211直线的倾斜角和斜率(罗明铁)解读

第5讲 直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

知识梳理 一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90°直线斜率不存在记法 常用小写字母k 表示,即k=tan α 范围 R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),(x 1≠x 2),则直线的斜率公式为k=y 2-y1x 2-x 1.四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应 关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1 直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是( ) A ．3πB ．4π C ．6π D ．56π 【分析】利用直线的倾斜角的定义作答．【解答】解：由于直线2y =-([0,))θθπ∈，则tan θ 故它的倾斜角为3π， 故选：A ．【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】直接利用直线的倾斜角求出直线的斜率即可．【解答】解：直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率为：tan451︒=．故选：A ．【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是( ) A ．6πB ．4π C ．2π D ．34π 【分析】根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ，由直线的方程可得其斜率k ，则有tan 1θ=，结合θ的范围即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ， 直线的方程为：1y x =+， 其斜率1k =，则有tan 1θ=， 又由0θπ<， 则4πθ=，故选：B ．【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线1y =+的斜率为k =，所以直线的倾斜角为α，tan α=，所以120α=︒． 故选：C ．【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为( ) A ．23 B ．23-C ．32 D ．32-【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得结论．【解答】解：直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为3(3)3132--=---，故选：D ．【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m = )A ．-B ．0C ．D ．【分析】根据条件，由斜率公式得到关于m 的方程，再求出m 的值．【解答】解：设直线l 的斜率为k ，则2tan 3k π===，故m =- 故选：A ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【分析】由题意利用直线的斜率公式，求出结果． 【解答】解：点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为631172-=--， 故选：B ．【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角．【解答】解：一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的斜率为30121-=---， 故该直线的倾斜角为135︒， 故选：C ．知识点3 直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为 .【分析】分别求出直线AP 和BP 的斜率,再数形结合即可判断. 【解答】直线AP 的斜率k=3+2-2+1=-5, 直线BP 的斜率k=0+23+1=12,因为直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段 相交,所以k l ≥12或k l ≤-5.则直线l 的斜率的取值范围是(-∞,-5]∪[12,+∞).【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x = ．【分析】直接利用直线的斜率相等求出结果．【解答】解：已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线， 所以022302(1)32AB BC k k x --==-==---， 解得：52x =-，故答案为：52-．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.(-∞,-3 ]∪[1,+∞)B. [-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对 【分析】分别求出PA 、PB 的斜率结合图形即可求出. 【解答】如图所示,直线PB,PA 的斜率分别为k PB =1,k PA =-3,结合图形可知k≥1或k≤-3. 故选A.【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -= ． 【分析】三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，可得AB BC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上， AB BC k k ∴=，∴111010ba----=--， 化为：21a b -=． 故答案为：1．知识点4 两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【分析】斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论. 【解答】(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行.(2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2. 又k AM =3-1-1-0=-2≠-1, 则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论.【解答】当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-m m -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1.知识点5 两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【分析】(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.【解答】解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-a a -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==-，121k k ∴⋅=-， 12l l ∴⊥. 知识点6 平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【分析】利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系. 【解答】由斜率公式得k OP =t -01-0=t , k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t,k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t=-1t.所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C . （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为( )A ．