泛函分析课程教学大纲

泛函分析（科）一、课程说明课程编号：130911Z10课程名称（中/英文）：泛函分析（科）/Functional Analysis课程类别：专业核心课学时/学分：88/5.5先修课程：数学分析、高等代数、实变函数适用专业：数学科学班教材、教学参考书：《泛函分析》江泽坚孙善利，高等教育出版社，2005；《泛函分析讲义》（上册）张恭庆林源渠，北京大学出版社，1995.二、课程设置的目的意义泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间满足各种代数和拓扑条件的映射的分支学科。

它是从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。

它已成为现代纯粹数学和应用数学研究和应用的基础,在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用。

这门课程旨在引导相关专业的学生初步进入这一领域；培养学生对数学分析、拓扑学、代数等知识的综合运用能力；为进一步学习研究现代数学打下良好基础.三、课程的基本要求泛函分析是数学各专业的核心课程之一。

通过本课程的学习，学生应该理解泛函分析的基本思想；掌握度量空间、赋范线性空间、有界线性算子，内积空间，算子的谱等基本概念；掌握Hilbert空间和Banach空间的基本理论。

四、教学内容、重点难点及教学设计注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求共计安排24学时的习题课，用以讲解与讨论每一章节课后的练习题。

其中，一部分为基础练习题，目的是加深对于基本概念的理解，促使掌握基本原理的典型运用；一部分为拓展练习题，目的是对课堂讲解内容作适度的补充以及延伸。

六、考核方式及成绩评定七、大纲主撰人：大纲审核人：。

泛函分析教学大纲第一篇：泛函分析教学大纲一、教学目的通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。

二、教学重点线性算子的谱及分类，全连续算子。

三、教学难点紧集和紧线性算子的谱。

四、讲授要求通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。

五、讲授要点谱集及分类，有界线性算子谱的性质，紧集合全连续算子，紧线性算子的谱。

第二篇：泛函分析教学大纲课号：218.116.1泛函分析教学大纲(Functional Analysis)学分数 3 周学时 4一.说明1.课程名称: 泛函分析(一学期课程)，第五学期(3+1)*18=72.2.教学目的和要求:(1)课程性质: 本课程是数学系专业基础课, 为数学系本科三年级学生所必修。

(2)基本内容: 本课程主要内容: 度量空间中点集分析，赋范空间上算子与几何，内积空间中几何与算子，线性算子谱理论。

(3)基本要求: 通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。

3.教学方式: 课堂授课。

4.考试方式: 考试。

5.教材: 《泛函分析》讲义，郭坤宇，徐胜芝编参考书: 《实变函数与泛函分析》夏道行等编, 高等教育出版社。

二.讲授纲要第一章度量空间中点集分析1.1 度量空间(3学时)1.2 度量拓扑(2学时)1.3 数值函数(2学时)1.4 紧~~~与极值(2学时)1.5 贝尔纲论(3学时)1.6 函数空间(2学时)本章要求: 通过学习度量空间的基本点集理论, 读者应能熟悉紧集与其应用, 熟悉纲理论及其应用, 掌握映射的连续性与数值函数的上半连续与下半连续性及其特征.第二章赋范空间上算子与几何有界线性算子(3学时)连续线性泛函(3学时)弱收敛与共轭(2学时)一致有界原理(2学时)开映射与闭算子(3学时)凸集与超平面(2学时)本章要求: 通过学习有界线性算子的基本理论, 读者应能掌握线性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析与几何上的应用;一致有界原理及其应用;开映射原理与闭图像定理的应用等.第三章内积空间上几何与算子内积空间(2学时)共轭算子(2学时)投影算子(2学时)基与维数(2学时)赋范代数(2学时)本章要求: 通过学习内积空间的几何, 掌握投影定理与投影算子的应用,直交基的确立及其应用.第四章线性算子谱理论正则点与谱点(3学时)紧算子谱分析(3学时)有界正规算子(2学时)无界线性算子(2学时)谱测度与积分(3学时)指标理论初步(2学时)本章要求: 通过学习线性算子谱理论, 读者应能计算一些典型线性算子如单向平移和乘法算子等的谱, 提高利用Gelfand谱理论分析谱的能力, 掌握正规算子谱分解及其应用, 能分析紧算子的谱并掌握Fredholm算子指标的应用.第三篇：泛函分析1.设(X,d)为距离空间。

