大学物理2第2章[1]
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Δr =
（2-6）
Δx 2 + Δy 2 + Δz 2
图 2-3 中，从 A 到 B 点沿轨道所经过的曲线长度Δs 称为 A、B 间的路程 ．位移和路程是两个不同的概念．位移是矢量，路程是标量；当 （ path ）
y r2 O
始、末两点的位置确定之后位移Δr 就确定了，但从始点到末点可以走直线和
B Δr r1 A x Δs
of motion） ．在直角坐标中为 r = r (t ) = x(t )i + y (t )j + z (t )k
以又可以把直角坐标下的运动方程用标量表示为 x = x(t ) ； y = y (t ) ； z = z (t ) 方程． 在 SI 单位制中，位矢的单位为米（m） ． 思考题 2.2：讨论直线运动你如何建立坐标系？
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第2章 质 点 运 动
2-1 直角坐标系中质点运动的描述
2 −1 −1 参考系 质点模型
物体的运动和静止总是相对于某个选定的物体而言的， 即对物体运动的描 述具有相对性．例如，静坐在行驶的汽车里的人，相对于汽车来说是不动的， 但相对于地面来说， 人随着车一起运动． 可见人是静止还是运动与选择汽车还 是地面作为参照物体有关． 这种在研究物体运动时选定为不动的参照物称为参 考系（reference frame） ．
（a）
y
B Δr
Δs A
思考题 2.3：Δs 是否可能取负值？Δx 呢？
r2
r1
例题 2-1 质点沿半径为 R 的圆周运动 1/4 周的Δs、|Δr|和Δr 各为多少？ 解：如图 2−4（a）以圆心为原点建立 Oxy 坐标系，设质点由 A 运动 1/4 周到 B，则
Δs =
π
2
R，
r1 = Ri ， r2 = Rj ， Δr = r2 − r1 = Rj − Ri ，
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即质点在 t 时刻的速度等于其位置矢量 r 对时间 t 的一阶导数． 注意， v 的方向与Δr 的方向一致，沿割线的方向．当Δt→0 时，Δr 趋近 于运动轨迹，割线的方向则趋近于曲线在 A 点的切线方向．即质点的速度沿 运动曲线的切线方向，并指向质点前进的一方． 速度是矢量，t 时刻速度的方向就是该时刻质点运动的方向，而速度的大
（2-3）
式 （2-3） 表明， 质点的运动可以看作是三个坐标轴方向上的独立运动的合成． 所 （2-4）
它们称为运动方程的分量式．消去时间参数 t，就可以得到运动质点的轨迹
2-1-3 位移与路程
质点的位置变化用位移来表示．如图 2-3 所示，设质点 t 时刻位于 A 点， 经过Δt 时间后， 质点沿曲线运动到 B 点， 其位矢 r (t+Δt)=r2． 在 其位矢 r (t)=r1； 质点位置的变化量可用从 A 点指向 B 点的矢量Δr 表 在 t 到 t＋Δt 这段时间内， ，简称 示．Δr 称为质点由位置 A 到位置 B 的位移矢量（displacement vector） 由图可见， 虽然位矢与原点 O 位移，它反映质点从 A 点到 B 点的距离和方向． 的选取有关，但位移Δr 却与所选原点无关，它等于末位矢与始位矢之差，即 （2-5） Δr =r (t+Δt)−r (t)= r2−r1 或者说，质点在Δt 时间内的位移等于该时间内位矢的增量．
任意曲线，所以路程Δs 仍不能确定．物理学中把像路程这样的与具体路径或 物理过程有关的物理量称为过程量．由于位移的大小|Δr|是 A、B 两点的直线 距离，所以一般情况下|Δr|≤Δs．但在无限小位移情况下，两点间的曲线与直 线没有差别，也就是说Δt→0 时，有 limΔs=lim|Δr|，即 ds =|dr|． 顺便指出， 矢量差的大小与矢量大小的差具有不同意义． 由图 2-3 可以看 出|Δr|与Δr≡Δ|r| =|r2| −|r1| =r2−r1 的不同，所以一般Δr≠|Δr|，且 dr≠|dr|． 在 SI 单位制中，位矢、位移和路程的单位都的单位为米（m） ．
O
（b）
x
Δr = Δx 2 + Δy 2 = (− R ) 2 + R 2 = 2 R
Δr≡Δ|r| =|r2| −|r1| =r2−r1=R−R=0 如果建立如图 2−4（b）所示坐标系 Oxy，则
Δs =
图 2-4
例题 2-1 图
