第三章 函数图像与抽象函数,函数模型

专题复习：抽象函数一、知识要点函数是高中数学和高考的重要内容，而抽象函数（不带解析式的函数）往往与函数的奇偶性、单调性、周期性、函数图象的对称性及凹凸性等诸多性质联系在一起，以它抽象、多变和难以理解等特征成为函数的重点和难点内容．解决抽象函数问题，可以将它与学过的具体函数联系起来，“化抽象为具体”，寻求函数方程的变化方向，但要处理好特殊与一般的关系；适当的“赋值法”也是得到一些基础结论的好方法． 1．常见的抽象函数与相应模型函数2．函数的“五性” （1）奇偶性对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． （2）单调性一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数． （3）周期性对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+成立，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期．（4）函数图像的对称性①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-⇔()()f a x f a x -=+；②函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称⇔()(2)2f x f a x b +-=⇔()()2f a x f a x b -++=．（5）函数图像的凹凸性①函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凹函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++<； ②函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凸函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++>． 二、例题解析例1．若函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+成立， 已知(8)4f =，求(2)f 的值．例2．已知函数()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，试判断()f x 有在(,0)-∞上的 单调性，并证明你的结论．例3．若函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且()f x 的图像关于直线(0)x a a =>对称． 求证：()f x 是周期函数．例4．)(x f 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对一切0,0x y >>都有等式)()()(y f x f yx f -=成立．（1）求)1(f 的值； （2）若1)2(=f ，解不等式2)1()3(<-+xf x f ．例5．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，且0)1(>=a f ．（1）求1()2f 和1()4f 的值； （2）证明：)(x f 是周期函数．例6．已知定义在R 上函数()y f x =满足：()0f x ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈， 都有()()()f a b f a f b +=．（1）证明：(0)1f =； （2）证明：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）证明：函数()y f x =是R 上的增函数； （4）解不等式2()(2)1f x f x x ->．三、巩固练习1．已知(21)y f x =+是偶函数，则函数(2)y f x =图像的对称轴为（ ）A ．1x =B ．21=x C ．21-=x D ．1-=x 2．已知定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的函数)(x f 是偶函数，并且在(,0)-∞上为增函数， 若0)3(=-f ，则0)(<xx f 的解集为（ ） A ．(3,0)(3,)-+∞U B ．(3,0)(0,3)-U C ．(3,)+∞ D ．(,3)-∞-3．设()f x 是R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，已知12120,0,||||x x x x <<<，那么（ ）A ．12()()f x f x -<-B ．12()()f x f x ->-C ．12()()f x f x -=-D ．1()f x -与2()f x -大小不定4．已知)(x f 在区间(,)-∞+∞上是增函数，若,a b R ∈，且0≤+b a ，则下列式子中正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 5．若函数)(x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对于任意的x R ∈，都有)()4(x f x f =+；②对于[0,2]内任意12,x x ，若21x x <，则有12()()f x f x <； ③函数)(x f y =的图象关于y 轴对称．则)5.4(f ，(6.5)f ，)7(f 的大小顺序是____________________．6．定义在R 上的函数()f x 满足11()()222f x f x ++-=，则127()()()888f f f +++=L ________． 7．已知()f x 是定义在R 上的函数，且[](1)1()1()f x f x f x +-=+，(1)3f =， 则(2)f =__________，(2005)f =____________．8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且(2)()f x f x +=，当01x ≤≤时，有()f x x =， 则(3.5)f =__________．9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，又22(21)(321)f a a f a a ++<-+， 求实数a 的取值范围．10．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对任意的,a b R ∈都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)0(f ，)1(f 的值； （2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论．11．已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，且对任意的,(1,1)x y ∈-，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+． 证明：()f x 在(1,1)-上是奇函数．小结：随着高考研究的不断深入，高等数学知识的“下放”，抽象函数的题型将会增加，只要我们深刻理解函数的定义域、值域、对应法则“f ”的含义，把握住题设条件，运用函数的四性和题目涉及的有关知识，借助变量代换，取特殊值，递推归纳，广泛联想，化归转化等，就能顺利地制定出解答策略来．专题复习：抽象函数例习题答案二．例题解析例1．解：因为(8)2(4)4(2)f f f ==，所以1)8(41)2(==f f . 例2．证明：任取021<<x x ，则120x x ->->，因为)(x f 在),0[+∞是增函数，且)(x f 是偶函数，所以12()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，因此)(x f 在(,0)-∞上是减函数．例3．证明：由于)(x f 关于直线a x =对称，所以)2()(x a f x f -=．由)(x f 是R 上的奇函数， 所以)2()()(x a f x f x f +=-=-，所以)2()2()2(a x f x a f x a f -=--=+， 则(4)()f a x f x +=，即)(x f 是以4a 为周期的函数．例4．解：（1）因为(1)()()()0xf f f x f x x==-=，所以(1)0f =； （2）因为4()(4)(2)2f f f =-，(4)2(2)2f f ==，所以由题意可得：)4()]3([)1()3(f x x f x f x f <+=-+，即3010(3)4x xx x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解之得：01x <<，所以，原不等式的解集为 {01}x x |<<．例5．（1）解：因为21(1)()02f f a ==>，211()()24f f =，211()()48f f =，所以1()2f =，1()4f =（2）证明：因为)(x f 关于直线1=x 对称，所以)()2(x f x f =-， 由于)(x f 在R 上是偶函数，所以，)2()()(x f x f x f -==- 即)()2(x f x f =+，所以)(x f 是以2为周期的函数．例6．（1）证明：令0a b ==得：2(0)(0)f f =，又()0f x ≠Q ，(0)1f ∴=； （2）证明：当0x >时，()10f x >>；当0x =时，()10f x =>； 令,a x b x ==-得：(0)()()1f f x f x =-=，所以1()()f x f x -=，当0x <时，0x ->，得到()10f x ->>，所以1()0()f x f x =>-， 即当0x <时，也有()0f x >；综合可知：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；（3）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，所以21()1f x x ->， 令21,a x b x ==-得：221211()()()()1()f x f x x f x f x f x -=-=>，又()0f x >， 所以12()()f x f x <，即函数()y f x =是R 上的增函数；（4）解：由已知，不等式2()(2)1f x f x x ->等价于2[(2)]1(0)f x x x f +->=， 因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以22(2)30x x x x x +-=->， 解之得：03x <<，所以原不等式的解集为{03}x x |<<．三．巩固练习答案1．B 2．A 3．B 4．B 解析：1．将函数(21)f x +的图象向右平移12个单位，得到函数(2)f x 的图象． 2．利用函数图像，结合函数单调性和偶函数的性质．3．2121210,0x x x x x x ->-<<<有，，且)(x f 在),0+∞（上是减函数． 4．由a b b a -≤-≤有,。