泛函分析教学大纲一、课程概述泛函分析是数学的一个重要分支，它集合了线性代数、函数分析和拓扑学的方法和理论，用于研究无限维空间中的函数类和算子。

本课程旨在介绍泛函分析的基本概念、理论和应用，培养学生的抽象思维和数学推理能力。

二、教材主教材：《泛函分析导论》（第三版）- Walter Rudin辅助教材：《实变函数与泛函分析》- 杨维明、李荣华三、教学目标1. 了解泛函空间的基本概念和性质，如：范数、完备性、可分性等。

2. 掌握泛函分析中的重要定理和结论，如：泛函的极值问题、开映射定理、闭图像定理等。

3. 理解并应用泛函分析在数学及其他学科中的实际应用，如：泊松方程、最小二乘法等。

4. 培养学生的抽象思维和数学推理能力，培养学生对数学问题的分析和解决能力。

四、教学内容及安排1. 范数空间- 定义和基本性质- 例子：赋范空间、Banach空间、Hilbert空间等 2. 泛函空间- 定义和基本性质- 例子：连续函数空间、L^p空间、Sobolev空间等 3. 算子理论- 线性算子和有界算子- 特征值和特征向量- 正规算子和紧算子4. 泛函分析中的重要定理- Hahn-Banach定理及其几何意义- 开映射定理和闭图像定理- 范数空间上的Riesz表示定理5. 实际应用- 泊松方程及其解的存在性和唯一性- 最小二乘法及其在数据拟合中的应用五、教学方法1. 理论讲授：通过讲解、演示和示例分析，系统介绍各个概念、定理和方法。

2. 习题训练：针对不同内容和难度的习题，培养学生的问题解决能力和思维灵活性。

3. 实例分析：引入相关的实际问题和案例，让学生将抽象的概念和理论与实际问题联系起来，提高应用能力。

六、学时安排本课程总共授课48学时，其中包括理论课、实践课和讨论课等形式。

- 范数空间和泛函空间：6学时- 算子理论：6学时- 泛函分析中的重要定理：8学时- 实际应用：8学时- 综合练习和讨论：12学时- 期末复习和考试：8学时七、教学评价1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况和小测验成绩等。

《泛函分析》教学大纲一、课程概述《泛函分析》是数学专业的研究生核心课程之一，主要介绍泛函空间中线性算子、拓扑空间、紧算子、测度及积分、特征值问题等内容。

本课程的学习目标是让学生掌握泛函分析的基本理论和方法，培养学生独立分析和解决问题的能力。

二、教学目标1.掌握泛函空间的基本概念及性质；2.熟悉线性算子的定义、性质和范数；3.熟练运用拓扑空间的知识进行分析；4.理解紧算子的定义、性质和应用；5.熟悉测度及积分的基本概念和性质；6.能够解决特征值问题并应用于实际问题。

三、教学内容及课时安排1.泛函空间的基本概念与性质（3课时）1.1线性空间的定义和基本性质1.2赋范线性空间的定义和范数1.3内积空间的定义和内积2.线性算子的定义、性质和范数（3课时）2.1线性算子的定义和性质2.2算子的闭图像定理2.3范数的定义和性质3.拓扑空间及其性质（4课时）3.1拓扑空间的概念和性质3.2开集、闭集和邻域的定义3.3连通性、紧性与局部紧性4.紧算子的定义、性质和应用（4课时）4.1紧算子的定义和性质4.2 Arzelà-Ascoli定理4.3 Fredholm算子的性质和应用5.测度及积分的基本概念和性质（4课时）5.1测度的定义和性质5.2积分的定义和性质5.3可测函数的性质和分解6.特征值问题及其应用（4课时）6.1特征值问题的定义和基本性质6.2特征值问题的解法6.3特征值问题在物理和工程学中的应用四、教学方法1.讲授与讨论相结合，理论和实例相结合，拓展学生的思维；2.通过实例分析和讲解提高学生的应用能力；3.鼓励学生进行课外阅读和综合研究，提高学生的自主学习能力；4.组织学生进行小组讨论和展示，提高学生的合作和表达能力。