3π B ．2π C ．4π D ．6π 【分析】根据题意，由直线l 的方程分析可得直线l 是与x 轴垂直的直线，据此可得答案． 【解答】解：根据题意，直线:3l x π=，是与x 轴垂直的直线，其倾斜角为2π； 故选：B ．2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是( ) A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒【分析】直接用两点式求直线斜率，然后求倾斜角． 【解答】解：由题可知，直线l 的斜率30130k --==--，设倾斜角为α，则tan 1α=-，135α∴=︒． 故选：A ．3．( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，已知tan θ=θ． 【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，tan θ=，60θ∴=︒． 故选：B ．4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y = ) A ．9-B ．3-C ．5D ．6【分析】首先利用点斜式写出直线方程，然后将点A 的坐标代入求值．【解答】解：由题意知，直线AB 的方程为：3y x +=-． 把0x =代入，得36y +=-． 故9y =-． 故选：A ．5．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】∵由条件知过A (1,1)，B (1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB ⊥CD ，∴k CD ＝0，即23mn -+＝0，得m ＝2，n ≠－3，∴点(m ，n )有无数个．6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是( ) A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出AB 所在直线的斜率，得到关于m 的不等式，求解m 的范围，再由2m =时直线的倾斜角为2π，符合题意，则答案可求． 【解答】解：由直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，得直线的斜率存在时，有1k <-或1k >． 又31222AB k m m -==--， ∴212m <--或212m >-， 解得02m <<或24m <<． 当直线的斜率不存在时，2m =． 综上，实数m 的取值范围是(0,4)． 故选：B ．7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．04παB ．2παπ<< C ．42ππα<D ．324ππα< 【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k ，分析可得斜率k 的范围，结合直线的斜率k 与倾斜角的关系可得tan 1k α=，又由倾斜角的范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 经过(2,1)A ，2(1,)B m -，则直线l 的斜率221121m k m +==+-，又由m R ∈，则211k m =+， 则有tan 1k α=， 又由0απ<，则42ππα<；故选：C ．8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是( )A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．【解答】解：如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α， 则230k k >>，10k <，故2302παα>>>，且1α为钝角，故选：AD ．9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有( ) A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A 正确； 但由于和x 轴垂直的直线倾斜角等于90︒，故它的斜率不存在，故B 错误；若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为不一定是α，如330α=︒时，此时，直线的倾斜角为30︒． 若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α，故D 正确， 故选：AD ．10．（多选）下列命题中正确的为( )A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-. 【答案】AC【解析】当直线12,l l 斜率12,k k 都存在且两直线不重合时,若12k k =，则12l l //；若121k k =-，则12l l ⊥，可知①③正确,当两条直线均与x 轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误,当两条直线一条与x 轴垂直，一条与y 轴垂直时，两直线垂直，但与x 轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a = ． 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得a 的值． 【解答】解：由题意可得33tan 1442a π+=-=-，求得5a =-， 故答案为：5-．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为 ．【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，可得tan 1θ=，然后求出θ的值． 【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒．tan 1θ∴=，解得45θ=︒． 故答案为：45︒．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 ．【分析】由题意画出图形，分别求出PA ，PB 所在直线当斜率，数形结合得答案． 【解答】解：如图，(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -．2(1)332PB k --==-，4(1)132PA k --==---． ∴若直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是(-∞，1][3-，)+∞．故答案为：(-∞，1][3-，)+∞．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，)3π，则l 的斜率的取值范围是 ．【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：直线l 的倾斜角[4πθ∈，)3π，则l 的斜率tan [1θ∈． 故答案为：[1．15．已知1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______ 【答案】()10,6-【解析】设(),D x y ，则2131AB k ==-，422033BC k -==--，4CD y k x -=，1AD yk x =- AB CD ∵⊥，//AD BC 411213AB CD AD BCy k k x y k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩，解得：106x y =⎧⎨=-⎩，即：()10,6D - 16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于 ． 【分析】三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，可得AB AC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上， AB AC k k ∴=，∴11112383b --=---， 即11055b -=-，化为110b -=-． 