圆柱、圆锥表面积及侧面积

刘老师圆柱的侧面积=底面圆周长×高 字母表示：S 侧=C 底h 2． 底面圆周长=圆周率×直径=圆周率×2×半径 字母表示：C 底=πd=2πr 3． 求圆柱的表面积三步：（1）圆柱的底面积=S 底=πr²=π（d÷2）²=πd²÷4（2）圆柱侧面积=S 侧=h×C 底（底面圆周长）=2πrh=πdh （3）圆柱表面积=S 表=S 侧+2S 底圆柱体积的公式 圆柱的体积=底面积×高 字母表示：V 柱=S 底h 圆锥体积的公式（1） 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的1/3 V 锥=V 柱÷3=S 底h÷3 （2） 已知圆锥底面积（S ）和高（h ），求体积的公式：V 锥=S 底h÷3 （3） 已知圆锥体积（V ）和高（h ），求底面积的公式：S 底=3V 锥÷h （4） 已知圆锥体积（V ）和底面积（S ），求高的公式：h=3V 锥÷S 底板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5例题精讲圆柱与圆锥【例 2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例 3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【例 6】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm．(π取3.14)第2题【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=)【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【例 10】(2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【巩固】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm【例 11】(第四届希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【例 12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A盒注满水，把A盒的水倒入B盒，使B盒也注满水，问A盒余下的水是多少立方厘米？【例 13】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【例 14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【例16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【例17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【例18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【例19】一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？【例20】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．【例21】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【例 22】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【例23】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．板块二旋转问题【例 24】如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将ABC∆∆绕AC旋转一周，求ABC 扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CB A 【例 25】已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【巩固】如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【例 26】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)AB【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？BA。

圆柱和圆锥的面积公式圆柱和圆锥是我们日常生活中常见的几何体。

在数学中，我们经常需要计算它们的面积，以便更好地理解它们的性质和应用。

本文将介绍圆柱和圆锥的面积公式，并探讨一些有趣的应用。

一、圆柱的面积公式圆柱是一个由两个平行圆面和一个侧面组成的几何体。

其中，平行圆面的半径相等，侧面是一个矩形，其长为圆柱的高，宽为两个平行圆面的周长之和。

我们可以用下面的公式来计算圆柱的表面积：表面积 = 2πr + 2πrh其中，r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高。