五、考核方式1.平时表现（10%）：包括课堂参与、作业完成情况等；2.课程论文（30%）：要求学生选择一个泛函分析领域的研究课题进行深入阅读和分析，并撰写一篇学术论文；3.期末考试（60%）：考核学生对泛函分析的理论知识和应用能力。

泛函分析课程教学大纲第一部份前言一、课程基本信息1.课程类别：专业选修课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4.备选的教材：《实变函数与泛函分析基础（第二版）》，程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石编，高等教育出版社，2004.二、课程性质和目标本课程性质是数学与应用数学专业的一门专业选修课。

本课程的教学目的是通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科和从事数学学科的教学打下一定的理论基础。

三、课程学时与学分教学时数： 64 学时学分数： 4 学分教学时数具体分配：第二部份教学内容及其要求第七章度量空间和赋范线性空间1．教学目标：要求学生理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映射、赋范线性空间等概念，并掌握压缩映射原理。

2．.教学重点：压缩映照原理、度量空间、线性赋范空间3．教学难点：稠密集、可分空间4．教学时数5．教学内容纲要第一节度量空间的进一步例子第二节度量空间的极限，稠密集，可分空间一、度量空间中的点列二、某些具体空间中收敛点列三、稠密集与可分空间第三节连续映射一、连续映射的定义二、连续映射的性质第四节柯西点列和完备度量空间一、柯西点列二、完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用一、压缩映射定理二、压缩映射定理应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间一、赋范线性空间二、Banach空间6. 课程资源（1）程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004.（2）郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.（3）胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001。

（4）江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994。

（5）W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.（6）江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994。

泛函分析课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：数学与应用数学本科专业课程代码：14E01525学时分配：54赋予学分：3先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等后续课程：数学物理方程二、课程性质与任务泛函分析是数学与应用数学专业的专业选修课程。

本课程综合了函数论、几何和代数的观点与方法研究无穷维空间上的函数、算子理论，解决了分析学中的诸多问题，是学生进入现代数学学习和研究的最重要专业基础课。

课程的主要任务是：使学生掌握空间和算子的基本概念和理论，进一步提高抽象思维能力和逻辑推理能力，引导学生学会数学研究问题的思想和方法，使用泛函分析的理论解决分析、代数中的问题，培养学生综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法和能力。

三、教学目的与要求通过泛函分析课程的教学，使学生掌握度量空间和赋范线性空间、有界线性算子与连续线性泛函、内积空间和HilberI空间理论、线性算子的谱的基本概念、思想和方法，以及巴拿赫空间中的基本定理。

通过泛函分析课程的教学，应注意培养学生学会数学研究问题的思想和方法，使用泛函分析的理论解决分析、几何和代数中的问题，培养学生综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法和能力。

要求学生对泛函分析方法在数学、物理、经济等学科领域的应用有所了解。

四、教学内容与安排第一章度量空间和赋范线性空间（16学时）1.1度量空间的进一步例子12度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.3连续映射1.4柯西点列和完备度量空间1.5度量空间的完备化1.6压缩映射原理及其应用1.7线性空间1.8赋范线性空间和巴拿赫空间第二章有界线性算子与连续线性泛函（6学时）2.1有界线性算子和连续线性泛函2.2有界线性算子空间和共规空间2.3广义函数大意第三章内积空间和希尔伯特空间（12学时）3.1内积空间的基本概念3.2投影定理3.3希尔伯特空间中的规范正交系3.4希尔特空间上的连续线性泛函3.5自伴算子、酉算子和正常算子第四章巴拿赫空间中的基本定理（14学时）4.1泛函延拓定理4.2 C [a, b]的共枕空间4.3共扼算子4.4纲定理和一致有界性定理4.5强收敛、弱收敛和一致收敛4.6逆算子定理4.7闭图像定理*第五章线性算子的谱（6学时）5.1谱的概念5.2有界线性算子谱的基本性质5.3紧集和全连续算子5.4自伴全连续算子的谱论*可根据学生实际情况选讲五、附录教学参考文献目录1.程其襄张奠宙等编，《实变函数与泛函分析基础》下册，高等教育出版社，2010年2.夏道兴等编，《实变函数论与泛函分析》（第二版）上册，高等教育出版社，1984年3.张恭庆等著，《泛函分析讲义》，北京大学出版社，1990年。

