下载文档原格式
1．4.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √)2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．( √)4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √)一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.解(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．答案充要解析因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a<0， 所以ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件． 必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立， 则a 4－(b 2＋1)2＝0， 即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0.因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0， 所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以BA ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．1．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 2．已知x ∈R ，则“1x>1”是“x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 “1x>1”⇔0<x <1，∴“1x>1”是“x <1”的充分不必要条件．3．设条件甲为0<x<5；条件乙为|x|<5，则条件甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析甲对应集合A＝{x|0<x<5}，乙对应集合B＝{x|－5<x<5}，且A B，故选A.4．若命题p：两直线平行，命题q：内错角相等，则p是q的________条件．答案充要5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；(2)“x<5”是“x<3”的_____________．答案(1)充要条件(2)必要不充分条件解析(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．1．知识清单：(1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)根据条件求参数范围．2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．3．常见误区：条件和结论辨别不清．1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 ab ＝0推不出a 2＋b 2＝0，由a 2＋b 2＝0可得a ＝b ＝0，推出ab ＝0，故选B. 6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件． 答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1， 所以实数a 的最大值为－1. 8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x－＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况． 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |， ∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )， |x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件 答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A . 所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________. 答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件． 答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0，由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧b －5<0，5－bk －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求．。
1.4.2充要条件【教学目标】1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(数学抽象)2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．(逻辑推理)4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象)【学法解读】1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．必备知识·探新知基础知识知识点充要条件1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件. 2．条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.3．概括：如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？提示：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；②充分不必要条件，即p⇒q且q p.③必要不充分条件，即p q且q⇒p.④既不充分又不必要条件，即p q且q p.基础自测1．下列命题中是真命题的是()①“x>3”是“x>4”的必要条件；②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．A．①B．①②C．①③D．②③【答案】A【解析】x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1x＝1，故②是假命题；a＝0⇒ab＝0，ab＝0a＝0，故③是假命题．2．“x＝0”是“x2＝0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件【答案】D【解析】因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是()A．x<0，y<0B．x<0，y>0C．x>0，y>0D．x>0，y<0【答案】B【解析】P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.4．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为{x|－1<x<3}{x|x<3}，所以p是q的必要不充分条件．5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________.(2)“x<5”是“x<3”的________.【答案】(1)充要条件(2)必要不充分条件【解析】(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．关键能力·攻重难题型探究题型一充分条件、必要条件及充要条件的判断例1 (1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)由x2＋y2＝0，得x＝0且y＝0，由xy＝0得x＝0或y＝0，即“xy＝0”“x2＋y2＝0”．(2)若“四边形ABCD为菱形”，显然对角线垂直；但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形．所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B．∴“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．[归纳提升]充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．【对点练习】❶设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x ∈B．则p是q的条件．()A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要【答案】B【解析】若命题p：x∈(A∩B)成立，命题q：x∈A或x∈B一定成立；若命题q：x∈A或x ∈B成立，但是x不一定是A∩B中的元素，所以p是q的充分不必要条件．题型二充要条件的证明例2设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.【解】①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．[归纳提升] 充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p 是否是q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p ，则q ”为真且“若q ，则p ”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p 与q 的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．【对点练习】❷ 证明：△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，这里a ，b ，c 是△ABC 的三条边．【解】(1)充分性(由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ⇒△ABC 为等边三角形)：因为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，所以2a 2＋2b 2＋2c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ，即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝0，所以a ＝b ，a ＝c ，b ＝c ，即a ＝b ＝c ，故△ABC 为等边三角形；(2)必要性(由△ABC 为等边三角形⇒a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc )：因为△ABC 为等边三角形，所以a ＝b ＝c ，所以a 2＋b 2＋c 2＝3a 2，ab ＋ac ＋bc ＝3a 2，故a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc .综上可知，结论得证．题型三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例3 已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为( B )A ．(－1,6)B ．