这个公式很容易理解，我们可以想象把圆柱展开成一个矩形，然后计算矩形的面积。

其中，矩形的长是圆柱的高，宽是两个平行圆面的周长之和。

而平行圆面的面积分别是πr，因此圆柱的表面积就是2πr + 2πrh。

二、圆锥的面积公式圆锥是一个由一个圆锥面和一个底面组成的几何体。

其中，圆锥面是一个斜面，其侧棱是圆锥的高，底面是一个圆。

我们可以用下面的公式来计算圆锥的表面积：表面积 = πr + πrl其中，r是圆锥底面的半径，l是圆锥的斜高。

这个公式也很容易理解，我们可以想象把圆锥展开成一个扇形和一个圆，然后计算扇形和圆的面积。

其中，扇形的面积是πr/2，而圆的面积是πr，因此圆锥的表面积就是πr + πrl。

三、应用圆柱和圆锥的面积公式在日常生活中有很多应用。

例如，我们可以用圆柱的面积公式来计算一个罐装饮料的包装面积，以便更好地设计包装。

我们也可以用圆锥的面积公式来计算一个冰淇淋锥筒的表面积，以便更好地制作。

此外，圆柱和圆锥的面积公式在工程和建筑等领域也有广泛的应用。

例如，在制造一个油罐或水塔时，我们需要计算圆柱的表面积以确定所需的材料。

在建造一个锥形的建筑物或标志时，我们需要计算圆锥的表面积以确定所需的涂料或其他材料。

总之，圆柱和圆锥的面积公式是数学中的基本公式之一，具有广泛的应用。

通过学习这些公式，我们可以更好地理解它们的性质和应用，并在实际生活和工作中更好地应用它们。

圆柱体积：V=底面积×高或V=1/2侧面积×高圆锥体积：V=底面积×高÷3圆柱侧面积：S侧=底面周长×高圆柱表面积：S表=侧面积+2个底面积圆柱体积：V=sh圆锥体积：V=sh÷3圆柱侧面积：S=ch/2πrh/πdh圆柱表面积：s=ch+2πr²圆柱体侧面积=底面周长×高圆柱体的表面积=2个底面积+1个侧面积圆柱体的体积=底面积×高（Sh）圆柱体的底面积=圆的面积（πr×r）或（π(d÷2）×(d÷2)）圆锥底面积=圆的面积（πr×r）或（π(d÷2）×(d÷2)（只有一个底面）体积=1/3×与它等底等高的圆柱体积=1/3×底面积×高=1/3sh（圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3）说明：“r”是圆的半径,“d”是圆的直径,在同圆或等圆中,r是d的1/2,d是r的2倍,“S”是面积,“h”是高.一个物体所有面的面积之和叫做它的表面积.一个物体所占空间的大小,叫做这个物体的体积.一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3,一个圆柱的体积等于一个与它等底等高的圆锥的体积的3倍. 圆的面积或底面积π×1×1=3.14π×2×2 =12.56π×3×3 =28.26π×4×4 =50.24π×5×5 =78.5π×6×6 =113.04π×7×7 =153.86π×8×8 =200.96π×9×9 =254.34π×10×10 =314。

圆、圆柱、圆锥的计算公式
圆的周长=圆周率x直径
=圆周率x半径x2 c=πd c=2 πr
圆的面积=圆周率x半径的平方s=πr²
圆柱的侧面积=底面周长x高
=圆周率x直径x高
=圆周率x半径x2x高S=ch =πdh =2 πrh
圆柱的表面积=侧面积+底面积x2
=圆周率x直径x高+底面积x2
=圆周率x半径x2x高+底面积x2 S=ch+2πr²
=πdh+2πr²=2 πrh+2πr²
圆柱的体积=底面积x高
=圆周率x半径的平方x高v=sh =πr²h
圆锥的体积=底面积x高÷3
=圆周率x半径的平方x高÷3 v=sh÷3 =πr²h÷3
长方体的体积=长x宽x高
长方体的表面积=（长x宽+长x高+宽x高）x2 v=sh=abh
s=(ab+ah+bh) x2
正方体的体积=棱长x棱长x棱长正方体的表面积=棱长x棱长x6 v=sh=aaa=a³s=a²x6。

圆柱和圆锥的表面积问题，需要考虑它们的底面积、侧面积以及高度的关系。

对于同底同高的圆柱和圆锥，它们的体积比为3:1，这是一个很重要的特征。

下面我们来详细讨论这个问题。

首先，圆柱的表面积由两个底面积（圆）和一个侧面积（矩形）组成。

圆柱的底面积由一个半径为r的圆构成，因此其表面积为两个圆面积加上一个矩形侧面积，即：圆柱表面积= 2πr^2 + 2πrh圆锥的表面积则由一个底面积（圆）和一个侧面展开图构成。

圆锥的底面积同样由一个半径为r的圆构成，而侧面展开图是一个扇形，其半径为圆锥的母线l。

因此，圆锥的表面积为：圆锥表面积= πr^2 + πrl如果两个形状是同底同高的，那么它们的侧面积（圆柱）或母线（圆锥）的高度是一样的。

这意味着我们可以将上述公式中的h或l替换为h。

现在，我们来考虑同底同高的情况。

假设圆柱和圆锥的底面积相同（即πr^2），并且它们有相同的高度h。

在这种情况下，圆柱的表面积将是圆锥表面积的两倍，加上一个矩形的高度h。

所以我们可以得到：圆柱表面积= 2 ×圆锥表面积+ 2πrh那么圆柱和圆锥的表面积应该相等吗？由于我们考虑的是同底同高的情况，圆柱和圆锥的体积比为3:1，因此它们的表面积比应该为3:1。

这意味着圆锥的表面积是圆柱的一半，加上一个矩形的高度h。

因此我们可以得到：πr^2 + πrl = πr^2 / 2 + 2πrh这等价于l = 3h。

这意味着当圆柱和圆锥有相同的底面和高度时，它们的表面积相等。

也就是说，当两个形状有相同的体积时，它们的表面积应该相等。

那么如果底面不同呢？如果两个形状的底面不同，那么它们的表面积仍然会因为高度相同而相等。

因为底面半径的大小不会影响侧面的形状和大小，只会影响底面的大小。

所以即使底面不同，只要高度相同，它们的表面积仍然会相等。

总结一下，对于同底同高的圆柱和圆锥，它们的表面积比为3:1（底面积相同的条件不影响表面积比较），这正是我们在实际情况中经常观察到的现象。

一圆柱的面积的计算公式（说明：C 表示底面圆的周长，d 底面圆的直径，r 底面圆的半径，h圆柱的高）
圆柱的侧面积s＝ch(直接计算) 圆柱表面积：
＝2πrh(利用半径)
＝πdh(利用直径)
例题：一张长方形铁皮，长12.56分米，宽6.28分米。

