→−∫∫ 9. （15分）设，+∞<<∞−0x )(x ϕ和在)(x f ],[00h x x +上连续，且存在，使得0,0>>K M ),(,|)()(|1|)(|000h x x x dt t f t K M x x x +∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤∫ϕϕ。

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→等价的无穷小量是(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题说明：全部答题包括填空、选择题必须答在考点下发的答题纸上，否则，一律无效。

试题名称：固体物理一 铜、银、铝等很多元素晶体具有面心立方结构，试： 1 原子位置：,21210,21021,02121,000最近邻12，次近邻6，最密排面（111）2 面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，第一布里渊区为截角八面体。

3 4个3次旋转轴，3个4次轴，6个2次轴，一个反演中心。

4 布拉格定律：θλsin 2d =，这里Θ＝19.235度，第一衍射峰应是（111）晶面，3111a d =，101005.4sin 23-⨯==θa二 已知某晶体中相邻原子之间的相互作用势可以表示为n mr r u βα+-=其中m ，n ，α，β都是>0的常数。

1 说明右式两项代表的物理意义并求出处于平衡状态时的原子间距r 02 证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m 。

3 只考虑最近邻相互作用，写出由N 个相同原子组成的该晶体的总相互作用能U 0表达式。

4 证明其体弹模量 0V mnU K = （U 0，V 0分别是晶体处于热平衡时的能量和体积）。

解：1 第一项代表吸引势，第二项代表斥力势。

()011=+=++n m rn r m dr r du βα给出平衡状态时的原子间距mn m n r -⎪⎭⎫⎝⎛=10αβ2 满足稳定态的条件()0)()1()1(,020202022>-=+++-==+++m n r m r n n r m m dr r u d dr du m n m αα，所以n>m 。

3 )(2)(2000n mn r N r u N U m --==α4 体积弹性模量 0222022000V dr U d dV dr V dV Ud K V V V •⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=晶体体积300Ar N V •=，A 是和晶体结构有关的参数。

2007年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→等价的无穷小量是 ( )A. 1−B.C. 1−D.1−(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ∫.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F −− B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F −− (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( ) A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+− 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→−− 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ∫ B. (,)rf x y dy ∫C.(,)rf x y ds ∫D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +∫（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ） ,,122331αααααα−−− （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα−−− （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，B=100010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则A 于B ()(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p −(B)26(1)p p −(C) 223(1)p p − (D) 226(1)p p −(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x∫＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32xy y y e −+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+∫∫Ò＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+−=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3） 如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。