[－1,6]C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[6，＋∞) 【答案】B【解析】设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3， 所以－1≤a ≤6.故选B ．[归纳提升] 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}；(2)根据以下表格确定集合M 与N 的包含关系：条件类别集合M 与N 的关系 p 是q 的充分不必要条件 M N p 是q 的必要不充分条件M N p 是q 的充要条件M ＝N p 是q 的充分条件M ⊆N p 是q 的必要条件 M ⊇N(3)根据集合M 与N 的包含关系建立关于参数的不等式(组)．(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．【对点练习】❸ 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】由p 得(x －3a )(x －a )<0，当a <0时3a <x <a ，由q 得－2≤x ≤3或x <－4或x >2，则x <－4或x ≥－2，设p ：A ＝(3a ，a )，q ：B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又p 是q 的充分不必要条件，可有A B ，所以a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23， 又a <0，所以a ≤－4或－23≤a <0， 即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 课堂检测·固双基1．“a ＋b >2c ”的一个充分不必要条件是( )A ．a >c 或b >cB ．a >c 或b <cC ．a >c 且b <cD ．a >c 且b >c 【答案】D【解析】由a >c 且b >c 可推得a ＋b >2c ，但当a ＋b >2c 时，不一定能推得a >c 且b >c ，故选D ．2．若“x <a ”是“x ≥3或x ≤－1”的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤3D ．a ≤3【答案】B【解析】因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1. 3．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①充要条件②(写出你认为正确的两个充要条件)【答案】两组对边分别平行一组对边平行且相等4．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__ __.【答案】m>2【解析】因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m>2.5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．【解】在(1)中，p⇔q，所以p是q的充要条件．在(2)中，⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，p q，所以p不是q的充要条件．在(3)中，取A＝{1,2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件．。
1.4.2 充要条件基础达标一、选择题1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC 为直角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析a2＋b2＝c2△ABC为直角三角形，故选C.答案 C2.已知p：－2<x<2，q：－1<x<2，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析p：－2<x<2.q：－1<x<2.∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}，∴p是q的必要不充分条件，选B.答案 B3.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x >1且y >1时，x ＋y >2，所以充分性成立；令x ＝－1，y ＝4，则x ＋y >2，但x <1，所以必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件.故选A.答案 A4.使“x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥3或x ≤－12”成立的一个充分不必要条件是( ) A.x ≥0B.x <0或x >2C.x ∈{－1，3，5}D.x ≤－12或x ≥3 解析 选项中只有x ∈{－1，3，5}是使“x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥3或x ≤－12”成立的一个充分不必要条件. 答案 C5.“x ＝1”是“x ∈{x |x ≤a }”的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A.a ＝12B.a <12C.a <1D.a ≥1解析 由题意，{1}是{x |x ≤a }的子集，∴a ≥1.故选D.答案 D二、填空题6.p ：两个三角形的三条边对应相等，q ：两个三角形全等，则p 是q 的________条件.解析 p q ，q p ，故p 是q 的充要条件.答案 充要7.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________.解析 如图所示，要使一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)不过第三象限，则需k <0且b ≥0.答案 k <0且b ≥08.“a >1”是“1a <1”的________条件.解析 若a >1，则1a <1，反之要1a <1，当a <0时也成立，不能推出a >1.答案 充分不必要三、解答题9.指出下列各题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).(1)p ：x －3＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0；(2)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等；(3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .解 (1)x －3＝0(x －2)(x －3)＝0，但(x －2)(x －3)＝0/ x －3＝0，故p 是q 的充分不必要条件.(2)两个三角形相似/ 两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故p 是q 的必要不充分条件；(3)a >b a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c a >b ，故p 是q 的充要条件.10.不等式3x ＋a ≥0成立的充要条件为x ≥2，求a 的值.解 3x ＋a ≥0化为x ≥－a 3.由题意⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥－a 3＝{x |x ≥2}， 所以－a 3＝2，a ＝－6.能力提升11.已知P ＝{x |－2≤x ≤10}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.12.已知a ，b ，c 均为实数，证明“ac <0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件.证明 充分性：∵ac <0，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程，且Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，分别设为x 1，x 2.∵ac <0，∴x 1·x 2＝c a <0，∴x 1，x 2为一正一负，即ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根.必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程.设两个根分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a <0，∴ac <0.综上知，“ac <0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件.。
1.4.2充要条件学习目标1．理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点一逆命题将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“□1若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题．知识点二充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是□2真命题，即既有p ⇒q，又有q⇒p，就记作□3p⇔q．此时，p既是q的□4充分条件，也是q的□5必要条件，我们说p是q的□6充分必要条件，简称为□7充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p 的充要条件．[微练1]“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A[微练2]点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是()A．x<0，y<0B．x<0，y>0C．x>0，y>0 D．x>0，y<0解析：B第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数．故选B．[微练3]在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A当B＝90°或C＝90°时，△ABC为直角三角形，推不出AB2＋AC2＝BC2.所以AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件．[微练4]已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2}，则A⊆B的充要条件是________．答案：a＝2题型一充要条件的判定(链接教材P21例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3；(2)p：A⊆B，q：A∪B＝B；(3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．[解](1)因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p不是q的充要条件．(2)若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p 是q的充要条件．(3)若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两个三角形全等，故p不是q的充要条件．