江西省2015届高三一模调研测试数学(理)试卷(word版)

2015年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log4x＜0.5}，则（）A．A∩B＝∅B．B⊆A C．A∩∁R B＝R D．A⊆B2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．3．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y＝f（|x|）；②y＝f（﹣x）；③y＝xf（x）；④y＝f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④4．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的两条渐近线的夹角为60°，且焦点到一条渐近线的距离大于，则b＝（）A．3B．C．D．5．（5分）要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A．4B．5C．6D．76．（5分）某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）A．c＝a；i≤9B．b＝c；i≤9C．c＝a；i≤10D．b＝c；i≤10 7．（5分）已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，则＝（）A．1B．C．2D．8．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10B．﹣5C．0D．59．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．32B．18C．16D．1010．（5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x 1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数11．（5分）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A．1B．2C．4D．812．（5分）已知函数f（x）＝（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m 的值．15．（5分）A、B、C三点在同一球面上，∠BAC＝135°，BC＝2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+a n+1＝（﹣1）n，S n是其前n项和，若S2015＝﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，sin C＝2sin B，求b、c的值．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥平面ABCD，PD⊥PB，P A＝PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面P AB；（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC＝90°，AB＝2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．19．（12分）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线P A的斜率与直线QA的斜率之积为．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x＝3分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为S1、S2，求2S1﹣S2的最小值．21．（12分）设函数f（x）＝（e为自然对数的底），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+b．（Ⅰ）求a、b的值，并求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x≥0，求证：f（x）＞．请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC＝2，AF＝2，求△BDF外接圆的半径．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、（a∈R），曲线C 的参数方程为为参数）（Ⅰ）若，求△AOB的面积；（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x|+|2x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2015年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log4x＜0.5}，则（）A．A∩B＝∅B．B⊆A C．A∩∁R B＝R D．A⊆B【解答】解：∵x2﹣x﹣2＜0，∴（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2∴A＝（﹣1，2），∵log4x＜0.5＝log42，∴0＜x＜2，∴B＝（0，2），∴B⊆A，故选：B．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．【解答】解：复数＝＝＝﹣i对应的点的坐标为（0，﹣1），故选：A．3．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y＝f（|x|）；②y＝f（﹣x）；③y＝xf（x）；④y＝f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由奇函数的定义：f（﹣x）＝﹣f（x）验证①f（|﹣x|）＝f（|x|），故为偶函数②f[﹣（﹣x）]＝f（x）＝﹣f（﹣x），为奇函数③﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x），为偶函数④f（﹣x）+（﹣x）＝﹣[f（x）+x]，为奇函数可知②④正确故选：D．4．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的两条渐近线的夹角为60°，且焦点到一条渐近线的距离大于，则b＝（）A．3B．C．D．【解答】解：双曲线x2﹣＝1（b＞0）的两条渐近线方程为y＝±bx，即有tan60°＝||＝||＝，设焦点（c，0）到一条渐近线的距离为d＝＝＝b，即有b＞，解得b＞1，则有b2﹣2b﹣＝0，解得b＝，故选：C．5．（5分）要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余n﹣1人中选出2人，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余n﹣2人中选1人即可，故＝0.4，∴n＝6，故选：C．6．（5分）某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）A．c＝a；i≤9B．b＝c；i≤9C．c＝a；i≤10D．b＝c；i≤10【解答】解：由题意，斐波那契数列0，1，1，2，…，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用a，b来表示前两项，c表示第三项，S为数列前n项和，故空白矩形框内应为：b＝c，第1次循环：a＝0，b＝1，S＝0+4＝1，i＝3，求出第3项c＝1，求出前3项和S＝0+1+1＝2，a＝1，b＝1，满足条件，i＝4，执行循环；第2次循环：求出第4项c＝1+1＝2，求出前4项和S＝0+1+1+2＝4，a＝1，b ＝2，满足条件，i＝5，执行循环；…第8次循环：求出第10项c，求出前10项和S，此时i＝10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值．