π
2
R，
r1 = Ri + Rj ， r2 = 2 Rj ， Δr = r2 − r1 = Rj − Ri
图 2-5 某点的速度方向是该点 的切线方向
（2-7）
由图 2−5 可以看出，当质点沿轨道从 A 点运动到 B 点时，Δr 与质点的运 动轨迹明显偏离，所以，平均速度对运动的描述还是比较粗略的．随着Δt 减 小，B 点向 A 点靠近，Δr 也更接近真实的运动轨迹，平均速度也就能更精确
2-1 直角坐标系中质点运动的描述 地反映质点在 t 时刻运动的方向和快慢程度．我们把Δt→0 时平均速度的极限 称为质点在 t 时刻的瞬时速度，简称速度，用 v 表示，于是 Δr dr = v = lim Δt → 0 Δt dt （2-8）
图 2-2 P 点的位置矢量
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r
r = r = x2 + y 2 + z 2
位矢的方向由方向余弦
（2-2）
x y z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
确定．式中的α、β、γ 分别是位矢 r 与单位矢量 i、j、k 之间的夹角．方向余 弦之间并不独立，有如下关系 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 质点 P 运动时，其位矢 r 随时间 t 变化，r 是时间 t 的函数，其矢端描绘 出质点的轨迹．位矢随时间变化的关系式 r = r (t)称为质点运动方程（equation
(a) 太阳参考系的结果，代表日心说
思考题 2.1：选汽车为参考系，地面如何运动？ 对参考系的选择原则上是任意的．通常依据问题的性质和研究的方便来 选取．参考系若选取恰当，可使运动的描述简化．图 2-1 给出了分别以太阳 （ S） 和地球 （ E） 为参考系时， 观察到的太阳、 地球和太阳系中另一行星 （ M） 的运动轨迹．显然在太阳（ S）参考系中它们的运动要简单得多．所以，从
2-1-2 位置矢量与运动方程
参考系选定以后， 为了定量描述物体位置及其随时间的变化， 还须在参考 系上建立一个适当的坐标系（coordinate system） ，坐标系的原点和轴线固定在
2-1 直角坐标系中质点运动的描述 参考系上．通常在具体问题中如果指明了坐标系，就意味着已经选定了参考 系．常用的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、柱坐标系和球坐标系等．本节 在大家熟悉的直角坐标系中讨论． 如图 2-2 所示，在参考系上取固定原点 O 建立坐标系，则质点的空间位 uuu r 置可以用一条从原点 O 到质点所在空间位置 P 点有向线段 OP 来表示，称为 位置矢量（position vector） ，简称位矢或径矢，用 r 表示（在出版物中通常用 ．在直角坐标系 Oxyz 中，其表达式为 黑斜体表示矢量，在书写中一般用 r ） r=xi+ y j+zk （2-1） 式中的 i、j、k 分别是沿坐标轴 x、y、z 正方向的单位矢量，xi、yj、zk 分别是 位矢 r 在三个坐标轴方向的分矢量．位矢 r 的大小为
图 2-3 位移与路程
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第2章 质 点 运 动 在直角坐标系 Oxyz 中，位移Δr 可表示为 Δr = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 )j + (z2 − z1 )k = Δx i + Δy j + Δz k 式中， Δx = x2 − x1 ， Δy = y2 − y1 ， Δz = z2 − z1 ．位移Δr 的大小为
Δr = Δx 2 + Δy 2 = (− R ) 2 + R 2 = 2 R
Δr≡Δ|r| =|r2| −|r1| = 2 R − R 2 + R 2 = (2 − 2 ) R r2−r1=R−R=0 对比两个坐标系的结果可见，Δs、Δr 和 |Δr|不变，但位矢和Δr 不同．
2-1-4 速度
位移Δr 只反映了质点的位置变化，为了反映质点位置变化的快慢程度则 需要引入速度（velocity）的概念．我们把质点的位移Δr 与发生该位移所经历 的时间Δt 之比定义为该时间内质点的平均速度，记为 v ，即 Δr v= Δt
dr 则反映质点运动的快慢程度． 小 v = dr = dt dt