高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y=kx
x+y=f x+f y,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
当x>0时，f x<0
1证明：f 0=0;
2证明：函数f x为奇函数；
3证明：函数f x在R上为减函数.
模型二：一次函数模型y=kx-c
x+y=f x+f y+c,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
且当x>0时，f x>-c
1证明：f 0=-c;
2证明：函数g x=f x+c为奇函数；
3证明：函数f x在R上为增函数.
模型三：指数函数模型y=a x
已知定义域为R的函数f x对任意的实数x,y∈R均有x+y=f x f y,且当x<0时，f x>1
f
1证明：f 0=1;
2证明：当x>0时，有0<f x<1;
3证明：函数f x在R上单调递减
模型四：对数函数模型y=log a x
0,+∞均有0,+∞上的函数f x对任意的x,y∈
已知定义在
xy=f x+f y,且当x>1时，f x>0
f
1证明：f 1=0;
2证明：当0<x<1时，f x<0;
0,+∞上为增函数.
3证明：函数f x在
模型五：幂函数模型y=xα
0,+∞上的函数f x对任意x,y∈R均有已知定义在
xy=f x f y,且当x>1时，f x>1
f
1证明：f 0=0;
0,+∞上单调递增.
2证明：函数f x在。

-函数模型及其应用(人教A版必修1)
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
天数
回报/元
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个 模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总 的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三 个模型是否符合公司要求即可.

函数图像和抽象函数一、函数的图象和性质()（）一次函数：10y kx b k =+≠(k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点)()0）反比例函数：2（≠=k xky ()（）二次函数图象为抛物线30244222y ax bx c a a x b a ac b a=++≠=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+- a bx a b ac a b 2，对称轴44，2顶点坐标为2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 开口方向：，向上，函数a y ac b a>=-0442mina y acb a<=-0442，向下，max1212122,,||b x ab c x x x x x x a a -=+=-⨯=-=根的关系：2212121212()()()()(m n ()()()(,2()()()(,)(,)f x ax bx c f x a x m n f x a x x x x x x f x a x x x x h x h x h =++=-+=--=--+二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 20020++=⇔≥->>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∆()一根大于k0m n 22()0()0m n ()()0b m n af m f n f m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩⇔<在区间（，）内有根在区间（，）内有1根 ()（）指数函数：，401y a a a x =>≠ ()（）对数函数，501y x a a a =>≠log二、基本运算指数运算：，a a aa a pp1010=≠=≠-(()) aa a aaa m nm n m nmn=≥=>-((010))，()l o g ()l o g l og 00a a a M N M N M N ⨯=+>>对数运算：， l o g l o g l o g l o g l o g aa a a na M N M N M nM =-=，1 对数恒等式：a x a x log =l o g l o g l o g l og l o g 1l o g l o g mn c a a a cax b n b b b a m x a=⇒==对数换底公式：幂函数y=x a (a 为常数）例如函数y=x 、y=x 2、y=1/x （注：y=1/x=x -1等都是幂函数，而y=2x 、y=x 2-x 等都不是幂函数。