故判断框内应为i≤9．故选：B．7．（5分）已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，则＝（）A．1B．C．2D．【解答】解：设＝（x，y）∵，，∴4＝（﹣1，2），|4|＝，∵，∴﹣x+2y＝5，即x﹣2y＝﹣5，∵向量满足与的夹角为120°∴＝，即＝，∵＝，∴＝2．故||＝2，故选：D．8．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10B．﹣5C．0D．5【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），由，得，整理得：2a1+9d＝0，即a1+a10＝0，∴．故选：C．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．32B．18C．16D．10【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：已知正方体的棱长为4，∴几何体的体积V＝×43＝32．故选：A．10．（5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x 1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【解答】解：由函数图象的一部分，可得A＝2，函数的图象关于直线x＝＝对称，∴a+b＝x1+x2．由五点法作图可得2a+φ＝0，2b+φ＝π，∴a+b＝﹣φ．再根据f（a+b）＝2sin（π﹣2φ+φ）＝2sinφ＝，可得sinφ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，故选：C．11．（5分）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|＝（|AP|+|BQ|）＝（|AF|+|BF|）＝|AB|，故圆心N到准线的距离等于半径，即有以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由M的纵坐标为2，即N的纵坐标为2，抛物线y2＝2px的焦点坐标为（，0），设直线AB的方程为y＝2（x﹣），即x＝y+，与抛物线方程y2＝2px联立，消去x，得y2﹣py﹣p2＝0由韦达定理可得AB的中点N的纵坐标为，即有p＝4，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，故a可以取0，故排除A，B；当时，，，所以f（x）在[﹣1，1]上递减，所以，满足条件，故排除C，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．（5分）展开式中的常数项为80．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝令15﹣5r＝0，解得r＝3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80．14．（5分）若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，若对应的区域为三角形，则m＜2，由，得，即C（m，m），由，得，即B（m，），由，得，即A（2，2），则三角形ABC的面积S＝×（﹣m）×（2﹣m）＝，即（2﹣m）2＝，解得2﹣m＝，或2﹣m＝﹣，即m＝或m＝（舍），故答案为：；15．（5分）A、B、C三点在同一球面上，∠BAC＝135°，BC＝2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为4．【解答】解：由于∠BAC＝135°，BC＝2，则△ABC的外接圆的直径2r＝＝2，即有r＝，由于球心O到平面ABC的距离为1，则由勾股定理可得，球的半径R＝＝＝，即有此球O的体积为V＝πR3＝π×（）3＝4．故答案为：4．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+a n+1＝（﹣1）n，S n是其前n项和，若S2015＝﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为．【解答】解：由已知得：a2+a3＝﹣2，a4+a5＝4，…，a2012+a2013＝2012，a2014+a2015＝﹣2014，把以上各式相加得：S2015﹣a1＝﹣2014+1006＝﹣1008，∴S2015＝a1﹣1008＝﹣1007﹣b，即a1+b＝1，∴＝．故答案为：．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，sin C＝2sin B，求b、c的值．【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得＝，∴2sin C cos A＝sin（A+B）＝sin C，∵sin C≠0，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）由sin C＝2sin B，得c＝2b，由条件a＝3，，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝3b2，解得．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥平面ABCD，PD⊥PB，P A＝PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面P AB；（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC＝90°，AB＝2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD所以AB⊥平面P AD…（1分）又PD⊂平面P AD，所以PD⊥AB…（2分）又PD⊥PB，所以PD⊥平面P AB…（3分）而PD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面P AB…（4分）（2）如图，建立空间直角坐标系…（5分）设AD＝2a，则A（a，0，0），D（﹣a，0，0）B（a，2，0），C（﹣a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0）…（6分）＝（﹣a，﹣1，a），＝（﹣2a，1，0），则得2a2﹣1＝0，得，则，＝（﹣，﹣1，），…（8分）设平面PEC的一个法向量，＝（．﹣2，）由得，令x1＝1，则＝（1，，）…（9分），＝（．﹣2，）设平面PCB的一个法向量，由得，令z2＝1，则＝（0，，1）…（10分）设二面角E﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝…（11分）故二面角E﹣PC﹣B的余弦值为…（12分）19．（12分）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有8÷0.2＝40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）＝40×0.075＝3．…（4分）（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 …（6分），，，，…（10分）所以ξ的分布列为所以．所以ξ的数学期望为．…（12分）20．（12分）已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线P A的斜率与直线QA的斜率之积为．