与平均速度和速度的定义类似，我们把Δt 时间内质点所经过的路程Δs 与 时间间隔Δt 之比值定义为Δt 时间内质点的平均速率．用 v 表示，即 Δs speed） ．用 v 表示，即 Δs ds v = lim = （2-9） Δt → 0 Δt dt 由于 ds = dr ，因此 v = v ，即速率等于速度的大小． 思考题 2.4：平均速率 v 与平均速度的大小|v|是否相等？速率 v 是否等 dr 于 ？速率改变时速度能否不变？ dt 在直角坐标系 Oxyz 中，速度矢量可表示为 dr dx dy dz i+ j + k = v x i + v y j + v z k （2-10） v= = dt dt dt dt 这里对 r 求导时因为 i、j、k 不随时间变化，它们对时间的导数为零． 速度的大小为
2-1 直角坐标系中质点运动的描述
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游乐园中的过山车让我们体验曲线运动的 乐趣．由于过山车任意时刻的运动状态是由设 计的轨道和出发时的运动状态决定的，所以惊 险却不危险．
第2章
质 点 运 动 学
一切物质都处于永恒地运动之中， 这就是运动的绝对性． 运动是物质存在 的形式，而物质运动形式是多种多样的．不同的运动形式既服从普遍的规律， 又具有自身的特点． 最普遍且最基本的一种运动形式是物体空间位置的变化． 例如地球围绕太 阳运动、地球自转、水的流动，等等．物体这种空间位置变化的运动形式称为 机械运动（mechanical motion） ．力学（mechanics）就是研究机械运动及其规 律的学科．如何描述物体的机械运动呢？这就是运动学的任务． 运动学 （kinematics）描述物体的空间位置及其随时间变化的规律，而不涉及运动状 态变化的原因．作为讨论其他机械运动的基础，本章介绍质点运动学． 中学对质点运动的了解仅限于匀速和匀加速直线运动， 以及抛体运动和匀 速圆周运动等简单的曲线运动． 当讨论质点的一般曲线运动时， 需要运用矢量 和微积分等数学工具， 事实上， 微积分正是牛顿在研究力学的过程中发明的． 本 章首先在一个参考系中分别采用直角坐标系和自然坐标系描述的质点运动， 然 后讨论参考系之间描述质点运动的物理量的变换关系．
（2-6）
Δx 2 + Δy 2 + Δz 2
图 2-3 中，从 A 到 B 点沿轨道所经过的曲线长度Δs 称为 A、B 间的路程 ．位移和路程是两个不同的概念．位移是矢量，路程是标量；当 （ path ）
y r2 O
始、末两点的位置确定之后位移Δr 就确定了，但从始点到末点可以走直线和
B Δr r1 A x Δs
of motion） ．在直角坐标中为 r = r (t ) = x(t )i + y (t )j + z (t )k
以又可以把直角坐标下的运动方程用标量表示为 x = x(t ) ； y = y (t ) ； z = z (t ) 方程． 在 SI 单位制中，位矢的单位为米（m） ． 思考题 2.2：讨论直线运动你如何建立坐标系？
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第2章 质 点 运 动
2-1 直角坐标系中质点运动的描述
2 −1 −1 参考系 质点模型
物体的运动和静止总是相对于某个选定的物体而言的， 即对物体运动的描 述具有相对性．例如，静坐在行驶的汽车里的人，相对于汽车来说是不动的， 但相对于地面来说， 人随着车一起运动． 可见人是静止还是运动与选择汽车还 是地面作为参照物体有关． 这种在研究物体运动时选定为不动的参照物称为参 考系（reference frame） ．
（a）
y
B Δr
Δs A
思考题 2.3：Δs 是否可能取负值？Δx 呢？
r2
r1
例题 2-1 质点沿半径为 R 的圆周运动 1/4 周的Δs、|Δr|和Δr 各为多少？ 解：如图 2−4（a）以圆心为原点建立 Oxy 坐标系，设质点由 A 运动 1/4 周到 B，则
Δs =
π
2
R，
r1 = Ri ， r2 = Rj ， Δr = r2 − r1 = Rj − Ri ，
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即质点在 t 时刻的速度等于其位置矢量 r 对时间 t 的一阶导数． 注意， v 的方向与Δr 的方向一致，沿割线的方向．当Δt→0 时，Δr 趋近 于运动轨迹，割线的方向则趋近于曲线在 A 点的切线方向．即质点的速度沿 运动曲线的切线方向，并指向质点前进的一方． 速度是矢量，t 时刻速度的方向就是该时刻质点运动的方向，而速度的大