用这张铁皮卷成一个
圆柱形铁皮水桶的侧面，另配一个底面制成一个水桶。

做这个水桶共用去多少铁皮？（接头处和铁皮厚度忽略不计）怎样做材料最省材料？怎样做容积最大？
二圆柱的体积：用字母表示为：。

例2、工厂用如下图的长方形铁皮，制作易拉罐，根据
图中的数求这个易拉罐的体积。

例4、有一个高为8厘米，容积为50毫升的圆柱形容器A里面装满
了水。

现把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B沉到水底，这时一部
分水从容器中溢出。

当把B从A中拿起后，A中的水高度为6厘米，
求圆柱体B的体积。

字母表示为：
例1、一个圆锥形沙堆，底面半径1米，高4.5分米，用这堆沙在5米宽的公路上铺2厘米厚路面，可以铺几米？。

圆柱和圆锥的面积公式圆柱和圆锥是初中和高中数学中常见的基本几何体。

在计算它们的表面积时，我们需要了解它们的结构特点和公式，本文将详细介绍圆柱和圆锥的面积公式，并提供相关例题解析。

一、圆柱的面积公式圆柱可以看作是由两个平行的相等圆面和一个连接它们的矩形面组成的几何体。

因此，圆柱的表面积由圆面积和矩形面积两部分组成。

1. 圆面积公式圆面积公式为S = πr²，其中 S 表示圆面积，π 是圆周率（取近似值为3.14），r 是圆的半径。

在圆柱的表面积计算中，需要计算两个相等的圆面积，因此圆柱的圆面积公式为：S₁ = πr² + πr² = 2πr²。

2. 矩形面积公式在圆柱的表面积计算中，需要计算连接两个圆的矩形面积。

该矩形的长为圆的周长（C = 2πr），宽为圆柱的高（h），因此矩形面积公式为：S₂ = Ch = 2πrh。

综上所述，圆柱的表面积公式为：S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)二、圆锥的面积公式圆锥可以看作是由一个圆锥底面和一条连接圆锥顶点和底面圆心的直线（即母线）组成的几何体。

因此，圆锥的表面积由锥底圆面积、锥侧面积和锥母线所构成的扇形圆台的表面积三部分组成。

1. 锥底圆面积公式锥底圆面积公式与圆面积公式相同，即 S₁ = πr²，其中 S₁表示锥底圆面积，π 是圆周率，r 是锥底圆的半径。

2. 锥侧面积公式锥侧面积由锥母线和锥侧面所构成的扇形面积组成，因此锥侧面积公式为：S₂ = πrs，其中 r 表示锥底圆的半径，s 表示锥母线的长度。

在计算锥母线时，我们可以使用勾股定理，即锥母线的长度等于底面半径和斜高的平方和的平方根。

因此，我们可以得到下列公式：s = √(r² + h²)其中 h 表示圆锥的高。

3. 锥母线所构成的扇形面积公式在圆锥的表面积计算中，我们还需要考虑由锥母线所构成的扇形圆台的表面积。

圆柱体与圆锥体的计算方法圆柱体和圆锥体是几何学中常见的立体图形。

在进行计算时，我们需要掌握一些基本的计算方法，以便求解其体积、表面积和侧面积等相关参数。

下面将详细介绍圆柱体和圆锥体的计算方法。

一、圆柱体的计算方法圆柱体是由一个底面为圆形的圆筒和两个平行于底面的圆盖组成的立体。

求解圆柱体的体积、表面积和侧面积等参数时，我们需要以下一些计算方法：1. 圆柱体的体积计算方法圆柱体的体积是指圆柱体内部可以容纳的空间大小。

计算圆柱体的体积时，我们需要知道圆柱体的底面半径r和高h。

圆柱体的体积公式如下：V = π * r² * h其中，V表示圆柱体的体积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度。

2. 圆柱体的表面积计算方法圆柱体的表面积是指圆柱体所有表面的总面积。

计算圆柱体的表面积时，我们需要知道圆柱体的底面半径r和高h。

圆柱体的表面积公式如下：S = 2 * π * r² + 2 * π * r * h其中，S表示圆柱体的表面积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h 为圆柱体的高度。

3. 圆柱体的侧面积计算方法圆柱体的侧面积是指圆柱体侧边的面积。

计算圆柱体的侧面积时，我们需要知道圆柱体的底面半径r和高h。

圆柱体的侧面积公式如下：A = 2 * π * r * h其中，A表示圆柱体的侧面积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h 为圆柱体的高度。