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x＝3分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为S1、S2，求2S1﹣S2的最小值．【解答】解：（I）根据题意，设P（x0，y0），Q（﹣x0，﹣y0），则，，依题意有，又c＝1，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆E的方程为：；（II）设直线MN的方程为x＝my+1，代入E的方程得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理知，又直线MA的方程为，将x＝3代入，得，同理，所以，所以，，则2S1﹣S2＝3﹣，令，则m2＝t2﹣1，所以，记，则，所以f（t）在[1，+∞）单调递增，从而f（t）的最小值为，故2S1﹣S2的最小值为•21．（12分）设函数f（x）＝（e为自然对数的底），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+b．（Ⅰ）求a、b的值，并求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x≥0，求证：f（x）＞．【解答】解：（Ⅰ）因为，而，所以，解得a＝2；所以，因此，由知，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，当x＜﹣1且x≠﹣2时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间是（﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣2）和（﹣2，﹣1），（Ⅱ）证明：所证不等式等价于，因为，先证，记，g′（x）＝e x﹣2x﹣2，记u（x）＝e x﹣2x﹣2，则u′（x）＝e x﹣2，由此可知，u（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；因为u（1）•u（2）＜0，u（﹣1）•u（0）＜0，故g′（x）＝0在（0，+∞）只有一个零点x1（1＜x1＜2），且，所以g（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增，所以当x≥0时，，即，又，所以，即，故．请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC＝2，AF＝2，求△BDF外接圆的半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…（2分）又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（4分）（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2＝AC•AD，即（2）2＝2•AD，解得AD＝4，…（6分）所以BD＝，BF＝BD＝1，又△AFB∽△ADH，则，得DH＝，…（8分）连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH＝，故△BDF的外接圆半径为．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、（a∈R），曲线C 的参数方程为为参数）（Ⅰ）若，求△AOB的面积；（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．【解答】解：（1）当时，A（﹣2，0），B（2，2），∵k OB＝1，∴∠AOB＝135°．∴．（2）曲线C的参数方程为为参数），化为（x﹣1）2+y2＝4，圆心C（1，0），半径y＝2．∵点P到直线AB的最小值距离为1，∴圆心到直线AB的距离为3，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x＝﹣2，显然，符合题意，此时．当直线AB存在斜率时，设直线AB的方程为y＝k（x+2），则圆心到直线AB的距离，依题意有，无解．故．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x|+|2x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，…（3分）根据图易得f（x）≤1的解集为…（5分）（Ⅱ）令x＝ka（k∈R），由f（x）≥a2对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k﹣1|≥|a|对任意k∈R恒成立…（6分）由（1）知|k|+|2k﹣1|的最小值为，所以…（8分）故实数a的取值范围为…（10分）。

上饶县中学2015届高三年级上学期第一次月考数 学 试卷（理零）命题人：陈秀英 审题人：顾远忠 时间：120分钟 总分：150分一、 选择题：（每小题5分，小计50分）1．已知集合2{|20}A x xx =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B ⋂=（ C ） A ．(1,2) B ．(1,2] C ．[1,1)- D ．(1,1)-2．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（ D ） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题C ．命题“非q ”是假命题D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题3．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（ C ） A B ．．4．一元二次方程022=++a x x 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ） A. 0<a B. 0>a C. 1-<a D. 1>a5.在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是( C ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形6．曲线3()2f x x x =+-在点P 处的切线的斜率为4，则P 点的坐标为（ B ）A. (1,0)B. (1,0)或(1,4)--C. (1,8)D. (1,8)或(1,4)-- 7． 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( C )A.12B.23C.56D.7129.设,a b r r 是非零向量，若函数()()()f x xa b a xb =+-r r r r g 的图象是一条直线，则必有（ A ）A ．a b ⊥r rB ．a b r r PC ．||||a b =r rD ．||||a b ≠r r8．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-…，则点(,)a b 所在区域的面积为（ A ） A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 110．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始 沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向 （向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（ B ）BACD二、填空题（每小题5分，小计25分）11． 