1.4.2充要条件

1．4.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √)2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．( √)4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √)一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.解(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．答案充要解析因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a<0， 所以ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件． 必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立， 则a 4－(b 2＋1)2＝0， 即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0.因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0， 所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以BA ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．1．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 2．已知x ∈R ，则“1x>1”是“x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 “1x>1”⇔0<x <1，∴“1x>1”是“x <1”的充分不必要条件．3．设条件甲为0<x<5；条件乙为|x|<5，则条件甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析甲对应集合A＝{x|0<x<5}，乙对应集合B＝{x|－5<x<5}，且A B，故选A.4．若命题p：两直线平行，命题q：内错角相等，则p是q的________条件．答案充要5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；(2)“x<5”是“x<3”的_____________．答案(1)充要条件(2)必要不充分条件解析(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．1．知识清单：(1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)根据条件求参数范围．2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．3．常见误区：条件和结论辨别不清．1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 ab ＝0推不出a 2＋b 2＝0，由a 2＋b 2＝0可得a ＝b ＝0，推出ab ＝0，故选B. 6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件． 答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1， 所以实数a 的最大值为－1. 8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x－＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况． 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |， ∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )， |x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件 答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A . 所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________. 答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件． 答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0，由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧b －5<0，5－bk －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求．。