解得9b =-． 故答案为9-．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．【分析】设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒，根据斜率的计算公式分类讨论：1m ≠和1m =，倾斜角与斜率的关系求得直线AB 的倾斜角的取值范围． 【解答】解：设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒， 由题意知，(1,2)A ，(,3)B m ，当1m =时，直线AB 的斜率不存在，此时90θ=︒； 当1m ≠时，直线AB 的斜率321011k m m -==≠--，所以0θ≠︒， 综上得，直线AB 的倾斜角的取值范围是(0︒，90)(90︒︒⋃，180)︒， 斜率的取值范围是{|0}k k ≠．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．【分析】（1）求出直线的斜率，证明三点共线即可； （2）根据三点共线，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】（1）证明：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -，71221AB K -+∴==--，31201AC K -+==⋯- AB AC K K ∴=又直线AB 与AC 有公共点A ⋯直线AB 与直线AC 为同一条直线即A 、B 、C 设共线 （2）解：题意得直线AB ，AC 的斜率都存在A ，B ，C 三点共线AB AC K K ∴=，即43313(2)(2)2m m ---=----12m ∴=21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ． （1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值． （2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．【分析】（1）由A ，B ，C 三点共线，可得AB BC k k =．利用斜率计算公式即可得出．（2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：（1）A ，B ，C 三点共线，AB BC k k ∴=．即11(1)2115m ---=--， 解得：12m =． （2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．若2ABC π∠=，则1(1)12m --=-，解得3m =． 若2ACB π∠=，1(1)13m m +--=-，解得2m =±． 若2CAB π∠=，11()132m +-⨯-=-，解得7m =-． 故2m =±，3，7-．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ． （1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角． 【分析】（1）设(,)Q x y ，根据PQ MN ⊥得出313y x ⨯=--，然后由PN MQ ‖得出121y x +=--，解方程组即可求出Q 的坐标．（2）设(,0)Q x 由NQP NPQ ∠=∠得出NQ NP k k =-，解方程求出Q 的坐标，然后即可得出结果． 【解答】解：设(,)Q x y由已知得3MN k =，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⨯=- 即31(3)3yx x ⨯=-≠-① 由已知得2PN k =-，又PN MQ ‖，可得PN MQ k k =，即12(1)1y x x +=-≠-② 联立①②求解得0x =，1y = (0,1)Q ∴（2）设(,0)Q xNQP NPQ ∠=∠，NQ NP k k ∴=-又22NQ k x=-，2NP k =- ∴222x=- 解得1x = (1,0)Q ∴，又(1,1)M -， MQ x ∴⊥轴故直线MQ 的倾斜角为90︒．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标． 【解答】解：由题，(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C所以2AC k =，12AB k =-，3BC k =设D 的坐标为(,)x y ，分以下三种情况： ①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =， 所以，125BD y k x -==- 得7x =，y=5.②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =， 所以，331AD y k x -==-- 得1x =-，9y =③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k = 所以125BD y k x -==-，331AD y k x -==-- 得3x =，3y =-所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示( )A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线【分析】利用点在直线上推出1(f x ，1)0y =，判断2P 与方程的关系，利用直线的平移，推出结论． 【解答】解：由题意直线l 方程为(,)0f x y =，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，两条直线平行， 11(P x ，1)y 为直线l 上的点，1(f x ，1)0y =，(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，化为(f x ，2)(y f x -，2)0y =，显然22(P x ，2)y 满足方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =， 所以(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示过点2P 且与l 平行的直线． 故选：C ．2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是( )A ．1425 B ．35C ．1625D ．1725【分析】根据题意设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，计算对应的1y 、2y 、和3y 的值，求出1k 、2k 和k 的值，代入题目中的二次函数计算即可． 【解答】解：设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，则有10y =，21y =，30y =；所以11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由2111212244()()()()f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+，224416sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=． 故选：C ．3．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数[1m ∈-1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．【分析】分类讨论，当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 【解答】解：①当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，1[m +∈， 1(1k m ∴=∈-∞+，3[3，)+∞， [6πα∴∈，)(22ππ⋃，2]3π，综合①②知，直线AB 的倾斜角[6πα∈∈，2]3π．。