已知偶函数()f x 在[0，＋∞)单调递减，(2)0f =，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是________．(－1，3)12． 若将函数()sin(2)4f x x π=+的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．3π814.如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC上一点，2,DC BD =则AD BC =rr g __________.15． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知cos cos 2b C c B b +=，则a b＝________．215. 给出下列四个命题：①命题"0cos ,">∈∀x R x 的否定是"0cos ,"≤∈∃x R x ；②函数)10(11)(≠>+-=a a a a x f xx 且在R 上单调递减； ③设)(x f 是R 上的任意函数， 则)(x f |)(x f -| 是奇函数，)(x f +)(x f -是偶函数； ④定义在R 上的函数()x f 对于任意x 的都有4(2)()f x f x -=-,则()x f 为周期函数； ⑤命题p:x R ∃∈，2lg x x ->;命题q ：x R ∀∈，20x >。

2015年江西省新八校联考高考数学一模试卷(理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．对于集合A={x|x=2k+1，k∈N}和集合B=｛x|x=a*b，a，b∈A｝，若满足B⊆A，则集合B 中的运算“*"可以是（）A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法2．复数z为纯虚数，若（2﹣i)z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣B．2 C．﹣2 D．3．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0"B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0,+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N,2n＞1000,则﹣P：∀n∈N,2n≤1000D．命题“∃x∈(﹣∞,0），2x＜3x”是真命题4．数列{a n}{中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2（n∈N+），则a7=()A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．已知函数f（x）=sin(2x+)，则要得到函数f（x）的图象只需将函数g（x）=sin2x的图象(）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1) B．（2,2）C．3 D．47．从0，1，3,4,5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位奇数，这样的三位数共有（）A．24个B．30个C．36个D．48个8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的n（n∈N+）值可能为(）A．5 B．6 C．7 D．89．已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±10．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在点P，满足|PF2｜=｜F1F2|，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．4x±3y=0 B．3x±5y=0 C．3x±4y=0 D．5x±3y=011．某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为(）A．B．5πC．7πD．12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（2x2+x)=k（2＜k≤3)的根的个数不可能为（)A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上）13．（x+a)10的展开式中，x7的系数为15,则a=．14．在平面直角坐标系中,,分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A，B，C满足，=+2，=3+m．若A,B,C三点构成以∠B为直角的直角三角形，则实数m的值为．15．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律,第n个等式为．16．在△ABC中，设AD为BC边上的高,且AD=BC，b，c分别表示角B,C所对的边长，则+的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等比数列｛a n｝的公比q＞1,前n项和为S n，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数(3n﹣2)其中n≥2，n∈N+，且b1=1．列,数列｛bn}满足关系式b n（3n﹣5）=b n﹣1（1）求数列｛a n}及{b n}的通项公式;（2）设A=｛a1，a2，…a10｝，B=｛b1，b2，…b50｝,C=A∪B,求集合C中所有元素之和．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照［50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在［50,60），[90,100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”,设随机变量X表示所抽取的4名学生中得分在［80，90)内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2,PC＜2，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为,求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值．20．如图,在平面直角坐标系xoy中，椭圆+=1(a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，｜AB｜+｜CD|=5．（1）求椭圆的方程；（2）求由A,B，C,D四点构成的四边形的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0,a∈R是常数．（1）求函数y=f(x)的图象在点（1,f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明:∀a∈R，存在ξ∈（1,e），使f′（ξ）=．四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2014—2015学年度南昌市高三年级调研测试卷数学(理科)参考答案及评分标准又∵03B π<<，∴2333B πππ<+<，∴当32B ππ+=，即6B π=时，ABC ∆的周长l 取得最大值2+………………………12分18. 解：（1）由2423n n n S a a =+-，2111423n n n S a a +++=+-，得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………3分当5n ≥时，0n a >，所以12n n a a +-=，所以当5n ≥时，{}n a 成等差数列.