指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算
（1）根式的概念 ①如果,,,1n
x
a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次
n
a 当n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n
a
表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n
a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数
时，0a ≥．
n n
a a =；当n 为奇数时，n n a a =；当n (0)|| (0)
n n
a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②
正数的负分数指数幂的意义是：
11
()()(0,,,m
m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0
的负分数指
数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①
(0,,)
r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②
()(0,,)
r s rs a a a r s R =>∈ ③
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
2.1.2指数函数及其性质
函数名称 指数函数
定义
函数
(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 R
值域 （0,+∞）
过定点 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数 在R 上是减函数
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =
函数值的 变化情况
y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0) y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0)
a 变化对
图象影响
在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．
2.1指数函数练习
1．下列各式中成立的一项
（ ）
A ．71
7
7)(m n m
n =
B ．31243)3(-=-
C ．4
343
3)(y x y x +=+
D ．
33
39=
2．化简)3
1
()3)((65
61
3
12
12
13
2b a b a b a ÷-的结果
（ ）
A ．a 6
B ．a -
C ．a 9-
D ．2
9a
3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x
，则下列等式中不正确的是
（ ）
A ．f (x +y )=f(x )·f (y )
B ．)
()
(y f x f y x f =-）
（ C ．)()]
([)(Q n x f nx f n
∈=
D ．)()]([·
)]([)(+∈=N n y f x f xy f n
n
n
4．函数2
10
)
2()5(--+-=x x y
（ ）
A ．}2,5|{≠≠x x x
B ．}2|{>x x
C ．}5|{>x x
D ．}552|{><a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是
1，则底数a 等于
（ ）
A ．
2
5
1+
B ．
2
5
1+- C ．
2
5
1± D ．
2
1
5± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax
=的图象只可能是 （ ）
7．函数|
|2)(x x f -=的值域是
（ ） A ．]1,0(
B ．)1,0(
C ．),0(+∞
D ．R
8．函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-=-0
,0
,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围
（ ） A ．)1,1(-
B ． ),1(+∞-
C ．}20|{-<>x x x 或
D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数2
2)2
1(++-=x x y 得单调递增区间是
（ ） A ．]2
1,1[-
B ．]1,(--∞
C ．),2[+∞
D ．]2,2
1
[ 10．已知2
)(x
x e e x f --=，则下列正确的是
（ ）
A ．奇函数，在R 上为增函数
B ．偶函数，在R 上为增函数
C ．奇函数，在R 上为减函数
D ．偶函数，在R 上为减函数
11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x
f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 三、解答题： 13．求函数y x x =
--15
1
1
的定义域.
14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，
求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .
15．已知函数1
1
)(+-=x x a a x f (a ＞1).
（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.
16．函数f(x)＝a x
(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．