《泛函分析》教学大纲一、课程概述1.1课程名称：泛函分析1.2学分：3学分1.3总学时：54学时（每周3学时，共18周）1.4先修课程：数学分析、线性代数1.5课程性质：必修课程1.6课程教材：《泛函分析导论》（杨宗胜著）、《泛函分析》（顾兆麟著）二、教学目标2.1知识目标掌握泛函空间的基本概念、性质和结构；熟悉泛函的连续性、可分性和完备性的相关理论；学习泛函的一些常用技巧和方法。

2.2能力目标能够利用泛函分析的基本理论解决实际问题；能够运用泛函分析的方法进行数学建模和分析。

三、教学内容3.1泛函空间3.1.1基本概念：范数、内积、赋范线性空间、希尔伯特空间3.1.2基本算子：线性算子、有界线性算子、伴随算子、幂零算子3.1.3 例子和常见空间：有限维空间、无穷维空间、连续函数空间、$L^p$空间、Sobolev空间等3.2连续性与收敛性3.2.1等价范和等度量空间3.2.2函数序列的一致收敛与逐点收敛3.2.3一致收敛对收敛性的影响3.2.4可分性的等价定义3.3完备性与紧性3.3.1 Cauchy序列与完备性3.3.2 Baire范胞定理3.3.3可列并的完备性和范数完备性3.3.4紧性的等价定义3.4泛函空间的结构3.4.1赋范线性空间的线性性质3.4.2收敛序列的性质与特征3.4.3线性算子的开集定理3.4.4可分空间的稠密性3.5一些重要的泛函3.5.1 凸泛函与Legendre-Fenchel变换3.5.2泛函的连续可微性3.5.3范数空间的双共轭空间3.5.4双线性泛函和正交分解四、教学方法4.1讲授教学法：通过教师的讲授和示范，介绍泛函分析的基本概念、理论和技巧。

4.2引导教学法：通过引导学生解决实际问题和讨论习题，培养学生的分析和解决问题的能力。

4.3实践教学法：通过课堂练习、实例分析和泛函分析的应用实例，让学生对泛函分析的方法和技巧有更深入的认识。

五、教学评价方法5.1平时成绩：包括课堂表现、课后作业和小测验成绩等，占总评成绩的40%。

《泛函分析》课程教学大纲一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，72学时，4学分。

二、课程的性质、目的和任务泛函分析是数学专业一门重要的指定选修课，它是以集合论为基础的近代分析数学的一个重要组成部分。

通过课程的学习，使学生了解并进而掌握近代抽象分析的基本内容，扩大学生们通常的三维欧氏空间的视野，加深对数学分析和中学数学的认识和了解。

三、课程教学的基本要求在概要讲述和掌握实变函数中的集合论和欧氏空间中的点集等预备知识的基础上，理解和掌握度量空间的定义，性质及其上度量的特征，熟练掌握度量空间的典型例子；线性赋范空间的定义和性质及典型的Banach空间例子；内积空间的定义和性质；Hilbert空间及其特征；理解线性有界算子(线性连续泛函) 的概念，性质，了解线性算子空间和共朝空间的理论；初步理解和掌握空间中的四大基本定理；泛函延拓定理；一致有界性定理；逆算自定理和闭图象定理；理解线性算子的谱理论初步等。