………………………………………………………………6分（2）由2111423a a a =+-，得13a =或11a =-， 又12345.,,,a a a a a 成等比数列，所以10(5)n n a a n ++=≤，1q =-，……………………………………………………………7分 而50a >，所以10a >，从而13a =，……………………………………………………………8分所以13(1),(14)27,(5)n n n a n n -⎧-≤≤=⎨-≥⎩， (10)分所以231-(1),(14)268,(5)nn n S n n n ⎧⎡⎤-≤≤⎪⎣⎦=⎨⎪-+≥⎩.………………………………………………………………12分 19. 解：（1）因为∆PAE ≅∆DAE ⇒PE=DE,又EH PD ⊥⇒H 为PD 中点，又////,,FH CD AB FH PAB AB PAB ⊄⊂面面⇒//FH PAB 平面,………………………2分又//,,//EF PB EF PAB PB PAB EF PAB ⊄⊂⇒面面平面, ………………………………4分EF HF F =,∴//,//EFH PAB EH EFH EH PAB ⊂⇒平面平面平面平面…………6分(2)如图建立空间坐标系E (0,0,2)P,C(0,2,0)D,1,1)2F ,(0,1,1)H PD AEPD AH⊥⎧⇒⎨⊥⎩(0,2,2)PD =-是平面EAH 的法向量…………8分 设平面FAH 的法向量为(,,)n x y z =，31(,,1),(0,1,1)2AF AH ==02000n AF y z y z n AH ⎧⋅=++=⎪⇒⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，设z =，(1,3,n ∴=……………… 10分cos ,||||8PD n PD n PD n ⋅=== ∴平面FAH 与平面EAH ………………………………12分 20.解：（1）抛物线2C 的准线方程是2y =-，所以242pp =⇒=，所以抛物线2C 的方程是：28x y =，……………………………………………………… 2分椭圆椭圆22122:1(0)yx C a b ab+=>>的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，所以2c =，2a ==，所以2a b ==，即椭圆1C 的方程是22184x y +=；…………………………………………………5分（2）设点(,0)P t ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y E x y F x y ，抛物线方程可以化为：218y x =，1'4y x =，所以AP 的方程为：1111()4y y x x x -=-，所以1111224y x t y --=-，即11124y tx =+同理：22124y tx =+，所以直线AB 的方程为：124y tx =+， (7)分将直线AB 方程代入椭圆1C 的方程得到：22(32)16640t x tx ++-=， 则22256256(32)0t t =++>△，且3434221664,3232t x x x x t t --+==++，……………………9分所以223434343422864320(1)()481623232t t t OE OF x x y y x x x x t t -+⋅=+=++++==-++ (11)分 因为232001032t <≤+，所以OE OF ⋅的取值范围是(8,2]-.………………………………12分21. 解：（1）'()1xf x a e =-⋅， (1)分当0a ≤时，'()0f x >，函数()f x 是(,)-∞+∞上的单调递增函数；………………………2分当0a >时，由'()0f x >得ln x a <-，所以函数()f x 是(,ln )a -∞-上的单调递增函数，函数()f x 是(ln ,)a -+∞上的单调递减函数；…………………………………………………………3分（2）2()xx x x f x e a e e ≤⇔≥-，设()xx x g x e e=-，则21'()x xe x g x e --=，………………4分当0x <时，210x e ->，'()0g x >，()g x 在(,0)-∞上单调递增，…………………………5分当0x >时，210x e -<，'()0g x <，()g x 在(0,)+∞上单调递减，…………………………6分所以max ()(0)1g x g ==-，所以1a ≥-；…………………………………………………………7分（3）函数()f x 有两个零点12,x x ，所以1212,x x x ae x ae ==，因此1212()x xx x a e e -=-， 即1212x x x x a e e-=-，……………………………………………………………………………………8分要证明122x x +>，只要证明12()2x x a e e +>，即证：121212()2x x xx e e x x e e +->-………………9分不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1tt e >>，因此只要证明：121t t e t e +⋅>-，即(2)20t t e t -++>，………………………………………10分记()(2)2(0)t h t t e t t =-++>，则'()(1)1t h t t e =-+，记()(1)t m t t e =-，则'()tm t te =，当0t >时，'()0m t >，所以()(0)1m t m >=-，即0t >时(1)1,'()0t t e h t ->->，所以()(0)0h t h >=即(2)20tt e t -++>成立， (11)分所以122x x +>.……………………………………………………………………………………12分22解：（1）当3a =时，42,1()2,1x 324,3x x f x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩……………………………………1分当1x <时，由()4f x ≤得424x -≤，解得01;x ≤< ……………………………………2分 当13x ≤≤时，()4f x ≤恒成立； ……………………………………………………………3分 当3x >时，由()4f x ≤得244x -≤，解得34x <≤．……………………………………4分 所以不等式()4f x ≤的解集为{}04x x ≤≤． ………………………………………………5分（2）因为(x)1121f x a x x a x x a =-+-≥-+-=--， 当()()10x x a --≥时，()21f x x a =--；当()()10x x a --<时，()21f x x a >--.…………………………………………………7分 记不等式()()10x x a --<的解集为,A 则()2,1A -⊆，……………………………………8分 故2a ≤-，所以a 的取值范围是(],2-∞-．…………………………………………………10分 23．解：（1）直线l 的普通方程,01323=--+y x 曲线C 的直角坐标方程422=+y x ；……………………………… 4分（2）曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 2//得到曲线/C 的方程为4422=+y x ，则点M参数方程为002cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）0012y +得，0012y +==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+∴0012y +的取值范围是[]4,4-……………………………10分。