判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；(2)集合法：即利用集合的包含关系判断；(3)等价法：即利用p⇔q的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除．解：(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件．题型二充要条件的证明(链接教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(a，b，c是△ABC的三边边长)[证明]必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c，所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，即必要性成立；充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab ＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，即充分性成立．综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．2．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.题型三充分条件、必要条件、充要条件的应用已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解]p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎨⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．[发散思维]1．(变条件)若本例中“p 是q 的必要不充分条件”变为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B ．所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．(变设问)若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则应满足⎩⎨⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，这样的m 不存在． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解．3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．解析：由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1，2，3，4.当n＝1，2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1，3；当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.答案：3或41.知识网络2．拓展提升从集合角度看充分、必要条件记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系A B B A A＝B A⊆/B且B⊆/A 图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p，q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件课时规范训练A基础巩固练1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：B由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．3．设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：B由p⇒q，但q⇒/p．故选B．4．(2022·淄博高一检测)“|a|＋|b|＝0”是“a2＋b2＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：C由|a|＋|b|＝0得a＝b＝0；由a2＋b2＝0得a＝b＝0.所以“|a|＋|b|＝0”是“a2＋b2＝0”的充要条件．故选C．5．(多选题)使“x∈{x|x≤0，或x>2}”成立的一个充分不必要条件可以是()A．x≥0B．x<0或x>2C．x∈{－1，3，5} D．x≤0或x>2解析：BC从集合的角度出发，在四个选项中判断哪个是题干的真子集，只有B、C满足题意．6．(多选题)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是()解析：BD由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p 是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．7．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件．答案：充要8．(2022·广州高一检测)函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－m2＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．答案：m＝－29．在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)：(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形；(2)p：－5x2y m与x n y是同类项；q：m＋n＝3.解：(1)由题意得，p⇒q，q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．(2)若－5x2y m与x n y是同类项，则m＝1，n＝2，所以m＋n＝3，当m＋n＝3时，－5x2y m与x n y不一定是同类项，所以p⇒q，q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．B能力进阶练10.集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈∁U B，q：a∈A，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：B由题中Venn图可知A是B的补集的真子集，故选B．11．设a，b∈R，则“ab＋1≠a＋b”的充要条件是()A．a，b不都为1B．a，b都不为1C．a，b中至多有一个是1D．a，b都不为0解析：B若ab＋1≠a＋b，即ab＋1－a－b≠0，即(a－1)(b－1)≠0，则a≠1且b≠1.若a≠1且b≠1，则(a－1)(b－1)≠0，即ab＋1－a－b≠0，即ab＋1≠a＋b.所以“ab＋1≠a＋b”的充要条件是“a≠1且b≠1”．12．(多选题)下列命题说法正确的是( )A ．设集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则A ⊆B 的充要条件是a ＝2B ．方程x 2－2x －a ＝0没有实数根的充要条件是a <－1C ．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充要条件D ．若“12≤x ≤1”是“a ≤x ≤a ＋1”的充分不必要条件，则a 的取值范围是0≤a ≤12解析：BD 对于A ，当a ＝2时，A ⊆B ；当a ＝3时，A ⊆B ，∴A ⊆B 的充要条件为a ＝2或a ＝3，故A 错误．对于B ，因为方程x 2－2x －a ＝0没有实数根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1，因此“方程x 2－2x －a ＝0没有实数根”的必要条件是a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实数根，从而充分性成立．故“方程x 2－2x －a ＝0没有实数根”的充要条件是“a <－1”．B 正确．对于C ，由x 2＋(y －2)2＝0，得x ＝0且y ＝2，所以x (y －2)＝0.反之，由x (y －2)＝0，得x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立，故C 错误．对于D ，设p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12， 故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12，D 正确，故选BD ．13．(2022·合肥高一检测)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab >0中选出适合的条件，用序号填空：(1)“使a ，b 都为0”的必要条件是________；(2)“使a ，b 都不为0”的充分条件是________；(3)“使a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________．解析：①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎨⎧a >0，b >0或⎩⎨⎧a <0，b <0；则a ，b 都不为0. 答案：(1)①②③ (2)④ (3)①14．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac <0.证明：必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正实根和一负实根，∴Δ＝b 2－4ac >0，且x 1x 2＝c a <0，∴ac <0.充分性：由ac <0可推出Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a <0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正一负两实根．综上，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac <0.C 探索创新练15．(多选题)有限集合S 中元素的个数记作card(S )．设A ，B 都为有限集合，则下列命题中是真命题的有( )A ．A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )B ．A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )C ．A ⃘B 的必要条件是card(A )≤card(B )D ．A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )解析：AB 易知card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．A ∩B ＝∅，也就是集合A 与集合B 没有公共元素，A 是真命题；A ⊆B ，也就是集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 是真命题；A ⃘B ，也就是集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中的元素的个数有可能多于B 中的元素的个数，C 是假命题；A ＝B ，也就是集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合中的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 是假命题.1.5 全称量词与存在量词。