（2-3）
式 （2-3） 表明， 质点的运动可以看作是三个坐标轴方向上的独立运动的合成． 所 （2-4）
它们称为运动方程的分量式．消去时间参数 t，就可以得到运动质点的轨迹
2-1-3 位移与路程
质点的位置变化用位移来表示．如图 2-3 所示，设质点 t 时刻位于 A 点， 经过Δt 时间后， 质点沿曲线运动到 B 点， 其位矢 r (t+Δt)=r2． 在 其位矢 r (t)=r1； 质点位置的变化量可用从 A 点指向 B 点的矢量Δr 表 在 t 到 t＋Δt 这段时间内， ，简称 示．Δr 称为质点由位置 A 到位置 B 的位移矢量（displacement vector） 由图可见， 虽然位矢与原点 O 位移，它反映质点从 A 点到 B 点的距离和方向． 的选取有关，但位移Δr 却与所选原点无关，它等于末位矢与始位矢之差，即 （2-5） Δr =r (t+Δt)−r (t)= r2−r1 或者说，质点在Δt 时间内的位移等于该时间内位矢的增量．
任意曲线，所以路程Δs 仍不能确定．物理学中把像路程这样的与具体路径或 物理过程有关的物理量称为过程量．由于位移的大小|Δr|是 A、B 两点的直线 距离，所以一般情况下|Δr|≤Δs．但在无限小位移情况下，两点间的曲线与直 线没有差别，也就是说Δt→0 时，有 limΔs=lim|Δr|，即 ds =|dr|． 顺便指出， 矢量差的大小与矢量大小的差具有不同意义． 由图 2-3 可以看 出|Δr|与Δr≡Δ|r| =|r2| −|r1| =r2−r1 的不同，所以一般Δr≠|Δr|，且 dr≠|dr|． 在 SI 单位制中，位矢、位移和路程的单位都的单位为米（m） ．
O
（b）
x
Δr = Δx 2 + Δy 2 = (− R ) 2 + R 2 = 2 R
Δr≡Δ|r| =|r2| −|r1| =r2−r1=R−R=0 如果建立如图 2−4（b）所示坐标系 Oxy，则
Δs =
图 2-4
例题 2-1 图
π
2
R，
r1 = Ri + Rj ， r2 = 2 Rj ， Δr = r2 − r1 = Rj − Ri
图 2-5 某点的速度方向是该点 的切线方向
（2-7）
由图 2−5 可以看出，当质点沿轨道从 A 点运动到 B 点时，Δr 与质点的运 动轨迹明显偏离，所以，平均速度对运动的描述还是比较粗略的．随着Δt 减 小，B 点向 A 点靠近，Δr 也更接近真实的运动轨迹，平均速度也就能更精确
2-1 直角坐标系中质点运动的描述 地反映质点在 t 时刻运动的方向和快慢程度．我们把Δt→0 时平均速度的极限 称为质点在 t 时刻的瞬时速度，简称速度，用 v 表示，于是 Δr dr = v = lim Δt → 0 Δt dt （2-8）
图 2-2 P 点的位置矢量
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r
r = r = x2 + y 2 + z 2
位矢的方向由方向余弦
（2-2）
x y z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
确定．式中的α、β、γ 分别是位矢 r 与单位矢量 i、j、k 之间的夹角．方向余 弦之间并不独立，有如下关系 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 质点 P 运动时，其位矢 r 随时间 t 变化，r 是时间 t 的函数，其矢端描绘 出质点的轨迹．位矢随时间变化的关系式 r = r (t)称为质点运动方程（equation
(a) 太阳参考系的结果，代表日心说
思考题 2.1：选汽车为参考系，地面如何运动？ 对参考系的选择原则上是任意的．通常依据问题的性质和研究的方便来 选取．参考系若选取恰当，可使运动的描述简化．图 2-1 给出了分别以太阳 （ S） 和地球 （ E） 为参考系时， 观察到的太阳、 地球和太阳系中另一行星 （ M） 的运动轨迹．显然在太阳（ S）参考系中它们的运动要简单得多．所以，从
2-1-2 位置矢量与运动方程
参考系选定以后， 为了定量描述物体位置及其随时间的变化， 还须在参考 系上建立一个适当的坐标系（coordinate system） ，坐标系的原点和轴线固定在