四、课程的教学内容，重点和难点(-)预备知识1.集合的概念，运算，基数，可数集与不可数集。

2.欧氏空间中的聚点，内点，界点，开集，闭集和完备集等概念和性质。

(-)度量空间1.度量空间的定义及典型例子2.度量空间中的极限，连续映照3. Cauchy点列和完备度量空间4.压缩映照原理及其应用(三)赋范线性空间1.线性空间的定义2.赋范线性空间的定义性质和典型例子3. Banach空间及例子4.有限维赋范线性空间及性质（四）线性有界算子和线性连续泛函1.线性有界算子和线性连续泛函2.线性算子空间和共朝空间（五）内积空间1.内积空间的基本概念，性质，Herbert空间2.投影定理3. Herbert空间上的赋范直交系4. Herberl空间上的线性连续泛函5.自伴算子，酉算子和正常算子（六）Banach空间中的基本定理1.泛函延拓定理，C[a,b]的共舸空间2. 一致有界性定理3.强收敛，弱收敛和一致收敛4.逆算子定理5.闭图象定理（七）线性算子的谱论初步1.谱的概念2.有界线性算子谱的基本性质3.自伴全连续算子的谱论五、课程各教学环节的要求由于本课程概念较多，理论性强，比较抽象，学习时会感到困难，所以在教学过程中的各环节上要注意方法，尽量的多讲一些例子，以帮助学生理解。

“泛函分析”课程教学大纲（本教学大纲按适用专业分（A）、（B）两类）“泛函分析”课程教学大纲（A）课程编号：00834250课程名称：泛函分析英文名称：FunctionalAnalysis课程学分：4课程学时数：64开课学期：春季适用专业：数理学基地班,数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，实变函数一、基本教学目的和任务泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。

泛函分析是大学数学系的一门重要的专业主干基础课。

本课程主要讲述线性泛函分析。

使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。

本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究，使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。

本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用，可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题，为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。

二、课程内容与建议学时本课程的内容包括以下几个部分:绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。

绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念；通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。

内容的前三章侧重于泛函分析中的空间理论,特别是Hilbert空间的几何特征。

第四章介绍了有界线性算子以及有界线性算子空间的概念，系统地讲述Banach空间中的基本定理和它们的应用，即：一致有界原理，开映像定理和闭图像定理。

泛函分析教学大纲泛函分析教学大纲一、课程简介泛函分析是现代数学的重要分支之一，其研究对象为函数空间、算子、无限维空间以及相关概念与性质。

本课程将系统介绍泛函分析的基本理论、方法及其应用。

通过本课程的学习，学生将掌握泛函分析的基本概念、方法和技巧，为进一步学习其他数学课程以及解决实际问题打下坚实的基础。

二、教学目的1、掌握泛函分析的基本概念、方法和技巧；2、理解并掌握函数空间、算子、无限维空间等基本概念及其性质；3、理解并掌握泛函分析中的重要定理及其证明方法；4、能够运用泛函分析的思想和方法解决实际问题；5、培养抽象思维、逻辑推理和数学表达能力。

三、教学内容第一章绪论1、泛函分析的基本概念和发展历程；2、泛函分析的研究对象和基本方法；3、泛函分析的应用领域和重要性。

第二章函数空间基础1、函数空间的定义和例子；2、函数空间的运算和性质；3、连续函数的概念和性质；4、收敛性和完备性。

第三章线性算子和无限维空间1、线性算子的概念和例子；2、线性算子的性质和运算；3、无限维空间的定义和例子；4、无限维空间的性质和运算。

第四章拓扑和代数基础1、拓扑学的概念和基本概念；2、代数的基本概念和性质；3、群、环、域的基本概念和性质。

第五章泛函分析的核心理论1、紧算子和有界线性算子的概念和性质；2、开映射定理和逆算子定理；3、自伴算子和自伴方程；4、谱理论及其应用。

第六章泛函分析的应用1、微分方程和积分方程的泛函分析解法；2、最优化问题的泛函分析方法；3、控制理论的泛函分析方法；4、其他应用领域。

四、教学方法1、采用讲解、示例、练习相结合的教学方法，强调实际应用和实例分析；2、注重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，加强数学表达能力的训练；3、利用多媒体技术辅助教学，提高教学效果。

五、教学评估1、课堂表现：包括提问、回答问题、参与讨论等情况；2、作业：包括课后练习、课堂作业、论文等；3、期中考试：考查学生对基本知识和理论的掌握情况；4、期末考试：全面考查学生对课程内容的掌握情况和应用能力。