二、圆锥体的计算方法圆锥体是由一个底面为圆形的圆锥和一个连接底面中心与顶点的侧面组成的立体。

求解圆锥体的体积、表面积和侧面积等参数时，我们需要以下一些计算方法：1. 圆锥体的体积计算方法圆锥体的体积是指圆锥体内部可以容纳的空间大小。

计算圆锥体的体积时，我们需要知道底面圆的半径r和圆锥体的高h。

圆锥体的体积公式如下：V = (1/3) * π * r² * h其中，V表示圆锥体的体积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h为圆锥体的高度。

2. 圆锥体的表面积计算方法圆锥体的表面积是指圆锥体所有表面的总面积。

8． 3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学习指导核心素养1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式．2.能用表面积和体积公式解决简单的实际问题．直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．[学生用书P75]1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πr (r ＋l ) 圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πr (r ＋l ) 圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )2.圆柱、圆锥、圆台的体积 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高).3．球的表面积和体积 表面积：S ＝4πR 2． 体积：V ＝43πR 3．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 提示：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝rS 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 2．球面能展开成平面图形吗？ 提示：不能展开成平面图形．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱的侧面面积等于底面面积与高的积．( )(2)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环．( ) (3)决定球的大小的因素是球的半径．( )(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．若圆锥的底面半径为3 ，高为1，则圆锥的体积为( ) A ．π3B ．π2C ．πD ．2π答案：C3．若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8π D ．4π解析：选D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.4．圆柱的侧面展开图是长 12 cm ，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A ．288π cm 3B ．192πcm 3C ．288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3解析：选 C ．当圆柱的高为 8 cm 时， V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π 2×8＝288π (cm 3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π 2×12＝192π(cm 3). [学生用书P75]探究点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 [问题探究]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？探究感悟：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( ) A ．40π B ．36π C ．26πD ．20π(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π【解析】 (1)圆锥的母线l ＝32＋42 ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B.(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋（R －r ）2 ＝（4r ）2＋（3r ）2 ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选C.【答案】 (1)B (2)C圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．1．若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( ) A ．9π B ．12π C ．272πD ．454π解析：选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h ＝2r ＝3，所以圆柱的侧面积为2πr ·h ＝9π.2.如图，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5，BC ＝16，AD ＝4，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．解：以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD ＝4，圆锥的母线长CD ＝13，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.探究点2 圆柱、圆椎、圆台的体积(2021·贵州安顺高二期末)若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，求该圆锥的体积．【解】 设圆锥底面半径为r ，则由题意得2πr ＝120180·π·3，解得r ＝1.所以底面面积为S ＝πr 2＝π. 又圆锥的高h ＝32－12 ＝22 ，故圆锥的体积V ＝13 Sh ＝13 ×π×22 ＝223π.求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( ) A ．233 πB ．2 3C ．736πD ．733π解析：选D.S 1＝π，S 2＝4π，所以r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R )l ，所以l ＝2，所以h＝3 .所以V ＝13 π(1＋4＋2)×3 ＝733π.故选D.2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )A ．1B ．12C ．32D ．34解析：选D.设圆柱底面圆半径为R ，圆锥底面圆半径为r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，所以r ＝2R ，所以V 柱∶V 锥＝πR 2h ∶13πr 2h ＝3∶4，故选D.探究点3 球的表面积与体积 [问题探究]用一个平面去截球体，截面是什么形状？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？ 探究感悟：用一个平面去截球体，截面是圆面．在不过球心的截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．其关系为R 2＝d 2＋r 2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π3B ．32π3C ．8πD ．82π3【解析】 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1 ，所以截面圆的面积为S ＝π(R 2－1 )2＝(R 2－1)π＝π，所以R 2＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选C. 【答案】 C(1)球的表面积和体积的求解关键因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．(2)球的截面问题的解题技巧①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． ②解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.1．(2021·江苏徐州高一期中)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163 πB ．323 πC ．643πD ．2563π解析：选B.设这个球的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积V ＝43 πR 3＝323π.故选B. 2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积之和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积之和为 43 πR 3＋43 πr 3＝364π3 .答案：364π3探究点4 与球有关的切、接问题(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．(2)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【解析】 (1)长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32 ＝14 ，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π.(2)设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2 ＝πr 2·2r 43πr 3 ＝32.【答案】 (1)14π (2)32(1)常见几何体与球的切、接问题的解题策略①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(2)几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π6解析：选A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43 ×π×13＝4π3.[学生用书P77]1．已知圆柱的底面半径r ＝1，母线长l 与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．9πD ．10π解析：选A.