3.1 直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x ．轴正方向．．．．与直线．．．l 向上方向之间所成的角．．．．．．．．．．α叫做直线．．．．l 的倾斜角．．．．，当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为00，因此直线的倾斜角的取值范围为00≤α＜1800。

注意：（1）定义中的三个条件：①直线l 方向向上，②x 轴的正方向，③小于平角的最小正角；（2）直线的倾斜角可看作由x 轴按逆时针方向转动到直线时所成的角；（3）倾斜角α的取值范围：00≤α＜1800； （4）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x 轴正方向的倾斜程度。

例1：下列四图中，表示直线的倾斜角正确的是( )【解析】：A二、直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角．．．α的正切值．．．．叫做这条直线的斜率，通常用k 表示，即k ＝tan α。

特别地：当直线的斜率．．．．．．角为．．90．．0．时，直线没有斜率．．．．．．．．。

注意：（1）当倾斜角为900时，直线的斜率不存在，但并不是直线不存在，此时直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)；（2）所有的直线．．．．．都有倾斜角，但不是所有的直线有斜率；．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）倾斜角与斜率之间的关系以及函数图象（如图）例2：给出下列结论：（1）直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；（2）如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；（3）如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；（4）如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。

其中，正确的结论是________________。

（填序号） 【解析】：（2）（3）（4）例3：下列说法中，正确的是（ ）A ：直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B ：直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ C：若直线的倾斜角为α，则sin α＞0ACD ：任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率 【解析】：D例4：若直线l 的倾斜角300＜α＜600，则直线l 的斜率的范围为____________。

直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识点1 直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1) 定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0∘.(2)范围α∈[0∘ ,180∘).l与x轴垂直时， α=90∘.2直线的斜率(1)定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tan α(α≠90∘) .当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘， k=tan 0∘=0;当直线l与x轴垂直时， α=90∘ ,k不存在.(2)倾斜角α与斜率k之间的关系k=tan α，α∈[0∘ ,180∘)，如左图，当α∈[0∘ ,90∘)时，k(α)是递增的；右图中斜率为k1 ,k2的直线对应的倾斜角为α1 ,α2，其中0<α2<α1<π，而k1>k2>0；2如左图，当α∈(90∘ ,180∘)时，k(α)也是递增的；右图中斜率为k3 ,k4的直线对应的倾斜角为α3 ,α4，<α3<α4<π，而k3<k4<0.其中π2(斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大)(3) 斜率公式.经过两点P1(x1 ,y1) ,P2(x2 ,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 k=y2−y1x2−x1使用斜率公式的时候要注意x1≠x2的前提条件.(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k==y2−y1(x1≠x2)求斜率；x2−x1(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tan α(α≠90∘)来求斜率.(5) 利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,C(x3 ,y3) ，若x1=x2=x3或k AB=k BC，则有A、B、C三点共线.知识点2直线的方程1 直线方程的几种形式(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系π，则m的值为. 【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56【典题2】直线x+ycosθ−5=0的倾斜角α的取值范围是.【典题3】设点A(2 ,−3)，B(−3 ,−2)，直线l过点P(1 ,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为.课堂练习1下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tanαD．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°2 若直线经过两点A(m ,2)，B(−m ,2m−1)且倾斜角为45°，则m的值为.3 已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为√3，则BC的斜率可能2为.4已知θ∈R，则直线xsinθ−√3y+1=0的倾斜角的取值范围是.5直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(−√2≤t≤√2)，则直线l倾斜角的取值范围是.6已知两点A(−3 ,4)，B(3 ,2)，过点P(1 ,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是.7P(x ,y)在线段AB上运动，已知A(2 ,4) ,B(5 ,−2)，则y+1的取值范围是.x+1【题型二】求直线方程【典题1】根据所给条件求直线方程(1)直线过点A(3 ,2)，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点A(1 ,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2 ,4)，B(−3 ,8).课堂练习1【多选题】下列说法中，正确的有()A．过点P(1 ,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0B．直线y=3x−2在y轴上的截距为−2C．直线x−√3y+1=0的倾斜角为60°D．过点(5 ,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x−5=02【多选题】下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是()A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−1 mC．直线l过定点(0 ,1)D．直线l过定点(1 ,0)3已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为.4 若直线过点(1 ,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有条.5 已知等边△ABC的两个顶点A(0 ,0) ,B(4 ,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是.【题型三】直线方程的综合运用【典题1】设直线l：(3+2λ)x+(4+λ)y−19−6λ=0 ,(λ∈R)．(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A ,B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l的方程．【典题2】 如图，将一块等腰直角三角板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB =OB =1，AB ⊥OB ，点P(12 ,14)是三角板内一点，现因三角板中部分(△POB 内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过P 的任意一直线MN 将其锯成△AMN ． (1)求直线MN 的斜率的取值范围；(2)若P 点满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样的直线MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线MN 的方程；(3)如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的△AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值．课堂练习1已知直线l的方程为：(2+m)x+(1−2m)y+(4−3m)=0．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．2已知直线l经过点P(3 ,2)．(1)若直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A ,B两点．当|PA|2+|PB|2取得最小值时，求直线l的方程．3如图，射线OA ,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1 ,0)的直线l分别交OA，OB于点A ,B．(1)当线段AB的中点为P时，求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x2上时，求l的方程．4 已知直线l：kx－y+1+2k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．5 在直角坐标系中，已知射线OA：x−y=0(x≥0)，过点P(3 ,1)作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的方程；(2)求PA∙PB的最小值．。