2-1 直角坐标系中质点运动的描述 参考系上．通常在具体问题中如果指明了坐标系，就意味着已经选定了参考 系．常用的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、柱坐标系和球坐标系等．本节 在大家熟悉的直角坐标系中讨论． 如图 2-2 所示，在参考系上取固定原点 O 建立坐标系，则质点的空间位 uuu r 置可以用一条从原点 O 到质点所在空间位置 P 点有向线段 OP 来表示，称为 位置矢量（position vector） ，简称位矢或径矢，用 r 表示（在出版物中通常用 ．在直角坐标系 Oxyz 中，其表达式为 黑斜体表示矢量，在书写中一般用 r ） r=xi+ y j+zk （2-1） 式中的 i、j、k 分别是沿坐标轴 x、y、z 正方向的单位矢量，xi、yj、zk 分别是 位矢 r 在三个坐标轴方向的分矢量．位矢 r 的大小为
图 2-3 位移与路程
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第2章 质 点 运 动 在直角坐标系 Oxyz 中，位移Δr 可表示为 Δr = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 )j + (z2 − z1 )k = Δx i + Δy j + Δz k 式中， Δx = x2 − x1 ， Δy = y2 − y1 ， Δz = z2 − z1 ．位移Δr 的大小为
Δr = Δx 2 + Δy 2 = (− R ) 2 + R 2 = 2 R
Δr≡Δ|r| =|r2| −|r1| = 2 R − R 2 + R 2 = (2 − 2 ) R r2−r1=R−R=0 对比两个坐标系的结果可见，Δs、Δr 和 |Δr|不变，但位矢和Δr 不同．
2-1-4 速度
位移Δr 只反映了质点的位置变化，为了反映质点位置变化的快慢程度则 需要引入速度（velocity）的概念．我们把质点的位移Δr 与发生该位移所经历 的时间Δt 之比定义为该时间内质点的平均速度，记为 v ，即 Δr v= Δt
dr 则反映质点运动的快慢程度． 小 v = dr = dt dt
与平均速度和速度的定义类似，我们把Δt 时间内质点所经过的路程Δs 与 时间间隔Δt 之比值定义为Δt 时间内质点的平均速率．用 v 表示，即 Δs speed） ．用 v 表示，即 Δs ds v = lim = （2-9） Δt → 0 Δt dt 由于 ds = dr ，因此 v = v ，即速率等于速度的大小． 思考题 2.4：平均速率 v 与平均速度的大小|v|是否相等？速率 v 是否等 dr 于 ？速率改变时速度能否不变？ dt 在直角坐标系 Oxyz 中，速度矢量可表示为 dr dx dy dz i+ j + k = v x i + v y j + v z k （2-10） v= = dt dt dt dt 这里对 r 求导时因为 i、j、k 不随时间变化，它们对时间的导数为零． 速度的大小为
2-1 直角坐标系中质点运动的描述
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游乐园中的过山车让我们体验曲线运动的 乐趣．由于过山车任意时刻的运动状态是由设 计的轨道和出发时的运动状态决定的，所以惊 险却不危险．
第2章
质 点 运 动 学
一切物质都处于永恒地运动之中， 这就是运动的绝对性． 运动是物质存在 的形式，而物质运动形式是多种多样的．不同的运动形式既服从普遍的规律， 又具有自身的特点． 最普遍且最基本的一种运动形式是物体空间位置的变化． 例如地球围绕太 阳运动、地球自转、水的流动，等等．物体这种空间位置变化的运动形式称为 机械运动（mechanical motion） ．力学（mechanics）就是研究机械运动及其规 律的学科．如何描述物体的机械运动呢？这就是运动学的任务． 运动学 （kinematics）描述物体的空间位置及其随时间变化的规律，而不涉及运动状 态变化的原因．作为讨论其他机械运动的基础，本章介绍质点运动学． 中学对质点运动的了解仅限于匀速和匀加速直线运动， 以及抛体运动和匀 速圆周运动等简单的曲线运动． 当讨论质点的一般曲线运动时， 需要运用矢量 和微积分等数学工具， 事实上， 微积分正是牛顿在研究力学的过程中发明的． 本 章首先在一个参考系中分别采用直角坐标系和自然坐标系描述的质点运动， 然 后讨论参考系之间描述质点运动的物理量的变换关系．