因为圆柱的表面积为2πr 2＋2πrl ，r ＝1，l ＝2，所以圆柱的表面积为6π.故选A.2．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( ) A ．8倍 B ．4倍 C ．22 倍D ．2倍解析：选C.球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的2 倍，所以球的体积扩大为原来的22 倍．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B ．73 πa 2C ．113πa 2D ．5πa 2解析：选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23 ×32 a ＝33 a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2 ＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712 a 2，故 S 球＝4πR 2＝73 πa 2.4．已知圆台上、下底面半径分别为1，2，高为3，则圆台的体积为__________． 解析：由公式知V 圆台＝13 π(1＋2＋4)×3＝7π.答案：7π5．如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的体积．解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23 ，圆柱的底面半径为1，高为3 .所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V 旋转体＝13 ×π×22×23 －π×12×3 ＝533 π，故所求旋转体的体积为533π. [学生用书P217(单独成册)][A 基础达标]1．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，现以AB 所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为( )A ．24πB ．21πC ．33πD ．39π解析：选A.因为在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，所以△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，故以AB 所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为12 ×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π.故选A.2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2 ∶3D ．8 ∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3 ∶⎝⎛⎭⎫43πR 3 ＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.3．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是( )A ．圆柱的侧面积为2πR 2B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2解析：选CD.依题意得球的半径为R ，则圆柱的侧面积为2πR ×2R ＝4πR 2，所以A 错误；圆锥的侧面积为πR ×5 ·R ＝5 πR 2，所以B 错误；球面面积为4πR 2，因为圆柱的侧面积为4πR 2，所以C 正确；因为V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13 πR 2·2R ＝23 πR 3，V 球＝43 πR 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23 πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2，所以D 正确．故选CD.4．将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ) A ．524 πR 3 B ．58 πR 3 C ．324πR 3 D ．38πR 3 解析：选C.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝πR ，所以r ＝R2 .所以圆锥的高h ＝R 2－r 2 ＝32R . 所以圆锥的体积V ＝13 πr 2×h ＝13 π(R 2 )2×32 R ＝324πR 3.故选C.5．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝πr 2＝π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝2S底＋S 侧＝6π.答案：6π7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即圆锥的底面直径为2.答案：28.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm.解析：设铁球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43 πx 3×3，解得x ＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43 πr 3＋πr 2l ＝43 π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为rR ＝H －x H，所以r ＝R －RH x ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR Hx 2(0<x <H ). (2)因为－2πRH<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2 时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．[B 能力提升]11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323 π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．963B ．163C ．243D ．483解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43 πr 3＝323 π，得r ＝2.由S 柱底＝12 a ×r ×3＝34 a 2，得a ＝23 r ＝43 ，所以V 柱＝S柱底·2r ＝483 .12．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( )A ．8327 πB ．4327 πC ．16327πD ．32327π解析：选D.由题意，设球的半径为r ，作出玻璃杯的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的等边三角形，此等边三角形的高h ＝23 .根据中心(重心)的性质可得，球的半径r ＝13 h ＝233 ，所以球的体积V ＝43 πr 3＝43 π×⎝⎛⎭⎫233 3 ＝32327 π.即溢出溶液的体积为32327π，故选D.13.(多选)如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，下列说法正确的是( )A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π解析：选AD.以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为13 ×π×32×4＝12π，所以A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为13×π×42×3＝16π，所以C 错误；D 正确．故选AD.14．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD -A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403.(1)求棱AA 1的长；(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积和体积．解：(1)设AA 1＝x ，依题意可得403 ＝2×2·x －13 ×12 ×2×2·x ，解得x ＝4，故棱AA 1的长为4.(2)依题意可知， 经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，所以球的直径2R ＝22＋22＋42 ＝26 ，解得R ＝6 .故所求球的表面积为4πR 2＝24π，体积为43·πR 3＝86 π.[C 拓展探究]15．如图，用一边长为2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为4π3 的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为( )A ．62 ＋32 B ．32C ．22 ＋32D ．32 ＋32解析：选D.由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为4π3 ，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为1－⎝⎛⎭⎫122 ＝32 ，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为12，所以球的最高点与“底座”底面的距离为32 ＋1＋12 ＝32 ＋32.故选D. 16.如图，四边形ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，求图中 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积之比．解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉Ⅰ生成的圆锥，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球.设正方形的边长为 a ，则Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积分别为 V Ⅰ，V Ⅱ，V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13 πa 3，V Ⅱ＝12 ×43 πa 3－13 πa 3＝13 πa 3，V Ⅲ＝πa 3－12 ×43 πa 3＝13πa 3.所以三部分经旋转所得几何体的体积之比为1∶1∶1.。